命題（van der Waerden） A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき s_1、．．．、s_n は A 上代数的独立（>>119）である。
証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 のときは s_1 = X_1 であるから本命題は成り立つ。 n ＞ 1 と仮定する。 s_1、．．．、s_n が A 上代数的独立でないとして矛盾を導こう。 B の元 f ≠ 0 で f(s_1、．．．、s_n) = 0 となるものがある。 f として X_n に関する次数 m が最小のものをとる。 f = g_m(X_n)^m + g_(m-1)(X_(m-1))^(m-1) + ．．．+ g_0 とする。 ここで、各 g_i は A[X_1、．．．、X_(n-1)] の元である。 このとき g_0 ≠ 0 である。 何故なら g_0 = 0 なら f は X_n で割れて m の最小性に反するからである。
