- 184 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/11(日) 06:00:41.86 ]
- 命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。
L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。
f(X) の次数を n とする。
このとき [L ： K] ≦ n！ である。
証明
>>183より L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。
過去スレpart1の317より |G| = [L ： K] であるから |G| ≦ n！ を示せば良い。
f(X) の L における根全体の集合を S = {α_1、．．．、α_n} とする。
>>182より S は忠実な G-集合である。
よって、G は S 上の対称群 Sym(S)（>>6）の部分群と同型である。
|Sym(S)| = n！ であるから |G| ≦ n！ である。
証明終
