- 231 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/12(月) 09:17:25.39 ]
- 命題
G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。
Z を有理整数環とする。
{-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。
σ ∈ G に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像 sgn：G → {-1、1} は群としての準同型である。
証明
A = Z[X_1、．．．、X_n] を Z 係数の n 変数の多項式環とする。
>>64より A は G-集合（過去スレpart5の77）となる。
A の元 Δ = Π[i ＜ k] (X_i - X_k) を考える。
σ と τ を G の元とする。
>>229より (στ)Δ = σ(τΔ) = σ(sgn(τ)Δ) = sgn(τ)sgn(σ)Δ
一方、(στ)Δ = sgn(στ)Δ
よって、sgn(στ) = sgn(σ)sgn(τ)
証明終
