- 136 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 11:36:40.07 ]
- >>133の修正
補題
A を可換環とする。
A[X] を 1 変数の多項式環とする。
a ∈ A とする。
A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X] → A を ψ(X) = a により定める。
このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。
証明
(X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。
f を Ker(ψ) の任意の元とする。
f = (X - a)q + r、deg r ＜ 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
deg r = 0 または -∞（>>134）だから r ∈ A である。
この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r
よって、f ∈ (X - a)A[X]
証明終
