ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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1 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/01(水) 09:57:08.60 ID:2b7XvZNh.net]: 前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724969804/
前スレガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ11

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部一己著（2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく
577 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 13:45:07.70 ID:OWxAi42s.net]: つづき

en.wikipedia.org/wiki/Countable_set
Countable set
Theorem — (Assuming the axiom of countable choice)
The union of countably many countable sets is countable.[f]
We need the axiom of countable choice to index all the sets
a,b,c,… simultaneously.

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第13章整列集合
定理13.18 (超限帰納法)
略す
ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである
また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる
たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある
これを再帰的定義または帰納的定義という
ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第14章順序数
(引用終り)
以上
578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/23(木) 13:52:09.11 ID:/DO4V5tt.net]: >>533
間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ
579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/23(木) 13:54:11.43 ID:L43wzm6S.net]: >徹底的にやろうな
　A∖{aξ∣ξ<α}＝A∖{f(A∖{aψ∣ψ<ξ})∣ξ<α}　で、もう君、●んでる

　ご愁傷様
580 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 14:12:43.61 ID:OWxAi42s.net]: 追加参考
順序数の算術藤田博司愛媛大

https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/
数学基礎論サマースクール
選択公理と連続体仮説 2019年9月3日
世話人：依岡輝幸（静岡大学理学部数学科
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/fujita0.pdf
集合・濃度・順序数・基数
藤田博司愛媛大学理学部
2019 年9月3日
数学基礎論サマースクール2019@静岡大学
順序数の算術(1)
以下略す
581 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 14:34:19.93 ID:OWxAi42s.net]: >>538
>間違い読みしてるうちは正しく理解できないよ

ふっふ、ほっほ
　>>533より
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

おれは、
自分が何をどこまで理解しているかを
示そうとしてはいない！ｗｗ

おっさんが、基礎論のそのまた基礎が全く
理解できていないこと
それを示そうとしているのです！！ｗｗ；ｐ）

(あほ二人の”アナグマの姿焼き")
に向けてねｗｗ；ｐ）

おっさん、某私大数学科修士を鼻にかけているが
その実、数学科２年生で詰んで、院は情報系へ逃げたんだったね>>7-10

おっさん
弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”と呼ばれるが
自慢の基礎論が、このザマかい？ｗ

これじゃお主は
数学科１年生で、詰んでいたんだね！！ｗｗｗ；ｐ）
582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/23(木) 14:47:07.86 ID:CiN7ebJS.net]: > おれは、自分が何をどこまで理解しているかを示そうとしてはいない！
　理解してないもんな
　君の書き込みは図らずも、君が
> 基礎論のそのまた基礎が全く理解できていないこと
　を自ら示してしまっている
　自己処刑　自己アナグマ
583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/23(木) 14:54:18.13 ID:DqlpJduC.net]: 選択公理
∀X[∅∉X⟹∃f:X→⋃(A∈X)A　∀A∈X(f(A)∈A)]

ここで、Xの各要素を定義するのにf使ったらダメにきまってるだろ
こんなもん論理のイロハのイ
584 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/23(木) 16:23:56.33 ID:F2cs9bbp.net]: >>318
>いい証明ができたら、教えてくれ
いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる

Xを集合とする。
Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。
写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。
Cを順序数全体のクラスとする。
写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。
いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。
gの定義より￢(φ(A)∈g(λ+1)) だから￢(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={}
順序数Λを Λ:=min{λ∈C|g(λ)={}} で定義する。
写像 f:Λ→X を f(λ):=φ(g(λ)) で定義する。
このとき ∀n,m∈Λ.n≠m⇒f(n)≠f(m) だからfは単射。Λの定義よりfは全射。よってfは全単射。
順序関係(X,≦)を ∀n,m∈Λ.n≦m⇔f(n)≦f(m) で定義する。定義から(X,≦)は全順序。
Xの任意の空でない部分集合Yに(X,≦)に関する最小元f(minf^(-1)(Y))が存在するから(X,≦)は整列順序。■
585 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/23(木) 16:32:08.46 ID:F2cs9bbp.net]: >>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
586 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/23(木) 18:09:44.34 ID:o+VGPX9a.net]: >>544
>いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
　時間があったら読んでみる
>>545
　結局順序数の中に上限が存在しないならそれは集合ではない
　ということかと勝手に思ってるが、正解かどうかはJechに聞いてくれ
587 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/23(木) 18:26:22.65 ID:OWxAi42s.net]: >>541 つづき
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>544 お愉しみを邪魔して悪いが
ちょっと、『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に戻る
結論は
１）ZF上で、コーシー列が収束することは言える
２）ZFC上でならば、コーシー列が収束することが、実数の定義として成り立ち
　従来知られている実数の位相的な性質完備距離空間だとかなんだとかいろいろ言える
３）下記 ZF＋可算選択公理では、”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
　が、 Equivalent が言える。が、そこまでで詰み（従属選択公理DCでどうなるかは不明だが、ソロベイモデルがあるのでもっと言えそう）
４）以上より、ZF上でなんらの選択公理を仮定しないならば、”コーシー列が収束すること”までで詰みかも；ｐ）

　(参考) >>84より再録
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis
588 名前：Horst Herrlich 1. In the realm of the reals We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles. Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are: 1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x, 2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x, 3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous, 4. each subspace of R is separable, 5. R is a Lindel¨ of space, 6. Q is a Lindel¨ of space, 7. N is a Lindel¨ of space, 8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence, 9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R. There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]). Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1. つづく []: [ここ壊れてます]
589 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/23(木) 18:27:18.09 ID:OWxAi42s.net]: つづき

(参考追加)
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
・Every countable collection of non-empty sets has a choice function.[8]
・Every infinite collection of non-empty sets has an infinite sub-collection with a choice function.[8]
・Every σ-compact space (the union of countably many compact spaces) is a Lindelöf space (every open cover has a countable subcover).[8] A metric space is σ-compact if and only if it is Lindelöf.[9]
・Every second-countable space (it has a countable base of open sets) is a separable space (it has a countable dense subset).[8] A metric space is separable if and only if it is σ-compact.[9]
・Every sequentially continuous real-valued function in a metric space is a continuous function.[8]
・Every accumulation point of a subset of a metric space is a limit of a sequence of points from the subset.[9]
・The Rasiowa–Sikorski lemma MA(ℵ0), a countable form of Martin's axiom: in a preorder with the countable chain condition, every countable family of dense subsets has a filter intersecting all the subsets. (In this context, a set is called dense if every element of the preorder has a lower bound in the set.)[8]

References
8^ Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Consequences of the axiom of choice. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8. See in particular Form 8, p. 17–18.
9^ Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment. Math. Univ. Carolinae. 38 (3): 545. See, in particular, Theorem 2.4, pp. 547–548.

つづく
590 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/23(木) 18:27:36.84 ID:OWxAi42s.net]: つづき

en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Construction of the real numbers

en.wikipedia.org/wiki/Constructivism_(philosophy_of_mathematics)#Example_from_real_analysis
Constructivism (philosophy of mathematics)
Example from real analysis
In classical real analysis, one way to define a real number is as an equivalence class of Cauchy sequences of rational numbers.

en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。
(引用終り)
以上
591 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/23(木) 19:35:48.90 ID:F2cs9bbp.net]: >>547
>ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？
どこまでもクソも無い
実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
それ以上でも以下でもない
592 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 21:02:12.93 ID:y/IThbaj.net]: >>550
>実数とは連続公理を満たす順序体（の元）である
>よってZFで連続公理を満たす順序体が構成できればそれがZF上の実数である
>それ以上でも以下でもない

なるほど
それは、理屈だ
至言ですね

よって、結論
・ZFで、コーシー列の収束は証明できる。そこで詰み
・ZF+可算選択公理で、先に進める。例えば、”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）>>547
　（”5. R is a Lindel¨ of space,”では、まだ不十分）
・さらに先に進むには、さらなる強いパワーの従属選択公理DCかAC(フルパワー選択公理)が必要

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である。
実数の連続性と同値な命題
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。順序体（位相は順序位相を入れる）において、実数の公理は
1.デデキントの公理
2.上限性質を持つ
3.有界単調数列の収束定理
4.アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
5.ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
6.次の２条件を満たす
・アルキメデス性を持つ
・コーシー列は収束する
7.中間値の定理
8.最大値の定理
9.ロルの定理
10.ラグランジュの平均値の定理
11.コーシーの平均値の定理
12.ハイネ・ボレルの定理
と同値である。
赤摂也『実数論講義』には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers
Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.
Depending on the construction of the real numbers used, completeness may take the form of an axiom (the completeness axiom), or may be a theorem proven from the construction. There are many equivalent forms of completeness, the most prominent being Dedekind completeness and Cauchy completeness (completeness as a metric space).

つづく
593 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 21:02:41.63 ID:y/IThbaj.net]: つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space
Complete metric space
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M.
Intuitively, a space is complete if there are no "points missing" from it (inside or at the boundary).
For instance, the set of rational numbers is not complete, because e.g.
√2 is "missing" from it, even though one can construct a Cauchy sequence of rational numbers that converges to it (see further examples below
594 名前：). It is always possible to "fill all the holes", leading to the completion of a given space, as explained below. (引用終り) 以上 []: [ここ壊れてます]
595 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 21:16:44.08 ID:y/IThbaj.net]: >>545
(引用開始)
>>318
>なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
うん、俺もその辺だいぶ悩んだ
自分では解決できたと思ってるが、正しいかは分からん
(引用終り)

　>>318 より
　個人的には>>309のJechの証明も、ちと不安だ
　なんで、必ずある順序数が上限として存在るするといえるのか、わからんから
　多分、「なんだ、そういうことか！」っていうくらい、つまらんことだと思うけど
(引用終り)

横レスすまん
ベルンシュタインの定理とか、選択公理がいるとか要らないとか言われるが（下記 en.wikipedia）
それはとこかく、いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
そうすると、その濃度から決まる順序数の上限が存在することが言えるだろう
それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem
Schröder–Bernstein theorem
Prerequisites
The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.

On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory
IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]

There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。
596 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 21:19:09.72 ID:y/IThbaj.net]: >>553 タイポ訂正

それはとこかく、いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　↓
それはともかく、いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
597 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/23(木) 23:35:15.41 ID:y/IThbaj.net]: >>551 関連

math.stackexchange
で
Feferman has, I think, spent quite a bit of intellectual effort on just this question; see, for example, math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf. –
LSpice
CommentedAug 29, 2014 at 23:51
とあったので、下記貼ります

(参考)
math.stanford.edu/~feferman/papers/psa1992.pdf
From PSA 1992, vol. 2 (1993),
pp. 442–455 (with with corrections)

Why a little bit goes a long way: Logical foundations of scientifically applicable mathematics*1
Solomon Feferman

(Notes *1. Invited lecture in the Symposium, "Is foundational work in mathematics relevant to the philosophy of science?" at the meeting of the Philosophy of Science Association, Chicago, Nov. 1, 1992.)

8. Final remarks.
Like most scientists, philosophers of science could simply take mathematics for granted and not concern themselves with its foundations, as being irrelevant to their main concerns. But, as Hellman has emphasized in his introduction to his article in this volume, debates like those discussed here as to realism vs. (e.g.) instrumentalism, and as to the indispensability of highly theoretical concepts and principles, are equally central to the philosophy of science. Whether the kind of logical results described here will be more directly relevant to those debates remains to be seen. But as long as science takes the real number system for granted, its philosophers must eventually engage the basic foundational question of modern mathematics: "What are the real numbers, really?"
598 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 01:40:11.63 ID:Y9e4pxHo.net]: >>551
どれほど言い訳を重ねても
「ZFで実数は存在しない」
が正しくなることはありません　残念！
599 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/24(金) 03:50:07.00 ID:knZwyXgJ.net]: >>553
> いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
600 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 07:59:06.85 ID:U1RMCmJs.net]: >>557
>　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？

同意です
その筋は、ツォルンの補題の証明に書いてあった
『この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。』
とか。（まだ、分ってないので、ツッコミなしね）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。
略す
(引用終り)

>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから

そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aがなんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
だね

>>556
>「ZFで実数は存在しない」

・ZFで、有理数のコーシー列の収束が言えて
　それらの集合の存在が言える
・それらの集合をＲと名付ける
　では、集合Ｒの性質はどうか？
・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
　”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
　”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
・ここから先、つまりリンデレーエフ空間より先
　デデキントやカントールが成したような実数の公理を満たすところまで進むには、
　可算選択公理とのEquivalentを破る
　可算選択公理の上位の選択公理（従属選択公理DC やフルパワー選択公理AC）が必要■
601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/24(金) 08:02:38.65 ID:vpG+s33o.net]: >>558
なんで可算選択公理に固執してんの？
602 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 10:17:58.02 ID:BCvEAUed.net]
603 名前：”＜公開処刑続く＞ （『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/” >>559 >なんで可算選択公理に固執してんの？ 良い質問ですね by 池上彰 １）『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』を明確にするためです つまり、ZFだけと、選択公理ありのZF+C 二つだけでなく ZFだけ＜ ZF＋可算選択公理＜ ZF＋従属選択公理DC ＜ ZF＋選択公理AC(フルパワー) の４つの選択肢をおくことで、冒頭の議論を明確にするため ２）というか、本音は >>547 Horst Herrlich Choice principles in elementary topology and analysis (1997) を見つけたので、これを根拠に議論しようということです そうしないと、素人同士の水掛け論になってしまう（＾＾ []: [ここ壊れてます]
604 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 10:23:09.93 ID:BCvEAUed.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>10より再録
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・となり
　0＜1＜2＜3＜・・・となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ；ｐ）
(引用終り)
605 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 10:36:52.84 ID:BCvEAUed.net]: >>501
>基礎論の権威が六甲山のあたりにいるようだ

遠隔レスですが
ここは、知る人ぞ知るの
渕野昌 (Sakaé Fuchino)氏
伯母野山日記のこと fuchino.ddo.jp/obanoyama.html
”篠原伯母野山町（しのはらおばのやまちょう）は兵庫県神戸市灘区の町名”（下記）

えーと、ネット地図で見ると、渕野氏が勤務していた神戸大に近いところです
六甲山の麓ですね

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%A0%E5%8E%9F%E4%BC%AF%E6%AF%8D%E9%87%8E%E5%B1%B1%E7%94%BA
篠原伯母野山町（しのはらおばのやまちょう）は兵庫県神戸市灘区の町名。現行行政地名は篠原伯母野山町一丁目から篠原伯母野山町三丁目。
地理
灘区の地理的中央部に位置する
606 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:09:46.20 ID:Y9e4pxHo.net]: >>558
>では、集合Ｒの性質はどうか？
>・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
こじつけ
選択公理無しで言える性質もいくらでもある
選択公理有りで言える性質もいくらでもある
恣意的に後者を持ち出したところで只のこじつけに過ぎない

どれほど言い訳を重ねても
「ZFで実数は存在しない」
が正しくなることはありません　残念！
607 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:14:58.08 ID:Y9e4pxHo.net]: >>561
>『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。
いや事実だよ
{{{}}}の元は唯一{{}}のみだから
近所の高校生に聞いてごらん　『{}∈{{{}}} は真』なんて言う高校生はいないから
608 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 11:18:42.62 ID:BCvEAUed.net]: >>450
>競技人口は
>将棋が450万で
>囲碁は120万
>あと10年で囲碁人口は０になるだろうと
>今日の大会でコメントした人がいた

一応テンプレ>>1より
「関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）」
とお断りをいれて（＾＾

さて、ID:D3v/mpAJ は、御大か
この話で、月刊碁ワールド 10月号 2024
『危機に立ち向かう韓国囲碁界─後編記・大島正雄』
などにも書かれていますが、いま韓国が世界戦で勝ちまくって
世界囲碁界でナンバーワンの座を享受していますが
その韓国でさえ、”危機”とあります

記事を読んでみると、要するに韓国でも
コンピュータゲームやネットゲームに押されているらしい

”将棋が450万”ですが、藤井聡太ブームも
いまや、彼が勝つのが当たり前になった
（昔の大山時代の再現か。大山時代より、もっと殺伐としているかも（一人が強すぎる））

ともかく、”琴棋書畫”(下記で棋が囲碁です)の時代は、遠い昔で
振興策が必要ですね

余談ですが、中国では甲級リーグという地域対抗プロ囲碁リーグ戦があり、それ囲碁振興策です
「ヒカルの碁」は、ブームになったのですが、そういうのも必要ですね

(参考)
www.nihonkiin.or.jp/publishing/go_world/goworld_202410.html
日本棋院
月刊碁ワールド 10月号 2024
目次
-特別現地取材-
危機に立ち向かう韓国囲碁界─後編
記・大島正雄

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%B4%E6%A3%8B%E6%9B%B8%E7%94%BB
琴棋書畫（きんきしょが）、また琴碁書画とは、古代東アジアの文人・士大夫・官僚が嗜むべきとされた芸。四芸とも言う。
棋（圍棋、囲碁）
→詳細は「囲碁の歴史」を参照
棋は圍棋とも呼ばれ、囲碁のことである。棋は既に『論語』の中に孔子の弁として述べられるほど古い遊びである。当初「棋」とは六博を意味していたが、廃れると弾棋を意味するようになり、弾棋が廃れると囲碁を意味するようになった。
囲碁は占星術から始まったが、後漢時ごろから兵法に類似しているとして武人がたしなむようになり、南北朝時代からは文人や雅士の間で流行した。
囲碁の静かに対局する姿は傍観者から見て詩的な風情を誘い、詩にいくつも詠じられている。白居易や蘇軾は石を打つときの音に魅了されて詩を詠じている。
唐以降は待詔のうち棋をもって仕える『棋待詔』が置かれるようになり、国手と呼ばれる名人が務めた。
609 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/24(金) 11:36:22.33 ID:BCvEAUed.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>563
(引用開始)
>では、集合Ｒの性質はどうか？
>・>>547にあるように、ZF＋可算選択公理と、下記がEquivalent
こじつけ
選択公理無しで言える性質もいくらでもある
選択公理有りで言える性質もいくらでもある
(引用終り)

じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ；ｐ）
＜先制攻撃＞
下記 ZF＋可算選択公理では、下記 Equivalent
”9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.”
”1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
”5. R is a Lindel¨ of space,”（リンデレーエフ空間になる）
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich

さて
”in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,”
を平たくいえば、a subset A：x0,x1,x2・・・ ,x なる
610 名前：加算無限長の集積列が作れて A＝{x0,x1,x2・・・ ,x} は、可算無限集合とできる ということだね ところが、 ZFだけだと A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合）しか言えない つまり、ZF＋可算選択公理の方が、集積点 x が明確になって、言えることが増えるってことでは？ 繰り返すが A＼{x}＝{x0,x1,x2・・・ }（任意有限長の集合）だけだと、集積点 x が明確でない それで何が言える？ｗ；ｐ） 追伸 >>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
611 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 12:29:10.69 ID:Y9e4pxHo.net]: >>566
>じゃあ、何が言えるか書いてみて！ｗ；ｐ）
愚問
選択公理の要否は命題毎の各論
612 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 12:40:21.50 ID:Y9e4pxHo.net]: >>566
>x0,x1,x2・・・ ,x なる加算無限長の集積列が作れて
xの左隣の項は何？

>>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ；ｐ）
「ABC予想を証明した」と言ったら証明したことになると？
613 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 14:16:28.69 ID:BCvEAUed.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>567
>選択公理の要否は命題毎の各論

おっさん
某私大数学科修士を鼻にかけて
基礎論自慢をして
弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”と呼ばれるも
その実、大学１年の基礎論から詰んでいたってこと？？ｗ；ｐ）
敵前逃亡かよ
口先の言い訳だけ、一人前

>>x0,x1,x2・・・ ,x なる加算無限長の集積列が作れて
>xの左隣の項は何？

アタマ腐ってんのか？ｗ

順序数との一対一対応
0, 1, 2・・・ , ω
　↓↑
x0,x1,x2・・・ ,x

これで
ωの左隣の項は何だって？ｗ；ｐ）
お臍が茶を沸かすなｗｗ

ωは、極限順序数で前者を有しない
だから、ωのすぐ左隣の項は ”無し”！！！！ｗ；ｐ）
知らなかったんだｗｗｗｗ
さすが、大学１年の基礎論から詰んでいた男だ！ｗ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。

例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。

順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
(引用終り)

追伸
>>568
”>>>564は、テンプレ>>10に入れたし、勝負ありでしょ？ｗ；ｐ）
「ABC予想を証明した」と言ったら証明したことになると？”

もうお前との論争は不要だよｗ
みんな、どっちが正しいか分かっているだろうさｗｗｗ
614 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 14:20:58.23 ID:Y9e4pxHo.net]: >>569
>x0,x1,x2・・・ ,x なる加算無限長の集積列が作れて
>ωのすぐ左隣の項は ”無し”
矛盾ｗ
615 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 14:23:20.69 ID:Y9e4pxHo.net]: >>569
>もうお前との論争は不要だよｗ
>みんな、どっちが正しいか分かっているだろうさｗｗｗ
みんな？
『{}∈{{{}}} は真』が正しいって誰が言ってるの？
616 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 15:13:58.53 ID:BCvEAUed.net]: >>526 追加
(引用開始)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第13章整列集合
定理13.18 (超限帰納法)
略す
ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである
また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる
たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある
これを再帰的定義または帰納的定義という
ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う
(引用終り)

下記の近藤友祐集合論ノート0003
「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」
が参考になるだろう

なお、近藤友祐氏は、神戸大学工学部出身らしい
だれか、「工学部では、数学の難しいことを教えないだろう」とか、テメエのレベルも省みず宣うやつがいるが
だれが見ても、おサルより>>7-10 近藤友祐氏のレベルが上でしょｗ；ｐ）

(参考)
https://elecello.com/
近藤友祐 2014 年神戸大学工学部電気電子工学科入学
（2011 年 11 月 03 日第 12 回日本数学コンクール論文賞銀賞受賞
　神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり略していました）
https://elecello.com/doc/set/set0003.pdf
集合論ノート0003
整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法
近藤友祐初稿: 2017/09/05

整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる．

例えば，ONは整列クラスゆえに整礎クラスだから，ON上の超限帰納法や超限再帰法が正当化される．また，メタ数学的な注意を払った上で，整礎集合や整列集合上の超限帰納法や超限再帰法も正当化される．

整礎クラスに対する超限帰納法の証明の中で，推移的閉包を構成する．この構成は，自然数上の再帰によって行われる．超限再帰法を根拠づけるのに再帰を用いるのは循環論法ではないか？と思われるが，事前に順序数論を展開し，自然数全体を有限順序数全体として定義しておくと，の上で帰納法，再帰法が使えることがわかる．
617 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 16:36:56.23 ID:BCvEAUed.net]: >>572
>近藤友祐氏は、神戸大学工学部出身らしい
>だれか、「工学部では、数学の難しいことを教えないだろう」とか、テメエのレベルも省みず宣うやつがいるが
>だれが見ても、おサルより>>7-10 近藤友祐氏のレベルが上でしょｗ；ｐ）

こんな優秀な人たちと、自分を比べるつもりはないが
いまどき、学部数学科に行かなくとも、数学で優秀な人はたくさんいるよ

例えば
武田秀一郎氏：東京理科大機械工学卒で、アメリカの大学修士から、いま大阪大学数学 Associate Professor
渕野昌氏：早稲田化学科卒の後、同数学科に学士入学して、後ベルリン自由大学へ（学部数学科１～２年は飛ばしてねｗ）
山下真由子氏：工学部計数工学科へ進学する ”4年次に進級せず修士課程への飛び入学”（つまりは、数学科学部の経験なしｗｗｗ）
望月拓郎氏：1994年（平成6年）に理学部（物理？）３年から数学修士に飛び入学（多分数学科学部の経験なし）

数学科学部で教えてもらってないから「こんなこと知らないだろう・・、理解できていないだろう」と言うが
なぜか昔から知ってますｗ。”おまえは、理解できていない”とかそれ倒錯でしょｗ。だれが理解できてないのかなぁ～！ｗ；ｐ）

(参考)
sites.google.com/view/stakeda
武田秀一郎 Associate Professor
Department of Mathematics Osaka University
Education
Ph.D Mathematics,University of Pennsylvania,2006
M.A. Mathematics, San Francisco State University,2001
M.A. Philosophy, San Francisco State University,2000
B.E. Engineering, Science University of Tokyo,1997

researchmap.jp/read0078210/education
渕野昌
1979年4月-1984年3月Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathemtatik(ベルリン自由大学)
1977年4月-1979年3月早稲田大学, 理工学部, 数学科
618 名前： 1973年4月-1977年3月同, 化学科 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%B1%E4%B8%8B%E7%9C%9F%E7%94%B1%E5%AD%90 山下真由子 人物 桜蔭中学校を卒業して桜蔭高等学校から通信制東京都立新宿山吹高等学校へ編入学し、在学中に第54回国際数学オリンピックコロンビア大会日本代表選手として銀メダルを獲得する 2014年に東京大学教養学部理科一類へ入学し、工学部計数工学科へ進学するも、4年次に進級せず修士課程への飛び入学のために退学する 2017年に大学院数理科学研究科数理科学専攻修士課程へ入学し、2019年に博士課程へ進学する。2019年8月31日に5か月で博士課程を退学し、9月1日付で京都大学数理解析研究所に採用されて助教[6]となる。2022年に論文博士制度で東京大学博士（数理科学）を修得する ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9B%E6%9C%88%E6%8B%93%E9%83%8E 望月拓郎（1972年-）は、日本の数学者 来歴 1972年（昭和47年）生まれ 京都大学に進学した[1]。理学部にて学んでいたが[1]、在学中にトポロジーの本を読み、「計算で答えを出す高校までの数学からガラッと変わった」と述懐している 大学院の理学研究科に飛び入学で進学するため、1994年（平成6年）に理学部を中途退学した 1996年（平成8年）、京都大学の大学院における修士課程を修了した それに伴い、修士（理学）の学位を取得した []: [ここ壊れてます]
619 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 18:01:46.14 ID:BCvEAUed.net]: >>558 補足
(引用開始)
>　それ、論点先取
>　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
そうかも
いま、基礎論の教科書を書いているとする
そうすると、整列可能定理の証明前に、任意集合Aがなんらかの濃度を持つという
集合の濃度の章（or 節）を、すでに書いているかどうか（書けるかどうか）
(引用終り)

ふと思いついたが
　>>404より
海賊版サイトより（.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
冒頭
”Proof. Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite
one-to-one sequence｛ aα : α < θ ｝that enumerates A .
と始まり途中はほぼ上記と同じ（記法が少し異なっている）
最後 ”Clearly, ｛aα : α <θ｝ enumerates A.”となっている
（enumerate ＝列挙また、α は順序数の添え字。α <θ は、ある順序数θ未満のα という意味だろう）

これで、全752ページだが目次を見ると下記なので
Theorem 5.1より前に ”2. Ordinal Numbers”と ”3. Cardinal Numbers”が終わっている
が、よく読むと（実はななめ読みｗ）上記の２つの章は、ガチガチのZFではなく
カントールなどの古典的な集合論の議論中心だった；ｐ）
５章でまた、”Cardinal Arithmetic.”を取り上げている
ともかく、T Jech の内心では、”of order type sup{α∣aα is defined}”の部分は、
テキストとしてそれなりに納得できているのかもしれない；ｐ）

　記
Part I. Basic Set Theory
1. Axioms of Set Theory
Axioms of Zermelo-Praenkel. Why Axiomatic Set Theory? Language of Set
Theory, Formulas. Classes. Extensionality. Pairing. Separation Schema.
Union. Power Set. Infinity. Replacement Schema. Ex
620 名前：ercises. Historical Notes. 2. Ordinal Numbers Linear and Partial Ordering. Well-Ordering. Ordinal Numbers. Induction and Recursion. Ordinal Arithmetic. Well-Founded Relations. Exercises. Historical Notes. 3. Cardinal Numbers Cardinality. Alephs. The Canonical Well-Ordering of a x o. Cofinality. Ex ercises. Historical Notes. 4. Real Numbers The Cardinality of the Continuum. The Ordering of R. Suslin’s Problem. The Topology of the Real Line. Borel Sets. Lebesgue Measure. The Baire Space. Polish Spaces. Exercises. Historical Notes. つづく []: [ここ壊れてます]
621 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 18:02:18.46 ID:BCvEAUed.net]: つづき

5. The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic
The Axiom of Choice. Using the Axiom of Choice in Mathematics. The Count
able Axiom of Choice. Cardinal Arithmetic. Infinite Sums and Products. The
Continuum Function. Cardinal Exponentiation. The Singular Cardinal Hy
pothesis. Exercises. Historical Notes.

6. The Axiom of Regularity
The Cumulative Hierarchy of Sets. G-Induction. Well-Founded Relations. The
Bernays-Godel Axiomatic Set Theory. Exercises. Historical Notes.

7. Filters, Ultrafilters and Boolean Algebras
Filters and Ultrafilters. Ultrafilters on cj. /^-Complete Filters and Ideals.
Boolean Algebras. Ideals and Filters on Boolean Algebras. Complete Boolean
Algebras. Complete and Regular Subalgebras. Saturation. Distributivity of
Complete Boolean Algebras. Exercises. Historical Notes.
(引用終り)
以上
622 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/24(金) 18:23:12.69 ID:BaT80re5.net]: 全く、世の中には余計な法律を制定して、
された側にとっては生活上余計な時間を奪う手続きを踏ませる
本来しなくてもいいような余計なことで
コンピュータを使っているバカな人間がいて呆れた
何で銀行口座を10年使わないと休眠口座になって使えなくなるんだよ
少なくとも政界の人間はこれだから…
623 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/24(金) 19:53:14.90 ID:U1RMCmJs.net]: >>576
スレ主です
これは、おっちゃんかな？
もしおっちゃんなら
お元気そうでなによりです。
これからも、よろしくね
624 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/24(金) 20:19:29.50 ID:U1RMCmJs.net]: >>346
>fuchino.ddo.jp/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
>実数の集合論の基礎の基礎　渕野昌(Saka´ eFuchino)
>2002年8月24日軽井沢にて起稿

関連文献二つ貼っておきます

(参考)
fuchino.ddo.jp/notes/ch.pdf
連続体仮説と数学渕野昌(Saka´e Fuchino)
(21.01.05(火), 23.12.13(水) に付記を補筆)

fuchino.ddo.jp/misc/set-theory.pdf
集合論は矛盾する？！1渕野昌
1『数学セミナー』2002年2月号，52–56 掲載．
ただし，本稿は『数学セミナー』掲載予定のテキストからは削除されたリマークや，その後の補筆を，幾つか含むものとなっている．[last updated on: March 21, 2024]
625 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 05:07:59.18 ID:AIirwIxg.net]: >>572
>整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する

Jechの証明では
a(α)＝{a(ξ)∣ξ<α}　ではなく
a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α})　なんですがね
aの定義域は順序数でいいけど
fの定義域は？　Aの空でない部分集合でしょ
fはAの空でない部分集合から要素を選ぶ関数で
この関数の存在を選択公理で保証してるんでしょ
626 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 05:13:04.05 ID:AIirwIxg.net]: >>574
>いま、基礎論の教科書を書いているとすると、
>整列可能定理の証明前に、
>任意集合Aがなんらかの濃度を持つ
>という集合の濃度の章（or 節）を、
>すでに書いているかどうか（書けるかどうか）

？
順序数の全体が集合でないことを証明しておけば
整列定理で上限がない場合
Aが順序数の全体を”部分”として含むので
Aが集合であることに矛盾するから上限がある
といえるだろ
627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/25(土) 06:13:38.71 ID:vfu59oac.net]: >>577

>>576は私(おっちゃん)ではない
恐らくAIによるレスだろう
628 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 08:29:59.60 ID:vKwDmbNO.net]: >>581
おっちゃん、どうも
スレ主です
了解です
お元気そうでなによりです。
今後ともどうかよろしくお願いいたします。
629 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 09:00:51.33 ID:vKwDmbNO.net]: >>580
うーん

(引用開始)
>>557 ID:knZwyXgJ さん
>>553
> いま Jechの証明の任意集合Aが、ある集合の濃度を持つとしよう（ZFC内ではね）
　それ、論点先取
　問われてるのは、まさにある集合の濃度を持つかどうかだから
> そうすると、その濃度から決まる順序数の上限が存在することが言えるだろう
> それは、任意集合Aの冪集合の濃度を超えない
> つまり、任意集合Aの冪集合の濃度によって押えられる
> 集合Aが持ちうる順序数の上限があるのでは？
　逆に上限がない場合、それは集合でない、と言えればいいんじゃね？
(引用終り)

だった
つまり、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem >>404
(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9^ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.

あるいは
海賊版のThomas Jechの証明を転記>>464
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A.

ここで
order type sup{α∣aα is defined}
と
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
とが対応して、同じ意味だと思う

いまの議論で、選択公理→整列可能定理の証明中で
”order type sup{α∣aα is defined}”を使って良いかどうか？

整理すると
ZFCで、任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えて
一方で、順序数の理論体系が出来ていれば
集合Aの濃度は、冪集合P(A)の濃度を超えないから
”order type sup{α∣aα is defined}”が言える（なにか上限があるってこと）
但し、整列可能定理を陽に使っていないこと

それ以外にも、
任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
”order type sup{α∣aα is defined}”がなければ、それはクラスでしょ？（背理法）
も考えられる
630 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 09:19:47.09 ID:AIirwIxg.net]: >>583
> 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
　それ論点先取
　集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので
　sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは
　整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ
　集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく
631 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 09:24:30.11 ID:vKwDmbNO.net]: >>579
まず
(引用開始)>>572より
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_13.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第13章整列集合
定理13.18 (超限帰納法)
略す
ふつうの数学的帰納法は超限帰納法の整列集合Xとして自然数Nをとったものである
また超限帰納法は証明だけではなく定義にも用いられる
たとえば整列集合を定義域とする写像f(x)を{f(y)|y≺x}を用いて定義する手法がある
これを再帰的定義または帰納的定義という
ここで正確な主張を述べるのは難しいが X=Nの場合は第15.2節で扱う

下記の近藤友祐集合論ノート0003
「整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法」
が参考になるだろう
elecello.com/
近藤友祐 2014 年神戸大学工学部電気電子工学科入学
（2011 年 11 月 03 日第 12 回日本数学コンクール論文賞銀賞受賞
　神戸大学数学研究会 POMB で代表を務めたり略していました）
elecello.com/doc/set/set0003.pdf
集合論ノート0003
整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法
近藤友祐初稿: 2017/09/05
整礎クラス上の超限帰納法と超限再帰法について述べる．
(引用終り)

さて
a(α)＝f({a(ξ)∣ξ<α})　
で Jechの証明 >>583で
任意集合A a∈A で
α=0, a(0) ← A∖Φ
α=1, a(1) ← A∖{aξ∣ξ<1}
α=2, a(2) ← A∖{aξ∣ξ<2}
　・
　・
とやって
a(0)≠a(1)≠a(2)・・となる

これで、Aの要素 a(i) 達に、順序数の番号付けができて
これに、最後があれば良い（”order type sup{α∣aα is defined}”>>583）
そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと

そして、上記の”←”の部分が、
選択関数であってそれは選択公理で保証されるってこと
632 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 09:43:34.98 ID:AIirwIxg.net]: >>585
選択関数の定義域は？
「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね
だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから
あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で
しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ
選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない

だから、Jechの証明は可算選択公理では使えない
（ちなみに彌永の「数の体系（上）」岩波新書を読んでたら
　選択公理による整列定理の証明で同様の説明があったから
　元はErnst Zermeloの証明だな）
633 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 10:30:40.33 ID:Gj5NB1tI.net]: >>585
>これに、最後があれば良い
有ることはどう示すつもり？

>そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと
分かって言ってる？
634 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 11:39:29.19 ID:vKwDmbNO.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>586
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？

だれもそんなこと書いてないｗ
指数関数の定義域 e^x=
635 名前：exp(x) 指数関数の定義域は、複素数全体 C である 複素数Cから実数Rと考えることはできる？ 面白いね 独自説でしょ？ｗ；ｐ） >>587 >>これに、最後があれば良い >有ることはどう示すつもり？ あなたは Jechに聞きなさいよｗ その上で、各人がおのおの納得すればいいことだ そこはクリティカルじゃないぞｗ；ｐ） いろんな考え方があるでしょｗｗｗ >>そうすれば、整列順序をAに導入できたってこと >分かって言ってる？ お前がな！ｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
636 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:43:56.26 ID:Gj5NB1tI.net]: >>588
ただ聞いただけなのに何をそんなにイラついてんの？
それで結局答えず逃げてるしｗ
637 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:45:24.81 ID:Gj5NB1tI.net]: >>588
要するに誰かがこう言ってるよと言ってるだけでその中身はぜんぜん理解できてないんだね
ならそう言えばいいのに　何を誤魔化そうとしているのか
638 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 11:48:23.90 ID:H1/C2Rtq.net]: 理解しているかどうかは問題ではないのだから
誤魔化すべき何物も存在しない
639 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 11:50:26.07 ID:vKwDmbNO.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>584
(引用開始)
>>583
> 任意集合Aが、必ず濃度を持つということが言えれば
　それ論点先取
　集合が濃度を持つ、というために整列定理を使ってるので
　sup{α∣aα is defined}が存在しなければ集合ではない、というのは
　整列定理と無関係に順序数の全体が順序数でない、ということから言えるだろ
　集合の全体が集合でない、というのが整列定理を用いずにいえるのと同じく
(引用終り)

それ、Jechに言えよｗ；ｐ）
あるいは、てめえで「Jech 間違っている」論文書いて投稿しろよ！ｗ

Jechの教科書は、随分ながく
定評ある教科書として、その評価が定着しているよｗｗｗ　；ｐ）

アホ晒すだけと思うよ
640 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 12:04:59.24 ID:Gj5NB1tI.net]: >>592
>Jechの教科書は、随分ながく
>定評ある教科書として、その評価が定着しているよｗｗｗ　；ｐ）
いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言
641 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 13:11:40.55 ID:vKwDmbNO.net]: >>593
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

　>>404より
海賊版サイトより（.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は各人の責任でお願いいたします）
Set Theory
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)

いま手元の海賊版
”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.”
で、初版が 1978年とある

随分いろんな人の目に触れたと思うよ
問題点は、殆ど出尽くしじゃない？（＾＾

そして、”Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)”
この ”5.The Axiom of Choice and Cardinal Arithmetic ”
より前に

”2.Ordinal Numbers”と”3.Cardinal Numbers”と
二つの章を先行しておいてある

Jech氏に『論点先取りで、順番間違っています！』って、手紙書きなよｗ
きっと喜んでくれるだろうぜｗｗ；ｐ）
642 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 13:37:35.65 ID:Gj5NB1tI.net]: >>594
>随分いろんな人の目に触れたと思うよ
>問題点は、殆ど出尽くしじゃない？（＾＾
いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言
643 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 13:57:36.04 ID:vKwDmbNO.net]: >>593
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>595
(引用開始)
>随分いろんな人の目に触れたと思うよ
>問題点は、殆ど出尽くしじゃない？（＾＾
いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言
(引用終り)

まあ、経験則だな
よくある話だが
数学書で、初版のあと
改訂版までの間に
正誤表が、アップされる
（後で正誤表が出るのに、何時間も証明が分らない・・・と悩んだ人もいるかもね；ｐ）

そして、改訂版では
正誤表が改訂に反映されるとともに
読者からの意見を入れるとか
時代の進歩を入れて
内容が改訂されるものです

　>>594の
”P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)”
の箇所も同様だろうという推定がはたらくｗ（＾＾

”The Third Millennium Edition, revised and ... 2002.”
で、初版が 1978年, 2nd edition が、1997年

そして、今回の Third Millennium Edition 2002年で
Preface を May 2002として、書いている

ぶどう酒やウィスキーのようなもので
年月で熟成されるものもあるだろう；ｐ）
644 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 14:07:45.53 ID:Gj5NB1tI.net]: >>596
>まあ、経験則だな
いかにも自分の頭で考えられない馬鹿が言いそうな発言
645 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 15:14:25.13 ID:vKwDmbNO.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

(引用開始)
>>586
選択関数の定義域は？
「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
決して{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}ではないよね
だって、後者の場合aξを定義するのに選択関数使っちゃうから
あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で
しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ
選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない
(引用終り)

＜サルの循環論法＞
1）集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという
（つまり、P(A)の順序数割当に上限がある）
　そうすると、当然集合Aでも、順序数の割当ができるぞ！
2）もし、集合Aに順序数の割当ができないとすると
　当然、P(A)の順序数の割当ができない！！ｗ

必死で、集合Aの順序数の割当に突っかかるサル
アホじゃん！
てめえが、循環論法やってんじゃんか！！ｗ；ｐ）
646 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 16:35:10.99 ID:Gj5NB1tI.net]: >>598
>P(A)の順序数の割当ができない
で引用を否定してるつもり？
意味不明過ぎるんですけど []; [ここ壊れてます]
648 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 16:36:06.39 ID:Gj5NB1tI.net]: ぜんぜん見当はずれのこと言ってない？
引用を間違えたとか？
649 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 17:28:36.17 ID:AIirwIxg.net]: >>598
＜六甲山のサルの藁人形論法＞
>集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという
　六甲山のサルの幻聴
　選択公理を適用する集合族がP(A)‐Φだといったが
　P(A)-Φが整列できる、とはいってないし
　Jechの証明はもちろんそうなってない
　サルが勝手に「集合族そのものが整列される」と
　何の根拠もなく思い込んでるだけ
　その思い込みは全く初歩レベルの誤解
>必死で、集合Aの順序数の割当に突っかかるサル
　必死で突っかかってるのは六甲山のサル　貴様だよ
　「集合Aの冪集合P(A)に、順序数の割当ができるという」ってなんじゃそりゃ
　ｷﾞｬﾊﾊﾊﾊﾊﾊ!!!
650 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 18:07:29.02 ID:AIirwIxg.net]: Aが有限集合{1,2,3}だとしよう
Jechの証明の方法ではP(A)-{}に対して選択関数fが存在する
例えば
f({1,2,3})=1
f₍{1,2})=1
f({2,3})=2
f({1,3})=1
f({1})=1
f({2})=2
f({3})=3
f({})=undefined

上記のfでは結果としてできるAの整列は
f({1,2,3})=1
f({2,3})=2
f({3})=3

しかし、別に
f₍{1,2,3})=3
でもいいわけだから、その場合には
f({1,2,3})=3
f({1,2})=1
f({2})=2
でもいいし、さらに
f({1,2})=2
でもいいわけだから、その場合は
f({1,2,3})=3
f({1,2})=2
f({1})=1
になる

P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう
もちろん、1対1対応はしない筈である
651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/25(土) 19:15:10.93 ID:X5Ca4Lbk.net]: >>602
>P(A)-Φの可能な選択関数に対して得られるAの整列を考えてみてもおもろしいだろう

選択函数fがAの同じ整列関係を定めるとき同値とすることで、選択函数全体の集合に同値関係が入る。
各同値類には、各整列関係から定まる「特別な選択函数」が一つだけ含まれている。
652 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 19:24:01.66 ID:vKwDmbNO.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>598 補足
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　注）＊
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
注）＊
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
(引用終り)

1）このJech氏証明のキモは、集合Aから要素を
　a0,a1,a2,・・と取り出して
　そのときの選択関数の入力の集合が
　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
　選択関数f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα（つまりaα= f(A∖{aξ∣ξ<α})のこと）
　と書ける
2）これは、選択公理により、選択関数fの存在が保証されているから、許される
　ここで、要素 a0,a1,a2,・・達は、順序数 0,1,2,・・による添え字付けが出来ているのです
　この順序数添え字の整列を使って、 a0,a1,a2,・・達に整列順序が導入できている
　また、同時に要素 a0,a1,a2,・・の整列も得られている
　これぞ、選択公理→整列可能定理の証明だってこと
3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

では、Aの冪集合P(A)の整列で同じことをやると
P(A)で”sup{α∣aα is defined}”の相当�
653 名前：ｷる部分が どうなるかが問題となる 同じように考えると、P(A)の冪集合P(P(A))を考えるべしとなって 繰返しが起きる。これはまずい 集合Aの整列順序のために、べき集合P(A)の整列順序を考えるべき そうすると、そのまた冪集合P(P(A))を考えるべき・・ と無限後退してしまう それ、面白すぎじゃね？ だから、A自身の整列可能性と Aの冪集合P(A)の整列可能性は、切り離すのが良さそうだね そういう結論ですなｗ []: [ここ壊れてます]
654 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 19:57:34.19 ID:Gj5NB1tI.net]: >>604
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
>　証明が終わる■
ゼロ点
君supって何か分かってる？
655 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/25(土) 20:04:24.66 ID:vKwDmbNO.net]: >>604 補足
>3）sup{α∣aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
　証明が終わる■

1）集合の濃度については、下記のja.wikipediaの通り
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
3）いま、>>604のように、選択公理→整列可能定理の証明だけ考えるならば
　ノイマン流でも可だが
　逆の整列可能定理→選択公理において
　「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」に、選択公理が必要だとなると
　循環論法の可能性がある*注
4）スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　ならば、「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」として
　整列可能定理→選択公理の証明に使っても問題なし■
*注：『集合族の和集合において、その濃度が決まり、順序数の上限が決まる』とする部分が
　必要であるならば
　スコットのトリックを使う方がスマート

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
濃度 (数学)
濃度（英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。

厳密な定義
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 X の濃度の最も古い定義は、X と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス [X] としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、X が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、X を空でない集合としたとき、集合 S に {S} × X を対応させる写像を考えることによって、宇宙から [X] への単射が存在し、サイズの限界（英語版）より、[X] は真のクラスである。

フォン・ノイマンの割り当て
選択公理を仮定すると集合 X に対し濃度 | X | を | X | := min{α ∈ ON : |α| = | X | } と定義できる。
これをフォン・ノイマンの割り当てという。

スコットのトリック
正則性公理の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法であるスコットのトリックを使うと、整列可能とは限らない集合 X に濃度 | X | を以下のように割り当てることができる（詳しくはスコットのトリックを参照）。
| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B に対し「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)} 」
どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。
656 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:09:57.55 ID:Gj5NB1tI.net]: >>606
>「集合の濃度から、順序数の上限が決まる
ゼロ点。
順序数ωとω+1はどちらも可算濃度だが、ω≠ω1。
君上限とは何か分かってないでしょ。
657 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:11:49.50 ID:Gj5NB1tI.net]: ω≠ω+1
658 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:37:44.20 ID:AIirwIxg.net]: ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな
659 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 20:40:41.47 ID:AIirwIxg.net]: >>609で示したモデルはもちろん箱入り無数目も不成立である
尻尾同値類の代表を選択する関数が存在しないから

注）無限列を例えば有理数の無限小数展開に制限するとかなら
　　選択公理なしに代表が選べるから箱入り無数目はもちろん成立する
660 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/25(土) 22:35:32.30 ID:Gj5NB1tI.net]: >>606
上限とは上界全体の集合の最小元のこと。
よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。
一方|P(A)|>|A|だから、
>3）sup{α|aα is defined}の部分は、集合Aの濃度から決まる上限　Aの冪集合P(A)の濃度を超えないので
>　証明が終わる■
は大間違い。
661 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/25(土) 23:26:07.16 ID:vKwDmbNO.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>606 補足
(引用開始)
2）つまり、集合の濃度の割り当てには
　ノイマン流（選択公理を仮定する）と
　スコットのトリック（選択公理なしで、正則性公理を使う）
　がある
（これで「集合の濃度から、順序数の上限が決まる」）
(引用終り)

補足しておく
1）いま、簡単に自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
　一番単純には、0,1,2,3,4,・・・と普通の大小の順にすれば良い
　このとき、列長さはωになる
　ところが、0,2,4,・・・,1,3,5,・・・と
　偶数を先にして、奇数をその後にすれば、列長さはω+ω=ω・2 になる
　もし、mod m m>2 で同じようにすると、列長さはω・m になる
2）そして、mはいくらでも増やせるが、いくら増やしても
　最小の非可算順序数 ω1（＝アレフ・ワン ℵ1）を超えることはできない
　到達することもない
3）自然数Nの冪集合P(N)=2^N の濃度は、アレフ・ワン ℵ1である
（自然数Nの濃度は、アレフ・ゼロℵ0）
　これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして
　それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく
　また、整列の長さも異なるが、その列の長さは一つ上のアレフ numberを超えることはない
　到達することもない■

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
冪集合の濃度
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい（カントールの定理）。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%83%95%E6%95%B0
アレフ数（英: aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。
自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート ℵ0（aleph-naught; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン ℵ1, 次はアレフ・ツー ℵ2 と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 α に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 ℵα を定義することができる。

ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。このとき、空でない順序数の集合が最大元を持たないならば、その和集合は常に極限順序数になる[1]。フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる。
可算順序数を超えて、最小の非可算順序数 ω1 は、これもまた極限順序数となる。同様に推し進めれば、以下のような系列（以下の列では項を追うごとに濃度も増大する）:
ω2,ω3,…,ωω,ωω+1,…,ωωω,…
が得られる。
662 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:49:18.27 ID:b1A8rVdb.net]: >>612
>補足しておく
無駄。
663 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:49:58.12 ID:b1A8rVdb.net]: なぜなら
>これを一般化すると、無限集合Aがなんらかのアレフ number であったとして
>それを、整列させるやり方は、上記の自然数Nの例示と同様に、一つではなく
>また、整列の長さも異なるが、その列の長さは一つ上のアレフ numberを超えることはない
>到達することもない
がトンチンカンだから。
664 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 00:50:10.44 ID:b1A8rVdb.net]: なぜなら重要なのは
>sup{α|aα is defined}
であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。
665 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 08:41:01.73 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>615
>なぜなら重要なのは
>>sup{α|aα is defined}
>であって、aαの並び方は選択関数で一意に決まり、他の並び方を考える必要がまったく無いから。

あたま腐ってない？
　>>612に例示したように
自然数N={0,1,2,3,4,・・・}を整列させるとき
可能な列の最小長さは ωで
あと任意 ω・m (m>2の自然数)と出来て
ω・ω も可能なんだろうね
だが、非可算のω1には到達できない
並びは、一意ではない。>>583 "as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)
だよ

>>611
>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。

??? なんだそれ？

>>609
>ところでZFでは最小の無限順序数ωのべき集合P(ω)が整列不能なモデルが存在する
>（もちろん、このようなモデルでは選択公理は成立しない）
>CantorやZermeloがこれを聞いたら発狂するだろうな

ZFで可算選択公理さえ採用しなければ、当然だろ？
そもそも、可算選択公理なしでは可算集合Aさえ整列できない
Cantorは、暗黙に可算選択公理を前提としていたというが、かれの現役時代は選択公理を知らない
しかし、Zermeloが選択公理を導入したから、Zermeloはすぐ理解するだろう

>>586
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？

なんだそりゃ？
選択関数が分ってない？
あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だねとかまだかわいいよ
しかし、30年前に数学科修士を卒業してよってあれから30年経つ人がいうか？
「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ
それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ；ｐ）
やれやれ
666 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:09:13.10 ID:b1A8rVdb.net]: >>616
>あたま腐ってない？
それが君

>並びは、一意ではない。
選択関数で並び
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
が一意に定まる。
この並びが整列順序であることを示そうとしているのだから、他の並びが存在することを言ってもトンチンカンなだけ。分る？

>"as desired" (en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theoremより)だよ
君、まったく読めてないね。

Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}.
すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。

(A,<)が整列順序であることを示そうとしている文脈において、望み通り（"as desired"）整列順序であると言ってるんだよ。分る？
667 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:22:22.84 ID:b1A8rVdb.net]: >>616
>>選択関数の定義域は？
>>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
>なんだそりゃ？
なんだそりゃじゃないよｗ
集合族P(A)-Φに対して選択公理を適用（すなわち選択関数の定義域はP(A)-Φ）しなけりゃ
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
が得られないだろｗ

>選択関数が分ってない？
それが君
668 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 10:36:17.51 ID:57hfZFiX.net]: >>616 蛇足
(引用開始)
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
(引用終り)

選択公理は、下記では任意の族Ａでしょ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
定義
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる。あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族Ａに対して写像
f:Ａ → ∪A:=∪A∈Ａ A
であって任意の
A∈Ａに対し
f(A)∈Aなるものが存在する、と写像を用いて言い換えることが出来る
（ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。
669 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:46:19.69 ID:b1A8rVdb.net]: >>616
>>よって|sup{α|aα is defined}|=|A|でなければならない。
>??? なんだそれ？
なんだそれじゃないよｗ
sup{α|aα is defined}の特定によって

Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β(in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α|aα is defined}.
すると「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」で定義されるA上の順序関係<は、望み通りAの整列順序であり、sup{α|aα is defined}順序型のものである。

が言えるんだよ。
sup{α|aα is defined}が特定されなきゃ、「α<β（順序数の通常の整列順序において）のときそのときのみaα<aβ」による(A,<)の定義がwell-definedと言えんだろ？

「|P(A)|>|A|だから上限がある」とか言ってる君がまるで分かってないだけ。
670 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 10:49:53.29 ID:b1A8rVdb.net]: >>619
やはり何も分かってないｗ
任意の族（ただし空でない集合の空でない族に限る）に適用できるからP(A)-Φにも適用できて、その結果として
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
が得られるんだよｗ

君、もう発言しなくていいよ。まるで分かってない人が発言してもゴミレスにしかならないから。
671 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 11:14:29.98 ID:57hfZFiX.net]: >>619 補足

ja.wikipediaでは、Ａばかり出てきて分りにくいので
en.wikipediaより下記ご参照

なお、下記のja.wikipedia可算選択公理と従属選択公理とを合わせると
要するに、取り扱える
672 名前：集合族が非可算ならばフルパワー選択公理 可算の範囲で、単純なのが可算選択公理 さらに、”従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということ”(下記) で、平たくいえば、フルパワー選択公理の定義域で集合族の添え字を 非可算から、可算に制限すると可算選択公理か従属選択公理になる ということ 大は小を兼ねるで、フルパワー選択公理は、可算選択公理が出来ること、従属選択公理できることは 全てできる。 繰り返すが、定義域の集合族の添え字を可算に制限すると、可算選択公理か従属選択公理になる 当たり前だが、関数の定義域は都合によりいろいろ制限してよい また、必要により矛盾なく拡張できるならば、そうして良い （あたかも、指数関数e^x＝exp(x) は、歴史的には自然数が考えられ、その後負のベキが考えられ、有理数のベキに拡大され、そして実数Rから複素数Cに定義域は拡張された。関数の定義域とは、そういうものよ；ｐ） (参考) en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice Axiom of choice Statement A choice function (also called selector or selection) is a function f, defined on a collection X of nonempty sets, such that for every set A in X, f(A) is an element of A. With this concept, the axiom can be stated: Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set. Formally, this may be expressed as follows: ∀X[Φ not∈X ⟹ ∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)]. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理の変種 選択公理には様々な変種が存在する 可算選択公理 従属選択公理 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 従属選択公理DCとは、選択公理の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である 形式的な言明 従属選択公理とは、次の言明である: 任意の空でない集合 X とその上の全域二項関係 R に対して、列(xn)n∈N を全ての n∈N. に対して xnR xn+1 であるように取れる 使用例 従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである。 公理 DC は AC の断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である []: [ここ壊れてます]
673 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 11:23:50.74 ID:b1A8rVdb.net]: またトンチンカンなコピペか
まったくナンセンス
674 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 11:40:18.00 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

　（>>615より再録）
選択関数が分ってない？
あのさ、数学科の学部1年か2年がいうなら、独創的な発想だねとかまだかわいいよ
しかし、30年前に数学科修士を卒業してよってあれから30年経つ人がいうか？
「あなた、全く数学の才能ないね？！」でしょ
それだと、大学数学科行っても、チンプンカンプンで終わったろうさ；ｐ）
やれやれ
675 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 11:44:22.28 ID:b1A8rVdb.net]: 言葉が分からないようだね
サルだから仕方無いか
676 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 12:20:53.15 ID:b1A8rVdb.net]: ていうか公開処刑って何だよｗ
なんで自分が処刑されるのを公開したがるの？　馬鹿なの？
677 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 12:52:26.40 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>586 戻る
>選択関数の定義域は？
>「Aの空でない部分集合全体」つまりP(A)-Φだよね？
>あくまで{A,A∖{aξ∣ξ<1},A∖{aξ∣ξ<2},…}はP(A)-Φの部分集合で
>しかも、選択公理と超限帰納法の適用の結果として分かるだけ
>選択公理に先立って、定義域として示せるわけではない

ふっふ、ほっほ

1）いま、選択公理で整列したい集合Aとして、有理数Qを取ろう
（空集合の扱いが面倒なので、空集合Φ=0として、Q＼Φを扱う）
　A=Q＼Φね。さて、「Aの空でない部分集合全体」を考えるべしだとすると
　Qの空でない部分集合全体 P(Q)=2^Qで、2^Q＼Φを考えることになる
2）よく知られているように、非可算の実数R=2^N (Nは自然数)で
　明らかに 2^Q⊃2^N⊃Rです（⊃は等号を許す）
3）ということは、2^Q＼Φ ⊃ R＼Φ であって
　有理数Qの整列のために、まず 2^Q＼Φを考えるべしとすると
　それは R＼Φを含むから、�
678 名前：ﾜず非可算の実数Rになんらかの 順序構造を考えるべしとなる その順序は、通常の大小＜であってはならない！ 通常の大小＜は、全順序を与えるが、QやR中では決して整列順序を与えない！ そのような通常の大小＜ではない、なんらかの順序を実数Rで考える必要がある・・？ 結論として、そんな面倒なことやるならば Jechを含めた多くの数学者がやっているように 直接有理数Qの整列を考える方が簡単でしょ？；ｐ） 同様に、可算集合Aを考えるとき、冪集合 2^A を考えるなんてバカはやめて 直接 Aの整列を考える方が、賢そうだよｗｗｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
679 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:05:11.53 ID:b1A8rVdb.net]: >>627
何をアホなこと言ってるのやら

考えてるのは言わずもがなAの順序関係であって、2^Aのそれではない。
一方、
A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

ほんとに何にも分かってないんだね君は
なんでそんなに公開処刑されたいの？
680 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:13:43.56 ID:b1A8rVdb.net]: >>627
もういいから黙りなよ君
公開処刑されるのが趣味なの？　君はドMかい？
681 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 13:34:27.57 ID:odIYHPQg.net]: >>628
＞１．考えてるのはAの順序関係であって、2^Aのそれではない。
＞２．一方、A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
＞を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

この2点に尽きる
選択関数の定義域がP(A)-Φだからといって、
即P(A)-Φの整列と脊髄反射するのは思考力ゼロのサル
682 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 14:09:16.80 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・
>を得るにはP(A)-Φを定義域とする選択関数が必要。

妄想沸いてるよｗ；ｐ）
下記 Jechの証明を2つ再録しよう

1）
　>>486より再度転記しよう
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

2）
また
(再掲)>>504より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
つまり、関数で書くと
・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα

"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
妄想沸いてるよｗ；ｐ）
定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}■
683 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:28:24.37 ID:b1A8rVdb.net]: >>631
>"P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"?
うん
>using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
あるいは
>let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A
の通りだよ
君、英文読めないの？
684 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:28:37.59 ID:b1A8rVdb.net]: >どちらも、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) あるいは aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
>つまり、関数で書くと
>・ｆ：A-{aξ:ξ<α} → aα
>・ｆ：A∖{aξ∣ξ<α} → aα
>定義域 A-{aξ:ξ<α} または {aξ∣ξ<α}
君、関数も知らないの？
f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？
君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ

君、呆れるほど分かってないんだね
処刑されるの公開されて楽しいかい？
685 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:47:08.65 ID:b1A8rVdb.net]: >>604
>1）このJech氏証明のキモは、集合Aから要素を
>　a0,a1,a2,・・と取り出して
>　そのときの選択関数の入力の集合が
>　A(=A＼Φ),A＼{a0},A＼{a0,a2},・・,A＼{a0,a2,・・},・・となって
ああ、君ぜんぜん分かってないね

Aの要素 a0,a1,a2,・・をどうやって取り出すつもり？
どうせ答えられないだろうから答えを教えると選択関数を使ってるんだよ
a0=f(A)
a1=f(A＼{a0})
a2=f(A＼{a0,a1})
・・・
ってね。

それが可能なのは、P(A)-{}に対して選択公理を適用してるから。すなわち選択関数の定義域はP(A)-{}であってAではない。

君、端から分かってないね。それで分かった風に語っちゃったらそりゃ公開処刑されるわ。
686 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 14:55:20.40 ID:odIYHPQg.net]: ◆yH25M02vWFhP　相手を処刑するつもりで書いた言葉が自分を処刑
687 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 15:01:23.05 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>633
>f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？
>君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ
688 名前：ふっふ、ほっほ 何を言っているのか、意味不明ですよ Jech の証明>>631 にイチャモンつけているの？ 『定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反する』？？ それ意味不明ですぅ～！ｗｗ；ｐ） ところで、いまA=R(実数)の整列について Jech の証明を使って、Rを整列させるとするよ そのときに、仮に "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要">>628 ということは、或る意味下記の ”実数全体の集合RからRへの関数全体の集合F”を考えることになるよ 集合Fは、その濃度は連続体の濃度を超えている（下記） なんで実数Rのために連続体の濃度を超えるべき集合2^Rを考えるの？ それで問題が簡単になるならばともかく、何もメリットないでしょ？！！ｗ；ｐ） (参考) nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp/2018-03-31-4 ねこ騙し数学 nemurineko 第１１回　非可算集合　[集合論入門] （２）　関数の濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fの濃度 実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fと実数全体の集合Rとは対等ではない。 （証明終） RからRへの関数全体の集合Fの濃度を関数の濃度という。 実は、 ℵ0＜ℵ＜関数の濃度 という関係がある []: [ここ壊れてます]
689 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/26(日) 15:07:26.99 ID:57hfZFiX.net]: ところで、下記
集合論の形成にみる「直観」の問題
中村大介学習院大学科学哲学46－1（2013）
”2 カントールの創造”
を見つけたので、貼っておきますね
これ非常に興味深い
いま、カントールの原論文に注釈なしで読む気もない（おそらく読む能力もない）
から、下記はありがたい

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj/46/1/46_53/_pdf
科学哲学46－1（2013）
集合論の形成にみる「直観」の問題
一カヴァイエスの立場から－
中村大介学習院大学
(抜粋)
2 カントールの創造
2.1　1881年以前
ここでは再構成の出発点を，ゲオルグ・カントールの1872年の論文「三角
級数論の一定理の拡張について」に定める．タイトルから分かる通り，この時
期，カントールはまだ解析学の領域で仕事をしていた．この論文で彼は1870
年に考察した実関数の三角級数展開
f(x) = 1/2a0+(a1 cosx + b1 sinx)+・・・+(an cos nx +bn cosnx) + ・・・
の一意性の問題を，導集合の概念を導入して再考している．
今，あるｎ次導集合(n∈N)が空集合となるような集合を第(n- 1)種集合
と呼ぶことにすると，カントールは以下が成り立つことを示した．すなわち，
実関数が上の形に三角級数展開されるならば，区間[0,2π]内の，何らかのあ
る第k種集合に属する点を除く全てのxに対して，この展開は一意である．
ここで注意すべきは，導集合を作る手続きほいまだ有限の範囲にとどまっ
ている，ということである．そして，この手続きを有限の範囲を超えて拡張
することが，集合論の形成に大きく貢献することになる．そして，カントー
ルはこの時点で既に，この手続きを一般化することの重要性に気がついてい
たように見える．

この拡張が最初に見られるのはやや時代を空けて2，1879年のことである．
この年から1884年まで，彼は「無限線状点集合について」と題された一連
の論文を執筆する．全六部まであるこの論文は，カントールがいかにして解
析学を超出して超限集合論を形成していくか，その経緯を雄弁に語ってくれ
る．

1879年に発表されたこの第一部で注目すべきことは，1873-1877
年の間に集中的に検討された「濃度」概念とこの集合の類との関係が考察さ
れ始める，ということである．カントールは既にこのとき，自然数全体の集
合の濃度と実数全体の集合（線状連続体）のそれとが異なる，という結果を
得ていた．そこで，集合をボトムアップ式に作りだしていくことで，これら
異なった二つの濃度をもつ集合に至れるかどうかは，彼にとって重要な関心
事であったのである．カントールはこの考察のために，「クラス」と呼ばれる
集合に対する別の区分を導入する．可算集合を全て含むクラスが「第一クラ
ス」，連続区間と全単射対応する集合を全て含むクラスが「第二クラス」とさ
れる
690 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:37:04.08 ID:odIYHPQg.net]: >>636
> ふっふ、ほっほ
> 何を言っているのか、意味不明ですよ

頭悪いな

> Jech の証明にイチャモンつけているの？

いや、可算整列定理は可算選択公理で十分とかいう
キミの連想ゲームを無理やり正当化するための
”チート改変”にイチャモンつけてる

> ところで、いまA=R(実数)の整列について
> Jech の証明を使って、Rを整列させるとするよ

> そのときに、仮に "P(A)-Φを定義域とする選択関数が必要"
> ということは、或る意味下記の
> ”実数全体の集合RからRへの関数全体の集合F”
> を考えることになるよ

「或る意味」という言葉でいい加減なウソ書くのやめてね
この場合の選択関数fは 2^R-Φ　→　R

>集合Fは、その濃度は連続体の濃度を超えている

Fは間違ってるので、2^R-Φに直すと
「集合2^R-Φの濃度は連続体Rの濃度を超えている」

うん、そうだよ　それがどうしたの？

> なんで実数Rのために連続体の濃度を超えるべき集合2^Rを考えるの？
　なんで実数Rのために連続体の濃度を超えるべき集合2^Rを考えちゃいけないの？

> それで問題が簡単になるならばともかく、何もメリットないでしょ？！！
　それで整列できるんだからメリットだらけでしょ
（整列することにメリットがないとかいう"ちゃぶ台返し"は禁止）
691 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:48:53.05 ID:b1A8rVdb.net]: >>638
>うん、そうだよ　それがどうしたの？
わろた
|2^A|>|A|はカントールが証明済み　「それがどうしたの？」に尽きるねｗ　雑談くんまた公開処刑されちゃったねｗ
692 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 15:54:22.60 ID:b1A8rVdb.net]: >>634
>>集合Aから要素を a0,a1,a2,・・と取り出して
>Aの要素 a0,a1,a2,・・をどうやって取り出すつもり？
Aが有限集合なら数学的帰納法で証明できるから選択公理不要。
つまり、P(n)：「(取り出す元が残ってる限り)n元取り出せる」に対して簡単にP(1)、P(n)⇒P(n+1)ともに真であることを示せる。
しかしAが無限集合なら数学的帰納法は使えない。
超限帰納法もダメ。なぜなら、極限順序数λについて ∀n<λ.P(n)⇒P(λ)を証明できないから。（実際選択公理はZFと独立であることが分かっている。）
だから集合Aから要素を a0,a1,a2,・・と取り出すには選択公理が必要。不要と思ってた？　君、選択公理も分かってないんだね。
693 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 16:56:55.89 ID:odIYHPQg.net]: 選択公理を使ってAを整列する方法は
P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fを用いて
A→f(A)
A-{f(A)}→f(A-{f(A)})
A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}=f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})})
…
と続けていき
{f(A),f(A-{f(A)}), f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})})…}=B
として
A-B≠Φならば、
A-B=f(A-B)
A-B-f(A-B)=f(A-B-f(A-B))
…
とさらに続けていくと、
まあいつかは空集合になるので
それでAが整列できる

このとき、P(A)-Φの全ての要素を使うわけではないが
どの要素が使われるか、整列する前にはわからないので
選択公理としては集合族P(A)-Φを使わざるをえない
694 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 17:49:43.97 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

ふっふ、ほっほ

>>638-641
ふーん、ID:odIYHPQg と ID:b1A8rVdb と
箱入り無数目のあほ二人が、揃ったか
ID:b1A8rVdb が、おサルさん>>7-10
ID:odIYHPQg が、おサルの連れ

さて >>641より
(引用開始)
選択公理を使ってAを整列する方法は
P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fを用いて
A→f(A)
A-{f(A)}→f(A-{f(A)})
A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})}=f(A-{f(A)}ｰ{f(A-{f(A)})})
略
このとき、P(A)-Φの全ての要素を使うわけではないが
どの要素が使われるか、整列する前にはわからないので
選択公理としては集合族P(A)-Φを使わざるをえない
(引用終り)

1）えーと、選択関数f で、関数fとは現代的定義は、写像（対応）だよね
　で、関数fが定まるとは？定義域だけでなく、対応する値域も定まっていなければならない！
2）そこで問う
　選択関数fが定義域集合族P(A)-Φ で、事前に定まっているというならば
　上記 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)）以外の定義域 P(A)-Φの
　全ての選択関数f の（値域の）値を書け！！ｗ；ｐ）
695 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:00:19.42 ID:b1A8rVdb.net]: >>642
>定義域 P(A)-Φの全ての選択関数f の（値域の）値を書け！！ｗ；ｐ）
∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A

なんでこんな当たり前のことが分からないの？　もしかして馬鹿？
696 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 18:07:44.19 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>633
>f(A∖{aξ∣ξ<α}) ってことは A∖{aξ∣ξ<α} はfの定義域の元だろ？
>君が言うように定義域の元が定義域なら x∈x だから正則性公理に反するぞｗ

公開処刑のために聞くが
もう少し説明してくれないかな？
あっ、いやならいいぞ
”アホや”の一言で済ますからｗ；ｐ）
697 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 18:19:56.61 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>643
>>定義域 P(A)-Φの全ての選択関数f の（値域の）値を書け！！ｗ；ｐ）
>∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A

なるほど
では、問う

1）>>642 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)）
　で、この選択関数 f：A∖{aξ∣ξ<α}→aα （>>631 より）
　ここで、Jech, Thomas の工夫は
　αという順序数を選択関数 f に組み込んだことにあるよ
2）f(B)∈B⊂A だけだと
　i) Jech, Thomas の工夫（順序数の導入）が無いけどそれはどうしたの？ｗ；ｐ）
　ii) f(B)∈B⊂A だけだと選択公理のステートメントそのままじゃんｗｗ
　　”f(B)∈B⊂A” から、 Jech, Thomas の工夫 f：A∖{aξ∣ξ<α}→aαが出るかい？ｗｗｗ
　　繰り返すがもし、上記 Jech, Thomas の工夫順序数の導入が導けないならば
　　それって、数学的に無意味（トリビアル）でしょ？ｗｗｗｗ；ｐ）
698 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:36:34.02 ID:b1A8rVdb.net]: >>644
そのまんまだけど？　何が分からないと？
699 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 18:44:41.77 ID:b1A8rVdb.net]: >>645
>ここで、Jech, Thomas の工夫はαという順序数を選択関数 f に組み込んだことにあるよ
選択関数の定義域は2^A-{}、値域はAであって、どこにも順序数は無いんだが、「順序数を選択関数に組み込む」って何？
何をどう勘違いしたの？
700 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 19:56:00.32 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>646
>そのまんまだけど？　何が分からないと？

まあ
そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ；ｐ）

>>647
>>ここで、Jech, Thomas の工夫はαという順序数を選択関数 f に組み込んだことにあるよ
>選択関数の定義域は2^A-{}、値域はAであって、どこにも順序数は無いんだが、「順序数を選択関数に組み込む」って何？
>何をどう勘違いしたの？

ふっふ、ほっほ
Jech, Thomas 下記だよｗｗｗ；ｐ）
”We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.”
だよ
百回音読してねｗｗｗ；ｐ）

選択関数fの定義域を
集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
必然性もないでしょ！！ｗｗｗ；ｐ）

　>>630より再度転記
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enume
701 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 19:56:51.37 ID:57hfZFiX.net]: ＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/

さて
『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げようと思う
まず、マクラです

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大尾畑研いつもお世話になっております
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第12章順序集合
12.3 ツォルンの補題
順序集合に極大元があるための使いやすい十分条件を与えておこう
定理12.18 (ツォルンの補題)
空でない順序集合Xにおいて
すべての全順序部分集合が上界をもつならばにXは極大元が存在する

すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する
証明
途中略（原文ご参照）
ツォルンの補題(定理12.18)の証明の完成
・・・に矛盾する
この矛盾はXに極大元が存在しないと仮定したことから生じたので
Xには極大元が存在する■

選択公理ツォルンの補題(定理12.18)の証明に選択公理(AC2)を用いたので選択公理からツォルンの補題が導かれたと言うことができる
実は逆も正しく次の主張が成り立つ
定理12.23
選択公理とツォルンの補題は同値である

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第11章選択公理
11.2選択公理
選択公理には同値な述べ方が何通りかある大まかには選択集合を用いるか選択関数を用いるかあるいは直積集合を用いることになるがそれぞれに多少のバリエーションがあるここでは使いやすく�
702 名前：ﾈ潔なものを採用しよう (AC2) Ω を空でない集合族とする もしΦnot∈ Ωであれば写像f：Ω→ ∪XですべてのX∈Ω に対してf(X)∈Xとなるものが存在する. この写像fを集合族Ωの選択関数という つづく []: [ここ壊れてます]
703 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 19:58:17.37 ID:57hfZFiX.net]: つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題（英: Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。

命題 (Zorn の補題)
半順序集合Pは、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)がPに上界を持つとする。このとき、Pは少なくともひとつの極大元を持つ。
この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。選択公理と同値な命題の一つ。

準備
この補題で使われている用語の定義は以下のとおりである。集合 P と順序関係 ≤ によって定まる半順序集合を(P, ≤) とする。順序関係において、元 s とt が s ≤ t かつ s ≠ t であるとき、s < tと表す。部分集合 T が全順序であるとは、 T の各元 s と t について、s ≤ t または t ≤ s が必ず成り立つことを言う。T が P に上界 u を持つとは、T の元 t がつねに t ≤ u を満たすことをいう。注意として、u は P の元であればよく、T の元である必要はない。P の元 m が極大元であるとは、P の元 x で、 m < x となるものは存在しないことをいう。

部分集合としての空集合は自明な鎖であり、上界を持つ必要がある。空な鎖の上界は任意の元なので、このことから上記の命題においてP が少なくともひとつの元を持つこと、すなわち空集合でないことが分かる。よって、以下の同値な定式化が可能となる。

命題
Pを空でない半順序集合で、その任意の空でない鎖は P に上界を持つとする。このとき P は少なくともひとつ極大元を持つ。
これらの違いは微妙なものであるが、ツォルンの補題を使った証明において半順序として包含関係に代表されるような集合同士の関係を用いる場合、鎖を集合族として/その上界を鎖となった集合族の合併としてとる事があり、その際に空な族の合併は空集合になる一方で空なる鎖の上界は任意の「空でない集合」であるという不一致が、台集合に元として空集合が所属していない場合に起こるので、予め定義において空な鎖について考えなくてよいとの明言が議論を簡単にするという点で使い分けることができる。

ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である。すなわち、ひとつを仮定すると残りを証明することができる。
(引用終り)
以上
704 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 20:29:03.17 ID:b1A8rVdb.net]: >>648
>そうやって逃げるのが賢明だねｗｗ；ｐ）
逃げてるのは、せっかく何が分からないか聞いてあげてるのに答えない君ね

>”We let for everv α
>aα=f(A-{aξ：ξ<α})
>if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.”
>だよ
「選択関数に組み込む」がそれなの？
それでそれがどうしたと？

>選択関数fの定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
>必然性もないでしょ！！ｗｗｗ；ｐ）
じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて
705 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 22:30:33.59 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>651
(引用開始)
>選択関数fの定義域を
>集合族P(A)-Φ 全体に広げる必要性も、
>必然性もないでしょ！！ｗｗｗ；ｐ）
じゃあ定義域をAとしてAの元すべての並びを作ってみせて
(引用終り)

1）ふっふ、ほっほ
　>>631より再度転記しますｗｗ
T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics)
Thomas Jechの証明
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

2）で上記 T Jechの証明で尽くされているんじゃない？
　何も足さない。何も引かない。他には何も必要ないｗｗ；ｐ）
3）現代的定義では、関数とは写像（対応）だよね
　いま実数R→R の指数関数f(x) =a^x (a > 0)があったとする
　定義域 R を、有理数Qにする、あるいは整数Zに、あるいは自然数N に狭めることは可能だ
　なぜならば、関数とは写像（対応）だから
　それぞれ関数を Q→R,Z→R,N→R の対応と考えれば良いだけのこと
　逆に、定義域 R を、複素数Cに拡張することもできる。そのとき、値域もCになるが
　複素数関数 C→C f(z) =a^z | z∈C となる
　�
706 名前：ｱのように現代的定義では、関数即ち写像（対応）の定義域は、自由度があるのです 3）選択関数についても同様だし そもそも、定義域は ”集合族”としか規定されていない だから、Thomas Jech のように aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、だれも文句はないはずだ どこかの偏屈の二人以外はねｗ；ｐ） 4）選択関数fの定義域を集合族P(A)-Φ 全体に広げろという 別に構わんよ。>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』とするんだって？ それは、選択公理そのものだから、それはだれも禁止していないし、選択公理を認めればだれもそれは否定できない だが、あっても邪魔には成らないが、Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！■ 以上ｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
707 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 22:41:44.97 ID:b1A8rVdb.net]: >>652
>選択関数fの定義域を集合族P(A)-Φ 全体に広げろという
誰も広げろなんて言ってない、なぜなら

>using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
の通り、元から広がってるからｗ

おまえが英文を読めてないだけｗ　控えめに言って大馬鹿ｗ
708 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 22:55:10.77 ID:b1A8rVdb.net]: 雑談くんよう、Sって何だか分るかい？
the family S of all nonempty subsets of A　なんだから、S＝P(A)-Φだろ？

いやあ、雑談くんって馬鹿とは思ってたけどこれほどとはね　なんで君数学板なんかに居るの？　君には数学は無理だけど
709 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 23:09:21.99 ID:57hfZFiX.net]: >>649 追加
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_12.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21) 東北大尾畑研
第12章順序集合
12.3 ツォルンの補題
すべての全順序部分集合が上界をもつような順序集合をツォルン集合と呼ぶ
そうするとツォルンの補題定理(定理12.18)はツォルン集合には極大元が存在することを主張する
証明は長いのでいくつかの段階に分割する 3）

3）ここでは松村にしたがって集合と写像を用いた初等的な証明を紹介する
超限帰納法による証明もありそれは簡潔で直感的なのだがそのためには整列集合の理論を準備
する必要がある

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
証明の概略
選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。
補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。
各鎖 T について、それより真に大きな元 b(T) が存在する。なぜなら、T は上界を持ち、さらにそれより大きな元が存在するからである。関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。

この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。
順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。
aiは次の超限帰納法で定義する。まず、a0 は P の元から勝手に選ぶ(これは P が空の鎖の上界を持ち、空でないことから可能である)。
他の順序数 w については、aw = b({av: v < w}) で定める。{av: v < w} は全順序であるので、この定義は正しい超限帰納法である。

en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma
Proof sketch
A sketch of the proof of Zorn's lemma follows, assuming the axiom of choice. Suppose the lemma is false. Then there exists a partially ordered set, or poset, P such that every totally ordered subset has an upper bound, and that for every element in P there is another element bigger than it. For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element. To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let
B(T)={b∈P:∀t∈T,b≥t}, that is, the set of upper bounds for T. The axiom of choice furnishes
b:b(T)∈B(T).
Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... < aω < aω+1 <…, in P.
略す
710 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/26(日) 23:22:53.50 ID:57hfZFiX.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>653-654
屁理屈だけは、一人前か
弥勒菩薩氏から、”基礎論婆”とか呼ばれるが
その実、大学学部1年の基礎論で詰んだ男だったか？ｗｗｗ

おまえは、>>652のThomas Jechの証明の講釈を言っているのかな？ｗ；ｐ）
あるいは Thomas Jechの証明に疑義を呈していなかったか？ｗｗ

　>>643『∀B∈(P(A)-Φ)についてf(B)∈B⊂A』なんて
わざわざ書かなくても良いぞ

システム入力のデフォルトみたいなものだ（下記）
グダグダ書いたら、証明が読みにくくなる

　>>652より
”We let for everv α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■”

これで良いんじゃないの？
すっきりしているじゃん！ｗ；ｐ）

(参考)
languages.oup.com/google-dictionary-ja
Oxford Languagesの定義
デフォルト
2.
コンピュータで、あらかじめ設定されている標準の状態・動作条件。初期設定。初期値。
▷ default
711 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/26(日) 23:30:17.00 ID:b1A8rVdb.net]: 雑談くん、ぐうの音も出ずｗ

君に数学は無理なので諦めよう　お疲れ～
712 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 06:50:57.10 ID:AW0Zd0to.net]: >>642
＞上記 A∖{aξ∣ξ<α}（>>631 Jech, Thomas (2002)）以外の定義域 P(A)-Φの
＞全ての選択関数f の（値域の）値を書け！！

二行目　日本語がおかしい　
「選択関数ｆの全ての値（つまり値域）を書け」ならわかるが

で、P(A)→Φ全体でA、A∖{aξ∣ξ<α}以外の集合に対してもその値はAの要素
つまり値域はA
こんなこと自明なんだが、サルはヒトである私に尋ねないとわからんのか？
713 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 07:05:17.31 ID:AW0Zd0to.net]: >>652
> T Jechの証明で尽くされているんじゃない？
　そうだよ　だから私ももう一人もそういってる
　君が勝手に、選択関数の定義域を狭めて
　「可算集合の整列はJechの証明でも可算選択公理で十分」
　とか●●発言してるんだが

> Thomas Jech のように
> aα=f(A-{aξ：ξ<α}) とすることに、
> だれも文句はないはずだ
　Thomas Jechが聞いたらこう叫ぶぞ
　”Nooooo!!!　私はそんなこと一言も言ってない
　　君が勝手にそう誤読してるだけ！！！”

> 選択関数fの定義域を集合族P(A)-Φ 全体に広げろという
> 別に構わんよ。

サルは日本語が読めないね

誤「選択関数fの定義域を集合族P(A)-Φ 全体に広げろ」
正「選択関数fの定義域を集合族A-{aξ：ξ<α}に狭めるな

> それ(定義域がP(A)-Φ)は、
> 選択公理そのものだから、だれも禁止していないし、
> 選択公理を認めればだれもそれは否定できない

そう、ヒトは誰も否定してない
サルの君一匹が否定してる

> だが、あっても邪魔には成らないが、
> Thomas Jechの証明の何の足しにもなっていない！！

　Thomas Jech（というか元はZermelo）の証明は
　選択関数fを用いた関数aの帰納的定義を用いてるが
　あくまでfが先でaはそのあとである
　aが先で、fの定義域を後から改竄する不正行為は認められない
714 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 07:08:51.95 ID:AW0Zd0to.net]: >>656
>わざわざ書かなくても良いぞ
>システム入力のデフォルトみたいなものだ
>グダグダ書いたら、証明が読みにくくなる

サルはそういう怠惰な精神だから大学１年の数学が理解できずに落ちこぼれる
正方行列＝正則行列、とかいっちゃうって●●か？

>”We let for every α
> aα=f(A-{aξ：ξ<α})
> if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
> Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
> Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■”

>これで良いんじゃないの？

fって何？

はい院試落第　サルは大学院に行けず社奴になりました、とさ
715 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 08:02:34.06 ID:F/4ZRvn3.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”

>>660
(引用開始)
>”We let for every α
> aα=f(A-{aξ：ξ<α})
> if A-{aξ：ξ<α} is nonempt.
> Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
> Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■”
>これで良いんじゃないの？
fって何？
(引用終り)

意味わからん
お主は、Thomas Jechの証明>>652
そのものについての
解釈に悩んでいるのか？

Thomas Jechの証明が読めない
その自白かい？

弥勒菩薩氏から、基礎論を自慢する君を”基礎論婆”とあだ名される男よ
その実、Thomas Jechの証明が読めない
大学1年生の基礎論で、詰んでいました
そう自白してるんだｗｗｗ；ｐ）
716 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 08:09:18.39 ID:QFa4KSQO.net]: > 意味わからん
　君、そもそも意味なんてわかったことあるの？
> お主は、Thomas Jechの証明そのものについての解釈に悩んでいるのか？
　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に
　ｆが何なのか全く書いて
717 名前：ないから尋ねたんじゃね ”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って これでいいと思ってるなら、やっぱり数学は無理だわな []: [ここ壊れてます]
718 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 09:52:33.27 ID:T6In1xa/.net]: 人にはThomas Jechの証明の通りでいいだろと言い
自分はThomas Jechの証明で定義された選択関数を改竄する
これを二枚舌と云う
719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 09:56:31.74 ID:xzwMfUAL.net]: >>663
そもそもThomas Jechの証明を正しく理解せず
aα=f(A-{aξ：ξ<α})　だけに食いついた
と思われ
720 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 10:17:25.66 ID:KNX/oygH.net]: ＞大学1年生の基礎論で

　誤　基礎論
　正　集合と位相

https://www.utp.or.jp/book/b305977.html

なお、東大では２年の後期
https://catalog.he.u-tokyo.ac.jp/detail?code=0505003&year=2023
721 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 12:12:14.93 ID:CtxJncrm.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞
>>662-665
ご苦労様です

>　お主ではないが、君が書いた英文五行の中に
>　ｆが何なのか全く書いてないから尋ねたんじゃね
>　”おまえ　ｆが何なのか全く書いてないぞ”って

なるほど
では、以下に解説をば

まず海賊版サイトより（.pdf 正確なリンクは貼らない。著作権問題は各人の責任でお願いいたします）
Set Theory T Jech 著 · 1997 · The Third Millennium Edition, revised and ... 2002. (Springer monographs in mathematics).
冒頭　1．Axiomls of Set Theory, Axiomns of Zerlmelo-Fraenkel で

1.3. Axiom Scbema Of Sepamtion. If P is a propety (with parameter p),
then for any X and p there exist a set Y = {u∈X : P(u,p)} that contains
all those u∈X that have property P.

1.7. Axiom Schema of Replacement. If a class F is a function, then for
any X there exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
（なお、Jech氏は、ここで選択公理も記載し ZFCにも触れている）

とある。これには下記が参考になるだろう
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論

3. 分出公理（無制限の内包公理）
→詳細は「分出公理」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
たとえば偶数は、整数
Zの合同式
x≡0(mod2) を満たす部分集合として表すことができる
一般に、集合
z の部分集合で1つの自由変項
x の式
ϕ(x) に従うものは、以下のように表現できる：
{x∈z:ϕ(x)}.
分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）。
ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である

6. 置換公理
→詳細は「置換公理」を参照
置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する

厳密には、ZFCの言語で
ϕ を自由変項
x,y,A,w1,…,wn
が含まれる任意の論理式とすると、次のように表される（ B は自由変項ではない）：
略す
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%85%AC%E7%90%86
置換公理
多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理（たとえば集合の存在証明）や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。
722 名前： 略 上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。同様に、基数を各集合に割り当てるフォン・ノイマンの割り当てには置換公理と選択公理が必要である。 (引用終り) （ここで、置換公理は、分出公理の上位互換であることを注意しておく) つづく []: [ここ壊れてます]
723 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 12:12:35.09 ID:CtxJncrm.net]: つづき

さて >>652より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、まず集合族 A-{aξ：ξ<α} に注目しよう（なお A-{aξ：ξ<α} ⊂ A も注意しておく）
これは、上記 1.7. Axiom Schema of Replacementで class F function, exists α set Y=F(X)={F(x):x∈X}.
における F(X)のネタを仕込んでいると思え

そして、次に the family S of all nonempty subsets of A の部分に注目すると
Aのべき集合P(A)から空集合Φを覗いた P(A)-Φ の要素が、the family Sってことだね
さらに、A-{aξ：ξ<α} ∈ P(A)-Φ だね

ここから Axiom Schema of Replacementの class F function を使って P(A)-Φの部分集合として
集合族 A-{aξ：ξ<α} を要素とする部分集合を構成できる
{A,A-{a1},A-{a2},・・・}だね

ここで、Axiom Schema of Replacementの class F function を使っていることを念押ししておく
これが、選択関数と異なることは、”Y=F(X)={F(x):x∈X”とあって、F(X)の定義域はただ一つ Xから分かる(いまの場合 X＝P(A)-Φ)

さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
０：A-Φ → a0
１：A-{a0} → a1
２：A-{a1} → a2
　・
　・
　・
のように A-{aξ：ξ<α} が空集合になるまで続ける
一見集合族の構成が（選択公理による）循環論法に見えるが、順序数による超限再帰（あるいは超限帰納）を認めればよい
（またそもそも、集合族 A-{aξ：ξ<α} を P(A)-Φ から取り出すところは、置換公理関数で ”Y=F(X)={F(x):x∈X”の定義域は、ただ一つ X＝P(A)-Φであるから選択関数とは全く異なることは見易い）
上記の選択関数による aα たちの構成は、選択公理により許される■
以上
724 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:33:01.72 ID:cJ26k4mE.net]: >>666-667
御託は並べなくていいよ
なんで656に書く時、下の二行削ったの？
それで必要な情報が全部抜けたんだけど　おまえ●●？

"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A."
725 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:35:02.61 ID:cJ26k4mE.net]: >>668のつづき
「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。
　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」

「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？
726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/27(月) 12:43:19.22 ID:xzwMfUAL.net]: >さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて

それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま

０：A → a0=f(A)
１：A-{a0} → a1=f(A-{a0})
２：A-{a0,a1} → a2=f(A-{a0,a1})
　・
　・
　・

超限帰納法はfを用いた、順序数からAの要素への関数aの定義で用いてるので
当然、その前にfが必要　

貴様はfの使用を隠蔽したから、循環論法に陥った
ヘタな考え休むに似たり
727 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 12:58:29.11 ID:T6In1xa/.net]: >>667
>さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
馬鹿丸出し
728 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:05:13.27 ID:T6In1xa/.net]: >>667
a0,a1,・・・が選択関数のアウトカムなのに
A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数を構成すると？
これを馬鹿と言わず何と言えばよいのか？
729 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:17:27.77 ID:T6In1xa/.net]: そもそも整列定理において選択公理は仮定なのになんで選択関数を構成するんだよ
ここまでの馬鹿も珍しい

雑談くんいいからもう黙りな
君が馬鹿なのはもう十分分かったから、これ以上の馬鹿アピールは無用だよ
730 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 13:20:51.05 ID:CtxJncrm.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

ご苦労様です。
>>668-670
>それは P(A)-Φから要素を選ぶ選択関数fそのまま

それ、”選択”という日常語に流されている
選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ
”P(A)-Φ”という定義域がただ一つならば、置換公理の関数で間に合う

つぎに
>"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A.
>
731 名前：That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." >「Aを集合とする。Aを整序するには、Aを列挙する超限的一対一列（aα：α＜θ）を構成すれば十分である。 >　これは、Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数fを用いて、帰納的に行うことができる。」 >「Aは集合である」はともかく「Aのすべての空でない部分集合の族Sに対する選択関数f」を抜いたよな　なんで？ いいかな 無限集合Aの空集合を含まないべき集合P(A)-Φ（空集合を除いておく）で いま Aの濃度が可算であるとするしてべき集合P(A)-Φ は非可算だ のように、無限の濃度ランクが一つアップすることを注意しておく さて、以前にも書いたが、 １）Aに順序数の付番付けをするために、そのべき集合P(A)-Φの順序数の付番付けが必要とする考えは 無限後退になるのでまずい。（そのまたべき集合・・・となるから） ２）また、べき集合P(A)-Φに順序数の付番付けができたとしよう そのままでは、>>667の Jech氏の意図した {A,A-{a1},A-{a2},・・・} の順序数の付番付けにならない ∵ 例えば、Aが可算だとしてべき集合P(A)-Φの順序数の付番付けそのままでは 非可算レベルの順序数の付番付けが混じってしまうから ３）よって、"Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence >（aα: α < θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice function f for the family S of all nonempty subsets of A." のJech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として {A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね そして、a1、a2、・・・は、決して一意ではなく、as desired であることも注意しておく（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照） []: [ここ壊れてます]
732 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 13:24:16.84 ID:CtxJncrm.net]: >>674 タイポ訂正

いま Aの濃度が可算であるとするしてべき集合P(A)-Φ は非可算だ
　↓
いま Aの濃度が可算であるとしてべき集合P(A)-Φ は非可算だ
733 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:25:06.95 ID:T6In1xa/.net]: >>674
>選択公理は、無限集合族を定義域とする関数だから、特別に公理が必要だ
>”P(A)-Φ”という定義域がただ一つならば、置換公理の関数で間に合う
馬鹿だねえ君は
P(A)-ΦはAの空でない部分集合全体からなる集合族だろ

なんで馬鹿アピールやめられないの？　もう十分だと言ってるのに
734 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:43:17.83 ID:T6In1xa/.net]: >>674
f:P(A)-Φ→AはAの空でない任意の部分集合の代表元を定めている選択関数なんだよ

このfを用いて
a0=f(A)
a1=f(A-{a0})
a2=f(A-{a0,a1})
・・・
でAの元を並べ、α<β⇔aα<aβで(A,<)を定義することで、Aとsup{α|aα is defined}との順序同型写像を構成してるんだよ
それによってAが整列集合であることが言えるのさ

君、ぜんぜん分かってないね　もう黙れば？　口開くとアホなことしか言わないから
735 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:51:25.90 ID:zED1d/2g.net]: >>674
＞Aに順序数の付番付けをするために、そのべき集合P(A)-Φの順序数の付番付けが必要とする考え
　
　だれも、そんな●ったことは言ってないが？

　幻聴が聞こえるのか？　●ル
736 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:53:39.37 ID:zED1d/2g.net]: >>674
> Jech氏の意図は、べき集合P(A)-Φの部分集合として{A,A-{a1},A-{a2},・・・} が、置換公理で取り出せるってことだね

　どこにもそんなこと書いてないが

　幻聴が聞こえるのか？　●ル
737 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:57:16.76 ID:zED1d/2g.net]: >>674
　fを決めれば、a1、a2、・・・は一意だが
738 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 13:58:57.35 ID:zED1d/2g.net]: >>674
> as desired

　●ルは英語も読めんのか　「望みどおり　整列が得られる」という意味だろ
739 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 14:01:54.21 ID:VZyTU7BU.net]: ●ルに引導

１．Aを整列するのに、P(A)-φからAへの選択関数fは必要だが、P(A)-φ全体の整列など不要
２．上記の選択関数fを決めれば、Aの整列は一意に決まるが、逆にAの整列から、上記の選択関数fは一意に決まらない
740 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 14:12:10.26 ID:T6In1xa/.net]: >>674
これは酷い

>さて、以前にも書いたが
そしてまた間違えた
741 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 15:02:00.66 ID:CtxJncrm.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

>>676-683

　>>682 ID:VZyTU7BUと >>681 ID:zED1d/2g とは、同一人物か
そうすると、>>683 の ID:T6In1xa/ と合わせて、相手は ”例の”あほ二人かｗ；ｐ）

さて
１）”P(A)-ΦはAの空でない部分集合全体からなる集合族だろ”で
　いま、問題は関数の定義域だろ？
　つまり、選択公理の選択関数fの意義とは、fの定義域として無限集合族が取れるってこと
　いま、簡単に順序数で添え字された無限集合族 P0,P1,P2,・・,Pλ,・・があったとして
　（ここに 0,1,2,・・,λ,・・ ∈ON ）
　f：Pλ→pλ∈Pλ （pλ≠Φ ：空集合ではない）
　とできる。つまり、なにか無限集合族から各必ず一つの要素を取り出す関数が、選択関数だ
　順序数の添え字が無制限ならば、フルパワー選択公理
　順序数の添え字が加算ならば、可算選択公理
　両者の中間が、従属選択公理

２）一方、P(A)-Φから、その
742 名前：部分集合を作り出す置換公理の関数は あくまで定義域はただ一つ P(A)-Φ のみ あとは、意味不明のたわごとだから 流すよｗｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
743 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 15:17:04.55 ID:rUPCt/3e.net]: >>684
>>684
> P(A)-Φから、その部分集合を作り出す置換公理の関数
　何勝手にJechが行ってないこと妄想してんだｗ

　そもそもJechの本の証明はもともとZermeloのもので
　置換公理とか出てくる以前
744 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 15:34:37.82 ID:aGjuVqGz.net]: ●ルのウソ理屈は意味不明の戯言だから全部流すよ
745 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 16:04:57.05 ID:LSdHrjXv.net]: だったら何も書くな
746 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:10:22.59 ID:T6In1xa/.net]: >>684
>いま、問題は関数の定義域だろ？
定義域はP(A)-Φで何の問題も無い
道理の分らぬ馬鹿が言いがかり付けてるだけ
747 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:12:47.91 ID:T6In1xa/.net]: >>684
>２）一方、P(A)-Φから、その部分集合を作り出す置換公理の関数は
>　あくまで定義域はただ一つ P(A)-Φ のみ
こそが意味不明のたわごと
748 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:14:54.53 ID:T6In1xa/.net]: なんで雑談くんは馬鹿自慢がとまらないんだ？
頭オカシイのか？
749 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 17:26:48.99 ID:AW0Zd0to.net]: >>690
高校時代、数学秀才だったことが忘れられないんでしょうな
高校までの数学なんて、「算数」なのにね
750 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 18:28:08.37 ID:CtxJncrm.net]: >>685-691
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

>だったら何も書くな

ID:LSdHrjXv は、御大か
午後の巡回ご苦労様です

箱入り無数目スレで、いかにも自分たちが
選択公理－選択関数が分かっているかのようにほざくが
その実、この＜公開処刑＞の通りｗ
選択公理－選択関数が、さっぱり分かってないやつらですｗ　；ｐ）

>> P(A)-Φから、その部分集合を作り出す置換公理の関数
>　何勝手にJechが行ってないこと妄想してんだｗ

まず、論点を整理しよう

・Jechの証明 >>667 を、是とするかあるいは否とするか？立場をはっきりさせろ
　否とするならば、どの点が証明として問題なのか？そこをはっきりさせろ
　証明として問題点が指摘できないならば、是にしかならんｗ；ｐ）
・補足すると、Jech氏のテキストの初版は1978年で
　おそらく、Jech氏自身も大学講義に使ったろう
　だから、疑問点や問題点は、それなりに指摘され、タイポなども修正されているだろう
・次に、JechのTheorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)の
　証明中の関数 ”We let for every α
　aα=f(A-{aξ：ξ<α})
　if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.”
　が分からない
　というので、>>667に私の見解を書いた
・で、この見解に不満ならば、てめえの見解を書いたらいいでしょｗ
　自分の見解を書けないならば、黙ってな！！ってことよｗｗ；ｐ）
751 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:41:10.02 ID:T6In1xa/.net]: >>692
見解もクソもJechの証明の通り。
君の見解とやらがアホなだけ。
どうアホかは既に書いたから読んで理解しな。馬鹿を治したいならね。
752 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:46:46.16 ID:AW0Zd0to.net]: >>692
>Jechの証明を、是とするかあるいは否とするか？立場をはっきりさせろ
　●ルよ、おまえがJechを否定してんだよ　馬鹿！
753 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 18:47:42.28 ID:T6In1xa/.net]: 否定してることにさえ気づかない馬鹿だからどうしようも無い
754 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 20:20:05.04 ID:F/4ZRvn3.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

ふっふ、ほっほ

>>693-695
必死でハグラカシにかかるあほ二人
”アナグマの姿焼き" の完成かなｗ；ｐ）
755 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 20:48:43.00 ID:F/4ZRvn3.net]: >>665
ありがとうございます
追加の情報貼っておきます

酒井拓史氏学部と修士が東大で、DRは名古屋大で博士 (学術)(2005年12月名古屋大学)か
公理的集合論入門は、やはり東大2年後期と思うが、未確認です

(参考)
catalog.he.u-tokyo.ac.jp/detail?code=0505101&year=2024
東京大学授業カタログ 2024年度版
応用数学XE
時間割／共通科目コード
0505101
FSC-MA4751L1

公理的集合論入門 / Introduction to Set Theory
756 名前：集合論は数学に現れる無限集合について調べる分野です．特に，公理系に基づいて展開される集合論は公理的集合論と呼ばれます．関数・関係・数学的構造をはじめとする数学の書概念は集合を用いて表され，集合論の標準的な公理系 ZFC （Zermelo-Fraenkel の公理系 ZF +選択公理 AC）は数学全体を展開できる包括的な公理系になっています．この講義では，ZFC のもとで展開される集合論の基礎を解説し，さらに連続体仮説の ZFC との無矛盾性や，選択公理の ZF との無矛盾性についても解説します． 酒井　拓史 授業計画 次の項目を順に解説する予定です． 1. ZF の紹介 2. 無限集合の濃度と連続体仮説 3. 順序数と超限帰納法 4. 選択公理とその帰結 5. 連続体仮説と選択公理の無矛盾性 参考書 [1] 田中一之編「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻集合論とプラトニズム」東京大学出版会，2007年． [2] ケネス・キューネン著，藤田博司訳「集合論 -独立性証明への案内-」日本評論社，2008年． [3] Kenneth Kunen, “Set Theory”, College Publications, 2011. つづく []: [ここ壊れてます]
757 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 20:49:14.20 ID:F/4ZRvn3.net]: つづき

researchmap.jp/hsakai
酒井　拓史
基本情報
所属東京大学大学院数理科学研究科教授
学位
博士 (学術)(2005年12月名古屋大学)
和歌山県出身。
公理的集合論、特に巨大基数に興味を持って研究しています。
学歴 3
2002年4月 - 2005年12月名古屋大学, 大学院人間情報学研究科, 物質・生命情報学専攻
2000年4月 - 2002年3月東京大学, 大学院数理科学研究科, 数理科学
1996年4月 - 2000年3月東京大学, 理学部, 数学科

www.ms.u-tokyo.ac.jp/teacher/sakaihiroshi.html
u-tokyo
ホーム教員紹介酒井　拓史（SAKAI Hiroshi）
(引用終り)
以上
758 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 20:59:04.41 ID:F/4ZRvn3.net]: >>697
ふと思ったが
酒井　拓史氏に >>667より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

これについて
なんでも良いが
彼のご意見を聞いて
このスレにアップしてもらえると
ありがたいね
だれがアホかハッキリするだろう（＾＾
759 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 21:05:36.11 ID:T6In1xa/.net]: >>699
もうはっきりしている
アホは
>さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
とか言ってる君一人
760 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 21:39:27.25 ID:F/4ZRvn3.net]: >>700
まだ言ってるのか？
アホなやつだな～！ｗｗｗ；ｐ）
761 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/27(月) 21:51:36.53 ID:F/4ZRvn3.net]: >>700
(引用開始)
>さて、集合族 A,A-{a0},A-{a1},・・・から、選択関数の構成ができて
とか言ってる君一人
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

・下記の通り、選択関数の活躍の舞台は、集合族だ
・集合の族が無ければ・・・、
　例えば定義域がたった一つの集合ならば
　普通の関数で間に合って、
　選択関数の出番なし！
・定義域が、可算以上の無限の（集合）族の場合こそ
　そこは選択関数の独壇場なのです！！；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
定義
空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、
各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、
新しい集合を作ることができる。
あるいは同じことであるが、空でない集合の空でない任意の族
Ａに対して写像
f:Ａ→∪Ａ:=∪A∈Ａ A
であって任意の
A∈Ａに対し
f(A)∈A
なるものが存在する、
と写像を用いて言い換えることが出来る
（ここで存在が要求される写像 f を選択関数（英語版）という）。
762 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 21:58:20.12 ID:T6In1xa/.net]: >>702
>・定義域が、可算以上の無限の（集合）族の場合こそ
>　そこは選択関数の独壇場なのです！！；ｐ）
P(A)-Φは集合族と教えて
763 名前：あげたのにまだ分からんの？ アホなやつだな～！ｗｗｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
764 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/27(月) 22:23:53.98 ID:T6In1xa/.net]: >>504
>”the family S of all nonempty subsets of A.”は、ZFのべき集合公理から従う
>Aのべき集合公理を、いつものようにP(A)と書く。P(A)は、空集合Φを含むので
>the family S＝P(A)＼Φ と書ける
良く考えたらS＝P(A)＼{Φ}じゃんｗ　騙されたｗ
765 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 00:56:56.30 ID:SFFxcmct.net]: >>702
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%8F
部分集合族
全体集合 Ω が与えられたとき、Ω 上の集合族とは Ω の冪集合 𝒫(Ω) の部分集合のことを言う。即ち、Ω 上の集合族 S はその任意の元が Ω の部分集合となる集合である。

P(A)-{Φ}は集合族だと教えてやったんだから自分で確認しろよアホｗ
766 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 06:31:29.37 ID:w5k5tJaP.net]: >選択関数の活躍の舞台は、集合族だ
>集合の族が無ければ・・・、
　だから、P(A)-{Φ}が集合族じゃん
　◆yH25M02vWFhPは馬鹿なの？
　道理で大学１年の４月で落ちこぼれるわけだ
　所詮は高卒の”算数秀才”だったか（嘲）
767 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 06:35:15.29 ID:w5k5tJaP.net]: 選択公理による整列定理の証明は、
有限集合から１つずつ要素を選んで整列させるのと
実は同じ発想

ただ注意すべきは、その都度選ぶと考えるのではなく
あらかじめ集合の空でない部分集合それぞれから、
要素を選ぶ関数を与える、ということ

ここを理解しようとせず
「その都度選べばいいじゃん」
と馬鹿なこと言ってると大学に入って死ぬ

◆yH25M02vWFhPがいい例
まあ、東大理Ⅰでも９割は死んで
工学部に行き社奴に成り下がるが
768 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 09:24:28.37 ID:SFFxcmct.net]: 雑談くん、公開処刑されたのは自分だったことにやっと気づいたのかな？
R.I.P.
769 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/28(火) 11:18:59.62 ID:C6l4Y3jA.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
では、再度>>666-667の説明を補足しよう

　>>667より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）これで、キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
　f 選択関数、A-{aξ：ξ<α} が、定義域（入力）の集合族で順序数の添え字が α
　値域（出力）が aαで、Aの要素a∈Aに、順序数の添え字 α がついて aα となっている
２）そうすると、定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？
　それが、問題となる
　Jechは、”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”と記す
　以下、くだけた表現を使う
　繰り返しになるが集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
　そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く（これは定義です。Φは空集合）
　そして、P(A) -Φ を再度 P'と略記しよう
３）上記の Jech証明と照らすと、A-{aξ：ξ<α} ∈ P' である
　なので、P' から A-{aξ：ξ<α} を要素として取り出して部分集合を形成することを考えると
４）やっていることは、P' からまず Aを取る
　次に Aから一つ要素が減った A-{a0} を取り
　さらに、二つ要素が減った A-{a0,a1} を取り・・と続ける
５）Jech 流の表記では、A-{aξ：ξ<α}となる
　こうして、P'の部分集合として集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
　この関数は、選択公理で許される選択関数である
　P'の部分集合として集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える(>>667)
　また、順序数の添え字 α による超限帰納（or 超限再帰）も使える
６）さらに付言しておくと、集合Aから最初にどの要素を取り出して、次にどの要素を取り出して・・・
　と続けることを考えると、集合Aの並びは大きな自由度があり、aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
　つまり、いま A={a,b,c,d}と４つの要素からなるとすると
　最初の文字は4通り、次は3通り・・となり全体で4！通りになる（要素有限nなら
770 名前：n！通りになる） つづく []: [ここ壊れてます]
771 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/28(火) 11:19:31.42 ID:C6l4Y3jA.net]: つづき

で、まとめると、P' にそのまま選択関数を適用しても、
直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない
上記のように A-{aξ：ξ<α} からなる集合族を部分集合として P' から切り出して
その順序数で添え字付けされた集合族からの選択関数の出力として、
順序数で添え字付けされた aα を出すべし
この添え字順序数α による順序が、整列順序で、集合Aの要素の全部に渡り、集合Aに整列順序が入る

”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
は、ヒントでしょ？数学科生なら、この１行のヒントで ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ということ■
以上
772 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:23:33.12 ID:yAHxbqo/.net]: >>709
>キモは aα=f(A-{aξ：ξ<α}) だ
そう、キモはfだ　
Aの任意の空でない部分集合からその要素を選ぶ関数
この関数の存在を選択公理で保証する

まちがっても、aではない
この簡単な事実が、●ルには分からない
773 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:27:07.48 ID:yAHxbqo/.net]: >>709
> 定義域（入力）の集合族 A-{aξ：ξ<α} が、どうやって出来たのか？

　A-{aξ：ξ<α}⊂P(A)　だから
　空でない限りfの定義域
　空だったらaαは未定義

　aの定義に先んじてfが必要
　fの定義域はP(A)-{φ}
　この簡単な事実が、●ルには分からない
774 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:29:29.92 ID:yAHxbqo/.net]: >>709
> P'の部分集合として集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
> aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
> この関数は、選択公理で許される選択関数である

fはaなしに定義できる　単に入力の集合の要素を返すだけだから
　そしてその定義域は集合族P(A)－{φ}

　この簡単な事実が、●ルには分からない
775 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:32:18.69 ID:yAHxbqo/.net]: >>709
> P'の部分集合として集合族 A-{aξ：ξ<α} を取り出すところは、置換公理が使える
　そこはどうでもよろしい

　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから
　aに先立ってfの定義が必要
　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法
　
　この簡単な事実が、●ルには分からない
776 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:35:03.66 ID:yAHxbqo/.net]: >>709
> P' にそのまま選択関数を適用しても、
> 直ちには aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は出ない
　
　その通り
　そんな自明なこと、だれも否定してない

　aの定義にfが出てくるのだから
　fの定義域を、aを使って構成できるわけないだろ
　そもそもそんな必要がない　P(A)-{φ}でよい

　この簡単な事実が、●ルには分からない
777 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:37:49.36 ID:yAHxbqo/.net]: >>710
>A-{aξ：ξ<α} からなる集合族を部分集合として P' から切り出して
>その順序数で添え字付けされた集合族からの選択関数の出力として、
>順序数で添え字付けされた aα を出すべし

選択関数の定義域はP(A)-{φ}でよい

aαを求めるのに、選択関数の定義域の全てでの値が必要というわけではないが
そのことは、定義域がP(A)-{φ}より小さい、ということとは全く異なる

この簡単な事実が、●ルには分からない
778 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:41:14.72 ID:6Ob7TBNE.net]: >>710
> ”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
> は、ヒントでしょ？

誤　fiunction
正　function

君は全く読まずにコピペするんだね　どんだけいい加減な仕事してんだ

さて、上記の文章は君の誤りをズバリ指摘する答えでしょ

a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A.

"all"がこういってる

●ルよ、おまえは初歩から間違っている、と
779 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 11:44:25.49 ID:yAHxbqo/.net]: >>710
> 数学科生なら、この１行で ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！

aがinduction で作られる
右辺の中のfがaxiom of choiceで存在が保証されるchoice function

悟るもなにも、ズバリそうかいてあるじゃん
●ルは、英語読めないのか？
780 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 12:03:35.88 ID:C6l4Y3jA.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

>>711-718
あほが、がんばるねｗ

>誤　fiunction
>正　function

ああ、訂正ありがとう
そこ、海賊版のPDFは、テキストがコピーできないので
このページを印刷かけて、スキャナーからOCRして PDF出力を得たが
そこで、OCRの誤変換が出たんだね

>　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから
>　aに先立ってfの定義が必要
>　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法

そこ by induction でしょ
つまり、ある順序数αに対して α+1 があって
次に、関数fに食わせる集合は、f(A-{aξ：ξ<α}より aα減った集合だね
A-{aξ：ξ<α} - aα だね

そうやって、A-{aξ：ξ<α}からなる集合族をあつめて
P'(Aのべき集合から空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる
P'の部分集合を作る公理は、選択公理ではなく、置換公理を使うよ（常識でしょ？（＾＾）
781 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:25:31.58 ID:9VIHSgws.net]: >>719
> A-{aξ：ξ<α}からなる集合族をあつめて P'(Aのべき集合から空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる

　で？
　fの定義域を、Aのべき集合から空集合を抜いた集合　ではなく　
　A-{aξ：ξ<α}からなる集合族　に限定する理由が全くない
　って文章　●ルには意味わかる？　
　わかんない？　どこがどうわかんない？

　関数の定義域って言葉の意味　知ってる？　●ル
782 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:17.37 ID:SFFxcmct.net]: >>709
>繰り返しになるが集合Aのべき集合P(A) （Aの任意部分集合）は、空集合を含む
>そこで、空集合を除いたものを P(A) -Φ と書く
P(A)-{Φ}な。
P(A)-Φ=P(A)やぞ。空集合除けてないぞｗ
なんで教えてやってんのに聞かんの？　人の言うことを聞けないと馬鹿は治らないって言ってるよね？
783 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:39.33 ID:SFFxcmct.net]: >　こうして、P'の部分集合として集合族の A-{aξ：ξ<α}が取り出せて
P'に属す集合を取り出す必要は無い。
取り出す必要があるのはP'に属す任意の集合それぞれの元。
それが選択関数f。
784 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:27:56.83 ID:SFFxcmct.net]: >　aα=f(A-{aξ：ξ<α}) つまり f：A-{aξ：ξ<α} → aαができる
だからｗ
fが存在しているからaαを定義できるのに、なんでaαからfを作るんだよｗ　脳みそ腐ってんの？
785 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:12.87 ID:SFFxcmct.net]: >　この関数は、選択公理で許される選択関数である
いやいやｗ　選択関数を構成できるなら選択公理要らんやろｗ
選択公理は選択関数の存在を「許している」＝「禁止していない」のではなく「保証している」。
君、選択公理ぜんぜん分かってないね。
786 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:28.38 ID:SFFxcmct.net]: >６）さらに付言しておくと、集合Aから最初にどの要素を取り出して、次にどの要素を取り出して・・・
>　と続けることを考えると、集合Aの並びは大きな自由度があり
fで一意に定まるから自由度は無い。
787 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:28:41.87 ID:SFFxcmct.net]: >aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は P' 全体に広がる可能性がある
可能性は無い。
α>β ⇒ A-{aξ：ξ<α}⊂A-{aξ：ξ<β} ∧ A-{aξ：ξ<α}≠A-{aξ：ξ<β}
が成立っているから。

さすが大学1年4月に落ちこぼれただけのことはあるね　こりゃ酷い
788 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:42:59.67 ID:yjMaZKJe.net]: >>726
箱入り無数目のスレッドの議論で気づいたけど
◆yH25M02vWFhPは集合論の初歩から分かってないから

集合論で決めてない勝手ルールをバンバン持ち出す
高校までの「計算秀才」にありがちな独善的な態度
みっともないったら、ありゃしないって
789 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:51:49.57 ID:SFFxcmct.net]: >>710
>で、まとめると
間違いをまとめても間違ったまとめにしかならない。

>”That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.”
>は、ヒントでしょ？
ヒントじゃなく答えそのもの。

>数学科生なら、この１行のヒントで ”aα=f(A-{aξ：ξ<α})”の構成を悟れ！ということ
悟らなくても
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
と明記されてますがなｗ

書かれていることをきちんと読んで理解することこそ大切。なぜなら正しい証明には必要なことがすべて書かれているから。決して読者に何らかの悟りを要求するようには書かれていない。
君のように何か悟った気になってもそれただの独善妄想だよ。だから大学1年4月に授業に付いていけず落ちこぼれたんだよ。
790 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 12:58:02.80 ID:yjMaZKJe.net]: 率直に言って、Jechの本の証明は
「なんだ、それだけのことか」
という感じのもの
（注：別にJechはディスってない）

「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに
なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から
より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？
しかも◆yH25M02vWFhPは、限定に思いっきり失敗してるし

可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？
そりゃおまえが考えなしに発言するから悪いんだろ？

恥かくのが嫌なら永遠に黙れ
この大学数学オチコボレの工学部卒の社奴が
791 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 13:06:58.04 ID:C6l4Y3jA.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>720-727

おサルさ>>7-10
必死で論点をチラシて、ゴマカシているけどｗ

で、>>717より
>a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A.
>"all"がこういってる

そこから >>709 Thomas Jechの "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ｗｗ；ｐ）
おれの誘導は、>>709-710に書いた

これ否定するんだねｗｗ；ｐ）
で、どうするの？ｗｗｗ

先制攻撃をしておく
いま Aが可算集合とするよ

>>709-710に書いたように、集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った選択関数に限れば
順序数 α は、可算の範囲だよね

ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり非可算だろ
（あたかも自然数Nを整列させるのに、2^N の非可算
792 名前：集合で、実数Rを整列させようってか？） おサルさあんた あたまカラっぽじゃねｗ；ｐ） []: [ここ壊れてます]
793 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:10:51.77 ID:9VIHSgws.net]: >>a choice function f for the family S of "all" nonempty subsets of A.
>>"all"がこういってる
>そこから "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？

出すって？　fの定義域として？　そんな必要ないだろ

なんでfの定義域をA-{aξ：ξ<α}に限定する必要があるんだ？

そんな馬鹿なことする必要まったくないって
大学数学の初歩からオチコボレた●ルには分からんか？

>おれの誘導は・・・

無駄、全く必要なし！！！
794 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:14:22.52 ID:9VIHSgws.net]: >>731
> 先制攻撃をしておく
　どうぞ～（鼻ホジホジ）

> いま Aが可算集合とするよ
　はいは～い（鼻ホジホジ）

>集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った選択関数に限れば順序数 α は、可算の範囲だよね
>ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり非可算だろ
　そうですね～（鼻ホジホジ）

>（あたかも自然数Nを整列させるのに、2^N の非可算集合で、実数Rを整列させようってか？）
　しつも～ん（鼻ホジホジ）
　なんで2^Aを整列させる必要があるんですか？
　そんな必要、全然ないよね

　●ル、頭、大丈夫？（鼻ホジホジ）
795 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:35:19.57 ID:SFFxcmct.net]: >>719
>つまり、ある順序数αに対して α+1 があって
極限順序数はどうするの？　ξ+1=ωを満たす順序数ξは存在しないが。そういう粗雑さが間違いのもと。

>次に、関数fに食わせる集合は、f(A-{aξ：ξ<α}より aα減った集合だね
>A-{aξ：ξ<α} - aα だね
それを言うなら A-{aξ：ξ<α} - {aα} な。ほんとおまえは人の話を聞けん奴やのう。アホたれ小僧が。

>そうやって、A-{aξ：ξ<α}からなる集合族をあつめて
>P'(Aのべき集合から空集合を抜いた集合) の部分集合が出来上がる
作る必要が無い。aαが定義されればよいだけ。

>P'の部分集合を作る公理は、選択公理ではなく、置換公理を使うよ（常識でしょ？（＾＾）
トンチンカン

独善持論吐くのやめて人の話を聞きなさい。聞いて理解しなさい。それができないからおまえは人として認められないんだよサル。
796 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 13:39:22.40 ID:C6l4Y3jA.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>729
>「Aの空でない部分集合から要素を取り出す選択関数」で十分なのに
>なぜ、選択関数の定義域を「Aの空でない部分集合」から
>より小さい集合族に限定する必要があるのだろうか？

それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ
そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合)
で考えても良いが、問題はそのままではそもそも順序数での添え字付けがないってことだ（そしてもし添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要）

そこで、Jechはより小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α})
にうまく落とし込んでいるってことだね

で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と集合Aの要素aとが
過不足なく対応して集合Aに順序数の添え字による整列順序が入るってしかけだろ？

>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？

話は全く逆だよ
選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり
集合族の添え字一つから一つの要素が出るのでつまりは要素の整列の長さが決まる
非可算とか可算とかね

この根本的な選択公理の理解に対する全体像つまりランドスケープが欠けているから
トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ

いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する
Jech の集合族 A-{aξ：ξ<α} で、順序数の添え字 α は、可算で収まる
ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり
可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■
797 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:45:28.88 ID:SFFxcmct.net]: >>729
>しかも◆yH25M02vWFhPは、限定に思いっきり失敗してるし
その通り。
限定する、すなわちfを定義するために、fで定義されたaαを使っている。
なぜこれで善しと思ったのか。まさに猿知恵。
798 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:51:54.02 ID:wjWOd1UP.net]: >Aが可算だとするよ
>そうすると、選択関数の定義域を、Aのべき集合から空集合を除いた集合で考えても良いが、
>問題はそのままではそもそも順序数での添え字付けがないってことだ

定義域の集合族に属する⊂全部に添え字つける必要ないじゃん　

君、馬鹿なの？
799 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 13:55:57.81 ID:YIzEI6dp.net]: > 選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり

誤　添え字の大きさ
正　濃度

> 集合族の添え字一つから一つの要素が出るのでつまりは要素の整列の長さが決まる

●ルが連想ゲームでそう思い込んでることはわかってるが
みんながいってるのは、その連想ゲームが間違い●違いってことよ

>この根本的な選択公理の理解に対する全体像つまりランドスケープが欠けている

ウソの全体像　ウソのランドスケープ　は　ウソの天才　つまり　正真正銘の●●を生む

●ル　君のことだよ　フハハハハハハ
800 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:00:09.01 ID:YIzEI6dp.net]: いま、可算集合Aがある
Jechの選択関数fの　集合族 P(A)-{φ} は非可算の集合族であるから
可算選択公理では、Jechの証明を実行できず、可算集合Aを整列させられない

残念だったな　●ル

無限乗積の収束も失敗
正則行列の判定も失敗
選択公理の適用も失敗

スリー�
801 名前：Aウトで大学退学な []: [ここ壊れてます]
802 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:04:27.39 ID:SFFxcmct.net]: >>729より
>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？

Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。

はい、雑談ザルの持論は独善妄想であることが証明されますた。残念！
803 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:35:27.95 ID:SFFxcmct.net]: >>730
>そこから >>709 Thomas Jechの "aα=f(A-{aξ：ξ<α})" をどうやって出すの？ｗｗ；ｐ）
どうやって出すも何も
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
と、Thomas Jechが定義してるんだけど？
君はεN論法による数列の極限の定義をどうやって出したのか疑問で教員に尋ねたと？
で、納得する答えが得られなかったからブチギレて解析学の単位を放棄したと？
そりゃ大学1年の4月に落ちこぼれますわ。

>いま Aが可算集合とするよ
可算なら選択公理不要。>>739で証明済み。

以下敢えて選択公理を使って証明するとして。。。

>>>709-710に書いたように、集合族 A-{aξ：ξ<α} を使った選択関数に限れば
>順序数 α は、可算の範囲だよね
>ところが、Aのべき集合全体をカバーする順序数は 2^A つまり非可算だろ
だから？

>（あたかも自然数Nを整列させるのに、2^N の非可算集合で、実数Rを整列させようってか？）
なんでNを整列するのにRの整列が要るの？　馬鹿なの？
てかなんで「あたかも」でつながるの？　ぜんぜんつながってないんだけど　「あたかも」で誤魔化そうとしても無駄なんだけど

>おサルさあんた
>あたまカラっぽじゃねｗ；ｐ）
おサルもあたまからっぽも君

>先制攻撃をしておく
秒で迎撃されてて草
804 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 14:39:36.69 ID:LP4AFWMW.net]: ◆yH25M02vWFhP　と掛けてキムジョンウンと解く

その心は・・・ミサイルひとつもあたりゃしねぇ！
805 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:19:06.05 ID:SFFxcmct.net]: >>734
>血の巡りの悪い人がいるね
それが君

>それ>>730に書いたけど Aが可算だとするよ
>そうすると、選択関数の定義域を、P' (＝Aのべき集合から空集合を除いた集合)
>で考えても良いが
じゃ終了

>問題はそのままではそもそも順序数での添え字付けがないってことだ
使わない添え字がなんで要るの？　馬鹿なの？

>（そしてもし添え字付けすれば Aより一つランク上の無限の順序数の添え字要）
じゃ終了

>そこで、Jechはより小さい集合族 aα=f(A-{aξ：ξ<α})
>にうまく落とし込んでいるってことだね
妄想。aαを定義してるだけ。

>で、集合族 A-{aξ：ξ<α} の順序数の添え字と集合Aの要素aとが
>過不足なく対応して集合Aに順序数の添え字による整列順序が入るってしかけだろ？
何ワケワカンナイこと言ってんの？
過不足の無さはsup{α|aα is defined}によるんだけど。
ぜんぜん分かってないじゃん君。
806 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:19:49.19 ID:SFFxcmct.net]: >>可算集合の整列が、可算選択公理で出来るって
>>考え無しのオオボケかましたのを正当化しようってか？
>話は全く逆だよ
>選択公理のパワーは、扱える集合族の添え字の大きさであり
なんで添え字に拘るの？　使わない添え字は要らないんだけど。馬鹿なの？

>集合族の添え字一つから一つの要素が出るのでつまりは要素の整列の長さが決まる
長さはsup{α|aα is defined}ですけど？
807 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:20:25.11 ID:SFFxcmct.net]: >この根本的な選択公理の理解に対する全体像つまりランドスケープが欠けているから
>トンチンカンなことを、ほざくのですｗｗ
aαを使って選択関数fを定義するとか言ってる君こそがトンチンカン。
なぜならaαの定義にfを使っている、すなわち循環参照になってるから。
なんで何度言っても理解できないの？　馬鹿だから？　じゃ数学諦めなよ。馬鹿に数学は無理だから。
808 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:21:40.67 ID:SFFxcmct.net]: >いま、可算集合Aがあって、可算選択公理を仮定する
>Jech の集合族 A-{aξ：ξ<α} で、順序数の添え字 α は、可算で収まる
>ならば、集合族 A-{aξ：ξ<α} は、可算の集合族であり
>可算選択公理で、可算集合Aは整列可能となる！■
809 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:21:52.29 ID:SFFxcmct.net]: 大間違い。
Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。
また敢えて選択公理を使って証明しても良いが、その場合可算選択公理では不足で選択公理が必要。
理由は上に書いた通り、君のfの定義は循環参照になっておりwell-definedでないから。

もういいかげん黙れば？　公開処刑されるのがそんなに楽しい？
810 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:44:19.79 ID:SFFxcmct.net]: ユーチューブに認知症の親の介護の動画があるんだけど、
通帳の隠し場所の記憶が無くて、介護してもらってる我が子を泥棒呼ばわり、何度説明しても一切聞く耳持たないんだよね
雑談ザルがそっくりなので思い出しちゃった
811 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 15:54:46.56 ID:SFFxcmct.net]: 雑談ザルも持論が正しいと思い込んじゃって、こちらがいくら説明しても一切聞く耳持たないからね

循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ
812 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 17:59:01.55 ID:C6l4Y3jA.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね
ID:SFFxcmct と ID:YIzEI6dp が、おサルか；ｐ）

>>735-747
>誤　添え字の大きさ
>正　濃度

違うよ
いま、任意無限集合Aを整列させる話だから
順序数との対応（順序同型）が問題になる
だから、濃度でなく整列順序の長さつまりは順序数との対応を考えるから
添え字の大きさの方が正解です
下記の尾畑研東北大の１～１６章を全部百回音読してね

>Aが可算なら可算選択公理無しで整列可能。>>739で証明済み。

　>>739より
Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
(引用終り)

なるほど、その証明は成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな）
そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる
下記カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある
”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり）
なので、やっぱ可算選択公理いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのにそれが言えない場合が出る）

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第1章
略す
第16章

つづく
813 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 17:59:32.77 ID:C6l4Y3jA.net]: つづき

ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
可算選択公理
→詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点
xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する数列S∖{x}が存在する」
という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。
ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
Weaker systems
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7]
Equivalent forms
There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9]
略す
(引用終り)
以上
814 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 18:27:33.96 ID:C6l4Y3jA.net]: >>748
>循環参照では？という疑いの目で見直してごらん　思い込みはダメよ

ん？下記？
　>>714より引用
　aα=f(A-{aξ：ξ<α})　と定義したのだから
　aに先立ってfの定義が必要
　fの定義域がaでつくられるとか完全な循環論法
(引用終り)

現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記）
とあるよ

f：A-{aξ：ξ<α} → aα
で終わってない？
815 名前：(参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 関数 (数学) 現代的解釈 ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。 集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である[注釈 2]。 []: [ここ壊れてます]
816 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:32:57.09 ID:SFFxcmct.net]: >>749
>だから、濃度でなく整列順序の長さつまりは順序数との対応を考えるから
>添え字の大きさの方が正解です
だから長さはsup{α|aα is defined}だと何度言えば分るの？
そもそもfの定義域P(A)-{{}}の元に添え字付けなんて要らない。なんで使ってもいない添え字が要ると思うの？　馬鹿なの？

>下記の尾畑研東北大の１～１６章を全部百回音読してね
何回音読しても君の持論が正しくなることは無い。
817 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:33:09.56 ID:SFFxcmct.net]: >　>>739より
>Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
>∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
>∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
>(引用終り)
>なるほど、その証明は成り立っているようだが（Nを順序数の一部と見れば Jechの証明と同じかな）
ぜんぜん違うけどｗ
Jechの証明は選択公理を使っている。>>739は使っていない。天と地ほど違う。馬鹿なの？

>そもそも、”Aが可算集合”の範囲が問題となる
意味不明。

>下記カントールらは”無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている”とある
>>739は使っていないからまったくナンセンス。

>”ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算である”（いわゆる可算和定理 en.wikipediaにも記載あり）
>なので、やっぱ可算選択公理いるよね（可算選択公理があれば、可算と言えるのにそれが言えない場合が出る）
不要。
>>739は可算集合の可算和を使っていないから。

口を開けば間違いばかりだね君。もう口閉じたら？　そんなに馬鹿自慢したい？　されても困るだけなんだがｗ
818 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:46:23.64 ID:SFFxcmct.net]: >>751
>現代的関数の定義は、対応関係で ”一定の法則性を持たせる必要はない”（下記）
>とあるよ
一定の法則性を持たせていないからまったくナンセンス。
そもそも選択関数は存在しか言えないのに、なんで一定の法則性という話になるんだよ。まったく分かってないね。

>f：A-{aξ：ξ<α} → aα
>で終わってない？
終わってるのは君。
aα=f(A-{aξ：ξ<α}) は、aαを使ったfの定義ではなく、fを使ったaαの定義。
aαの定義にfが使われてるんだからaαを使ってfを定義したら循環参照になるだろと言ってるんだけど、人の話を聞けないの？　認知症かい？
819 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:48:14.04 ID:SFFxcmct.net]: もう認知症ザルは口開かなくていいよ。
人の話を聞かずに独善持論を繰り返してもまったくナンセンスだから。
820 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 18:50:26.69 ID:SFFxcmct.net]: 認知症ザルに聞きたいんだけど
君、a0∈Aをどう選ぶつもり？
821 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:36:51.03 ID:w5k5tJaP.net]: >>751
>f：A-{aξ：ξ<α} → aα
>で終わってない？

それは定義ではない
これが定義

f : S(⊂A)→x(∈S)
a : α→f(A-{aξ：ξ<α})
822 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 19:41:27.25 ID:w5k5tJaP.net]: まず、集合族P(A)-{Φ}に対し選択公理を適用して、関数fの存在を示す
その上で、この関数fを使って、順序数からAへの関数を帰納的に定義する
これが、選択公理から整列定理を導く証明

分からん奴は大学数学無理
823 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 20:20:58.25 ID:n4GbW2On.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>754-758
　>>751より
f：A-{aξ：ξ<α} → aα
で終わってるよね

fは、現代的関数の定義として
入力と出力の対応が示せれば
それが関数です

で、その特殊例として
関数f(x)がある式で書けるとかの
場合を否定はしないが

議論の必要ないよね
(あほ二人の”アナグマの姿焼き")だろ？ｗ；ｐ）
824 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 20:42:19.43 ID:n4GbW2On.net]: >>752-753
さて
　>>667より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて
その部分集合として
Aから一つずつ Aの要素を取り出して集合族A-{aξ：ξ<α}を作る

集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる
部分集合を作る公理は、置換公理を使う(>>667）

この集合族A-{aξ：ξ<α} からなる部分集合は
{A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、集合A と同じ濃度だ
（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか一対一対応）

よって、Aが可算ならば集合族A-{aξ：ξ<α} からなる部分集合も可算
なので、可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて
可算集合Aの整列が可能

このJech類似の証明と君の　>>739より
Aが可算⇔全単射f:N→Aが存在する。
∀n,m∈N.n<m⇔f(n)<f(m) によって(A,<)を定義したとき、
∀B⊂A.f(minf^(-1)(B))=min<B∈B だから、Aは整列集合。
(引用終り)

を比較すると、Jech類似の証明もまた良さがある
つまり、整列可能定理とは、集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
有限集合で行うことを、任意の無限集合で実現するもの

上記の Jech類似の証明もまた可算集合Aから要素を一つずつ取り出して並べるという
ことをしている　”as desired”に（>>631 en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem ご参照）

君の >>739の証明では、可算Aと Nとのなにか全単射の存在のみ言えるが
本来整列可能定理が持っている ”as desired”に集合Aから要素を一つずつ取り出して並べる
が、言えていない。可算選択公理を仮定しない分そこが弱い
825 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 20:45:10.81 ID:n4GbW2On.net]: >>760 タイポ訂正

（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか一対一対応）
　　↓
（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとが一対一対応）
826 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 21:29:13.83 ID:SFFxcmct.net]: >>760
>Aから一つずつ Aの要素を取り出して
だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど

>集合族A-{aξ：ξ<α}を作る
（中略）
>そこが弱い
まったくデタラメのゴミ駄文。

任意の集合Aとある順序数λとの間に全単射が存在するなら整列順序(A,>)を構成できる。
Aが可算なら定義から自明にλ=ω。
任意の集合Aに対し選択関数を使ってλ=sup{α|aα is defined}を構成してるのがJechの証明。
827 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/28(火) 23:02:49.85 ID:n4GbW2On.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>762
>>Aから一つずつ Aの要素を取り出して
>だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど

　>>667より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

終わってんじゃん
これで！！ｗ；ｐ）
828 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:27:26.23 ID:SFFxcmct.net]: >>763
>>>Aから一つずつ Aの要素を取り出して
>>だからどうやって取り出すのか聞いてるんだけど
>aα=f(A-{aξ：ξ<α})
つまり a0=f(A) じゃん
つまり a0はfを使って取り出してるじゃん
つまり a0,a1,a2,・・・のいずれもfを使って取り出してるじゃん
つまり a0,a1,a2,・・・のいずれもfが未定義なら取り出せないってことじゃん
で、おまえは a0,a1,a2,・・・を使ってfを定義すると？　それ循環参照じゃん　だってfでfを定義すると言ってるんだから

馬鹿なおまえでも分かっただろ？　これで分からなきゃ死んだ方がいいよ

>終わってんじゃん
おまえがなｗ
829 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/28(火) 23:38:58.77 ID:SFFxcmct.net]: 人の話を聞く耳持たない独善ザルは無事に公開処刑されますた
R.I.P.
830 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:52:30.39 ID:EVVFWOG9.net]: >>760
>ここで、Aのべき集合から空集合を除いた P'を考えて、その部分集合として、
>Aから一つずつ Aの要素を取り出して集合族A-{aξ：ξ<α}を作る

STOP！
「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ
ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要

なぜか？
それは、要素を取りだす行為が有限回で完結しないから
したがって部分集合が空でないなら、かならず要素が取り出せることを保証せねばならない
それが選択公理　わかった？
831 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 05:57:14.93 ID:EVVFWOG9.net]: >>760
>集合族A-{aξ：ξ<α}を集めると、P'の部分集合になる
>部分集合を作る公理は、置換公理を使う
　そもそも部分集合族A-{aξ：ξ<α}なんて要らない
　「Aから一つずつ Aの要素を取り出」すために
　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」があればいい
　超限帰納法によって各取り出し行為に順序数を割り付けるのは
　選択関数を定義した後の話であって、選択関数の構成ではない
832 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:01:45.22 ID:EVVFWOG9.net]: >>760
> 集合族A-{aξ：ξ<α} からなる部分集合は
> {A-{aξ：ξ<α}}を一つの要素と数えると、
> 集合A と同じ濃度
>（∵ A-{aξ：ξ<α} と aαとか一対一対応）
> よって、Aが可算ならば集合族A-{aξ：ξ<α} からなる部分集合も可算なので、
> 可算選択関数 aα=f(A-{aξ：ξ<α}) と見ることができて
> 可算集合Aの整列が可能

ダメ
そもそも集合族A-{aξ：ξ<α}をつくるのに
「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」
を使ってる
「Aの空でない部分集合全体」は非可算
したがって、可算選択公理ではできない
833 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:07:14.32 ID:EVVFWOG9.net]: >>760
Jechの証明でいえること

Aの整列には、集合族P(A)-{Φ}に対する選択公理が必要
濃度Oの整列には、濃度2^Oの選択公理が必要

もちろん逆もいえる
Aが整列されていれば、Aの任意の空でない集合からその中の最小元が取り出せる
濃度Oの集合の整列から、濃度2＾Oの集合族の選択が可能となる

要するに◆yH25M02vWFhPの連想ゲームは全くトンチンカンでしたぁ！
834 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 06:11:49.15 ID:EVVFWOG9.net]: 可算濃度をアレフ0と表す
2^O=アレフ0　となる濃度Oは存在しない

つまり、Jechの方法では
可算選択公理で可算集合の整列はできない

別のやり方では？知
835 名前：らん []: [ここ壊れてます]
836 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:24:37.15 ID:BOFoeGBB.net]: 独善ザル、公開処刑されたのは自分だとやっと気づいたようだね
ヒトに1歩近づいたね、あとω歩必要だがｗ
837 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:47:53.07 ID:en0YjtqX.net]: >>771
仕方ない　工学部では「集合と位相」なんて教えないから

これを機会に無論理的連想ゲームをやめるこった

そのせいで、大学１年の微分積分も線形代数も落ちこぼれたんだから

原因がわかってよかったじゃないか　なぁ
838 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 12:50:31.34 ID:eA1X2gnh.net]: ただ、率直に言って、選択公理からの整列を示す定理の証明は
今までの話題の中でも、もっともプリミティブだった

これすら正確に読解できないとすると
数学書のどんな定理の証明も正確に読解できないだろう
そのくらいプリミティブ
839 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 13:52:24.06 ID:BOFoeGBB.net]: 整列定理の証明の胆は全単射φ:sup{α|aα is defined}→Aが存在することだと思う。が、
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
の証明ではsup{α|aα is defined}がwell-definedであることが示されていないね。
これで証明になってるのだろうか。
840 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:20:46.02 ID:uwj/IkOX.net]: >>774
もし、sup{α|aα is defined}が存在しないなら、
順序数全体（集合ではなく固有クラス）からＡへの単射が存在することになる
これはＡが集合であることと矛盾する
したがってsup{α|aα is defined}は存在する
841 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:29:47.26 ID:UtpQjlAI.net]: 整列定理は、松坂和夫の本や彌永親子の本ではツォルンの定理を経由して証明しておりゴタゴタしている
齋藤正彦の本の証明は、Jechの本と同一であり、参考図書を見たらJechのSet Theoryと書いてあった

ブルバキの数学原論　集合論　２　では、
集合族P(A)-Aから、自分の要素でないAの要素を取り出す選択関数を使っていた
この場合{}から始めることになるが、Aになったところで終わるという寸法　要するに裏返し

§２整列集合　３．ツェルメロの定理（ｐ２４－２５）　に　定理１（ツェルメロ）とあるが、
これがツェルメロの原証明かどうかはちょっとわからん
842 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 14:31:42.34 ID:UtpQjlAI.net]: >>776
誤　ツォルンの定理
正　ツォルンの補題
843 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:53:40.29 ID:s7oLTcE3.net]: >>764-770
>「Aから一つずつ Aの要素を取り出して」のところ
>ここで、Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要

選択関数と普通の関数の区別分かっている？

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Axiom — For any set X of nonempty sets, there exists a choice function f that is defined on X and maps each set of X to an element of that set.
Formally, this may be expressed as follows:
∀X[Φ not∈ X⟹∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A) ]

ここは式が複雑なので原文を見るのが良いが、”f(A)∈A”が一番の要点、つまり集合族の全てのAに対して f(A)=a ∈A が成立しているということ
f(A) が、選択関数で fが選択関数だ
f(Ai)のようにAに添え字iを付けた方が分かり易い（iは可算(自然数など)とは限らないが）
”∃f:X→⋃A∈X A ∀A∈X(f(A)∈A)”なので
f；X→Ai→ai∈Ai のように、→が2段になっている（なので{a
844 名前：i}は、Xの部分集合ではない） 下記の尾畑研 f：R→R では、y=f(x)でx→y もっと書けば、順序対(x,y) で "公理論的集合論と写像" の如く、"直積集合の部分集合X x Y"だという www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-4_shazo.pdf 尾畑研東北大 2018 第4章写像 公理論的集合論の立場では、考える対象はすべて集合であるから写像もまた集合として導入される 直積集合の部分集合X x Yで定理4.1 (ii)に述べた性質をもつものを写像の定義とする 必要に応じて対応としての写像f：X→Yを導入すればよい これを踏まえて >>763 Thomas Jech To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence (aα:α<θ) that enumerates A. That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A. We let for every α aα=f(A-{aξ：ξ<α}) if A-{aξ：ξ<α} is nonempty. Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}. Clearly,（aα：α< θ) enumerates A■ ここで、Sが我々の考えているP'=P(A)-{Φ}だとして 集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で A-{aξ：ξ<α} を下記に展開すると {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合 （明らかに、集合Aと同じ濃度） だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える） さらに、下記の包含関係が成立している A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・ だから、順序数の添え字付けも、この点からも首肯できる その上で、Jech氏証明の選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα この関数は、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域で 関数値の aαは、上記包含関係の列の前後の項の差分だと思えば良い []: [ここ壊れてます]
845 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 14:59:08.16 ID:s7oLTcE3.net]: >>778 タイポ訂正

f(A) が、選択関数で fが選択関数だ
　↓
f(A) の fが選択関数だ
かな
846 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:09:06.83 ID:kC12UE77.net]: Sの部分集合の形成には、選択関数は必要
aα₌f(A-{aξ：ξ<α})
「f(A) の fが選択関数」でしょ？
847 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:21:43.24 ID:BOFoeGBB.net]: >>778
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要
大間違い。
a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。

ほんと頭の悪いサルだねえ
848 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:25:15.80 ID:BOFoeGBB.net]: いやあ、ここまで説明を重ねられてまだ理解できてないって衝撃的な頭の悪さだね
世の中広いね　ここまで頭の悪い人が居るんだね
ああ、人でなくサルだからかｗ
849 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/29(水) 15:30:00.93 ID:s7oLTcE3.net]: >>773
ご苦労さんｗ
なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ；ｐ）

１）証明は、君が独り言ちたように、一つではない
　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766
　ってそれあったかな？ｗ
２）いや、「Aの空でない部分集合」を考えるのは良いよ
　そして、個人として
　「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」を考えるのも君の勝手だ
３）だが、”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”
　と言い出すと、話は別だよ
４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも
　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それはいままでも。何度もね）

なんか、大学初年生に諭している気分だなｗ；ｐ）
850 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/29(水) 15:35:35.99 ID:s7oLTcE3.net]: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

血の巡りの悪い人がいるね

>>781
>>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要
>大間違い。
>a0:=f(A) つまり選択関数fは必要。

アホさる>>7-10 の強弁、無様
必死の論点ずらしだ
笑えるな

30年前数学科修士まで学び
あれから30年経った（薹（とう）の立った）男のザマがこれか？
あんた、数学の才能ないねｗ；ｐ）
851 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:40:49.68 ID:en0YjtqX.net]: >>783
>「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも
> Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、778に示した
　示せてないけど

> なんか、大学初年生に諭している気分だな
　万年高３が何イキってるの?
852 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:43:40.34 ID:vOWqKixW.net]: >>784
> 血の巡りの悪い人がいるね
◆yH25M02vWFhPのことね

> ●の強弁、無様
> 必死の論点ずらしだ
> 笑えるな
　自分で自分を笑うのかい？

> あんた、数学の才能ないね
　あんた＝◆yH25M02vWFhP
853 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 15:57:12.10 ID:BOFoeGBB.net]: >>783
>　”Aが無限集合なら「Aの空でない部分集合からその要素への選択関数」が必要”>>766
>　ってそれあったかな？ｗ
選択関数無しでどうやって無限個の元を並べるつもり？ <
854 名前：br> あんたはナイーブに >Aから一つずつ Aの要素を取り出して とか言っちゃってるけどさ >４）「Aの空でない部分集合からその要素への”選択関数”」無しでも >　Thomas Jech氏の証明が成り立つことは、>>778に示した（それはいままでも。何度もね） 上の問いに答えられてないからただの妄想。 []: [ここ壊れてます]
855 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:00:34.22 ID:BOFoeGBB.net]: >>784こそが、真の論点ずらし
なぜなら「可算と限らない無限個の元をどうやって並べるのか？」に答えず逃げてるから
856 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:11:36.05 ID:BOFoeGBB.net]: >>784
おサルさんは理解してないだろうけど
>Aから一つずつ Aの要素を取り出して
というナイーブな考えが通用するのはAが有限集合のときだけ。
つまりおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。
おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ
857 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:28:00.28 ID:Cylmrq2N.net]: そもそも、選択関数fの定義域をAと同濃度の集合に縮小する必要が全くない

◆yH25M02vWFhPが「可算整列定理には可算選択公理」とかいう
論理と無関係の連想ゲームを正当化したがってるだけ

だから万年高校三年生って言われるんだよ
858 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 16:51:16.52 ID:BOFoeGBB.net]: 「自分が思いついたことは価値あること」
そう信じたくて仕方無いんだろうね
自己愛性人格障害の症状かな
859 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/29(水) 18:13:21.64 ID:s7oLTcE3.net]: >>778 補足
(引用開始)
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数は不要（置換公理が使える）
(引用終り)

＜補足＞
１）かように、Aのべき集合全体(空集合抜き)の選択関数は不要
２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
３）調べると可算集合Aを整列させるためには、従属選択公理が必要とある
（下記の独 de.wikipedia ご参照。en.wikipediaにも類似記載あり。
　即ち、”to construct a sequence using countable transfinite recursion”
　なお、Axiom of countable choice en.wikipedia は、”for every n∈N”つまり、順序数の長さでω（＝N）が限界）

(参考)
de.wikipedia.org/wiki/Axiom_der_abh%C3%A4ngigen_Auswahl
Axiom der abhängigen Auswahl
(google 英訳)
axiom of dependent choice
use
The axiom of dependent choice is a sufficient fragment of the axiom of choice to construct a sequence using countable transfinite recursion .

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Use
The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function
A with domain (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every
n∈N, there exists a function
f with domain N such that f(n)∈A(n)
for every n∈N.

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
860 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:29:54.16 ID:BOFoeGBB.net]: >>792
話を聞く耳持たない独善ザルはヒトとして認められません　残念！
861 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:36:35.62 ID:BOFoeGBB.net]: >>792
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
Aそのものｗ

>A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・
を得るにはaξが必要。
aξを得るにはfが必要。
fの定義域はP(A)-{{}}。
|P(A)-{{}}|>|A|。
よって
>２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
は大間違い。
指摘？　笑わせるなｗ　おまえは指摘される側だｗ
862 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:42:32.07 ID:EVVFWOG9.net]: ◆yH25M02vWFhPに捧げるｗ
https://www.youtube.com/watch?v=d8sziroHzjQ
863 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 18:59:20.75 ID:EVVFWOG9.net]: Jechの証明は
Aの空でない部分集合Sから要素a∈Sを選ぶ選択関数 f と
a∈AとS⊂AからS-{a}　
S1,S2,…⊂Aから∩Sn
を導く関数を組み合わせるだけのこと
864 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/29(水) 22:0 ]: [ここ壊れてます]
865 名前：4:56.41 ID:a/peK22S.net mailto: ”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”
＜あほ二人は、選択公理－選択関数が全く分かっていない＞

>>649に引き続き『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』の前に
Zorn's lemma を、取り上げよう
まず、マクラの続きです
下記 Akihiko Koga さんいいね

（参考：いつもお世話になっている Akihiko Koga さん）
www.cs-study.com/koga/set/lemmaOfZorn.html#TransfiniteMethod
Zorn の補題と選択公理のお話
(about Zorn's Lemma and Axiom of Choice)
by Akihiko Koga
25th Jan. 2020 (Update) 1st Aug. 2018 (First)
目次
概要
動機
選択公理とZorn の補題の内容
Zorn の補題の成分表
Zorn の補題は何に使えるのか
主な証明方法の種類
何が難しいのか(長いチェインを作る証明について）
【幕間 - 集合論の数取りゲーム -】
証明（長いチェインを作る）
同値な命題
テューキーの補題(Tukey's lemma)
ハウスドルフの極大原理(Hausdorff's maximal principle)
選択公理と類似の命題
選択公理より弱い命題
考察
ある応用における選択公理との対比(部分関数から全域関数への拡張)
Zorn の補題における選択公理の役割
ある種の構成的定義に関する妥当性
（「上の規則で作られたものだけが〇〇である」）
集合のクラス V における再帰的定義について
Zorn の補題における選択公理の役割 AGAIN
[比較的重要] 考察その２（二つの上昇原理 v.s. 一つの選択関数）
[比較的重要] 考察その３（上昇原理の考察 AGAIN．「...」の正体は？）
(2020.1.22 追加)
歴史
参考文献
手っ取り早く Zorn の補題の証明や応用などを知りたい人向けの情報
そのほか
より良い理解のために知っておいたほうが良いこと []: [ここ壊れてます]
866 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/29(水) 23:50:14.59 ID:a/peK22S.net]: メモ
repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/279730
Gentzenから始まる証明論の50年 : 順序数解析を中心として (証明と計算の理論と応用)
新井, 敏康 Aug-2022 数理解析研究所講究録
抄録: おおよそ1930-80年における証明論の主な結果・アイデアを，順序数解析(ordinal analysis)を中心として述べていく．但しこの期間の問題に関わる限り，90年以降の結果も一部盛り込む．尚，記述や記法は後に整理されたかたちで述べるので原論文のままというわけではない．したがって証明論の通史や学史のようなものをこの原稿に期待しないで頂きたい．ここでは紙幅の制限により証明の詳細は省いてある．sequent calculi（とε-calucliも少々）については[A2020a]をご参照願いたい．
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2228-10.pdf
Gentzen から始まる証明論の50年 - - 順序数解析を中心として
867 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:43:35.26 ID:1G3ukQJP.net]: >>797
>Zorn's lemma を、取り上げよう
>Akihiko Koga さんいいね

整列可能定理ならこっちが断然いいね
Jechの証明について解説してるじゃん
あんた、どこみてんの
www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04
868 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 03:55:26.98 ID:1G3ukQJP.net]: >>799
整列可能定理
任意の集合 X に対して，(X, ≤) が整列集合になる順序 ≤ が存在する．

整列可能定理は選択公理を使わないと証明できない．
直観的にはやっていることは以下のようなことである．

任意の集合の整列方法
・”集合Aから元を選んで”積んでいきます
・どんどん、どんどん、積んでいきます
・★無限に積んだら、その上におもむろに一個の元を置きます。ここが大切です。
・そしてその上にまた元を積んでいきます　これをAの元が尽きるまで繰り返します。

基本的にはこの方法しかない・・・
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

選択公理を使ってるのは”集合Aから元を選んで”の箇所
ここで、Aの任意の空でない部分集合から元を選ぶ選択関数を使っている
869 名前：現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [2025/01/30(木) 07:38:59.50 ID:o/pAlieb.net]: >>799-800
ありがとう
Akihiko Koga氏のサイトと資料は
旧ガロアスレで取り上げて、何度もお世話になっています
彼のサイトは、参考になるよね

で？
選択公理→整列可能定理の証明で
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って
書いてあるかな？
870 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 07:45:06.74 ID:o/pAlieb.net]: Zornの補題に向けて、メモ貼ります

saibanty0.blog.エフシーシー.com/blog-entry-355.html （URLが通らないので検索たのむ）
ｻｲﾊﾞﾝﾁｮの不定記 +数学いろいろ
帰納法で学ぶツォルンの補題とそれを利用した証明
2021/07/24
0. はじめに
　みなさんはツォルンの補題を知っているだろうか。選択公理と同値であり、定理の証明にコイツを使うときはことごとく証明が長かったりするアイツである。

　私は学部１年の後期の授業でツォルンの補題やそれを利用した典型的な証明（Zermeloの整列定理、(0でない)ベクトル空間の基底の存在定理、無限集合を２乗しても濃度が変わらないこと）を習い、その難解さに震えたことを覚えています。

　しかしながら、ツォルンの補題を利用した典型的な証明はどれも似たような手順を踏んでいて、読んでいるうちに「これって帰納法にかなり近いというか、むしろ帰納法の究極形なのでは・・・？」とも思えてきて、なんとなくそうなのだろうなという理解で過ごしていました。

　それからしばらく経ち、先日久しぶりにそれらの証明を読み返してみたら、もう少し色々なことが見えてきたのでメモしておこうというのが今回の記事です。帰納法はどこまで一般的な状況に拡張できるのか？を考えていくと、ツォルンの補題の証明やツォルンの補題を利用した証明の気持ちが見えてくる、というのが主張です。

1. さまざまな帰納法

2. ツォルンの補題を使った証明

('22 12/11追記)　進化チャート
871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:48:29.89 ID:dPVM7pkm.net]: >>792
> （明らかに、集合Aと同じ濃度）
> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく

「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない
872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/30(木) 07:57:41.45 ID:dPVM7pkm.net]: >>801
> で？
> 選択公理→整列可能定理の証明で
> 集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って

「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える
873 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 08:02:59.74 ID:BKOpIti/.net]: >>801
>選択公理→整列可能定理の証明で
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って
>書いてあるかな？

選択公理→整列可能定理の証明
集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
書いてあるかな？

全部、◆yH25M02vWFhPの勝手な連想ゲームじゃない？
874 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:08:19.75 ID:S0uv3c2L.net]: >>801
>選択公理→整列可能定理の証明で
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って
>書いてあるかな？
using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
思いっきり書いてあるんですけど？　あなた文盲ですか？
875 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 10:09:01.06 ID:Xxyr0Rol.net]: >>803-805

　まず >>763より
Thomas Jechの証明再録
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

１）
>> （明らかに、集合Aと同じ濃度）
>> ２）Aと同じ順序数（超限帰納）の選択関数で間に合うことを指摘しておく
>「同じ濃度(順序数)」では(無限)集合Aの要素を全て取り出したということは言えない

上記の"aα=f(A-{aξ：ξ<α})"で、一対一対応が出来ている
なので、aαの集合と A-{aξ：ξ<α}の集合の濃度は等しい（ベルンシュタインの定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）

２）
>「Aのべき集合（空集合を除く）」であれば(無限)集合Aの要素の全てが一度は必ず使われているので集合Aの要素を全て取り出したと言える

意味不明。上記”the family S of all nonempty subsets of A”
から、どうやって A-{aξ：ξ<α} たちを取り出す？
先制攻撃しておくが、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すよ
つまり、A' ⊂ S で、部分集合を構成する公理は、置換公理（or 分出公理）を使うのが基本です

３）
>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>書いてあるかな？

話は逆だよ。Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要って聞いたんだよｗ
そして、先制攻撃しておく
上記のように、集合A'：＝{A-{aξ：ξ<α}｜α < θ} は、Sの部分集合を成すので
置換公理（or 分出公理）を使えば良い。集合A'は、Aと等濃度
但し、可算選択公理（列ω限定）ではなく、従属選択公理(任意可算列)が必要>>792
以上

なお、下記のen.wikipedia を引用しておく。Jech, Thomasの証明が元だ
ここで、”as desired”にご注目

公理系は、基本やりたい数学をやれるように選ぶべし
但し、「やりたい放題」では、矛盾や脱線が起きる
ZFC公理系は、いろんな人が使って、「やりたいことやれるし、いままで矛盾や脱線が起きてない」
そうい公理系だってことよ

つづく
876 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 10:09:21.04 ID:Xxyr0Rol.net]: つづき

(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)
以上
877 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:16:53.18 ID:S0uv3c2L.net]: >>801
「Aから元をどうやって取り出すのか？」にあなたは「Jechの証明で終わっている」と答えた。
その証明に「using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A」と書かれている。
はい、詰みです。
878 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:22:57.37 ID:S0uv3c2L.net]: >>807
間違いを認められないおサルさんがなんか喚いてますが、まったくナンセンスですよ
>>809で詰んでますから
879 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 10:35:02.06 ID:Xxyr0Rol.net]: >>808 補足
>if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
>That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).

ここ
”leave aα undefined if it is. ”は、
A∖{aξ∣ξ<α} が empty のときは
関数”aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})”が
undefinedで良いってことだね（ちょっと分かり難いが）

そして、次の行で補足している（”That is”だね）
”or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated”
だが、この意味は
集合Aの整列が完成すれば、あとの選択関数は”undefined”だってこと！

つまりは、選択関数は Aの整列までで十分なのです！！；ｐ）
880 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:37:40.55 ID:9dHJAGwJ.net]: >>807
>>集合Aの整列には、Aと同濃度の集合族に対する選択関数を保証する選択公理で十分って
>>書いてあるかな？
>話は逆だよ。
>Akihiko Koga氏の選択公理→整列可能定理の証明で
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数が必要
>って聞いたんだよ

Akihiko Koga氏の証明では
集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている
日本語、読めないのかい？　二ホン●ル
881 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 10:41:55.32 ID:Xxyr0Rol.net]: >>811
まあ、数学の常識があれば
すぐ分かることだが
数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ；ｐ）
882 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:43:24.73 ID:9dHJAGwJ.net]: >>813
工学部卒の君に大学数学の常識なんか全然ないけどな
883 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:44:12.26 ID:9dHJAGwJ.net]: aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
だから　選択関数fなしには何もできません
884 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:45:23.81 ID:9dHJAGwJ.net]: >>811
> 選択関数は Aの整列までで十分なのです！！
　君、関数の定義知ってる？君の関数理解　間違ってるよ
885 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:48:55.62 ID:aKOY/rSZ.net]: 「個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数」
　そしてその独立変数の範囲は「Aの空でない部分集合全体」
　決して「A∖{aξ∣ξ<α}の全体」ではない
　なぜならA∖{aξ∣ξ<α}のaξで選択関数使ってるから循環してしまう
　整列と集合族の濃度の同一性なんて馬鹿な連想ゲームは不要
886 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:51:00.18 ID:aKOY/rSZ.net]: 選択関数の定義域の中には、整列の構成に用いない要素が山ほどある
だから、何？　見当違いな「効率化」は間違いの元
887 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:52:49.15 ID:aKOY/rSZ.net]: ◆yH25M02vWFhPが大学1年の微分積分と線型代数で落ちこぼれたのは
論理が分かっておらず、数学書に書かれてる証明が読めないから

まず、見当違いな連想ゲームをやめて、論理を理解しよう
888 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:54:07.41 ID:S0uv3c2L.net]: >>811
define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？

>つまりは、選択関数は Aの整列までで十分なのです！！；ｐ）
独善妄想。
using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A　の通り、選択関数の定義域はP(A)-{{}}。

君、もう詰んでるよ。詰んだら投了しないと人と認めてもらえないよ。サル扱いされるよ。それでいいの？
889 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 10:58:05.13 ID:S0uv3c2L.net]: >>813
>まあ、数学の常識があれば
>すぐ分かることだが
>数学の常識の無い人は、迷走する典型だなｗ；ｐ）
と、畜生界を迷走するサルが申しております。人間界に来たければ詰みを認めて投了しよう。
890 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:13:06.07 ID:PeOaATVi.net]: 選択公理は　マセマのキャンパス・ゼミじゃ書いてない
手を動かしてまなぶシリーズには書いてあるっぽいが
891 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 11:23:30.14 ID:Xxyr0Rol.net]: >>812
>Akihiko Koga氏の証明では
>集合Aの整列に、Aのべき集合（空集合を除く）の選択関数を使っている

下記だね。見た
これ、>>807-808の Jech, Thomas の証明と類似だね

Jech, Thomas では、”we can do by induction”（超限帰納）と、
”it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A”
という順序数αによる添え字付け手法を使っているんだ

で、君はある証明である手法が使われていることをもって
証明には、その手法が”必須”だと主張する

しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない
なお、下記の Akihiko Koga の記載は参考になるね（自分の数学認識をクリアにするために）。それは認める

(参考)
www.cs-study.com/koga/set/pointsOfSetTheory.html#WellOrder04
集合論の学習での重要なポイント
Some Important Topics in Basic Set Theory
by Akihiko Koga
10th Sep. 2018 (Update)

選択公理からの直接の証明
[前置き]
まず，選択公理を使って，A 以外の P(A) の集合，すなわち A の真部分集合 X ⊂ A に対して，X 以外の元を選ぶ関数 f
f : P(A) - {A} → A
f(X) ∈ A - X
を一つ決めておく．

図略す

実は，この関数を決めた段階で．A の上に一つの整列順序がすでに決まっているのである．それは，X が整列されたとしたら，その後ろに f(X) を置くという順序である．

図略す

もし，X を整列した部分に最後の元 y があれば，f(X) はその直後の元であり，y は f(X) の直前の元である．また，もし，X を整列した部分に最後の元が無い場合，つまり，... と無限に続く場合は，f(X) の直前の元はない．どちらにしても， f を決めた段階で，このように A の整列順序が１つ定まるはずである．
整列可能定理の証明は，この直観が正しいことを丁寧に示し�
892 名前：ﾄいくことになる． [前置き終わり] 以下，上の直観的な議論を実際に証明に落としていく． [Proof of 選択公理から整列可能定理] 任意の集合 A に整列順序を入れることができることを証明する． 実は，この証明は次の節の Zorn の補題の証明を焼き直したものである． 略す []: [ここ壊れてます]
893 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:28:38.25 ID:S0uv3c2L.net]: >>816
おサルさんは関数から分かってないね。
894 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:28:51.75 ID:S0uv3c2L.net]: おサルさんよ
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf
の13ページを見てごらん。これが分からなきゃ数学は無理なので諦めな。
895 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 11:30:38.40 ID:Xxyr0Rol.net]: >>820
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？

関数とは、対応です（現代数学では）
対応の相手が、未定義ならば
その部分は、関数として未定義だよ
896 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:02.38 ID:S0uv3c2L.net]: >>817
おサルさんは「循環」がどうしても理解できないようだね。
そこが人間の知性を持たないサルの限界。
897 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:31.27 ID:Lfcn9eKQ.net]: Koga氏の証明の元はおそらくブルバキ数学原論
なぜ、そういいきれるかといえば、
実際にブルバキ数学原論を確認したから
898 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:32:59.94 ID:Lfcn9eKQ.net]: >>823
> 君はある証明である手法が使われていることをもって
> 証明には、その手法が”必須”だと主張する
> しかし、ある手法が使われていることから、”必須”は言えない
　必須なんて誰もいってないけどな
　証明で、用いてる、といってるだけだが
　君、幻聴が聞こえるの？
899 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 11:34:31.17 ID:Xxyr0Rol.net]: >>826 補足
>Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。
>選択関数ではなくaαの定義。君は文盲かい？

だから
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけつまみ食いして良いんだよ

美味しいところだけ、つまみ食い
そうすれば、選択関数の節約になるよ
集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ
900 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:36:43.18 ID:Lfcn9eKQ.net]: >>826
> 関数とは、対応です（現代数学では）
　そこ、誰も否定してないけど

　で、P(A)-{φ}の要素のうち、A-{aξ|ξ<α}として現れないものは
　選択関数の定義域から削っていい、というのはどういう理屈？

　君が勝手にそう思い込んでるだけだろ？
901 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:38:33.15 ID:Lfcn9eKQ.net]: >>830
> だから　必要な部分
> ”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
> ここだけつまみ食いして良いんだよ
　素人の馬鹿判断
> 美味しいところだけ、つまみ食い
> そうすれば、選択関数の節約になるよ
> 集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ
　素人の馬鹿判断
902 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 11:39:37.90 ID:Xxyr0Rol.net]: >>830 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
ここだけつまみ食いして良いんだよ
美味しいところだけ、つまみ食い
そうすれば、選択関数の節約になるよ
集合Aの濃度の範囲の選択関数に節約できるってことよ
(引用終り)

つまみ食いするメリットは
可算集合Aに対して
Jech, Thomas の証明をちょっと変えるだけで
従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから
903 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:39:39.03 ID:Lfcn9eKQ.net]: つまみ食いとか節約とか
しなくていいことをするから自爆する

下手な考え休むに似たり
904 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:40:34.80 ID:S0uv3c2L.net]: >>826
これは酷い。

対応の相手は定義されている。
なぜなら選択公理が選択関数f:P(A)-{{}}→Aの存在を保証しており、存在例化によりfは一意に定まるから。
尚、定義域がP(A)-{{}}であることは
a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
の通り。

なにひとつ理解していないおサルさんでしたとさ
905 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:45:29.84 ID:9dHJAGwJ.net]: >>833
>つまみ食いするメリットは
>可算集合Aに対して
>Jech, Thomas の証明をちょっと変えるだけで
>従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
>順序数αは、可算の範囲（ωを超えるとしても）で済むのだから

DCじゃダメだね
DCo(oは可算順序数)にしないと
906 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:49:05.65 ID:S0uv3c2L.net]: >>823
じゃ選択関数f:P(A)-{{}}→Aを使ってない整列定理の証明を示して

できないことを言うもんじゃないよおサルさん
907 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 11:52:59.30 ID:9dHJAGwJ.net]: 考え無しに連想ゲームの結果を口に出し
それが見当違いだと指摘されても
自分の誤りを認めたくないあまり
ああだこうだと正当化する

自惚れ無能ほど見苦しいものはない
908 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 12:00:59.89 ID:Xxyr0Rol.net]: >>833 補足
(引用開始)
必要な部分
”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
(引用終り)

選択関数 aα=f(A-{aξ|ξ<α})
の構成を二つのステップに分ければいい

1st ステップ
定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分
ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる
だから、置換公理で間に合う

2nd ステップ
f；A-{aξ|ξ<α} → aα
これで選択関数が構成できた
（Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う）
909 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:06:51.58 ID:S0uv3c2L.net]: >>830
>必要な部分
>”補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ”
>ここだけつまみ食いして良いんだよ
つまみ食いも何も、そもそもそれ、aαの定義であってfの定義ではない。

fの定義は
a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A
で尽きている。
allって書かれてるがなｗ　どこにも必要な部分なんて書かれてないぞ、おサルさん

自分で生み出した妄想に捕えられ身動きできないおサルさん、解放されて自由になるには人の話を聞く耳持つしかないよ
910 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:13:07.68 ID:S0uv3c2L.net]: >>830
define an element aα that is in A by setting aα=f(A-{aξ|ξ<α}) if this complement A-{aξ|ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
Aの元aαを、補集合A-{aξ|ξ<α}が空でないなら aα=f(A-{aξ|ξ<α}) なる設定により定義せよ、あるいはそれが空ならaαを未定義のままとせよ。

define の目的語は何？　an element aα では？　ならこの文はaαの定義であってfの定義じゃないじゃん

ここまで言わんとダメなん？　おサルさん中学校からやり直せば？
911 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:18:29.75 ID:S0uv3c2L.net]: >>833
>つまみ食いするメリットは
つまみ食いできるは妄想だからナンセンス

屁理屈こねる前に中学英語を学習しよう　君、他動詞の目的語が分かってないよ
912 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:24:27.91 ID:S0uv3c2L.net]: >>833
>従属選択公理で、可算集合Aの整列が言える
可算集合Aの整列に選択公理（いかなる亜種も含め）は不要。
最小の極限順序数ωとの全単射φ:ω→Aが順序同型写像となるような順序(A,<)を構成できるから。
913 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:33:06.96 ID:S0uv3c2L.net]: >>839
>1st ステップ
>定義域 {A-{aξ|ξ<α}｜α < θ} を構成する部分
>ここは、the family S of all nonempty subsets of Aの部分集合になる
>だから、置換公理で間に合う
aξの定義にfを使っている。

>2nd ステップ
>f；A-{aξ|ξ<α} → aα
fの定義にaξを使っており、aξの定義にfを使っているから循環参照となっており、fはwell-definedでない。

>これで選択関数が構成できた
できてません

>（Aが可算ならば、従属選択公理で間に合う）
誤解にもとづく妄想です

以上、畜生界を彷徨い続けるおサルさんでした
914 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:39:12.88 ID:S0uv3c2L.net]: おサルさん
まだ投稿するならその前に他者のレスを全部読んで消化してね
言葉が通じないサルは人間扱いされないよ
915 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:40:38.59 ID:Lfcn9eKQ.net]: 1st　ステップ
Aの空でない部分集合からその要素への選択関数fを定義する

2nd　ステップ
上述のfを用いて順序数からAの要素への関数aを超限帰納法により定義する

fが先、aが後　
fなしにaは定義すらできない
916 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 12:51:24.23 ID:S0uv3c2L.net]: まあおサルさんは大学数学の前に中学英語からやり直した方が良い
define an element aα・・・がfを定義する文と誤読してるようじゃ話にならない
917 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 13:24:34.40 ID:Xxyr0Rol.net]: 　>>776より
Thomas Jechの証明再録（>>667より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■

集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S で
A-{aξ：ξ<α} を下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
（明らかに、集合Aと同じ濃度）
だから、Sの部分集合の形成には、選択関数はこの段階では不要（置換公理が使える）

さらに、下記の包含関係が成立している
A⊃A-{a0}⊃A-{a0,a1}⊃A-{a0,a1,a2}⊃・・⊃A-{aξ：ξ<α}⊃・・
（要するに、Aから一つずつ減らす一つの全順序チェーンが、Sの部分集合として取り出せたってこと。transfinite induction ）

だから、集合族A-{aξ：ξ<α}に対する順序数の添え字付けは、この点からも首肯できる
この集合族に選択関数を適用する

Jech氏証明の選択関数 f：A-{aξ：ξ<α} → aα
この関数については、A-{aξ：ξ<α} が集合族で定義域である
対応する関数値の aαは、上記包含関係の列の前後の項の差分になっている■
918 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 13:43:21.37 ID:x3N6C0kB.net]: aα=f(A-{aξ：ξ<α})

選択関数fなしに順序数からAの要素への関数aは定義不能

六甲山の●ルこと◆yH25M02vWFhPは
微積、線型代数に続き集合論でも●んだ
919 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 13:50:57.95 ID:PeOaATVi.net]: ★　A→a0
※　A,a0→A-{a0}　
★　A-{a0}→a1
※　A-{a0},a1→A-{a0,a1}
★　A-{a0,a1}→a2
※　A-{a0,a1},a2→A-{a0,a1,a2}
・・・

★の箇所が選択関数
※は単に要素を１つ抜いてるだけ

馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決める
920 名前：と誤解するだろうが 実際はAの任意の空でない集合に対してその要素をとる選択関数を一挙に決める だから、適用前に選択関数の定義域の制限なんてできない []: [ここ壊れてます]
921 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:26:36.37 ID:S0uv3c2L.net]: >>848
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数はこの段階では不要
a0ってなに？
922 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:35:16.71 ID:S0uv3c2L.net]: >>850
>馬鹿は★のところでその都度、好き勝手に要素を決めると誤解するだろうが
それは不可だね。Aが有限集合でない限り。
だから選択公理が要る。

要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。
おサルさんはカントールがそうしていたことをしばしば口にするが、実はおサルさん自身だったｗ
923 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 14:42:25.88 ID:S0uv3c2L.net]: >Aから一つずつ Aの要素を取り出して集合族A-{aξ：ξ<α}を作る（>>760）
が
>要するにおサルさんは選択公理を無意識に自明なものとみなしてしまっている。（>>852）
の証拠。
なぜならAが無限集合のとき選択関数fが定義済みでない限りそのような取り出しは不可能だから。
924 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 17:15:48.31 ID:Xxyr0Rol.net]: >>848 補足

ここで、選択公理のパワーを、従属選択公理DCに落としたときの問題点は
集合Aの（可算）濃度割当とか、順序数との対応付けで
この点については、下記の壱大整域 alg-d氏が参考になる
下記PDF 資料では、選択公理を使うとあるが
しかし、スコットのトリック(英: Scott's trick)があって
ZFC内で選択公理なしで正則性公理による方法がある

なお、さらに付言すると
集合族 A-{aξ：ξ<α} ∈S を下記に展開すると
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
だが

こいつは属人性があって
例えば Bさんの集合族と選択関数は a→a' (a≠a')でも良い
つまり
{A,A-{a'0},A-{a'0,a'1},A-{a'0,a'1,a'2},・・,A-{a'ξ：ξ<α},・・} とできる

また別のCさんが a→a'' (a≠a'')で
{A,A-{a''0},A-{a''0,a''1},A-{a''0,a''1,a''2},・・,A-{a''ξ：ξ<α},・・} とできる
各人勝手気ままだ

上記の集合族以外のSの要素は、もっと気ままで
どう決めようが、集合族
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
とは、何の関係もない！ｗ ■

(参考)
alg-d.com/math/ac/
壱大整域
選択公理
★お知らせ★　このページの内容が紙の本になりました。アマゾンで購入できます
（URLは通らないので略アマゾン選択公理: 同値な命題とその証明ペーパーバック – 2021/11/30
alg-d (著) 出版社 ‏ : ‎ Independently published (2021/11/30) ）

alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回関西すうがく徒のつどい
数学の諸定理と選択公理の関係 alg d 2013

2 濃度選択公理がないとまずヤバイのが濃度に関する話題で，まずはその辺りを見ていきます．

4 弱い選択公理

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%83%E3%83%88%E3%81%AE%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF
スコットのトリックとは真クラス上の同値関係についての同値類の定義を、累積的階層のレベルを参照することによって与える方法である
この方法は選択公理でなく正則性公理に依存している。選択公理を仮定しないZFにおいて順序数の代表元を定義するのに用いることができる[2]。この方法は Dana Scott (1955) によって導入された。
順序数の代表元を集合として定義する問題を超えて、スコットのトリックは基数の代表元を得たり、もっと一般的な同型類（英語版）にも用いることができる。例えば、全順序集合の順序型はその一例である

en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).
Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
略す
925 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 17:40:16.08 ID:1G3ukQJP.net]: >>854
思考できない馬鹿●ルは黙れよ
926 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 20:06:06.52 ID:S0uv3c2L.net]: >>854
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
>こいつは属人性があって
まったくトンチンカン。
なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。
そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。

君、脳みそ持ってないの？　使わないと持ってる意味無いよ
927 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 20:15:25.80 ID:S0uv3c2L.net]: 選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ
世の中広いねえ　こんな馬鹿もいるんだね
928 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 20:43:52.31 ID:o/pAlieb.net]: >>856-857
>なぜなら選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよいから。

”選択関数は存在さえすればよく、定義域のどの元の写像先も任意でよい”
は正しい！
だから、{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
は属人性があってよい
というか、そもそも一意ではない！！

>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。

それ、君の勘違いだよ
箱入り無数目でも、議論が噛み合わなかったがね；ｐ）
（多分、御大も同じ意見と思うけどね）

そもそも、公理というものは、公理の適用条件に合致すれば
必要か不必要かに関わらず、適用してよい
（不要なのに、適用したときは、牛刀でニワトリを割くにはなるけどね）

そうしておかなければ、選択公理を用いてある定理を証明したときに
その定理の適用のために、選択公理を使って良いか使わないかの場合分けが必要になるよ。それってバカでしょ？ｗ；ｐ）

>選択関数の属人性とか言う馬鹿はじめて見たｗ

選択関数は、抽象的だ
抽象的だから、いろんな場面で使える
しかし、ある場面で選択関数を具体化してはいけないということはない
選択関数を具体化できる場面があっても、それは可だ
929 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 20:48:37.85 ID:o/pAlieb.net]: >>858 補足

例えば、最初は”ぐー”でｗ；ｐ）
ある無限集合Aに対して、
先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を取り出して並べる
その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について整列可能定理を適用した列を並べる
そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ

別に、非可算の実数Rの整列において
まず、自然数を並べる 0,1,2,・・・
次に、負の整数 -1,-2,-3,・・・を
次に、上記以外の有理数 1/2,1/3,・・・を（適当に）
次に、上記以外の代数的数をならべる
次に、好きな超越数 πとかeとかを並べる
次に、残った実数に対して、整列可能定理を適用して整列させる
全てを直列につなぐ

すなわち、非可算の実数Rの先頭の可算部分は、自由度がある
整列可能定理があれば、残りの部分が整列可能定理で並べられるよ

要するに、整列可能定理の本質は公理だから、
具体的であっても、抽象的であっても
なんでもありです！！ｗｗｗ；ｐ）
930 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:14:10.77 ID:S0uv3c2L.net]: >>858
>>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。
>それ、君の勘違いだよ
じゃ反例示して
君の屁理屈は不要
931 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:19:53.13 ID:S0uv3c2L.net]: >>858
>しかし、ある場面で選択関数を具体化してはいけないということはない
選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。

君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。
だからaαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃうんだよ。
932 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/30(木) 21:25:20.76 ID:S0uv3c2L.net]: おサルさん、なんで>>851から逃げるの？

馬鹿であることがバレるのが恐いから？　大丈夫だよ　もうとっくにバレてるから
933 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/30(木) 23:48:19.16 ID:o/pAlieb.net]: >>860-861
>>>そもそも選択関数を構成できない命題においてのみ選択公理が必要なのだから、そのような命題において写像先が問題になるはずが無い。
>>それ、君の勘違いだよ
>じゃ反例示して

はっ？
なに言ってるの？
公理でしょ？
大は小を兼
934 名前：ねるだ 整列可能定理： 簡単に言えば、任意集合Aから、一つずつ要素を取り出して整列することができるってこと で、任意集合Aとして、自然数Nに適用して良い 勿論、我々は自然数Nのように素性の分っている集合は ある規則で整列出来ることは知っている しかし、勝手気まま気の向くままに自然数Nから一つずつ要素を取り出して整列させることができるか？ それが、可能かどうか？ 『可能』というのが、整列可能定理で、選択公理と同値だね >>しかし、ある場面で選択関数を具体化してはいけないということはない >選択関数を具体的に構成できるなら選択公理不要。 >君、選択公理もぜんぜん分かってないんだね。 はっ？ なに言ってるの？ 不要と禁止は違うよ 選択公理： 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる （あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』） ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 ここで、”空集合を要素に持たない任意の集合族”だから、この集合族がもし有限個の集合族であっても構わない 任意有限n個の集合族ならば、1個の集合から一つ選ぶことをn回繰り返せば良いから、選択公理は不要 選択公理は不要だが、有限族への適用は禁止ではない []: [ここ壊れてます]
935 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/01/31(金) 00:11:50.32 ID:6DephDfl.net]: >>861
>おサルさん、なんで>>851から逃げるの？

？ >>851か？
(引用開始)
>{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・} で、左記の集合は Sの部分集合
>（明らかに、集合Aと同じ濃度）
>だから、Sの部分集合の形成には、選択関数はこの段階では不要
a0ってなに？
(引用終り)

　>>859に書いた通りだよ、再録すると
例えば、最初は”ぐー”でｗ；ｐ）
ある無限集合Aに対して、
先頭有限n個の要素 a0,a1,・・,an-1 個を取り出して並べる
その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について整列可能定理を適用した列を並べる
そうすると、先頭有限n個の要素は、自由だ！ｗ
(引用終り)

まあ、a0は任意のAの要素
もっと言えば、自分の好きな任意のAの要素として a0を取って良い
例えば、実数Rを整列させるとき
ある人は、円周率πが好きで、先頭はπとして良いし
ある人は、サッカーが好きで、自然数 11（番）を最初にするとかね

で、ZFCにはルールがあって直接πや 11を選ぶのではなく
一旦、A-{π}やA-{11}という Aから一つ要素の減った部分集合の族を作る
そうやって、以下2番目に好き、3番目に好きとやって
{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
という集合族を作る
これが、”the family S of all nonempty subsets of A”>>848の
Sの部分集合だ（familyは、訳すと”族”だ）

S⊃{A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
ZFCのルールでは、部分集合を作るための公理がある
分出公理：分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの
ϕ に1つずつ公理が対応するため、これは公理図式である）ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
分出公理の上位互換が、置換公理だね

この集合族 {A,A-{a0},A-{a0,a1},A-{a0,a1,a2},・・,A-{aξ：ξ<α},・・}
に、選択公理を適用する
選択公理は、公理の常だがあらゆる場面に適用できるように抽象的表現になっている
しかし、具体的であることを妨げない
ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とする
ってこと >>848の Thomas Jechの証明の通りです■
936 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 01:52:52.48 ID:ZEnaPUQ0.net]: >>864
>その後ろに、残りの A-{a0,a1,・・,an-1}について整列可能定理を適用した列を並べる
整列可能定理を使って整列可能定理を証明すると？
あなた馬鹿なんですか？
937 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 01:56:52.37 ID:ZEnaPUQ0.net]: [Zornの補題]空でない順序集合A内で全ての鎖が上に有界であれば、Aは少なくとも一つの極大元を含む。
[定理]選択公理⇒Zornの補題
[証明]
選択公理により選択関数f:P(A)-{{}}→Aが存在する。
すべての順序数αに対し、{x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界} が空でないならAの元aαを aα=f({x∈A|xは{aξ|ξ<α}の外部上界}) で定義せよ、あるいは空であるならaαを未定義のままとせよ。
その時、C:={aα|aαは定義されている}は外部上界を持たず、またCはAの鎖であるから仮定によりCは少なくとも一つの上界を持つ。よってCは内部に唯一の上界supCを持ち、supCはCの極大元である。
938 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:27:36.38 ID:ZEnaPUQ0.net]: [補足]
Zornの補題は「A内の全ての鎖が上に有界」という条件がある。
仮にこの条件が無い場合、C:={aα|aαは定義されている}は内部上界を持つとは言えない。
例えば、αが任意の自然数の時その時に限りaαが定義されている場合、Cは内部上界を持たない。実際内部上界an∈Cを持つとするとan<a(n+1)∈Cだから矛盾。
939 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:42:03.34 ID:ZEnaPUQ0.net]: >>863
>はっ？
>なに言ってるの？
反例の意味を理解してね。
この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。
はい、逃げずに示してね。

>はっ？
>なに言ってるの？
選択関数を具体的に構成できるなら選択公理は不要と言っている。
理解できない君が馬鹿なだけ。
940 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 02:46:22.53 ID:ZEnaPUQ0.net]: >この場合の反例とは「選択関数を構成できず、かつ、選択関数の写像先が問題になるような命題」のことだよ。
ちなみに箱入り無数目も整列定理もZornの補題も選択関数の写像先は任意でよいので反例にはなりません。
早く反例示してね。
941 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:25:16.02 ID:uxf2uT9e.net]: >>857
選択関数は確かに１つではないが、
それはどこぞの●ルの
「選択関数削ってOK」
という主張の正当性を裏付けるものではない

●ルは六甲山に帰れ
942 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:27:08.62 ID:uxf2uT9e.net]: >>858
>（多分、御大も同じ意見と思うけどね）
　結局、御大の権威にすがる●ル

　典型的な社奴のヒエラルキー能
　どんだけ会社に飼いならされてんだ
943 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:33:50.62 ID:uxf2uT9e.net]: >>859
>(前略)

●ルは、Jechの証明における選択公理の使用が全く理解できませんでしたとさ

Ａのいかなる空でない部分集合についても
「この集合では、この要素を選ぶ」
という対応の一覧が存在すれば、それで第一段階ＯＫ

あとはＡから順序数の順にそって取り出すときに
上記の対応に基づいて取り出せばいい　それが第二段階

選択公理は第一段階の話
第二段階は選択公理と無関係

●ルは、どうやら第二段階を先に考え
各々の取り出しの回数制限が、
●●選択公理の●●であらわされる制限
だと思ってるらしい

んなこたぁない
公理のステートメントの文章が読める奴は
そんな初歩的な誤り犯さない

文章読めない奴が勝手に想像してドツボにハマる
連想ゲーム、憶測ゲームから卒業しないと
大学数学は理解できないよ
944 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:37:00.92 ID:uxf2uT9e.net]: >>861
> aαを使って選択関数fを定義するとかアホなこと言って失笑されちゃう
　そもそも関数が分かってないんだろうな　●ルは

　「使おうが使うまいが、あらかじめ対応の全てを用意する」ということが想像できない
　ヒトとして致命的な欠陥だな　●ルとしては問題ないんだろうけど
945 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:46:35.38 ID:uxf2uT9e.net]: >>863
> 選択公理：
> 空集合を要素に持たない任意の集合族に対して、
> 各要素（それ自体が集合である）から一つずつその要素を選び、新しい集合を作ることができる
>（あるいは『どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
> それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる』）

その通り

問題は選択公理を全く使用せずに
集合族　A-{aξ：ξ<α}
を定義できるか？

そしてその回答は不可
なぜなら　aξ=f(A-{aψ：ψ<ξ})　であって
選択関数f　を　思いっきり用いてるから

●ルのやってることは、
「選択公理に適用する集合族を構成するのに
　選択公理によって得られる選択関数を使う」
という循環論法
946 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:53:05.61 ID:uxf2uT9e.net]: >>864
>ｆ：A-{aξ：ξ<α} → aα とするってこと

●ルは文章が正しく読めないｗ

ｆ：P(A)-{Φ}→A　f(x)∈x

これが全て

で、A-{aξ：ξ<α}∈P(A)-{Φ}であるとき
xにA-{aξ：ξ<α}を入れた場合のf(x)（∈x）をaαとする
というだけのこと

別にA-{aξ：ξ<α}の全体を定義域とする、なんてことは
誰もいってないしいう必要もない

●ルは
「可算整列定理は可算選択公理で十分」
なんてまったく思索ゼロの連想ゲーム発言をしてしまい
それは誤りだと認めたくないから屁理屈こいてるだけ

こっちは●ルが論理分かってないって分かってるから
「なに●ルが人間面してんだ？　自分の顔、鏡で見ろ」
と思ってるだけ
947 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 06:59:14.05 ID:uxf2uT9e.net]: ●ルは自分が数学を理解するだけの能力があると思い込んでるようだが
残念ながらそれは嘘である

彼はいまだに大学１年の４月の挫折の原因を�
948 名前：ｳしく認識できておらず したがって壁を乗り越えることができない 欠陥（論理に対する無理解）を認識し これを乗り越える努力（具体的には論理の理解）を行わない限り どれほど数学書をチラ見流し見したところで何も理解できないだろう 論理を理解することがチラとか流しとかいう残念な状態からの脱却 []: [ここ壊れてます]
949 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 07:20:09.93 ID:BnEwySZf.net]: １０００回繰り返しても足りないようだ
950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 09:02:41.87 ID:eaAKgyxV.net]: >>877　論理が分かってないならね
951 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 09:09:45.36 ID:BnEwySZf.net]: 「度し難し」と言い捨てて去れないのはなぜ？
952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 09:11:42.60 ID:dbqYgDlX.net]: >>879
教育のし甲斐があるから
953 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 09:58:03.90 ID:BnEwySZf.net]: 手ごたえを感じているなら構わないが
954 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:12:35.12 ID:ZEnaPUQ0.net]: >>879
愚問
去りたい君が去れば良いだけ
955 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:16:09.45 ID:BnEwySZf.net]: 単なる通りすがりの素朴な疑問だが
異様さを感じたので言ってみただけ
べつに居つきたいわけではない
956 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:21:11.26 ID:ZEnaPUQ0.net]: じゃ去れ
957 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 10:23:15.54 ID:BnEwySZf.net]: そう言われると居つきたくなる
958 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:36:16.31 ID:6zgJq69L.net]: >>881
診断が当たってる手ごたえは思いっきり感じる
治療がすすんでる手ごたえは全く感じないが
959 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:38:15.45 ID:Z+Iwznf5.net]: >>885
君は、選択公理からの整列定理の証明、理解できたの？
960 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 11:47:19.03 ID:G8oJyMZ9.net]: >>883
>異様さを感じた

うん、◆yH25M02vWFhPの
「現代数学の系譜雑談」とかいうHN
膨大な量のコピペ
そして初歩レベルでトンチンカンな発言
すべてが異様だね

数学板の○大奇人の一人だね
961 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 12:20:27.40 ID:BnEwySZf.net]: >>887
そういう余計なお世話が異様
962 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 12:56:54.95 ID:ZEnaPUQ0.net]: 選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様
963 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:19:23.74 ID:BnEwySZf.net]: >選択公理やら整列定理やらに興味無いのにここに居座るのが異様
選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので
それをおちょくりの材料に使うのが見過ごせない
964 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:25:44.08 ID:ZEnaPUQ0.net]: >選択公理やら整列定理は非常に重要だと思っているので
ならそれらについて嘘八百吐き放題の輩になんで何も言わないの？
965 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:28:23.02 ID:BnEwySZf.net]: >>892
それはコスパまたはタイパの問題
966 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:30:42.58 ID:ZEnaPUQ0.net]: じゃなんてここに居るの？コスパ最悪やろ
967 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:31:20.89 ID:BnEwySZf.net]: 君にとって何が有効な時間の使い方かに
興味がある
968 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 13:45:50.85 ID:ZEnaPUQ0.net]: うわっきもっこいつ
他人より自分の時間の使い方考えたら？
969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:04:55.60 ID:fK8dKB13.net]: >>891
証明を正しく理解できないくせに
ペラペラしゃべりたがる奴のほうが
よっぽど数学をおちょくってる

おまえ、頭オカシイの？
970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:06:37.68 ID:fK8dKB13.net]: ＞コスパまたはタイパ
　小賢しいだけの大馬鹿が大好きな言葉

　学問は壮大な無駄の山上に立つ実に小さな金字塔
971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:08:44.33 ID:2ZhXacCX.net]: O澤TK夫とかいう奴は
OK同様に頭オカシイ

OKのどんな逸話を聞いても
数学は人を賢くせず
愚かしさを悪化させる
最悪の麻薬だと思う
972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 14:16:15.81 ID:eaAKgyxV.net]: どんな数学者も自分の愚かしさによる失敗を
容易に受け入れることができないが
そうしたところで○違いといわれるだけである
973 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 15:02:40.45 ID:ZEnaPUQ0.net]: [定理]Zornの補題⇒選択公理
[証明]
Sを空でない集合の空でない族とする。
∀s∈Sに対して、∀x,y∈s.x≦y⇔x=y により(s,≦)を定義する。
この時、∀s∈Sに対して、{c|cはsの鎖}={{x}|x∈s} が成り立ち、∀x∈s.xは{x}の上界であるから、sの全ての鎖は上に有界である。
よってZornの補題より∀s∈Sについてsは少なくとも一つの極大元を持つ。そのうちの一つをmsとする（存在例化）。
よって選択関数f:S→∪[s∈S]s を f(s)=ms で定義できる。
974 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 16:01:06.60 ID:ZEnaPUQ0.net]: >>901はちょっと保留　なんかおかしい　考え中
975 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 16:54:07.74 ID:ZEnaPUQ0.net]: >>901は証明になってなかった。
任意のs∈Sについて存在例化を適用できるからといって、Sの無限個の元すべてに適用できるとは言えない。それができるならそもそも選択公理は自明。
976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 18:05:47.48 ID:RjxG7czP.net]: 粗大ごみ教授は論文書くと昂奮して一時間50レス、1日200レスする
977 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/31(金) 19:14:50.36 ID:BnEwySZf.net]: OK＝岡潔？
978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/01/31(金) 20:08:02.83 ID:uxf2uT9e.net]: OK=oll korrect
979 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/02/01(土) 08:27:52.47 ID:lDxwqd7y.net]: >>877
ID:BnEwySZf は、御大か

＞１０００回繰り返しても足りないようだ

なるほど、下記
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)

これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を導入しているんだ
で、写像 g の全単射を言う
なるほどね

そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分（不可能の証明は難しいのでいまは深入りしないことに）

(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，￢|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．

α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．

よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは￢|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．

よってこれによりXを整列する事ができる．

(2 ⇒ 3)略す

(3 ⇒ 1)略す

おまけ
(2⇒1)略す
980 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:03:52.79 ID:YIkJbYsl.net]: >>907
>選択公理を A := P(X)-{φ} に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
ほらみろ、fの定義域は
981 名前：P(X)-{φ}じゃん >写像 g:λ→X∪{∞} を >g(α ) := f( X-{g(β)|β<α} ) >で定義する． ほらみろ、ここでfの定義なんてしてないじゃん 当たり前だよね、fを使って定義されたgを使ってfを定義したら循環になるんだから >これ分かり易いかも 分かってないの君だけ []: [ここ壊れてます]
982 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:07:50.16 ID:CqhFjAXa.net]: やめたら？
983 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:30:51.36 ID:O6ZvKR+h.net]: >>909
◆yH25M02vWFhPが
非論理的な連想ゲームを
やめたら？という提案に
全面的に賛同
984 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:51:27.35 ID:CqhFjAXa.net]: >>910
yH25M02vWFhP？
ちょっと見つからない
985 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 11:56:13.60 ID:O6ZvKR+h.net]: >>911
お迎えが近い
986 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/02/01(土) 13:47:03.95 ID:lDxwqd7y.net]: >>909
>やめたら？

ID:CqhFjAXa は、御大か
プロ数学者がいうのは

プロ数学者から見て
レベルの低い数学初級者丸見えのつまらんレスを ”止めれ！” ということだろう

『１０００回繰り返しても足りない』（>>877より）
とのプロのアドバイス
レベルの低い数学初級者丸見えのつまらんレスの
相手を１０００回繰り返して意味が無いという

なるほどと思って検索すると >>907のいつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏の
選択公理→ (整列可能定理) がすぐ見つかった(>>907)

alg-d 壱大整域氏 >>907の
証明 (1 ⇒ 2) の本質は
Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に選択公理の選択関数を適用すると
それが如何なる選択関数を採用したとしても

”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”
なる g を導入して

　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
の全単射写像 g が構成できる

順序数と Xとの全単射が構成できるということは、
即ち Xに整列順序が導入できたということ

レベルの低い数学初級者丸見えのつまらんレスの
相手を１０００回繰り返して意味が無いというアドバイス

なるほど
よく分りましたｗ；ｐ）
987 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 13:59:39.07 ID:YIkJbYsl.net]: >>913
>Xの冪集合 P(X)＼{Φ} に選択公理の選択関数を適用すると
選択関数の定義域の濃度は|X|ではなく|P(X)|
よって誰かさんの独善持論は嘘デタラメでしたとさ
988 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 14:01:09.15 ID:YIkJbYsl.net]: >>913
>順序数と Xとの全単射が構成できるということは、
>即ち Xに整列順序が導入できたということ
証明できる？
989 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 14:05:54.02 ID:YIkJbYsl.net]: まあ初級問題だから簡単にできるだろうね
まさかできないのに分かったふりしてることは無いだろう
990 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/02/01(土) 14:55:42.18 ID:lDxwqd7y.net]: >>916

　>>808(参考)(再掲)>>631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

ここで
”Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired,”
の部分、”the order < on A defined by aα<aβ”だね
αとβが順序数で
順序数の添え字を使って、Aに順序を導入する
順序数は、整列順序であるから
Aに整列順序が導入できた
991 名前：現代数学の系譜雑談 [2025/02/01(土) 14:56:18.91 ID:lDxwqd7y.net]: 次スレを立てた
ここを使い切ったら、次スレへ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/l50
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13
992 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 15:06:52.35 ID:YIkJbYsl.net]: >>917
>順序数は、整列順序であるから
>Aに整列順序が導入できた
順序数の通常の大小関係が整列順序だとなぜAに整列順序が導入できたことになるか分かる？
993 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:12:57.66 ID:O6ZvKR+h.net]: >>913
それは数学初級者である自分のレベルの低さを批判した発言ですね
994 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:16:16.82 ID:O6ZvKR+h.net]: ＞次スレを立てた

　いい加減　己の無能をさらし続けるのはやめたら

　微分積分ダメ
　線型代数ダメ
　集合論　ダメ
　
　要するに大学初級の数学　全部ダメ
　真面目に論理を勉強しないかぎり
　連想ゲームでは間違い続けるばかりだよ
995 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:20:56.44 ID:O6ZvKR+h.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/1
大学１年の数学も分からん数学初級者に
ガロア第一論文も乗数イデアルもわかるわけない
996 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:25:14.77 ID:O6ZvKR+h.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/2-3
論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも
自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい
997 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:27:42.26 ID:O6ZvKR+h.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/4-7
論理が読めない人が、おとぎ話だけ読んでも
自己愛を肥大させて発●するだけだからやめときなさい

鳥無き里のコウモリ　は　あなた
998 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:32:45.24 ID:O6ZvKR+h.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/8

昔、ある人に
「ｎ本のベクトルが線型独立かどうか、どうやって判別する？」
と尋ねたら、
「シュミットの直交化法を使う」
とのたまった

もちろん、それでできないことはないが、分かってる大学生はそういうことは言わない
階段化の方法を使えばいい　なぜそれで独立だと示せるかも、簡潔に答えられる

ここが理学部数学科と工学部なんちゃら工学科の分岐点である
999 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:37:17.60 ID:O6ZvKR+h.net]: https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/9-10
二項関係Rは　xRy & yRz のとき xRz を満たすとき　推移律を満たす、という
＜は推移律を満たすが、∈は推移律を満たさない

たったこれだけのことが理解できないとしたら、
そいつは言葉と論理を知るヒトではなく
言葉も論理も知らぬサルである
1000 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:38:40.48 ID:O6ZvKR+h.net]: 理学部数学科に入って生きていけるのはヒトだけだ
サルは工学部なんちゃら工学科で職業訓練受けて
社奴でもなんでもなればいい　ほかに能がないのだから
1001 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:41:18.52 ID:O6ZvKR+h.net]: 生成AIは言葉を理解しているわけではない
やってることは只の連想ゲームでありサル芸である
1002 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 16:47:05.18 ID:O6ZvKR+h.net]: もちろん工学部の中にもヒトはいる
ただしそれは断じて◆yH25M02vWFhPではない
1003 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/01(土) 17:01:35.10 ID:O6ZvKR+h.net]: 数学は囲碁将棋のような下らぬ勝負事ではない
勝負はサルのすること
1004 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 07:19:55.41 ID:bvvTKD+8.net]: 囲碁はくだらないものだがそれでも
という前置きで
道を説くのにたとえとして用いたのが
孟子
魔方陣はくだらないものだがと前置きして
魔方陣の作り方を解説したのが
高木貞治
1005 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 07:53:19.64 ID:eC5TmypE.net]: 別に囲碁や魔法陣で遊んではいけないとはいってないんじゃね？
すべてを白か黒かで考えるのは●違い
1006 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:02:53.43 ID:eC5TmypE.net]: ◆yH25M02vWFhPは、実数論、線形代数に続き、集合論でも初歩で敗北した

要するに定義に基づいて定理を論理で証明するという道筋をたどらず
ただ直感で納得しようとする精神で連想ゲームするからエテ公から抜け出せない

まあ、エテ公は三角関数の加法定理の公式だけ丸暗記して
計算機械になりはてなさいってこった
どうせエテ公は「数学とは方程式の解法」としか思ってないんだろう
やれガロア理論がーとかいってるけど、要するに方程式の解法以外興味がない
だからいくらガロア理論の本を読んでも自分が欲しい情報がどこにもなくて目が滑りまくる
チラ見しかできないというのはそういうこと
1007 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:05:43.54 ID:eC5TmypE.net]: ◆yH25M02vWFhPは、実数の定義の意味が理解できない

極限の定義だけでは役に立たない
役に立つのはコーシー列であれば極限が存在するという定理

この定理の前提として実数の定義が必要
という認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
1008 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:10:49.73 ID:eC5TmypE.net]: ◆yH25M02vWFhPは、線形独立と基底の意味が理解できない

線型空間を抽象的に定義しても、基底が有限個なら数ベクトル空間と同型になることが示せる
だから、数ベクトル空間での具体的な扱いに還元できる

線型独立の判定に数ベクトルに対する「階段化」の手続きが使えるのはそういうこと

この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
1009 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:14:18.65 ID:eC5TmypE.net]: ◆yH25M02vWFhPは、選択公理が一種の「無限版ドモルガンの法則」であると理解できない

無限個の任意の空でない集合に対してそれぞれ要素がとれるなら
任意の空でない集合とその要素の対、という選択関数が存在する

集合論とは一種の無限論理である

この認識がないなら、ヒトではなくサルの段階
1010 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:18:05.50 ID:eC5TmypE.net]: 大学１年の数学は、算数における九九のようなものである

わかってしまえば大したことではないし
わかることなしには何も正しい計算ができない

もちろん、九九を覚えてなくても足し算すればいいが、時間を浪費する
九九だけ覚えればいいかもしれんが、九九の表の作り方が分からなければ覚え間違いを正せない

所詮理系の大学１年生全員に教えることなんてその程度のことだが
それを知らずして大学出ましたなんてデカい面するのはいい笑いもの
1011 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:23:05.36 ID:eC5TmypE.net]: 理学部数学科は別に数学者養成所でなくていい
数学者を養成するのは大学院

中学・高校の数学教師といえども
数学がいかなる学問か知っておいたほうがいい
そのための大学の学部なのである

金が大学の数学教授
銀が中学高校の数学教師
銅が数学つかう理系出身者
鉄は算数しか知らんそこらの一般人

まあ、正直言って、そこらの一般人だけでこの世は回るんだが、それは内緒
1012 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:54:06.43 ID:eC5TmypE.net]: 数学の研究の全てが後世に伝わるとは限らない
大して面白くないと思ったら伝わらない
1013 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:55:20.37 ID:eC5TmypE.net]: 一次元より多次元、低次元より高次元、が価値があるとは限らない
1014 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 08:56:52.65 ID:bvvTKD+8.net]: 一次元の場合が面白かったら
高次元化してみたくなる
1015 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 09:00:50.03 ID:bvvTKD+8.net]: 複素解析の場合
一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり
岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる
高次元化は素晴らしかった
1016 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:20:02.70 ID:eC5TmypE.net]: >>941
>一次元の場合が面白かったら高次元化してみたくなる
　だからといって、より面白くなるとは限らない
1017 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:21:25.15 ID:eC5TmypE.net]: >>942
具体的に言える？
1018 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:29:12.30 ID:eC5TmypE.net]: 共形場理論も面白いのは空間１次元時間１次元の２次元の場合
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%B1%E5%BD%A2%E5%A0%B4%E7%90%86%E8%AB%96

「一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。
　しかし、空間1次元＋時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、
　共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。
　この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(ヴィラソロ代数)の部分代数となる。」
1019 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:43:23.18 ID:5scbwZz/.net]: メモ貼ります
tenasaku.com/academia/
藤田博司愛媛大

tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release
1020 名前：.pdf ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田博司(愛媛大学理学部) 2007 年数学基礎論サマースクール 静岡大学にて2007年9月4日～7日 執筆にあたっては, Solovayの原論文のほか, Jechのモノグラフの第2版[6]と第3版[7], Kanamoriのモノグラフ[8], Kunen の教科書[10]などを参考にしました. その他の参考文献については末尾の文献リストをごらんください. [6] T. Jech, Set Theory (2nd Ed.), Springer (1997) tenasaku.com/academia/notes/historyDST20150429.pdf 記述集合論誕生秘話藤田博司2015 年4月29日 tenasaku.com/academia/notes/20040301.pdf 記述集合論ノート (2004年2月) 記述集合論ノート藤田博司2004年2月17日～18日,神戸大学 researchmap.jp/fujitahiroshi/ 藤田博司フジタヒロシ researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations?limit=100 講演・口頭発表等 researchmap.jp/fujitahiroshi/presentations/15026805/attachment_file.pdf アンリ・ルベーグ『解析的に表示できる函数について』と記述集合論 藤田博司 第175回数学文献を読む会 2016年6月17日 []: [ここ壊れてます]
1021 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 10:53:09.14 ID:xCU1/P+P.net]: >複素解析の場合
>一次元の理論は１９世紀数学の最高峰であり

その要点は
SiegelのTopicsの第１，第２巻に書いてある

>岡潔、小平邦彦、広中平祐らによる
>高次元化は素晴らしかった

そこからの展開の一端が
SiegelのTopicsの第３巻に書いてある
1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/02(日) 17:15:45.87 ID:f3BDXVWP.net]: >>945
面白いというより
まさに奥行きがあって奥深い。
1023 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 19:07:52.10 ID:eC5TmypE.net]: https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/21
>Xの元をすきな順番に整列できる

P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね
ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど

https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/33
>>順番は選択関数で一意に定まる。
> 典型的な、大学数学オチコボレさんか？

◆yH25M02vWFhP がな

まさか自分が大学数学理解できてるとうぬぼれてる？
1024 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 19:16:41.47 ID:eC5TmypE.net]: 逆に整列からP(X)-{φ}の各々の最小元を選ぶ選択関数を作る方法では
P(X)-{φ}の任意の選択関数が実現されるわけではない
1025 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:29:32.94 ID:eC5TmypE.net]: https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1738367013/50
> 数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
> 数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解すること

つまり実数も線形空間も集合も数学的構造を誤解してるから
証明がまったく読めず誤解した、ということですね
1026 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:36:31.46 ID:eC5TmypE.net]: １と異なる0.999…が存在しないこと
⇔
[0,1)∩[0.9,1)∩[0.99,1)∩…＝{}であること
1027 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:37:16.84 ID:eC5TmypE.net]: 実数の連続性（じっすうのれんぞくせい、continuity of real numbers）とは、
実数の集合がもつ性質である。
有理数はこの性質を持たない。
1028 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:37:47.48 ID:eC5TmypE.net]: 実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。
また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。
1029 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:38:44.41 ID:eC5TmypE.net]: 実数の連続性と同値な命題は多数存在する。
1030 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:39:39.25 ID:eC5TmypE.net]: デデキントの公理
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、
Aに最大元があってBに最小元がないか、
Bに最小元があってAに最大元がないか
のいずれかである。
1031 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:41:15.82 ID:eC5TmypE.net]: 上限性質
Rは上限性質 (least upper bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない上に有界な部分集合は上限を持つ。

これは双対性の原理から次と同値である。
Rは下限性質 (greatest lower bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない下に有界な部分集合は下限を持つ。

これらの上限性質をもつ（つまり、下限性質をもつ）ことを
ワイエルシュトラスの公理を満たすともいう。
1032 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:42:16.63 ID:eC5TmypE.net]: 有界単調数列の収束定理
1033 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:42:36.05 ID:eC5TmypE.net]: アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす
1034 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:43:15.51 ID:eC5TmypE.net]: ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
1035 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:43:57.91 ID:eC5TmypE.net]: アルキメデス性を持ち、かつ、コーシー列は収束する
1036 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:44:28.32 ID:eC5TmypE.net]: 中間値の定理
1037 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:00.18 ID:eC5TmypE.net]: 最大値の定理
1038 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:34.02 ID:eC5TmypE.net]: ロルの定理
1039 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:45:57.54 ID:eC5TmypE.net]: ラグランジュの平均値の定理
1040 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:46:57.51 ID:eC5TmypE.net]: コーシーの平均値の定理
1041 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:48:41.98 ID:eC5TmypE.net]: ハイネ・ボレルの定理
1042 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:55:24.58 ID:eC5TmypE.net]: 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して
Aが正則行列である、すなわち、
AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在すること
と同値な条件は多数存在する
1043 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:55:59.50 ID:eC5TmypE.net]: AB = E となる n 次正方行列 B が存在する
BA = E となる n 次正方行列 B が存在する
1044 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:56:29.44 ID:eC5TmypE.net]: A の階数は n である
1045 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:05.98 ID:eC5TmypE.net]: A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる
1046 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:33.13 ID:eC5TmypE.net]: 一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない
1047 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:57:53.32 ID:eC5TmypE.net]: A の行列式は 0 ではない
1048 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:58:17.96 ID:eC5TmypE.net]: A の列ベクトルの族は線型独立である
A の行ベクトルの族は線型独立である
1049 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/02(日) 21:58:45.88 ID:eC5TmypE.net]: A の固有値は、どれも 0 でない
1050 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:15:25.18 ID:RHKFtm92.net]: 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは
公理的集合論における公理のひとつで、
どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
1051 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:15:56.76 ID:RHKFtm92.net]: 以下の命題は全て選択公理と同値である。
つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、
逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
1052 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:16:19.54 ID:RHKFtm92.net]: 整列可能定理：任意の集合は整列可能である。
1053 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:17:05.43 ID:RHKFtm92.net]: ツォルンの補題；順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。
1054 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:17:32.23 ID:RHKFtm92.net]: テューキーの補題：有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
1055 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:18:08.18 ID:RHKFtm92.net]: 比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能である。
1056 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:18:45.24 ID:RHKFtm92.net]: 直積定理：無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
1057 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:19:05.67 ID:RHKFtm92.net]: 右逆写像の存在：全射は右逆写像を有する。
1058 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:21:45.75 ID:RHKFtm92.net]: ケーニッヒ（Julius König）の定理：濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
1059 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:22:36.40 ID:RHKFtm92.net]: ベクトル空間における基底の存在：全てのベクトル空間は基底を持つ（ただし、正則性公理が必要になる）
1060 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:23:17.07 ID:RHKFtm92.net]: チコノフの定理：コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
1061 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:23:57.08 ID:RHKFtm92.net]: クルルの定理：単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
1062 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:33:33.69 ID:RHKFtm92.net]: 選択公理は別に成り立たなくても矛盾しない
1063 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:34:02.65 ID:RHKFtm92.net]: 箱入り無数目で、確率Pで勝てる戦略があってもなくても矛盾しない
1064 名前：１３２人目の素数さん [2025/02/03(月) 05:35:07.08 ID:RHKFtm92.net]: 選択公理が成り立つなら箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在する
箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在しないなら選択公理は成り立たない
1065 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:14:16.73 ID:RHKFtm92.net]: 手を動かしてまなぶ ε-δ論法

1．数列の極限と連続の公理　
2．連続関数
3．関数項
1066 名前：級数と一様収束 4．関数の微分 5．リーマン積分 6．リーマン積分の応用 []: [ここ壊れてます]
1067 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:09.04 ID:RHKFtm92.net]: 1．数列の極限と連続の公理　
　§1　数列の極限（その１）
　§2　数列の極限（その２）
　§3　連続の公理（その１）
　§4　連続の公理（その２）
1068 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:26.34 ID:RHKFtm92.net]: 2．連続関数
　§5　関数の極限
　§6　関数の連続性とワイエルシュトラスの定理
　§7　中間値の定理と逆関数
1069 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:15:54.83 ID:RHKFtm92.net]: 3．関数項級数と一様収束　
　§8　級数
　§9　関数項級数とべき級数
　§10　上極限と下極限
　§11　一様収束
　§12　指数関数と三角関数
1070 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:16:26.00 ID:RHKFtm92.net]: 4．関数の微分
　§13　微分に関する基本事項
　§14　べき級数の項別微分
　§15　三角関数と双曲線関数
　§16　対数関数とべきの一般化
　§17　逆三角関数
1071 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:16:49.17 ID:RHKFtm92.net]: 5．リーマン積分
　§18　定義と基本的性質
　§19　可積分条件（その１）
　§20　可積分条件（その２）
　§21　連続関数の一様連続性とリーマン積分
　§22　項別積分と項別微分
1072 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:17:16.16 ID:RHKFtm92.net]: 6．リーマン積分の応用
　§23　広義積分
　§24　曲線の長さ
1073 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:18:58.68 ID:RHKFtm92.net]: 手を動かしてまなぶ集合と位相

1．集合
2．写像と二項関係
3．濃度と選択公理
4．ユークリッド空間
5．距離空間（その１）
6．位相空間
7．連結性とコンパクト性
8．距離空間（その２）
9．分離公理とコンパクト性の一般化
1074 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:19:35.60 ID:RHKFtm92.net]: 1．集合
　§1　集合の定義
　§2　集合の演算
　§3　全体集合

2．写像と二項関係
　§4　写像
　§5　全射，単射と合成写像
　§6　集合系と集合族
　§7　二項関係
　§8　商集合とwell-definedness

3．濃度と選択公理
　§9　濃度
　§10　ベルンシュタインの定理
　§11　整列集合
　§12　選択公理
1075 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2025/02/03(月) 15:20:35.01 ID:RHKFtm92.net]: サラヴァ
1076 名前：1001 [Over 1000 Thread.net]: このスレッドは１０００を超えました。
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