(参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem Schröder–Bernstein theorem Prerequisites The 1895 proof by Cantor relied, in effect, on the axiom of choice by inferring the result as a corollary of the well-ordering theorem.[8][9] However, König's proof given above shows that the result can also be proved without using the axiom of choice.
On the other hand, König's proof uses the principle of excluded middle to draw a conclusion through case analysis. As such, the above proof is not a constructive one. In fact, in a constructive set theory such as intuitionistic set theory IZF, which adopts the full axiom of separation but dispenses with the principle of excluded middle, assuming the Schröder–Bernstein theorem implies the latter.[19] In turn, there is no proof of König's conclusion in this or weaker constructive theories. Therefore, intuitionists do not accept the statement of the Schröder–Bernstein theorem.[20]
There is also a proof which uses Tarski's fixed point theorem.[21]
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。
