- 584 名前：１３２人目の素数さん [2025/01/23(木) 16:23:56.33 ID:F2cs9bbp.net]
- >>318
>いい証明ができたら、教えてくれ
いいかどうが分からないが、考えたので書いてみる
Xを集合とする。
Xの任意の空でない部分集合Yをその元yに対応させる写像 φ(Y)=y の存在が選択公理により保証される。
写像 ψ:2^X→2^X を ψ({}):={},Y≠{}⇒ψ(Y):={φ(Y)} で定義する。
Cを順序数全体のクラスとする。
写像 g:C→2^X を g(λ)=X-∪[n∈λ]ψ(g(n)) で定義する。定義より ∀n,m∈C.n≧m⇒g(n)⊂g(m)。
いま A:=∩[λ∈C]g(λ)≠{} を仮定。仮定より ∃λ∈C.g(λ)=A。
gの定義より ¬(φ(A)∈g(λ+1)) だから ¬(A⊂g(λ+1)) だが、これはAの定義と矛盾する。よって A={}。よって ∃λ∈C.g(λ)={}
順序数Λを Λ:=min{λ∈C|g(λ)={}} で定義する。
写像 f:Λ→X を f(λ):=φ(g(λ)) で定義する。
このとき ∀n,m∈Λ.n≠m⇒f(n)≠f(m) だからfは単射。Λの定義よりfは全射。よってfは全単射。
順序関係(X,≦)を ∀n,m∈Λ.n≦m⇔f(n)≦f(m) で定義する。定義から(X,≦)は全順序。
Xの任意の空でない部分集合Yに(X,≦)に関する最小元f(minf^(-1)(Y))が存在するから(X,≦)は整列順序。■
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