ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 選択公理の変種 可算選択公理 →詳細は「可算選択公理」を参照 選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。 カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 可算選択公理 可算選択公理（英: Axiom of countable choice）とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。 応用 ZF に ACωを付け加えた公理系では、可算集合の可算和が可算であることや、任意の無限集合がデデキント無限であることなどが証明できる[1]。 実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。例えばすべての集積点 xがある数列の極限点であること、すなわち「xが実数Rの部分集合Sの集積点ならば、xに収束する数列S∖{x}が存在する」 という命題を証明したい場合には(フルパワーのACでなく)ACωを用いれば十分である。 また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。 ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。
en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice Axiom of countable choice Weaker systems ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold.[7] Equivalent forms There are many equivalent forms to the axiom of countable choice, in the sense that any one of them can be proven in ZF assuming any other of them. They include the following:[8][9] 略す (引用終り) 以上
