ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C ツォルンの補題 証明の概略 選択公理を仮定したツォルンの補題の証明を概略する。 補題が成り立たないと仮定する。このとき半順序集合 P を、全ての鎖が上界を持つにもかかわらず、どの元もそれより大きな元を持つように取れる。 各鎖 T について、それより真に大きな元 b(T) が存在する。なぜなら、T は上界を持ち、さらにそれより大きな元が存在するからである。関数 b を実際に定義するには選択公理を使う必要がある。
この関数 b を使うことで、P の元の列 a0 < a1 < a2 < a3 < ... を定めることができる。この列は本当に長い、添え字の範囲は単なる自然数ではなく、全ての順序数を動く。実は P と比較しても長すぎる。 順序数の全体は真クラスを成すほど大きすぎて、普通の集合より大きくなる。そして、この長さにより集合 P の元を使い尽くすことで矛盾を得る。 aiは次の超限帰納法で定義する。まず、a0 は P の元から勝手に選ぶ(これは P が空の鎖の上界を持ち、空でないことから可能である)。 他の順序数 w については、aw = b({av: v < w}) で定める。{av: v < w} は全順序であるので、この定義は正しい超限帰納法である。
en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma Zorn's lemma Proof sketch A sketch of the proof of Zorn's lemma follows, assuming the axiom of choice. Suppose the lemma is false. Then there exists a partially ordered set, or poset, P such that every totally ordered subset has an upper bound, and that for every element in P there is another element bigger than it. For every totally ordered subset T we may then define a bigger element b(T), because T has an upper bound, and that upper bound has a bigger element. To actually define the function b, we need to employ the axiom of choice (explicitly: let B(T)={b∈P:∀t∈T,b≥t}, that is, the set of upper bounds for T. The axiom of choice furnishes b:b(T)∈B(T). Using the function b, we are going to define elements a0 < a1 < a2 < a3 < ... < aω < aω+1 <…, in P. 略す
