代数的整数論　004

1 名前：１３２人目の素数さん [2006/11/23(木) 21:57:04 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/ 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:21:00 ] 20 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:22:00 ] 19 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:23:00 ] 18 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:24:00 ] 17 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 12:25:00 ] 16 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:31:00 ] 15 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:32:00 ] 14 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:33:00 ] 13 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:34:00 ] 12 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:35:00 ] 11 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/11(日) 13:36:00 ] 10 912 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 20:20:31 ] >>888 で述べた a^((p - 1)/2) (mod p) を効率よく計算する アルゴリズムを紹介する。 Cohen の A course in computational algebraic number theory に 述べられている方法である。 問題を一般にして、G を群とし、G の元 g と n ＞ 0 に対して g^n を計算する方法を考える。 n を２進数で表示して n = Σ(ε_i)2^i とする。 ε_i は 0 または 1 である。 g^n = Π g^(2^i) である。ここで i は ε_i = 1 となる i を動く。 各 g^(2^i) は、最初に z = g として z = z・z を繰り返せばよい。 ここで = は右辺を左辺に代入することを表す。 各 g^(2^i) を計算したら順次、前に計算した結果に掛けていく。 これで終わりである。 このアルゴリズムを擬似コードで書くと次のようになる。 913 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 20:24:46 ] N = n z = g y = 1 do while(true) 　　if N is odd then 　　　　y = yz 　　end if 　　N = [N/2] 　　if N = 0 then 　　　　exit 　　else 　　　　z = zz 　　end if end do [N/2] は N/2 の整数部分を表す。 コンピュータ言語のPascal風の擬似ｺ-ﾄﾞの説明は不要だろう。 914 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 21:01:37 ] p を奇素数、 a を有理整数で gcd(a, p) = 1 とする。 (a/p) = 1 のときに x^2 ≡ a (mod p) を解く方法を考える。 x = 1 から順番に x^2 ≡ a (mod p) を確かめていくのは p が大きい ときにはコンピュータを使ったとしても実用的ではない。 ここでも Cohen 本から効率的なアルゴリズムを紹介する。 p が特殊な場合は解はすぐ得られる。 p ≡ 3 (mod 4) のときは x = a^((p + 1)/4) が解である(これを計算するのは>>912を使う)。 何故なら x^2 = a^((p + 1)/2) = aa^((p - 1)/2) (a/p) = 1 だから a^((p - 1)/2) ≡ 1 (mod p) よって x^2 ≡ a (mod p) 915 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 21:15:14 ] 命題 p を奇素数で p ≡ 5 (mod 8) とする。 a を有理整数で gcd(a, p) = 1、(a/p) = 1 とする。 a^((p - 1)/2) ≡ 1 (mod p) だから a^((p - 1)/4) ≡ ±1 (mod p) である。 このとき a^((p - 1)/4) ≡ 1 (mod p) なら x = a^((p + 3)/8) は x^2 ≡ a (mod p) の解である。 a^((p - 1)/4) ≡ -1 (mod p) なら x = 2a(4a)^((p - 5)/8) は x^2 ≡ a (mod p) の解である。 証明 a^((p - 1)/4) ≡ 1 (mod p) なら x^2 = a^((p + 3)/4) = aa^((p - 1)/4) ≡ 1 (mod p) p ≡ 5 (mod 8) と、平方剰余の第２補充法則より (2/p) = (-1)^((p^2 - 1)/8) = -1 よって 2^((p - 1)/2) ≡ -1 (mod p) だから x^2 = 4a^2(4a)^((p - 5)/4) = a(4a)^((p - 1)/4) = a(2^((p - 1)/2))a^((p - 1)/4) ≡ a (mod p) 証明終 916 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 22:01:44 ] >>914 と >>915 より p ≡ 3 (mod 4) と p ≡ 5 (mod 8) のときは x^2 ≡ a (mod p) の解は求まった。 残るのは p ≡ 1 (mod 8) の場合である。 p - 1 = (2^e)r, r は奇数とする。 (Z/pZ)^* は位数 p - 1 の巡回群だから、その 2-Sylow 部分群(>>790) P は位数 2^e の巡回群である。 a^(p - 1)/2 = (a^r)^(2^(e-1)) ≡ 1 (mod p) よって b = a^r (mod p) とおくと b^(2^(e-1)) = 1 である。 P の生成元を z とする。 b = z^s とすると z^(s2^(e-1)) = 1 より s は偶数である。 -s ≡ k (mod 2^e) で 0 ≦ k ＜ 2^e となるものがある。 k も偶数である。 bz^k = 1 である。 x = (a^(r + 1)/2)z^k/2 とおく。 x^2 = (a^(r + 1))z^k = abz^k ≡ a (mod p) よって問題は z と k を求めることに帰着する。 n を p と素な有理整数とする。 z = n^r (mod p) とおく。 z^(2^e) = (n^r)^(2^e) = n^(p - 1) ≡ 1 (mod p) z^(2^(e-1)) = (n^r)^(2^(e-1)) = n^(p - 1)/2 よって (n/p) = -1 なら z は P の生成元である。 n をランダムに選べば 50% の確率で (n/p) = -1 となるから z は簡単に求まる。 917 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 23:11:38 ] 今度は k を求める方法を考える。 b = a^r (mod p) とおいた。b^(2^(e-1)) = 1 である。 b^2^m = 1 となる最小の m ≧ 1 を求める。 b_1 = bz^2^(e-m) とおく。 (b_1)^2^(m-1) = (b^2^(m-1))(z^2^(e-1)) = (-1)^2 = 1 よって b_1 の位数は 2^(m-1) 以下である。 以上の処理を繰り返せば bz^k = 1 となる k が求まる。 918 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/11(日) 23:18:29 ] >>616 と >>617 のアルゴリズムは Tonelli と Shanks による。 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 09:06:00 ] 12 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 09:07:00 ] 11 921 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 09:08:00 ] 10 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 09:09:00 ] 11 923 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:14:00 ] 10 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:15:00 ] 9 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:16:00 ] 8 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:17:00 ] 7 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:18:00 ] 6 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/12(月) 12:19:00 ] 5 929 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/12(月) 21:02:02 ] >>616 と >>617 のアルゴリズムがどこから来たのかがやや分かりにくい。 これを私の想像で説明して見よう。 >>916 の記号を使う。 b = a^r (mod p) とおくと b^(2^(e-1)) = 1 である。 よって b ∈ P である。 この観察が最初のキーポイントだと思われる。 y = a^(r + １)/2 (mod p) とおく。 y^2 = a^(r + １) = ab である。 w^2 = b となる w が求まれば y^2 = aw^2 よって x = yw^(-1) おくと、 x^2 = (y^2)(w^(-2)) = abb^(-1) = a となって x^2 ≡ a (mod p) が解ける。 従って、w^2 = b となる w を求めればよい。 これには P の生成元 z と b = z^s となる s を求めればよい。 以上が Tonelli と Shanks の基本アイデアだと思われる。 930 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/12(月) 21:11:51 ] 訂正 >>929 >w^2 = b となる w が求まれば >y^2 = aw^2 >よって x = yw^(-1) おくと、 >x^2 = (y^2)(w^(-2)) = abb^(-1) = a >となって x^2 ≡ a (mod p) が解ける。 w^2 = b となる w が求まれば y^2 = aw^2 よって (yw^(-1))^2 = a よって x = yw^(-1) おけば x^2 = a となって x^2 ≡ a (mod p) が解ける。 931 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/12(月) 21:21:51 ] >>916 や >>929 で a と a (mod p) を同一視している。 これは論理的にはおかしいがいわゆる記号の濫用 (abuse of notation)の一種(のつもり)です。 abuse of notation については英語版の wikipedia を参照。 932 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/12(月) 21:27:44 ] 訂正 >>918 >>>616 と >>617 のアルゴリズムは Tonelli と Shanks による。 >>916 と >>917 のアルゴリズムは Tonelli と Shanks による。>>929 >>>616 と >>617 のアルゴリズムがどこから来たのかがやや分かりにくい。 >>916 と >>917 のアルゴリズムがどこから来たのかがやや分かりにくい。 933 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/12(月) 23:25:52 ] 後の参照のため >>889 で述べたことの一部をもっと詳しく述べる。 命題 m ＞ 1 と a を有理整数で gcd(a, m) = 1 とする。 m = (2^e)r、r は奇数。 r の相異なる素因数の個数を s とする。 x^2 ≡ a (mod m) に解があるためには (1) e = 0 または e = 1 のときは r の各素因数 p に対して (a/p) = 1 が必要十分である。 この条件が満たされるとき解の個数は 2^s である。 (2) e = 2 のときは r の各素因数 p に対して (a/p) = 1 であり、さらに a ≡ 1 (mod 4) が必要十分である。 この条件が満たされるとき解の個数は 2^(s+1) である。 (3) e ≧ 3 のときは r の各素因数 p に対して (a/p) = 1 であり、さらに a ≡ 1 (mod 8) が必要十分である。 この条件が満たされるとき解の個数は 2^(s+2) である。 証明 (1) は >>866 と >>889 より直ちに出る。 (2) は >>866 と >>879 と >>889 より直ちに出る。 (3) は >>866 と >>881, >>882 と >>889 より直ちに出る。 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 00:00:38 ] 　　　　 　　　.， 　　　　 　　　.|　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　 、・　　　　　　ﾞ； 　　　　　　　､′　　　.　　　.　　.　　.′　　　　　　　.　　　　　　　.　　　　　　　._．t~´　　　　 　　　.’ 　　　　　　　ﾞ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.l・^´ . ’　　　.　　　.　　.1　.　.._．・￣＼_ 　　 　　.　　 ；　.　.　.._＞~　　　.　　.，　　　 ，　...→_　　　　　　　　　　　　.l　　　､’ﾞ_､．‐　　 　　._．・/＜　.　.　.　.’ 　　　.　　　､，　..._．¨｀　　　　　　　 ’　　 　.|､。・｀.､’_　 　.，・¨¨“÷　　　，._、-・ﾍ´　　 　.　 ／゛ .．′　　.　　.　　.! 　　　　　　､，。・′・　　　　　　　　､1　　　 }・　.　.　..’　.､，　　　ﾞｶ　　　ﾞ，＾　　　 ’_　　　　　　　.ｿ”　 　.、．．　.　.} 　　　　　　 ；′　.　..’_　　　　.　　　､’　.　...1　　　　､}　　′　　ﾞﾂﾞ|　.　､，　　　　　.’_　　.　　､，・　　　 /　 　.｀､..../ 　　　　　　.；　　 　.　 ’　　　　.　　　､}　.　...l!　　.　.　.|　.　...＼・~ . |　.　.，　　　　　　 ’_　　　 ，’　 　.　 ｀．_　....}_ﾉ｀ 　　　　　　，　　.　　.　.’　　　　　　　ﾞ!　.　､’　　 　　.’　　　　　　､，　　′　　　.　　　､’、-　　.　　.　　.　　.｀¨¨′ 　　.　　.　.i　　　　　　　ﾞ’　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､｜ 　　.　　.　.l　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣　　　 　.　.　.._ 　.　.　.i 　　　ﾞ，　　.　.　.-_　.　､； 　　　，・ﾅ・_　 　. ｀､　./ 　　､，　 　.)　　　　.｀j.´ 　　､l　、．-’　.　.　./ 　　.　　.　　.l　　　　　　　} 　､＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝- 　　.　　.　　.|　 　. 、　.　..| 　　.　　.　　.’　.　､|　　　ﾞ’ 　　.　.}．-‐………………………， 　　　､|　　 　　.　 |＝＝・　.　.　.　.・ 　　　､’　　　 　　.’._、．｣ 　　　　　.　　　　./ ´ 　　.　　.　　.　　.，¨¨TTﾅﾅﾅ， 　　　　　　　　ﾞ＿_＿＿＿＿｜ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:10:00 ] 12 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:11:00 ] 11 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:12:00 ] 10 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:13:00 ] 9 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:14:00 ] 8 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/13(火) 08:15:00 ] 7 941 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/14(水) 20:35:37 ] Tonelli-Shanks のアルゴリズム(>>916, >>917) を具体例に 適用してみる。 p = 2281 は素数で p ≡ 1 (mod 8) である。 因みに 2^p - 1 は Mersenne 素数である(岩波数学辞典の付録)。 Jacobi の記号を使って (365/2281) を計算すると、 (365/2281) = (2281/365) = (91/365) = (365/91) = (1/91) = 1 よって x^2 ≡ 365 (mod 2281) には解がある。 p - 1 = 2280 = 8・285 365^285 (mod 2281) を >>912, >>913 のアルゴリズムで電卓をつかって 計算すると、365^285 ≡ -1 (mod 2281) 同様に y = 365^(285+1)/2 = 365^143 ≡ 2139 (mod 2281) よって y^2 = 365^(285+1) ≡ -365 (mod 2281) 小さい数 n で (n/p) = -1 となるものを見つける。 n = 2, 3, 5, 7, ... と試していく。 p ≡ 1 (mod 8) だから >>53 より (2/2281) = 1 (3/2281) = (2281/3) = (1/3) = 1 (5/2281) = (2281/5) = (1/5) = 1 (7/2281) = (2281/7) = (-1/7) = -1 7^285 ≡ 1207 (mod 2281) よって z = 1207 (mod 2281) が (Z/pZ)^* の 2-Sylow 群の生成元 である(>>916)。 z^8 = 1 だから z^4 = -1 a = 365 (mod 2281) とおくと、y^2 = -a = a(z^4) よって y^2(z^4) = a (y(z^2))^2 = a よって x = y(z^2) = 2139*1571 ≡ 456 (mod 2281) が x^2 ≡ 365 (mod 2281) の解である。 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:14:00 ] 9 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:15:00 ] 8 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:16:00 ] 7 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:17:00 ] 6 946 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:18:00 ] 5 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 12:19:00 ] 4 948 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 12:56:50 ] Dirichlet の「整数論講義」に従って >>933 の応用として Wilson の定理の拡張(Gauss)を証明する。 その前に Wilson の定理について述べる。 命題(Wilson の定理) p を素数とすると (p - 1)! ≡ -1 (mod p) である。 証明 p = 2 のときは明らかだから p は奇素数とする。 mod p で多項式 X^(p - 1) - 1 を考える。 X^(p - 1) - 1 ≡ (X - 1)(X - 2) ... (X - (p - 1)) (mod p) である。 X = 0 とおくと - 1 ≡ ((-1)^(p - 1))(p - 1)!(mod p) である。 p - 1 は偶数だから (-1)^(p - 1) = 1 である。 よって (p - 1)! ≡ -1 (mod p) である。 証明終 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 18:25:20 ] 　　　　 　　　.， 　　　　 　　　.|　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　 、・　　　　　　ﾞ； 　　　　　　　､′　　　.　　　.　　.　　.′　　　　　　　.　　　　　　　.　　　　　　　._．t~´　　　　 　　　.’ 　　　　　　　ﾞ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.l・^´ . ’　　　.　　　.　　.1　.　.._．・￣＼_ 　　 　　.　　 ；　.　.　.._＞~　　　.　　.，　　　 ，　...→_　　　　　　　　　　　　.l　　　､’ﾞ_､．‐　　 　　._．・/＜　.　.　.　.’ 　　　.　　　､，　..._．¨｀　　　　　　　 ’　　 　.|､。・｀.､’_　 　.，・¨¨“÷　　　，._、-・ﾍ´　　 　.　 ／゛ .．′　　.　　.　　.! 　　　　　　､，。・′・　　　　　　　　､1　　　 }・　.　.　..’　.､，　　　ﾞｶ　　　ﾞ，＾　　　 ’_　　　　　　　.ｿ”　 　.、．．　.　.} 　　　　　　 ；′　.　..’_　　　　.　　　､’　.　...1　　　　､}　　′　　ﾞﾂﾞ|　.　､，　　　　　.’_　　.　　､，・　　　 /　 　.｀､..../ 　　　　　　.；　　 　.　 ’　　　　.　　　､}　.　...l!　　.　.　.|　.　...＼・~ . |　.　.，　　　　　　 ’_　　　 ，’　 　.　 ｀．_　....}_ﾉ｀ 　　　　　　，　　.　　.　.’　　　　　　　ﾞ!　.　､’　　 　　.’　　　　　　､，　　′　　　.　　　､’、-　　.　　.　　.　　.｀¨¨′ 　　.　　.　.i　　　　　　　ﾞ’　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､｜ 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◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:07:58 ] m ＞ 2 を有理整数として (Z/mZ)^* を考える。 (Z/mZ)^* を以下の同値関係で類別する。 x と y を (Z/mZ)^* の元としたとき y = x^(-1) のとき x と y は 同値と定義する。 x = x^(-1) となるのは x^2 = 1 のときに限る。 よって (Z/mZ)^* の同値類は以下のタイプで尽くされる。 {a}, {b, b^(-1)} ここで a^2 = 1, b^2 ≠ 1 よって (Z/mZ)^* の元 b で b^2 ≠ 1 となるもの全ての積は 1 である。 よって S = {a ∈ (Z/pZ)^* ; a^2 = 1} とおくと、 (Z/mZ)^* の全ての元の積は S の全ての元の積と一致する。 S を以下の同値関係で類別する。 x と y を S の元としたとき y = -x のとき x と y は 同値と定義する。 x = -x となるのは 2x = 0 のときに限る。 x = c (mod m) とすると 2c ≡ 0 (mod m) である。 gcd(c, m) = 1 だから 2 ≡ 0 (mod m) である。 m ＞ 2 であるからこれはありえない。 よって S の同値類は以下のタイプで尽くされる。 {b, -b} よって S の全ての元の積は b(-b) = -b^2 = -1 の(|S|/2)乗である。 これは |S|/2 が偶数、つまり |S| ≡ 0 (mod 4) のときは 1 そうでないときは -1 である。 954 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:33:22 ] >>833 より x^2 ≡ 1 (mod m) の解の個数、つまり |S| は (1) m = p^n または 2p^n のとき |S| = 2 ここで p は奇素数で n ≧ 1 (2) m = 4 のとき |S| = 2 (3) m = 4r、r は奇数 ＞ 1 のとき |S| = 2^(s + 1) ここで s は r の相異なる素因数の個数である。 (4) m = (2^e)r, e ≧ 3, r は奇数のときは |S| = 2^(s + 1) 以上から |S| = 2 となるのは (1) と (2) の場合であり、 (3) と (4) の場合は |S| ≡ 0 (mod 4) である。 よって >>953 より次の命題が得られる。 命題(Wilson の定理の拡張) m ＞ 2 を有理整数とする。 (Z/mZ)^* の全ての元の積は以下のようになる。 (1) m = 4 または m = p^n または 2p^n のとき積は -1 ここで p は奇素数で n ≧ 1 (2) 上記以外の場合、積は 1 955 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:40:46 ] >>954 の命題(Wilson の定理の拡張)は Gauss が初めて証明した (Disquisitiones art. 78)。 956 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:49:18 ] Wilson の定理(>>948) の逆も成り立つ。 命題 n ＞ 1 を有理整数とする。 (n - 1)! ≡ -1 (mod n) なら n は素数である。 証明 n が素数でないとすると p ＜ n となる素数 p で n を割るものがある。 p ≦ n - 1 だから (n - 1)! ≡ 0 (mod p) である。 一方、(n - 1)! ≡ -1 (mod n) だから (n - 1)! ≡ -1 (mod p) である。 よって -1 ≡ 0 (mod p) である。 これは矛盾である。 証明終 957 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/15(木) 23:02:24 ] 　　　　 　　　.， 　　　　 　　　.|　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　　　 、・　　　　　　ﾞ； 　　　　　　　､′　　　.　　　.　　.　　.′　　　　　　　.　　　　　　　.　　　　　　　._．t~´　　　　 　　　.’ 　　　　　　　ﾞ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.l・^´ . ’　　　.　　　.　　.1　.　.._．・￣＼_ 　　 　　.　　 ；　.　.　.._＞~　　　.　　.，　　　 ，　...→_　　　　　　　　　　　　.l　　　､’ﾞ_､．‐　　 　　._．・/＜　.　.　.　.’ 　　　.　　　､，　..._．¨｀　　　　　　　 ’　　 　.|､。・｀.､’_　 　.，・¨¨“÷　　　，._、-・ﾍ´　　 　.　 ／゛ .．′　　.　　.　　.! 　　　　　　､，。・′・　　　　　　　　､1　　　 }・　.　.　..’　.､，　　　ﾞｶ　　　ﾞ，＾　　　 ’_　　　　　　　.ｿ”　 　.、．．　.　.} 　　　　　　 ；′　.　..’_　　　　.　　　､’　.　...1　　　　､}　　′　　ﾞﾂﾞ|　.　､，　　　　　.’_　　.　　､，・　　　 /　 　.｀､..../ 　　　　　　.；　　 　.　 ’　　　　.　　　､}　.　...l!　　.　.　.|　.　...＼・~ . |　.　.，　　　　　　 ’_　　　 ，’　 　.　 ｀．_　....}_ﾉ｀ 　　　　　　，　　.　　.　.’　　　　　　　ﾞ!　.　､’　　 　　.’　　　　　　､，　　′　　　.　　　､’、-　　.　　.　　.　　.｀¨¨′ 　　.　　.　.i　　　　　　　ﾞ’　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　､｜ 　　.　　.　.l　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　￣￣　　　 　.　.　.._ 　.　.　.i 　　　ﾞ，　　.　.　.-_　.　､； 　　　，・ﾅ・_　 　. ｀､　./ 　　､，　 　.)　　　　.｀j.´ 　　､l　、．-’　.　.　./ 　　.　　.　　.l　　　　　　　} 　､＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝- 　　.　　.　　.|　 　. 、　.　..| 　　.　　.　　.’　.　､|　　　ﾞ’ 　　.　.}．-‐………………………， 　　　､|　　 　　.　 |＝＝・　.　.　.　.・ 　　　､’　　　 　　.’._、．｣ 　　　　　.　　　　./ ´ 　　.　　.　　.　　.，¨¨TTﾅﾅﾅ， 　　　　　　　　ﾞ＿_＿＿＿＿｜ 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:35:00 ] 11 959 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:36:00 ] 10 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:37:00 ] 9 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:38:00 ] 8 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:39:00 ] 7 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 01:40:00 ] 6 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:49:00 ] 5 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:50:00 ] 4 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:51:00 ] 3 967 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:52:00 ] 2 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:53:00 ] 1 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 06:54:00 ] 0 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/16(金) 07:46:06 ] 次スレ立てておきました。 代数的整数論 005 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/ 971 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 12:59:01 ] >>970 有難うございます。 972 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 21:37:03 ] >>778 以降、合同方程式 x^2 ≡ a (mod m) の解法について述べて きたが、これと >>756 に述べた方法を使って m = ax^2 + bxy + cy^2 の解を求めて見よう。 まず、p = 2281 として p = x^2 + y^2 を解く。 >>758 の方法を使う。 >>941 より z = 1207 (mod 2281) とおくと、z^4 = -1 であった。 よって z^2 = 1571 (mod 2281) は x^2 ≡ -1 (mod m) の解である。 つまり、1571^2 ≡ -1 (mod 2281) である。 2*1571 = 3142 だから 3142^2 ≡ -4 (mod 4*2281) である。 3142^2 + 4 = 4*2281*1082 よって ２次形式 (a, b, c) = (2281, 3142, 1082) の判別式は D = b^2 - 4ac = 3142^2 - 4*2281*1082 = -4 (a, b, c) を >>335 の方法(>>411 の注意も参照)により簡約２次形式に 変形する。 (2281, 3142, 1082)S^(-1) = (2281, -1420, 221) (2281, -1420, 221)T = (221, 1420, 2281) (221, 1420, 2281)S^(-3) = (221, 94, 10) (221, 94, 10)T = (10, -94, 221) (10, -94, 221)S^5 = (10, 6, 1) (10, 6, 1)T = (1, -6, 10) (1, -6, 10)S^3 = (1, 0, 1) となる。 ここで S = (1, 1)/(0, 1) T = (0, -1)/(1, 0) 973 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 21:43:32 ] よって (2281, 3142, 1082)S^(-1)TS^(-3)TS^5TS^3 = (1, 0, 1) 行列の積 U = S^(-1)TS^(-3)TS^5TS^3 を計算すると。 U = (11, 31)/(-16, -45) U の逆行列は V = U^(-1) = (-45, -31)/(16, 11) よって (1, 0, 1)V = (2281, 3142, 1082) >>758 より x = -45, y = 16 が 2281 = x^2 + y^2 の解である。 実際、45^2 + 16^2 = 2025 + 256 = 2281 974 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/16(金) 22:01:40 ] 岩波数学辞典によると p = 9689 は素数で 2^p - 1 は素数である。 2^p - 1 は Mersenne数である。 さらに p ≡ 1 (mod 8) である。 p = x^2 + y^2 を >>972 と同様に解いてみるのも面白いかもしれない。 誰か解いてくれないか？ ただし、結果だけでなく >>972, >>973 と同様に x^2 ≡ -1 (mod p) の解と２次形式 (a, b, c) および (a, b, c) の簡約過程。 (1, 0, 1)V = (a, b, c) となる V ∈ SL_2(Z) も求めて欲しい。 975 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 03:31:02 ] >>974 今の場合、2^p - 1 が Mersenne数であるということに特に意味があるわけではない。 適当な大きさの素数が欲しかっただけである。 976 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 06:48:22 ] 今度は p を奇素数としたとき p = x^2 + 2y^2 を解くことを 考えてみよう。 ２次形式 (1, 0, 2) = x^2 + 2y^2 の判別式 D は -8 である。 判別式が -8 の簡約２次形式は、>>757 と同様にして (1, 0, 2) のみであることが分かる。 よって >>758 と同様にして p = x^2 + 2y^2 に解があるためには、 x^2 ≡ -8 (mod 4p) に解があることが必要十分である。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とすると y^2 ≡ -2 (mod p) である。 よって上記の条件は (-2/p) = 1 と同値である。 (-2/p) = (-1/p)(2/p) = 1 だから これは (2/p) = (-1/p) = 1 または (2/p) = (-1/p) = -1 と同値である。 平方剰余の第一補充法則(>>163)と第２補充法則(>>53)より、 これは p ≡ 1 (mod 8) または p ≡ 3 (mod 8) と同値である。 977 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 06:49:40 ] x^2 ≡ -8 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 8 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -8 である。 これは (1, 0, 2) と同値である。 よって (1, 0, 2)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 σ = (u, q)/(r, s) とする。 >>749 より (1, 0, 2)ε = (1, 0, 2) となる ε ∈ SL_2(Z) は {±1} である。 よって (1, 0, 2) を (p, l, k) に移す SL_2(Z) の元は σ = (u, q)/(r, s) と -σ = (-u, -q)/(-r, -s) の２個である。 よって (u, r) と (-u, -r) が l に対応する p = x^2 + 2y^2 の 解である。 x^2 ≡ -4 (mod 4p) の別の解 -l には ２次形式 (p, -l, k) が対応する。 R = (1, 0)/(0, -1) とすると (1, 0, 1)RσR = (p, l, k)R = (p, -l, k) U = RσR とおく。 U ∈ SL_2(Z) で U = (u, -q)/(-r, s) である。 よって (u, -r) と (-u, r) が -l に対応する p = x^2 + 2y^2 の 解である。 978 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 07:19:23 ] >>976 と >>977 から次の命題が得られる。 命題(Fermat-Euler) p を奇素数とする。 p = x^2 + 2y^2 が有理整数解を持つためには p ≡ 1 (mod 8) または p ≡ 3 (mod 8) が必要十分である。 さらに、このとき解は順序と符号を除いて一つである。 979 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 19:54:29 ] >>974 を解いてみる。 p = 9689 p - 1 = 8*1211 (3/p) = (p/3) = (2/3) = -1 だから z = 3^1211 ≡ 6682 (mod p) とすると、z^8 = 1 である。 よって (z^2)^2 = -1 である。 z^2 = 2212 (mod p) だから 2212^2 ≡ -1 (mod p) 2*2212 = 4424 だから 4424^2 ≡ -4 (mod 4*9689) である。 4424^2 + 4 = 4*9689*505 だから ２次形式 (9689, 4424, 505) の判別式は -4 >>335 より (9689, 4424, 505) T = (505, -4424, 9689) (505, -4424, 9689) S^4 = (505, -384, 73) (505, -384, 73) T = (73, 384, 505) このあとは読者の誰かに任そう。 誰か？ ただし、続きは上の結果が正しいかどうか確かめてからにしてください。 計算ミスがあるかもしれないので。 980 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/17(土) 20:44:05 ] 訂正 >>978 >さらに、このとき解は順序と符号を除いて一つである。 さらに、このとき解は符号を除いて一つである。 981 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 01:59:09 ] p を素数としたとき p = x^2 + 3y^2 を解くことを考えてみよう。 ２次形式 (1, 0, 3) = x^2 + 3y^2 の判別式 D は -12 である。 >>408 より判別式 -4 の (a, b, c) が簡約２次形式であるためには gcd(a, b, c) = 1 かつ、 |b| ≦ a ≦ c であり、 |b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。 >>341 と同様にして a ≦ √(|D|/3) である。 a ≦ √(|D|/3) = 2 4ac = b^2 + |D| = b^2 + 12 よって b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b は偶数である。 0^2 + 12 = 4・3 2^2 + 12 = 16 = 4・4 a = 1 のとき (1, 0, 3) a = 2 のとき (2, 2, 2) は原始的でない。 よって判別式が -12 の簡約２次形式は、(1, 0, 3) のみである。 p ≠ 2, 3 として合同方程式 x^2 ≡ -12 (mod 4p) を考える。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -3 (mod p) これは (-3/p) = (-1/p)(3/p) = 1 のときのみ解がある。 p ≡ 1 (mod 4) なら (-1/p) = 1, (3/p) = (p/3) p ≡ 3 (mod 4) なら (-1/p) = -1, (3/p) = -(p/3) いずれにしても (-1/p)(3/p) = (p/3) である。 よって (-3/p) = 1 は p ≡ 1 (mod 3) と同値である。 982 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:08:41 ] p ≡ 1 (mod 3) のとき x^2 ≡ -12 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 12 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -12 である。 これは (1, 0, 3) と同値である。 よって (1, 0, 3)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。 σ = (u, q)/(r, s) とする。 >>749 より (1, 0, 3)ε = (1, 0, 3) となる ε ∈ SL_2(Z) は {±1} である。 よって (1, 0, 3) を (p, l, k) に移す SL_2(Z) の元は σ = (u, q)/(r, s) と -σ = (-u, -q)/(-r, -s) の２個である。 よって (u, r) と (-u, -r) が l に対応する p = x^2 + 3y^2 の 解である。 x^2 ≡ -12 (mod 4p) の別の解 -l には ２次形式 (p, -l, k) が対応する。 R = (1, 0)/(0, -1) とすると (1, 0, 3)RσR = (p, l, k)R = (p, -l, k) U = RσR とおく。 U ∈ SL_2(Z) で U = (u, -q)/(-r, s) である。 よって (u, -r) と (-u, r) が -l に対応する p = x^2 + 3y^2 の 解である。 983 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:14:29 ] >>981 と >>982 から次の命題が得られる。 命題(Fermat-Euler) p を 3 以外の奇素数とする。 p = x^2 + 3y^2 が有理整数解を持つためには p ≡ 1 (mod 3) が必要十分である。 さらに、このとき解は符号を除いて一つである。 984 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:33:12 ] >>978 の命題は Fermat に知られていたが初めて証明したのは Euler らしい。らしいというのは Gauss が Disquisitiones の art. 182 に Lagrange が最初に証明したと書いているからである。 しかもはっきりと Euler は証明に成功しなかったと書いている。 しかし、Weil は「数論」で Euler が証明したと書いている。 985 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/18(日) 02:45:40 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2 かっこいい 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/03/18(日) 02:48:40 ] @ 987 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 11:36:15 ] 今度は p を素数としたとき p = x^2 + 5y^2 を解くことを考えてみよう。 この問題は >>161 でも考えたし解決済み(>>363)である。 しかし、２次形式論の応用として証明をする。 ２次形式 (1, 0, 5) = x^2 + 5y^2 の判別式 D は -20 である。 >>408 より判別式 -20 の (a, b, c) が簡約２次形式であるためには gcd(a, b, c) = 1 かつ、 |b| ≦ a ≦ c であり、 |b| = a または a = c のときは b ≧ 0 となることが必要十分である。 >>341 と同様にして a ≦ √(|D|/3) である。 よって a ≦ 2 4ac = b^2 + |D| = b^2 + 20 よって b^2 ≡ 0 (mod 4) よって b は偶数である。 0^2 + 20 = 4・5 2^2 + 20 = 4・2・3 a = 1 のとき (a, b, c) = (1, 0, 5) a = 2 のとき (a, b, c) = (2, 2, 3) よって判別式が -20 の簡約２次形式は、(1, 0, 5) と (2, 2, 3) である。 988 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 13:22:45 ] p ≠ 2, 5 として合同方程式 x^2 ≡ -20 (mod 4p) を考える。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -5 (mod p) x^2 ≡ -20 (mod 4p) が解けるためには (-5/p) = 1 が 必要十分である。 (-5/p) = (-1/p)(5/p) 平方剰余の相互律から (5/p) = (p/5) である。 よって p ≡ 1, 4 (mod 5) のとき (5/p) = 1 p ≡ 2, 3 (mod 5) のとき (5/p) = -1 一方、p ≡ 1 (mod 4) のとき (-1/p) = 1 p ≡ 3 (mod 4) のとき (-1/p) = -1 よって (-5/p) = 1 は p ≡ 1, 4 (mod 5) かつ p ≡ 1 (mod 4) つまり、p ≡ 1, 9 (mod 20) または p ≡ 2, 3 (mod 5) かつ p ≡ 3 (mod 4) つまり、p ≡ 3, 7 (mod 20) と同値である。 989 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 13:45:35 ] p ≠ 2, 5 として p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) が あったとする。 p ≡ x^2 (mod 5) だから (p/5) = 1 p ≠ 2, 5 として p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) が あったとする。 2p = 4x^2 + 4xy + 6y^2 = (2x + y)^2 + 5y^2 2p ≡ (2x + y)^2 (mod 5) よって (2p/5) = (2/5)(p/5) = -(p/5) = 1 よって (p/5) = -1 990 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 15:39:57 ] p ≡ 1, 2, 3, 9 (mod 20) なら >>988 より x^2 ≡ -20 (mod 4p) に 解がある。 x^2 ≡ -20 (mod 4p) の解 l に対して l^2 + 20 = 4pk とする。 p は奇素数だから l とは互いに素である。 よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -20 である。 よって >>987 より (p, l, k) は (1, 0, 5) または (2, 2, 3) に 同値である。 >>733 より (p, l, k) が (1, 0, 5) に同値なら p = x^2 + 5y^2 となる 有理整数 (x, y) がある。 このとき >>989 より (p/5) = 1 である。 p ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) であったから p ≡ 1, 9 (mod 20) である。 逆に p ≡ 1, 9 (mod 20) なら (p/5) = 1 だから >>989 より (p, l, k) は (2, 2, 3) に同値ではない。 よって (p, l, k) は (1, 0, 5) に同値である。 以上から p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。 >>977 と同様に、この場合、解は符号を除いて一個である。 同様に p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。 この場合も、解は符号を除いて一個である。 991 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 16:05:30 ] p ≠ 2, 5 として 2p = x^2 + 5y^2 を考える。 gcd(x, y) = d なら 2p が d^2 で割れるから d = 1 である。 よって解があるなら合同方程式 x^2 ≡ -20 (mod 8p) に解がある。 x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -5 (mod 2p) である。 これは連立合同方程式 y^2 ≡ -5 (mod 2) y^2 ≡ -5 (mod p) と同値である y^2 ≡ -5 (mod 2) は常に解 y ≡ 1 (mod 2) をもつから、 x^2 ≡ -20 (mod 8p) に解があるなら (-5/p) = 1 である。 よって >>988 より p ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) である。 一方、2p = x^2 + 5y^2 なら x^2 ≡ 2p (mod 5) よって (2p/5) = 1 (2p/5) = (2/5)(p/5) = -(p/5) よって (p/5) = -1 となる。 よって p ≡ 3, 7 (mod 20) である。 よって >>990 と同様に 2p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。 992 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 16:14:17 ] >>990 と >>991 をまとめると次の命題が得られる。 命題(Fermat-Euler-Lagrange) p ≠ 2, 5 を素数とする。 (1) p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。 (2) p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。 (3) 2p = x^2 + 5y^2 となる有理整数 (x, y) があるためには p ≡ 3, 7 (mod 20) が必要十分である。 上記のいずれの場合も解は符号を除いて一意である。

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