- 749 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/02/25(日) 01:49:41 ]
- 問題 (2)
判別式 D ＜ 0 の正定値で原始的な２次形式 (a, b, c) と
(m, l, k) が同値なら (a, b, c)σ = (m, l, k) となる
σ ∈ SL_2(Z) を全て求めよ。
解答
>>743 より (a, b, c)σ = (m, l, k) となる一つの σ ∈ SL_2(Z) が
求まる。
>>739 より (a, b, c)ε = (a, b, c) となる ε ∈ SL_2(Z) を
すべて求めればよい。
I((a, b, c)) = { ε ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)ε = (a, b, c) }
とおく。
>>405 より写像
φ : PF(D) → HQ(D) は左 SL_2(Z)-集合としての同型射(>>399)である。
φ((a, b, c)) = (-b + √D)/2a である。
>>267 より
(-b + √D)/2a が √(-1) と同値つまり、
(a, b, c) が (1, 0, 1) と同値のとき
I((a, b, c)) = {±1, ±T} である。
ここで T = (0, -1)/(1, 0)
(-b + √D)/2a が (-1 + √(-3))/2 と同値つまり、
(a, b, c) が (1, 1, 1) と同値のとき
I((a, b, c)) = {±1, ±TS, ±(TS)^2}
ここで S = (1, 1)/(0, 1) したがって TS = (0, -1)/(1, 1)
(a, b, c) が (1, 0, 1) とも (1, 1, 1) とも同値でないとき
I((a, b, c)) = {±1}
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