- 954 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 22:33:22 ]
- >>833 より x^2 ≡ 1 (mod m) の解の個数、つまり |S| は
(1) m = p^n または 2p^n のとき |S| = 2
ここで p は奇素数で n ≧ 1
(2) m = 4 のとき |S| = 2
(3) m = 4r、r は奇数 ＞ 1 のとき |S| = 2^(s + 1)
ここで s は r の相異なる素因数の個数である。
(4) m = (2^e)r, e ≧ 3, r は奇数のときは
|S| = 2^(s + 1)
以上から |S| = 2 となるのは (1) と (2) の場合であり、
(3) と (4) の場合は |S| ≡ 0 (mod 4) である。
よって >>953 より次の命題が得られる。
命題(Wilson の定理の拡張)
m ＞ 2 を有理整数とする。
(Z/mZ)^* の全ての元の積は以下のようになる。
(1) m = 4 または m = p^n または 2p^n のとき積は -1
ここで p は奇素数で n ≧ 1
(2) 上記以外の場合、積は 1
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