- 363 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2006/12/24(日) 13:31:13 ]
- >>362 の続き
(p) = PP ' を素イデアル分解とする。
P が単項イデアルなら p = a^2 + 5b^2 となる有理整数 a, b が
存在する。
よって (p/5) = 1 だから p ≡ 1, 4 (mod 5) であり、
p ≡ 1, 9 (mod 20) である。
L = [2, 1 + √(-5)] とおく。
>>358 より Q(√(-5) の類数は 2 で L は主類(単位類)に含まれない。
よって P が単項イデアルでないなら PL は単項イデアルである。
N(PL) = 2p だから 2p = a^2 + 5b^2 となる有理整数 a, b が
存在する。
(2p/5) = (2/5)(p/5) = 1
(2/5) = -1 だから (p/5) = -1 である。
p ≡ 2, 3 (mod 5) である。
よって p ≡ 3, 7 (mod 20) である。
以上から p が Q(√(-5)) で完全分解するためには、
p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。
よって 素数 p ≠ 5 が p = a^2 + 5b^2 となる有理整数 a, b を持つ
ためには p ≡ 1, 9 (mod 20) が必要十分である。
これで >>168 の予想は証明された。
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