- 982 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 02:08:41 ]
- p ≡ 1 (mod 3) のとき
x^2 ≡ -12 (mod 4p) の解 l に対して
l^2 + 12 = 4pk とする。
p は奇素数だから l とは互いに素である。
よって２次形式 (p, l, k) は正定値かつ原始的で判別式は -12 である。
これは (1, 0, 3) と同値である。
よって (1, 0, 3)σ = (p, l, k) となる σ ∈ SL_2(Z) がある。
σ = (u, q)/(r, s) とする。
>>749 より (1, 0, 3)ε = (1, 0, 3) となる ε ∈ SL_2(Z) は
{±1} である。
よって (1, 0, 3) を (p, l, k) に移す SL_2(Z) の元は
σ = (u, q)/(r, s) と -σ = (-u, -q)/(-r, -s) の２個である。
よって (u, r) と (-u, -r) が l に対応する p = x^2 + 3y^2 の
解である。
x^2 ≡ -12 (mod 4p) の別の解 -l には
２次形式 (p, -l, k) が対応する。
R = (1, 0)/(0, -1) とすると
(1, 0, 3)RσR = (p, l, k)R = (p, -l, k)
U = RσR とおく。
U ∈ SL_2(Z) で U = (u, -q)/(-r, s) である。
よって (u, -r) と (-u, r) が -l に対応する p = x^2 + 3y^2 の
解である。
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