- 948 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/15(木) 12:56:50 ]
- Dirichlet の「整数論講義」に従って >>933 の応用として
Wilson の定理の拡張(Gauss)を証明する。
その前に Wilson の定理について述べる。
命題(Wilson の定理)
p を素数とすると (p - 1)! ≡ -1 (mod p) である。
証明
p = 2 のときは明らかだから p は奇素数とする。
mod p で多項式 X^(p - 1) - 1 を考える。
X^(p - 1) - 1 ≡ (X - 1)(X - 2) ... (X - (p - 1)) (mod p) である。
X = 0 とおくと
- 1 ≡ ((-1)^(p - 1))(p - 1)!(mod p) である。
p - 1 は偶数だから (-1)^(p - 1) = 1 である。
よって
(p - 1)! ≡ -1 (mod p) である。
証明終
