- 882 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/10(土) 23:56:30 ]
- 命題
n ≧ 3 で a を奇数とする。
a ≡ 1 (mod 8) のとき
x^2 ≡ a (mod 2^n) には４個の解がある。
証明(Dirichlet の整数論講義)
x^2 ≡ a (mod 2^n) の解の一つを c とする。
x をこの方程式の任意の解とする。
(x - c)(x + c) ≡ 0 (mod 2^n) である。
x も c も奇数であるから x - c と x + c は偶数である。
よって
((x - c)/2)((x + c)/2) ≡ 0 (mod 2^(n-2)) である。
(x + c)/2 - (x - c)/2 = c は奇数だから
(x - c)/2 と (x + c)/2 のどちらか一方は奇数である。
よって
(x - c)/2 ≡ 0 (mod 2^(n-2))
または
(x + c)/2 ≡ 0 (mod 2^(n-2))
である。
つまり
x ≡ c (mod 2^(n-1))
または
x ≡ -c (mod 2^(n-1))
よって
x ≡ c (mod 2^n) または x ≡ c + 2^(n-1) (mod 2^n)
x ≡ -c (mod 2^n) または x ≡ -c + 2^(n-1) (mod 2^n)
証明終
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