- 988 名前:Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/03/18(日) 13:22:45 ]
- p ≠ 2, 5 として合同方程式 x^2 ≡ -20 (mod 4p) を考える。
x^2 ≡ 0 (mod 4) だから x は偶数である。 x = 2y とおくと y^2 ≡ -5 (mod p) x^2 ≡ -20 (mod 4p) が解けるためには (-5/p) = 1 が 必要十分である。 (-5/p) = (-1/p)(5/p) 平方剰余の相互律から (5/p) = (p/5) である。 よって p ≡ 1, 4 (mod 5) のとき (5/p) = 1 p ≡ 2, 3 (mod 5) のとき (5/p) = -1 一方、p ≡ 1 (mod 4) のとき (-1/p) = 1 p ≡ 3 (mod 4) のとき (-1/p) = -1 よって (-5/p) = 1 は p ≡ 1, 4 (mod 5) かつ p ≡ 1 (mod 4) つまり、p ≡ 1, 9 (mod 20) または p ≡ 2, 3 (mod 5) かつ p ≡ 3 (mod 4) つまり、p ≡ 3, 7 (mod 20) と同値である。
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