- 1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ]
- Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。
前スレ
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
- 237 名前：１３２人目の素数さん [2007/04/30(月) 17:44:47 ]
- それよりkingとくんまーの白熱した議論が見たい
- 238 名前：KingOfUniverse ◆667la1PjK2 [2007/04/30(月) 18:06:42 ]
- talk:>>237 だが、何の議論をすればいいのだ？
- 239 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/04/30(月) 18:54:16 ]
- >>238
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰す必要性について
- 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/01(火) 01:53:40 ]
- >>238
ゴミは消えろ
- 241 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/02(水) 20:32:42 ]
- 再び >>232(即ち >>228の続き)を以下のように訂正する。
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I)
に
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
を代入すると
f(α, β; x, y) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I)
= ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I)
= f(γ, δ; xp - yr, -xq + ys)
従って (a, b, c) = (k, l, m)σ
ここで σ = (p, -r)/(-q, s) ∈ SL_2(Z)
- 242 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:07:24 ]
- >>235 の続き。
D ＜ 0 のとき
ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ
D ＞ 0 のとき
ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ
が定義された。
それぞれの逆写像 ψ_FI を定義しよう。
D ＜ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0+(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } と定義する。
D ＞ 0 の場合。
(a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]α } と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
例えば
a ＞ 0 のときは α = 1
a ＜ 0 のときは α = √m とすればよい。
以上の定義が２次形式類の代表 (a, b, c) の取り方によらないことを
証明しよう。
- 243 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:32:01 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されている。
D ＞ 0 の場合を考える。
f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ(f) = { [a, (-b + √D)/2]α } ∈ Cl+(D) と定義する。
ここで α は sign(N(α)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0(D) の取り方によらないことを証明するには、
任意の σ ∈ SL_2(Z) に対して
Ψ(fσ) = Ψ(fσ) を証明すればよい。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。
- 244 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 11:51:16 ]
- >>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
よって
Ψ(fS) = { [a, -a + (-b + √D)/2]α }
= { [a, (-b + √D)/2]α }
= Ψ(f)
>>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
Ψ(fT) = { [c, (b + √D)/2]β }
ここで sign(N(β)) = sign(c)
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I = (a/θ')J
Iα = (a/θ')Jα = (aα/θ'β)Jβ
N(θ') = ac だから
N(aα/θ'β) = (a^2)N(α)/acN(β) = aN(α)/cN(β) ＞ 0
よって
Ψ(fT) = { Jβ } = { Iα } = Ψ(f)
証明終
- 245 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:03:49 ]
- D ＜ 0 の場合。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
の定義が
(a, b, c) ∈ F_0+(D) の取り方によらないことは、
過去スレ４の598で証明されているが、
>>244 と同様にも証明される。
つまり、>>244 の I = (a/θ')J は D ＜ 0 の場合もそのまま成り立つ。
- 246 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 12:10:38 ]
- >>243 の証明の基本アイデアつまり、
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される
事実を利用する方法は Buell の Binary quadratic forms から借りた。
このアイデアを知るまでは証明がどうしてもうまくいかなかった。
- 247 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 17:55:36 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 248 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:02:25 ]
- >>247 を以下のように訂正する。
命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0+(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2] } である。
I = [a, (-b + √D)/2]
α = a
β = (-b + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = a
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
従って (ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 249 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:16:34 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl(D) → (F_0)+(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 250 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:21:25 ]
- >>248 と >>249 より D ＜ 0 のとき
(F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
このことは過去スレ601と602でも証明されている。
- 251 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:40:54 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明
(a, b, c) ∈ F_0(D) とする。
ψ_FI({ (a, b, c) }) = { [a, (-b + √D)/2]δ } である。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
I = [a, (-b + √D)/2]δ
α = aδ
β = (-b + √D)δ/2 とおく。
-Δ(α, β) = aδ'(-b + √D)δ/2 - aδ(-b - √D)δ'/2
= N(δ)a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = N(δ)a^2/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = N(δ)(ab)/|N(δ)||a|
= sign(N(δ))sign(a)b = b
(ββ')/N(I) = N(δ)ac/|N(δ)||a| = sign(N(δ))sign(a)c = c
よって
(ψ_IF)(ψ_FI) = 1 である。
証明終
- 252 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:47:26 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
>>235 で 写像 ψ_IF : Cl+(D) → F_0(D)/Γ が
>242 で 写像 ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) が定義された。
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明
>>207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
ψ_IF({ I }) = { (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) }
ψ_FI({ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) })
= { [a, b + (D + √D)/2]δ }
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
a ＞ 0 だから δ = 1 とできる。
よって
(ψ_FI)(ψ_IF) = 1 である。
証明終
- 253 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 18:49:23 ]
- >>251 と >>252 より D ＞ 0 のとき
F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
- 254 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/03(木) 23:15:20 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
Qd = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおいた(>>214)。
Qd の元で原始的(>>221)なもの全体を Qd_0 と書いた(>>223)。
即ち
Qd_0 = { (-b + √D)/2a ∈ Qd ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
θ = (-b + √D)/2a ∈ Qd_0 のとき
過去スレ４の592より [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。
g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl+(D) (>>227) の類とする。
ただし、D ＜ 0 のときは Cl+(D) は Cl(D) を意味するとする。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 255 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 13:36:04 ]
- >>254 は没とする。
理由は Qd は SL_2(Z) の作用で閉じていないため。
- 256 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 15:54:10 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 を
その判別式とする。
Q(D) = { (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
即ち Q(D) は判別式 D に属す２次無理数(過去スレ596) の集合である。
Q_0(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
とおく。
即ち Q_0(D) は判別式 D に属す原始的な２次無理数(過去スレ596) の
集合である。
Q_0(D) は左 SL_2(Z)-集合である。
g(θ) を [a, (-b + √D)/2]δ の属す Cl+(D) (>>227) の類とする。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 257 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:08:05 ]
- Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a
[a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2]
よって g(Sθ) = g(θ) である。
Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c
よって
g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2]γ } である。
ここで γ は sign(N(γ)) = sign(c) となる Q(√m) の任意の
元である。
((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(b + √D)/2, c]
よって
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
とおくと
θ' I = aJ
I = (a/θ')J
Iδ = (a/θ')Jδ = (aδ/θ'γ)Jγ
N(θ') = ac だから
N(aδ/θ'γ) = a^2N(δ)/acN(γ) = aN(δ)/cN(γ) ＞ 0
よって I と J は Cl+(D) の同じ類に属す。
即ち
g(Tθ) = g(θ) である。
よって >>256 の最後の主張が証明された。
- 258 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:14:59 ]
- >>256 より g(θ) は θ の属す Q_0(D)/Γ の類できまり、
その代表元 θ の取り方によらない。
よって写像
ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義される。
- 259 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 16:37:16 ]
- CL+(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル
である。
I = [α, β] で α, β の向きは正とする。
このような基底 α, β が存在することは >>201 からわかる。
>>228 と同様に
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
h(x) = ax^2 + bx + c とおく。
N(I)αh(β/α) = α'β^2 - αββ' - α'β^2 + αββ' = 0
よって h(β/α) = 0 である。
よって β/α は D に属す２次無理数である。
- 260 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 17:21:36 ]
- I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
θ = β/α
μ = δ/δ
とおく。
θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ)
よって
μ = (pθ - r)/(-qθ + s)
よって μ と θ は Q_0(D)/Γ の同じ類に属す。
τ ∈ Q(√m) で N(τ) ＞ 0 とする。
τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で
Δ(τα, τβ) = τατ'β' - τβτ'α' = N(τ)Δ(α, β)
だから τα, τβ の向きは正である。
さらに τβ/τα = β/α である。
以上から写像
ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が
ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。
- 261 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 17:49:14 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>258 で 写像 ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。
(ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明
θ = (-b + √D)/2a ∈ Q_0(D) とする。
I = [a, (-b + √D)/2]δ とおく。
ここで δ は sign(N(δ)) = sign(a) となる Q(√m) の任意の
元である。
ψ_QI({ θ }) = { I } である。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
I = [δα, δβ] である。
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
= -N(δ)a√D ＜ 0
よって δα, δβ の向きは正である。
δβ/δα = β/α である。
従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。
よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明終
- 262 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:07:36 ]
- 命題
R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>258 で 写像 ψ_QI: Q_0(D)/Γ → CL+(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL+(D) → Q_0(D)/Γ が が定義された。
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明
>>207 より Cl+(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
-Δ(α, β) = a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
β/α = (2b + D + √D)/2a
よって
ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a })
a ＞ 0 だから
ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明終
- 263 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:09:30 ]
- >>261 と >>262 より D ＞ 0 のとき
Q_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
- 264 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:25:21 ]
- R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 を
その判別式とする。
Q+(D) = { a ＞ 0, (-b + √D)/2a ; D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
これは >>214 の Qd と同じものである。
即ち Q+(D) は判別式 D に属す２次無理数(過去スレ596) で
複素上半平面にあるものの集合である。
(Q_0)+(D) = { (-b + √D)/2a ∈ Q+(D) ; gcd(a, b, (b^2 - D)/4a) = 1 }
とおく。
即ち (Q_0)+(D) は Q+(D) に属す原始的な２次無理数(過去スレ596) の
集合である。
これは >>223 の Qd_0 と同じものである。
(Q_0)+(D) は左 SL_2(Z)-集合である。
θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) のとき
g(θ) を [a, (-b + √D)/2] の属す Cl(D) の類とする。
σ ∈ SL_2(Z) のとき g(σθ) = g(θ) を示そう。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って
g(Sθ) = g(θ) と g(Tθ) = g(θ) を証明すればよい。
- 265 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:26:44 ]
- Sθ = θ + 1 = (2a - b + √D)/2a
[a, (2a - b + √D)/2] = [a, a + (-b + √D)/2] = [a, (-b + √D)/2]
よって g(Sθ) = g(θ) である。
Tθ = -1/θ = -2a/(-b + √D) = -2a(-b - √D)/4ac = (b + √D)/2c
b^2 - 4ac ＜ 0
b^2 ＜ 4ac
a ＞ 0
だから
c ＞ 0 である。
よって
g(Tθ) = { [c, (b + √D)/2] }
((-b - √D)/2)[a, (-b + √D)/2] = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(b + √D)/2, c]
よって
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
とおくと
θ' I = aJ
I = (a/θ')J
よって I と J は Cl(D) の同じ類に属す。
- 266 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:29:09 ]
- >>265 より g(θ) は θ の属す (Q_0)+(D)/Γ の類できまり、
その代表元 θ の取り方によらない。
よって写像
ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義される。
- 267 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/04(金) 18:49:01 ]
- CL(D) の任意の類 { I } をとる。ここで I は R の可逆分数イデアル
である。
I = [α, β] で α, β の向きは正とする。
このような基底 α, β が存在することは >>201 からわかる。
>>228 と同様に
f(α, β; x, y) = N(xα - yβ)/N(I) とおく。
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、f(α, β; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
h(x) = ax^2 + bx + c とおく。
N(I)αh(β/α) = α'β^2 - αββ' - α'β^2 + αββ' = 0
よって h(β/α) = 0 である。
よって β/α は D に属す２次無理数である。
Im(β/α) = (β/α - β'/α')/2 = (βα' - αβ')/2αα'
= (βα' - αβ')/2N(α)
α, β の向きは正だから
(βα' - αβ')/√D ＞ 0
α は虚２次体 Q(√m) の元だから αα' = N(α) ＞ 0 である。
よって
Im(β/α)/√D = (βα' - αβ')/2N(α)√D ＞ 0
よって β/α は複素上半平面にある。
- 268 名前：クマーさんを応援する人 [2007/05/04(金) 20:56:58 ]
- こんにちは。
- 269 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 00:54:53 ]
- >>267 の続き。
>>250 より
(F_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
この同型で { (a, b, c) } は { I } と対応するから
(a, b, c) は原始的である。
>>267 より β/α は ax^2 + bx + c の根だから β/α は
原始的である。
よって β/α は (Q_0)+(D) の元である。
- 270 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 00:55:57 ]
- I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, s で ps - qr = 1 となるものがある。
θ = β/α
μ = δ/δ
とおく。
θ = β/α = (rγ + sδ)/(pγ + qδ) = (r + sμ)/(p + qμ)
よって
μ = (pθ - r)/(-qθ + s)
よって μ と θ は (Q_0)+(D) の同じ類に属す。
τ ≠ 0 を Q(√m) の元とする。
τI = τ[α, β] = [τα, τβ] で
Δ(τα, τβ) = τατ'β' - τβτ'α' = N(τ)Δ(α, β)
N(τ) ＞ 0 だから τα, τβ の向きは正である。
さらに τβ/τα = β/α である。
以上から写像
ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が
ψ_IQ({ I }) = {β/α} で矛盾なく定義されることがわかった。
- 271 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:04:00 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。
>260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
(ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明
θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) とする。
I = [a, (-b + √D)/2] とおく。
ψ_QI({ θ }) = { I } である。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = αβ' - βα' = -a√D ＜ 0
よって α, β の向きは正である。
β/α = (-b + √D)/2a = θ
従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。
よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。
証明終
- 272 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:06:55 ]
- >>271
>>260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
>>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
- 273 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:10:04 ]
- 命題
R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。
>>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明
>>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。
>>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
β/α = (2b + D + √D)/2a
よって
ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a })
a ＞ 0 だから
ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] }
よって
(ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。
証明終
- 274 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:12:24 ]
- >>271 と >>273 より D ＜ 0 のとき
(Q_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。
- 275 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:01:18 ]
- D ＜ 0 のとき >>248 と >>249 より
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) は同型である。
>>271 と >>273 より
ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ は同型である。
よって
ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
このとき
(a, b, c) ∈ (F_0)+(D) の類には (-b + √D)/2a の類が
対応する。
- 276 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:07:44 ]
- >>275
>よって
>ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
- 277 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:08:27 ]
- >>275
>よって
>ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
>同型である。
よって
ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は
同型である。
- 278 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:10:42 ]
- R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。
D ＞ 0 のとき >>251 と >>252 より
ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。
>>261 と >>262 より
ψ_IQ : CL+(D) → Q_0(D)/Γ は同型である。
よって
ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : F_0(D)/Γ → Q_0(D)/Γ は
同型である。
このとき
(a, b, c) ∈ F_0(D) の類には (-b + √D)/2a の類が
対応する。
- 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/05(土) 13:30:17 ]
- 挨拶にシカトするなんて糞
はじめから見てるが、この書き込んでるやつ馬鹿もいいところだろ。
うんこ以下
- 280 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 19:50:46 ]
- R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式
とする。
>>220 より同型
φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
が存在する。
φ_FI は >>243 の同型 ψ_FI を引き起こす。
ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D)
- 281 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:07:26 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
P+ = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) ＞ 0 } とおく。
完全列
1 → P+ → K^*/(R^*)+ → {±1} → 1
が存在する。
ここで K = Q(√m) であり、
(R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である。
K^*/(R^*)+ → {±1} は α ∈ K^* に sign(N(α)) を対応させる
ことにより引き起こされる。
P~ = K^*/(R^*)+ とおく。
(I, s) ∈ I(R) × {±1} と、[β] ∈ P~ に対して
[β](I, s) = (βI, s(sign(N(β)))) と定義する。
ε ∈ (R^*)+ のとき (εI, s(sign(N(ε)))) = (I, s) だから
[β](I, s) は [β] ∈ P~ のみで決まる。
よって商集合 (I(R) × {±1})/P~ が定義される。
>>220 の同型
φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1}
は同型
F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ を引き起こすことを示そう。
- 282 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:22:44 ]
- [ (a, b, c) ] ∈ F_0(D)/Γ のとき
[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~
が代表 (a, b, c) の取り方によらないことを示す。
ここで、[ (a, b, c) ] は (a, b, c) が属す F_0(D)/Γ の類を表す。
同様に、[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] は (I(R) × {±1})/P~ の
類を表す。
f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ(f) = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~
とおく。
過去スレ４の269より
SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。
従って、いつものように
Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。
>>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
よって
Ψ(fS) = [([a, -a + (-b + √D)/2], sign(a))]
= Ψ(f)
- 283 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:29:31 ]
- >>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
Ψ(fT) = [([c, (b + √D)/2], sign(c))]
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I = (a/θ')J
N(θ') = ac だから
N(a/θ') = a/c
Ψ(fT) = [((a/θ')[c, (b + √D)/2], sign(c)sign(N(a/θ')))]
= [([a, (-b + √D)/2], sign(c)sign(a/c))]
= [([a, (-b + √D)/2], sign(a))]
= Ψ(f)
- 284 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:16:12 ]
- (I, s) ∈ I(R) × {±1} とする。
即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。
I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
>>197 で f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおいた。
f(α, β, s; x, y) ∈ F_0(D) である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + tδ
となる有理整数 p, q, r, t で pt - qr = 1 となるものがある。
f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I)
に
α = pγ + qδ
β = rγ + tδ
を代入すると
f(α, β, s; x, y) = sN(x(pγ + qδ) - sy(rγ + tδ))/N(I)
= s((xp - ysr)γ - s(-xsq + yt)δ)/N(I)
= f(γ, δ; xp - ysr, -xq + yst)
従って (a, b, c) = (k, l, m)σ
ここで σ = (p, -sr)/(-sq, t) ∈ SL_2(Z)
- 285 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:43:24 ]
- δ ∈ K^* として
[δ](I, s) = (δI, s(sign(N(δ))) を考える(>>281)。
δI = [δα, δβ] であり、
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
まず N(δ) ＞ 0 の場合を考える。
Δ(δα, δβ) = Δ(α, β)
だから δα, δβ の向きは正である。
f(δα, δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = sN(xδα - syδβ)/N(δI)
= (N(δ)/N(δ))sN(xα - syβ)/N(I)
= sN(xα - syβ)/N(I)
= f(α, β, s; x, y)
N(δ) ＜ 0 とする。
Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β)
だから δα, -δβ の向きは正である。
f(δα, -δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = -sN(xδα - syδβ)/N(δI)
= -(N(δ)/|N(δ)|)sN(xα - syβ)/N(I)
= sN(xα - syβ)/N(I)
= f(α, β, s; x, y)
- 286 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:07:13 ]
- >>282, >>283 より
写像 Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~
が
Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ]
により定義される。
>>284 より
写像 Ψ_1 : (I(R) × {±1})/P~ → F_0(D)/Γ
が
Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ f(α, β, s; x, y) ]
により定義される。
- 287 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:16:09 ]
- (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき
Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ]
a ＞ 0 のとき
α = a
β = (-b + √D)/2
s = sign(a) = 1 とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。
s(αα')/N(I) = a
-(αβ' + βα')/N(I) = b
s(ββ')/N(I) = c
よって
f(α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2
a ＜ 0 のとき
α = -a
β = (-b + √D)/2
s = sign(a) = -1 とおく。
Δ(α, β) = a√D だから α, β の向きは正である。
s(αα')/N(I) = a
-(αβ' + βα')/N(I) = b
s(ββ')/N(I) = c
よって
f(-α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2
以上から Ψ_1Ψ_0 = 1 である。
- 288 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:48:13 ]
- [ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。
即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。
>>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
よって I は原始イデアルと仮定してよい。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
α = a
β = b+ (-b + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。
s(αα')/N(I) = sa
-(αβ' + βα')/N(I) = b
s(ββ')/N(I) = sc
となる。
ただし、 c = (ββ')/N(I) とおいた。
よって
f(α, β, s; x, y) = sax^2 + bxy + scy^2
Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, b, sc) ]
Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, (-b + √D)/2], sign(sa)) ]
= [ (I, s) ]
よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。
- 289 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:51:59 ]
- >>287, >>288 より
Ψ_0 と Ψ_1 は互いに逆写像であり、
Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~
は集合としての同型である。
- 290 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:14:03 ]
- 写像 Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D)
を Φ_0( [ (I, s) ] ) = [ δI ] で定義する。
ここで δ ∈ K^* は s = sign(N(δ)) となる任意の元である。
写像 Φ_1 : Cl+(D) → (I(R) × {±1})/P~
を Φ_1( [ I ] ) = [ (I, 1) ] で定義する。
Φ_1Φ_0( [ (I, s) ] ) = Φ_1( [ δI ] ) = [ (δI, 1) ]
= [ (I, sign(N(δ))) ]
= [ (I, s) ]
よって
Φ_1Φ_0 = 1
他方、
Φ_0Φ_1( [ I ] ) = Φ_0( [ (I, 1) ] ) = [ I ]
よって
Φ_0Φ_1 = 1
以上から
Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D)
は集合としての同型である。
- 291 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:16:15 ]
- >>289 と >>290 より
Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~
と
Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D)
の合成写像
Φ_0Ψ_0 : F_0(D)/Γ → Cl+(D)
は同型である。
- 292 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:41:43 ]
- >>288 を以下のように修正する。
[ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。
即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。
>>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。
よって I は原始イデアルと仮定してよい。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
α = a
β = b+ (D + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。
s(αα')/N(I) = sa
-(αβ' + βα')/N(I) = -2b - D
s(ββ')/N(I) = sc
となる。
ただし、 c = (ββ')/N(I) とおいた。
よって
f(α, β, s; x, y) = sax^2 - (2b + D)xy + scy^2
よって
Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, -(2b + D), sc) ]
Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, b + (D + √D)/2], sign(sa)) ]
= [ (I, s) ]
よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。
- 293 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 06:46:05 ]
- >>286 より
Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ]
である。
よって
Φ_0Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [a, (-b + √D)/2]δ
ここで δ ∈ K^* は sign(a) = sign(N(δ)) となる任意の元である。
従って、>>242 より Φ_0Ψ_0 = ψ_FI である。
- 294 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:38:51 ]
- R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式
とする。
>>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。
では広義のイデアル類群 Cl(D) は F_0(D) とどのような関係に
あるのだろうか？
この問題について考えてみる。
- 295 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:40:28 ]
- (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアル
である。
a ＞ 0 なら、
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = -a√D ＜ 0
だから I の基底 α, β は正の向きである。
(αα')/N(I) = a^2/(-a) = a
-(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b
(ββ')/N(I) = ac/a = c
だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。
a ＜ 0 なら、
α = -a
β = (-b + √D)/2
とおく。
Δ(α, β) = a√D ＜ 0
だから I の基底 α, β は正の向きである。
(αα')/N(I) = a^2/(-a) = -a
-(αβ' + βα')/N(I) = (-ab)/(-a) = b
(ββ')/N(I) = ac/(-a) = -c
だから N(xα - yβ)/N(I) = -a^x^2 + bxy - cy^2 である。
従って F_0(D)/Γ において [ (a, b. c) ] と [ (-a, b, -c) ]
が同一視出来ればそれによる商集合が Cl(D) と同型になるのでは
ないかと見当がつく。
- 296 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:51:58 ]
- τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。
det(τ) = -1 である。
(a, b. c) ∈ F_0(D) のとき (a, b. c)τ = (a, -b, c) である。
σ ∈ SL_2(Z) とし、(a, b, c)σ = (k, l, m) とする。
(-a, -b, -c) と (-k, -l, -m) も F_0(D) の元であることに注意する。
過去スレ４の401より
k = ap^2 + bpr + cr^2
l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs
m = aq^2 + bqs + cs^2
よって
(-a, -b, -c)σ = (-k, -l, -m)
一方、(-a, b, -c)τ = (-a, -b, -c) だから
(-a, b, -c)τσ = (-k, -l, -m) = (-k, l, -m)τ
τを両辺に掛けて τ^2 = 1 より
(-a, b, -c)τστ = (-k, l, -m)
det(τστ) = det(τ)^2 det(σ) = 1
以上から
(a, b, c) と (k, l, m) が F_0(D)/Γ の同じ類にあるなら
(-a, b, -c) と (-k, l, -m) も同じ類にある。
- 297 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:15:53 ]
- >>296 より
F_0(D)/Γ の元 [ (a, b, c) ] に [ (-a, b, -c) ] を対応させるのは
代表 (a, b, c) の取り方によらない。
有理整数環 Z の単数群 Z^* = {±1} の元 -1 の F_0(D)/Γ への
作用を [ (a, b, c) ](-1) = [ (-a, b, -c) ] で定義すれば、
[ (a, b, c) ](-1)^2 = [ (a, b, c) ] である。
よって F_0(D)/Γ は (Z^*)-集合(過去スレ４の388)となる。
よって商集合(過去スレ４の390)が (F_0(D)/Γ)/Z^* が定義される。
- 298 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:43:25 ]
- (a, b, c) ∈ F_0(D) に Cl(D) の元 [[a, (-b + √D)/2]] を
対応させる写像をχ_0とかく
χ_0((a, b, c)) = [[a, (-b + √D)/2]]
>>185 より
(a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c)
χ_0((a, b, c)S) = [[a, -a + (-b + √D)/2]] = [[a, (-b + √D)/2]]
よって χ_0((a, b, c)S) = χ_0((a, b, c))
>>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから
χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]]
I = [a, (-b + √D)/2]
J = [c, (b + √D)/2]
θ = (-b + √D)/2
とおく。
θ'I = [a(-b - √D)/2, ac]
= a[(-b - √D)/2, c]
= a[c, (b + √D)/2]
= aJ
よって
I と J は Cl(D) の同じ類に属す。
よって
χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]] = χ_0((a, b, c))
以上から χ_0 は F_0(D)/Γ から Cl(D) への写像を誘導する。
この写像を同じ記号 χ_0 で表す。
即ち χ_0([ (a, b, c) ]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。
- 299 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:48:55 ]
- χ_0([ (-a, b, -c) ]) = [[-a, (-b + √D)/2]]
= [[a, (-b + √D)/2]]
= χ_0([ (a, b, c) ])
だから
χ_0 は (F_0(D)/Γ)/Z^* (>>297)から Cl(D) への写像を誘導する。
この写像を同じ記号 χ_0 で表す。
即ち χ_0([[ (a, b, c) ]]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。
- 300 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:59:14 ]
- I を R の可逆分数イデアルとする。
I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。
N(xα - yβ)/N(I) は F(D) の元である。
I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。
>>189 より
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
となる有理整数 p, q, r, t で ps - qr = 1 となるものがある。
N(xα - yβ)/N(I) の α, β に
α = pγ + qδ
β = rγ + sδ
をそれぞれ代入すると
N(xα - yβ)/N(I) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I)
= ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I)
よって、N(xα - yβ)/N(I) と N(xγ - yδ)/N(I) は
F(D)/Γ の同じ類に属す。
- 301 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:20:34 ]
- δ ∈ K^* として δI を考える。
δI = [δα, δβ] であり、
Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β)
よって N(δ) ＞ 0 なら
Δ(δα, δβ) ＜ 0 だから δα, δβ の向きは正である。
このとき
N(xδα - yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα - yβ)/N(I)
= N(xα - yβ)/N(I)
よって N(xδα - yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は
(F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。
N(δ) ＜ 0 なら δα, -δβ の向きは正である。
N(xδα + yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα + yβ)/N(I)
= -N(xα + yβ)/N(I)
>>197 より
a = (αα')/N(I)
b = -(αβ' + βα')/N(I)
c = (ββ')/N(I)
とおけば、N(xα - yβ)/N(I) = ax^2 + bxy + cy^2 である。
よって
-N(xα + yβ)/N(I) = -ax^2 + bxy - cy^2 である。
よって N(xδα + yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は
(F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。
- 302 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:32:34 ]
- >>300 と >>301 より Cl(D) から (F(D)/Γ)/Z^* への写像が
χ_1([I]) = [[N(xα - yβ)/N(I)]] で定義される。
ここで I = [α, β] は R の可逆分数イデアルであり、
α, β は正に向き付けられているとする。
- 303 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:40:04 ]
- >>295 より χ_1χ_0 = 1 である。
- 304 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:41:44 ]
- I を R の原始イデアルとする。
>>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。
ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。
α = a
β = b + (D + √D)/2 とおく。
Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。
>>228 において
(αα')/N(I) = a^2/a = a
-(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D
(ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a
よって
χ_1([I]) = [[ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) ]]
χ_0χ_1([I]) = [[a, b + (D + √D)/2]]
よって χ_0χ_1 = 1 である。
- 305 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:43:54 ]
- >>303 と >>304 より (F_0(D)/Γ)/Z^* と Cl(D) は集合として同型
である。
これで >>294 の問題は解決した。
- 306 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:49:01 ]
- 訂正
>>285
>Δ(δα, δβ) = Δ(α, β)
>だから δα, δβ の向きは正である。
sign(Δ(δα, δβ)) = sign(Δ(α, β)) = -1
だから δα, δβ の向きは正である。
- 307 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:52:16 ]
- 訂正
>>285
>Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β)
>だから δα, -δβ の向きは正である。
sign(Δ(δα, δβ)) = -sign(Δ(α, β)) = 1
だから δα, -δβ の向きは正である。
- 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:10:00 ]
- 55
- 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:11:00 ]
- 54
- 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:12:07 ]
- 53
- 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:13:00 ]
- 52
- 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:14:00 ]
- 51
- 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:15:00 ]
- 50
- 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:10:00 ]
- 49
- 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:11:00 ]
- 48
- 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:12:03 ]
- 47
- 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:13:00 ]
- 46
- 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:14:00 ]
- 47
- 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:15:00 ]
- 46
- 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:10:00 ]
- 45
- 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:11:01 ]
- 44
- 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:12:01 ]
- 43
- 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:13:00 ]
- 42
- 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:14:00 ]
- 41
- 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:15:00 ]
- 40
- 326 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 12:43:06 ]
- D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。
Q+(D) = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。
これは >>218 で Qd と書いたものである。
>>218 より
φ_FQ([ (a, b, c) ]) = ([ (-b + √D)/2|a| ], sign(a))
により同型 φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Q+(D)/Z × {±1}
が得られる。
(a, b, c) ∈ F(D) に ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) を対応させる
ことにより
写像 F(D) → Q+(D) × {±1} が得られる。
この写像を記号の濫用でやはり φ_FQ と書くことにする。
これは明らかに集合としての同型である。
- 327 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 16:58:20 ]
- 判別式が正の２次形式を不定符号２次形式と呼ぶ。
- 328 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 17:01:14 ]
- 過去スレ４の293で判別式が負の２次形式 (a, b, c) で
a ＞ 0 のとき (a, b, c) は正定値というと書いたが、
これは Zagier の数論入門の日本語訳(岩波) から借りたものである。
しかし、この訳語はあまり良くない。
判別式が負の２次形式を定符号２次形式と呼び、
正定値の代わりに正の定符号と呼んだほうが意味がはっきりする。
しかし、今さら変えるのも混乱するのでこのままにしておく。
- 329 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:38:01 ]
- (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
即ち、不定符号２次形式(>>327)とする。
>>326 より (a, b, c) には ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) が対応する。
(-b + √D)/2|a| は２次無理数だから >>41 以降で展開した連分数の
理論が適用できる。
この理論を上記の対応により２次形式の言葉に翻訳しよう。
- 330 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:44:53 ]
- 定義
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
1/θ が簡約された２次無理数のとき (a, b, c) を簡約された２次形式、
または単に簡約２次形式という。
- 331 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:47:39 ]
- >>330 において、θ ではなく 1/θ としたのは後で述べる
２次形式の簡約過程の計算をより単純にするためである。
- 332 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 21:11:44 ]
- 補題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
(a, b, c) が簡約２次形式であるためには
0 ＜ θ ＜ 1
1 ＜ -θ'
が必要十分である。
ここで、θ' はいつものように θ の共役を表す。
証明
1/θ が簡約ということは >>95 より
1/θ ＞ 1
-1 ＜ 1/θ' ＜ 0
ということである。
1/θ ＞ 1 は 0 ＜ θ ＜ 1 と同値である。
-1 ＜ 1/θ' ＜ 0 は -θ' ＞ 1 と同値である。
証明終
- 333 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 22:54:24 ]
- 命題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
(a, b, c) が簡約２次形式であるためには
|√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D
が必要十分である。
証明
θ = (-b + √D)/2|a| とおく。
>>332 より (a, b, c) が簡約２次形式であるためには
0 ＜ θ ＜ 1
1 ＜ -θ'
が必要十分である。
0 ＜ θ ＜ 1 より 0 ＜ (-b + √D)/2|a| ＜ 1
だから
0 ＜ -b + √D ＜ 2|a|
よって
√D - 2|a| ＜ b ＜ √D
他方
1 ＜ (b + √D)/2|a| より
2|a| ＜ b + √D
よって
2|a| - √D ＜ b
よって |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D
この逆も明らかである。
証明終
- 334 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/11(金) 07:57:24 ]
- oniku!!
- 335 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:42:22 ]
- 命題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。
このとき ac ＜ 0 である。
即ち a と c は符号が反対である。
つまり sign(c) = -sign(a)
証明
>>333 より 0 ＜ b ＜ √D
よって
b^2 ＜ D
D - b^2 = -4ac だから
0 ＜ -4ac
よって
ac ＜ 0
証明終
- 336 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:43:42 ]
- 命題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。
このとき |a| + |c| ＜ √D である。
証明
>>333 より
|√D - 2|a|| ＜ b
両辺を２乗して
(√D - 2|a|)^2 ＜ b^2
よって
(√D - 2|a|)^2 - b^2
= D - 4|a|√D + 4a^2 - b^2
= -4ac - 4|a|√D + 4a^2 ＜ 0
よって
((√D - 2|a|)^2 - b^2)/4|a|
= -ac/|a| - √D + |a|
= -sign(a)c - √D + |a|
= sign(c)c - √D + |a|
= |c| - √D + |a| ＜ 0
証明終
- 337 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:44:42 ]
- 命題
(a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。
(a, b, c) が簡約２次形式(>>330)であるためには
|√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D
が必要十分である。
証明
>>333 より |√D - 2|a|| ＜ b
よって -b ＜ √D - 2|a| ＜ b
即ち 0 ＜ √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b
√D - b ＜ 2|a| の両辺に √D + b を掛けて
-4ac ＜ 2|a|(√D + b)
-2sign(a)c ＜ √D + b
2sign(c)c ＜ √D + b
よって
2|c| - √D ＜ b
他方 2|a| ＜ √D + b の両辺に √D - b を掛けて
2|a|(√D - b) ＜ -4ac
√D - b ＜ -2sign(a)c = 2sign(c)c = 2|c|
√D - b ＜ 2|c|
よって
-b ＜ 2|c| - √D
以上から
|√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D
同様にして、この式から逆に |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D がでる。
証明終
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