面白い問題おしえて〜な 十三問目

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/07/06(金) 09:00:00 ] 面白い問題、教えてください 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/10(土) 08:22:59 ] 【当スレローカルルール】 高２以上の知識はＮＧとする 273 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:46:33 ] 時間が10秒とか15秒程度なら次のようになる。 2^10/10^3 ＝ 1024/1000 ＝ 1.024 の両辺の1/3乗を計算すると、 左辺 ＝ (2*2^9/10^3)^(1/3) ＝ (8/10)*2^(1/3) 右辺 ≒ 1+(1/3)*0.024 (1次近似) であるから (8/10)*2^(1/3) ≒ 1+0.008 である。両辺に 10/8 ＝ 1.25 を掛けると 2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 ＝ 1.26 274 名前：258 mailto:sage [2007/11/10(土) 08:49:38 ] 時間が1分あれば、2次近似も暗算で何とかなる。 (1+ε)^(1/3) ≒ 1 + (1/3)ε + (1/2)(1/3)(-2/3)ε^2 ≒ 1 + ε/3 - (ε/3)^2 だから これに ε ＝ 0.024 を代入すると 1.024^(1/3) ≒ 1 + 0.008 - 0.000064 である。これに 10/8 ＝ 1.25 を掛ければ 2^(1/3) の近似値になり 2^(1/3) ≒ 1.25 + 0.01 - 0.00008 ≒ 1.25992 275 名前：Sir I.Newton mailto:sage [2007/11/11(日) 08:12:06 ] >>258 　a_1 = 5/4, 　a_(n+1) = a_n -{(a_n)^2 - 2/a_n}/{2a_n +2/(a_n)^2} = (1/2){a_n + 3/[(a_n)^2 +1/a_n]}, の方が収束が早いらしいお。 >>267 　a_2 = 1 + 131/504 ≒ 1.2599206･･･ 参考書 　一松 信, ｢数値計算｣ 至文堂 近代数学新書 (1963) 　　　　第2章, 第3節, §38, (2)立方根, 例1., p.151 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 11:53:01 ] >>269 Taylor展開と聞いてやってみますた (1+x)^(1/3)=1+(1/3)x-(1/9)x^2+… にx=1を代入すると 2^(1/3) でつ。 1000次まで計算すると 2^(1/3) ＞ 1.259908747… 1001次まで計算すると 2^(1/3) ＜ 1.259933336… よって 2^(1/3) ≒ 1.2599 暗算にはかなり苦労しますた。 277 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 20:09:49 ] >>267 や >>275 は純粋な有理数近似の話で、十進表示するか否かに無関係な議論だな。 おかげで最後の十進表示の所で暗算が苦しくなるが… >>273-274 は十進表示で計算することを考慮した曲芸だな。1024-1000 が3でも8でも 割り切れるのは幸運という他ない。ファインマンさんとソロバン男の話を思い出したぜ。 278 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:10 ] ひろし君のクラスの中から、４人の委員を選ぶことになりました。 クラスの全員がそれぞれ、自分を含めたクラス全員の中から４人の名前を選んで１枚の投票用紙に書きました。 ひろし君がすべての投票用紙を集めて調べたところ、面白いことに気づきました。 ２枚の投票用紙をどのように取り出してみても、どちらの投票用紙にも共通して書かれている名前が必ず１人だけ見つかるのです。 このクラスの人数は何人ですか？ ただし、１枚の投票用紙に同じ名前を２人以上書いた人はいませんでした。 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:11:26 ] こんな簡単な質問で悪いんだけど・・・ １，２，３，４，５，６，７の番号がついたカード7枚がある。 7枚から4枚を取り出す場合、何通りあるか？ これってどういう風に考えればいいんだっけ、忘れちゃった・・・＿|￣|○ 誰か答えを教えてください。。。 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:12:05 ] >>279 マルチ 終了 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/11(日) 22:18:02 ] >>278 ８人いたら、二つの投票用紙に全く別の４人の名が書かれている可能性があるから７人てこと？ それじゃ、簡単すぎるか… 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？ 282 名前：１３２人目の素数さん [2007/11/11(日) 22:21:36 ] >>281 ７人ではないです。 > 投票用紙には４人の名前を書くんだよね？ そうです。 283 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 01:34:05 ] >>278 1+3+9=13 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 08:46:45 ] >>283 むずい。解説きぼん。 285 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 09:51:49 ] 有限射影平面になるから。 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:04:41 ] 【当スレローカルルール】 高２以上の知識はＮＧとする 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:17:02 ] >>272 >>286 氏ね 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:27:24 ] >>285 F_3 上の射影平面が題意を全部満たすのはわかった。 他に無いってのは、やっぱ射影平面の公理を覚えていないとダメ? 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:40:06 ] てっきり中学入試の問題かと思って一生懸命 順列とか組み合わせでがんばっていたのに 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 10:46:27 ] そういう解法があっても構わない。>>289 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 12:43:02 ] 生徒は全部で n 人いるとする。 1) どの人を選んでも、その人に投票しなかった人がいる。 ひろし君に m 人が投票したとすると、その m 枚の用紙には 異なる 3m+1 人の名前が書いてある。 2) どの人を選んでも、その人に投票した人は高々 4 人。 ひろし君に 5 人以上投票したとすると、ひろし君に投票しなかった人の票と その 5 票とに共通する名前が 5 人以上必要。 3) どの人を選んでも、その人に投票した人はちょうど 4 人。 投票用紙に記された名前ののべ総数は 2) より 4n 人以下。 一方、一枚の用紙に 4 人づつ書かれているので総数は ちょうど 4n 人。 4) ひろし君が投票した人の名前を全部の投票用紙から消す。 ひろし君以外の人の投票用紙からはちょうど 1 人の名前が消されるので、 残った名前の総数は 3(n-1) 人。これに n-4 人の名前が 4 回づつ書かれて いるので、3(n-1)=4(n-4). したがって、n=13. 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/12(月) 13:06:05 ] ヒルベルトが「机と椅子とビアマグでも幾何学は構築できる」と言った意味が よくわかったよ >>285 と >>291 293 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:05 ] >>285 難しくてよくわかりません・・・ １人が４つの名前を書きますから、平均すると１つの名前が４回。 まず、全員の名前が４回ずつ出なければならないことを示します。 全員が４票ずつの得票ではないと仮定すると５票以上得票した人 がいることになります。 ここではＡという人が５票獲得したとします。 すると、Ａの名前が書いてある５枚は ＡＢＣＤ ＡＥＦＧ ＡＨＩＪ ＡＫＬＭ ＡＮＯＰ のようになります。 上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと、その紙にはＢＣＤのだれかの名前が 記されています。また同様に、この紙にはＥＦＧのどれか、ＨＩＪのどれか、 ＫＬＭのどれか、ＮＯＰのどれかが記されていることになり、最低５人の名前 が記されることになり、１枚の紙には４人の名前が記されることに矛盾します。 一般にＡがｎ票獲得したとき、そのｎ枚以外の紙には、最低ｎ人の名前が記さ れることになります。 各票には４人の名前が記されているはずだから、５票以上獲得する人はいない ことになります。 以上で、全員の名前が４回ずつ出なければならないことが示されました。 294 名前：278 [2007/11/12(月) 23:18:40 ] つづき 全員の名前が４回ずつ出てくる場合、 １枚の紙にＡＢＣＤと書いてあったとすると、 この紙のほかにＡの名前が書いてある紙が３枚、Ｂ，Ｃ，Ｄの名前が書いてあ る紙もそれぞれ３枚ずつあります。 しかも、これらは全てＡＢＣＤのうちのどれか１つしか書かれていないはずなの で重複しません。 また、ＡＢＣＤのどれも含まない紙は存在しません。 よって、全員の名前が４回ずつ出てくるとすると、そのときの紙の枚数は１３枚 でなければならない、すなわちクラスの人数は１３人でなければなりません。 以上のことから、解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で 題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 01:07:10 ] >>293 の真ん中あたりの「上記の５枚以外の紙を１つ取り出すと」 とありますが、そのような紙が少なくとも1枚は存在することも 一応述べておかねばなりません。もちろん、他の紙が無ければ、紙の 枚数とクラスの人数が合いませんのでスグに他の紙の存在がわかります。 296 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:10:01 ] >>292 で書いた事のココロを描いてみる。 [言葉の言い換え] ◎「紙」と呼ぶ代りに「直線」と呼ぶ。これは単なる名称であって、 通常のユークリッド幾何の直線をイメージしてはいけない。以下の 記述もこれと同様である。 ◎「人名」と呼ぶ代りに「点」と呼ぶ。 ◎「紙Lに人名Aが記されている」と言う代りに「直線Lが点Aを通る」 あるいは「直線L上に点Aがある」と言う。 [言葉の更なる定義] ◎直線Lと直線Mが共に点Aを通るとき、「直線Lと直線Mは点Aで交わる」 あるいは「点Aは直線Lと直線Mの共有点である」と言う。 [問題文の言い換え] 次の条件をみたす「点の集合」と「直線の集合」があるとき、 点の総数を求めよ。 (a) 少なくとも1点が存在する。(←ひろしくん) (b) 点の総数と直線の総数は等しい。 (c) どの直線上にも、点がちょうど4つある。 (d) どの2直線も、ちょうど1点で交わる。 297 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:11:00 ] [291氏の解答の翻訳] 1) どの点を選んでも、その点を通らない直線が存在する。 (証) 仮に「すべての直線が通過する点A」が存在したら、(d)より (点の総数)=3*(直線の総数)+1 となって(b)に反する。 2) どの点を選んでも、その点を通過する直線は4本以下である。 (証) 点Aを5本以上の直線が通過したら、これらの直線と 1)で示した 「点Aを通らない直線」との交点が5点以上あることになり、(c)に反する。 3) どの点を選んでも、その点を通過する直線はちょうど4本。 (証) 直線が通過する点ののべ総数は、2)より 4*(点の総数)以下である。 一方(c)(d)よりそれは 4*(点の総数)に等しい。よって各点を通過する直線は ちょうど4本でなければならない。 4) 点の個数は13個以外にはありえない。 (証) これは291氏のものよりも 278氏の >>294 の方がわかりやすい。 (a)(b)より少なくとも1本直線がある。それをLとすると、L上の各点と 交わる直線が3本ずつあるので、Lと交わる直線の総数は 3*4=12本である。 (d)より、この12本以外の直線はL以外には存在しないので、直線の本数は 13本でなければならない。(b)より点の個数は13以外にはありえない。 298 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 02:12:37 ] >>294 が最後で触れた、十分性の確認をします。(モデルの構成) [点゛] 空間の点 (x,y,z) のうち x,y,z の値が 0,1,-1 のいずれかであるものは 3^3 = 27 個ある。このうち原点を除くと26個である。この26個を (x,y,z)≡(-x,-y,-z) で2つずつ同一視したものを「点゛」と呼ぶと、点゛は 全部で 26/2 = 13 個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(a)は満たされる。 [直゛線゛] a,b,c は 0,1,-1 のいずれかとし、(a,b,c)≠(0,0,0) とする。すると方程式 ax+by+cz=0 上には普通の点(x,y,z)が8個、「点゛」は4個ある。この点゛集合を 「直゛線゛」と呼ぶと、(a,b,c)と(-a,-b,-c)は同じ直゛線゛を定めるので やはり13個ある。これで問題文の条件(の翻訳)(b)(c)は満たされる。 あとは条件(d)だが、2つの「直゛線゛」の「共有点゛」とは、通常の3次元空間の 言葉では 2平面 ax+by+cz=0 と a'x+b'y+c'z=0 の交線上にある点のうち、最初に 述べた同一視で「点゛」に落ちるものである。絵を描けばわかるが、どの2つの 「直゛線゛」も、ちょうど1つの「共有点゛」を持つことが確かめられる。 (もっとキチンと言えんものか) 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/13(火) 03:13:39 ] >>294 > 解が存在する場合は１３人以外はありえません。あとは１３人で 題意を満たす組合せがあることを示せば終わりです。 >>288 のF_3 上の射影平面というのがこれの例。 >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。 ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい) 一般の場合、この例を作れるかどうかが難問で、問題文の 4 人を 7 人や 11 人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。 300 名前：292 mailto:sage [2007/11/13(火) 10:36:51 ] >>299 > >>298 は同じものをわかりやすく説明しようとして、ちょっと失敗している。 > ((1,1,1) 上に (1,1,1) がないとまずい) じま゛っ゛だ。 x+y+z=0 上に (x,y,z) は6個、点゛は3個しかないね。 このスレの住人なら合同式は大丈夫だろうから、直゛線゛の定義を ax+by+cz≡0 (mod3) に変更しておくよ。 > 問題文の 4人を 7人や11人にすると題意を満たす組合せは存在しないのだそうだ。 13人が未解決問題とか聞いたことあるな。 301 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/14(水) 22:25:32 ] 昔の話で悪いですが >>266 しょぼい暗算で出来る2^(1/3)のだしかたはどうやるのですか？ 302 名前：258 mailto:sage [2007/11/14(水) 23:05:24 ] >>273 303 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/18(日) 16:59:39 ] 2^(1/3) これを音階で考える。 2^(1/3) = 2^(4/12) であるから、これは ド−ミ の長3度である。 俺の経験上、これは1.25より僅かに大きい。 なんて感覚的な答じゃだめかな… 304 名前：258 mailto:sage [2007/11/18(日) 23:11:49 ] 素敵な答をありがとう！ もっと理屈をこねると次のようになるね。 ミは平均律のミよりも僅かに下げないとハモらない。 ハモるのが 5/4 = 1.25 (純正律)だから 2^(1/3) は 1.25 よりちょっと大きい。 音階も研究したピタゴラスなら次のように言うだろう。 私の音階理論によれば、それは (9/8)^2 = 1.265625 が正しい。 無理数? そんなものは存在しない。（そんな事を言う奴は海に沈めてやる） 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:29:18 ] 豆知識； ちなみに実際の音楽で用いられる平均律は ２の１２乗根を基にした半音というわけではないので 平均律のミはドの2^(1/3)倍の周波数ではない 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 05:50:49 ] >>305 ちょっと誤解を招く表現だな。 平均律で調律されるとされる楽器は実際にはそれとは異なる音程に調律されると言うべきだろう。 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/19(月) 06:17:19 ] 【米国】フランスの「人間計算機」、200桁の数字の13乗根の暗算で72.438秒の世界記録[071116] news21.2ch.net/test/read.cgi/news5plus/1195394463/ 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 15:39:19 ] 何を言ってるかわかりませんが、平均律はちゃんと周波数比で等分しますよ。 一般に西洋音楽で使われる十二平均律は12等分します。 ただ、実際にどんな音律を採用するかの段階で 必ずしも普段耳にするものが(十二)平均律でない、という事であって。 平均律は平均律です。 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/21(水) 20:11:22 ] 平均律で調律されている楽器を探すほうが難しいくらいだったのだが 電子楽器の台頭でそうでもなくなったな 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:08:48 ] さて問題は「2^(1/3)を如何に計算するか」なのだ。今話題の手段を用いて 2^(1/3) ≒ 1.26 と 結論するには、 2^(1/3) ≒ 1.26 が純正律の 5/4 ＝ 1.25 よりも 0.01 だけ大きい という事を、この精度で感覚的にワカル事が必要だ。比率としては 1.26/1.25 ＝ 1.008 だが、これは近似的には半音程 2^(1/12) ≒ 1.059463 の 8/59.463 ≒ 0.1345 倍の音程だ。厳密には対数を用いて log_{2^(1/12)}( 2^(1/3)/1.25 ) ≒ 0.136862861351651825556166846127317889622… 倍 だがもちろんこれは冗談として、結局 「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の1/10強である と言える感覚の持ち主なら、2^(1/3) ≒ 1.26 を感覚的に計算したと言える。 カラオケで半音は平気でズレる私には、とても無理なことである。 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 01:21:13 ] 1/8 = 0.125 < 0.135 < 1.42857… = 1/7 だから 「純正律のミ」と「理論的な12平均律のミ」の音程の違いが、半音の 1/8 以上 1/7 以下である と言える人なら完璧。 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:08:25 ] >258 √2 > 1.4142 より 　(3 -√2)^3 = 45 - 29√2 < 45 -29*1.4142 = 45 - 41.0118 < 2^2, 3乗根をとると 　3 -√2 < 2^(2/3), したがって 　√(3-√2) < 2^(1/3) < 2/(3-√2) = (2/7)(3+√2) < (2/7)*4.4143, 　1.2592 < 2^(1/3) < 1.2613 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:15:06 ] >258 　29*29*2 - 41*41 = 1682 - 1681 = 1, 　29√2 > 41, 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:31:06 ] >>313 途中送信みたいだが、2^(1/3) ではなく 2^(1/2) を計算しているように見える。 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:34:13 ] もしも、x^3-2y^3=±1 の整数解で大きい値のがあれば　2^(1/3)≒ x/y となるけど どうなのでしょうか？　ペル方程式の３次元バージョンですけど。 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:36:56 ] ペル方程式みたいに、解の系列を生成する漸化式があればよいわけだ。 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:42:58 ] 単に有理数近似で収束が速いものなら >>275 (2次収束)があるし、 暗算可能なシンプリシティーを追求したものなら >>274 がある。 新たな解法には何らかの美が要求されるぜ。(音階の話は美しいな) ギャクでもいいけど。 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 13:45:01 ] ×ギャクでもいいけど。 ○ギャグでもいいけど。 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/22(木) 20:15:27 ] >317 ギャクも真なり… 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 07:23:46 ] 音楽家を含め絶対音感の持ち主とは何度も話をした事があるが 1/7を持ち出したひとは初めてだ。（1/8や1/4はよく聞く。) おそれく半音の半分の半分とか、さらにその半分というのが 感覚的にわかりやすいのだろう。 1/8と1/7の違いくらいデリケートな話になると、セント（半音の1/100）単位か A音の周波数（なぜか2hz単位の偶数のことが多い）で話をしていた。 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 10:30:31 ] 1/7を持ち出したひとは絶対音感の持ち主ではなく、ただの数学野郎だ。 1/7と言えばガムランのスレンドロ音階はオクターブを7等分するな。 セントみたいに細かいと、「音楽に必要な音程」というよりも「調律用語」か 「民族音楽学の記録用の単位」になってしまうが、「全音の1/9」くらいなら 中東の古典音楽では必須の微分音程だ。 で、2^(1/3) を暗算で計算したいのだ。 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 12:50:50 ] >>315 x^3-2*y^3＝±1 の大きな整数解は見つからないねえ。 仕方が無いので (x,y)=(5,4) が乗ってる曲線 x^3-2*y^3 ＝ -3 で解を生成する 漸化式を立ててみたが、整数解ではなく有理数解を生成する漸化式だったので、 絶対値が大きくなってくれず、2^(1/3)の近似計算には失敗したorz 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/11/23(金) 16:21:32 ] >>320 1ヘルツの違いはA音あたりだと聞き分けるの難しいんだよホント 2ヘルツ違うとよくわかる 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/04(火) 18:39:31 ] 保守 325 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 21:27:28 ] あげ 326 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 21:50:22 ] よく小学生に出す問題 ３、３、７、７ この４つの数字を使って24を作りなさい ただし使っていいのは四則演算のみ、数字をくっつけるのは無しです(33など) 327 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/07(金) 22:41:58 ] 消費税率１００％のとき 税込み１００円のものをかいました さて消費税はいくら？ 328 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/07(金) 22:47:53 ] (3+3/7)*7=24 3/3+7*7=50円 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 00:52:43 ] 地方消費税を考慮する必要はありますか？ 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 02:09:04 ] ab+c=a(b+c/a) 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/08(土) 15:07:47 ] 3^n-2 (nは自然数)に含まれる素因子の逆数の和が発散することを示せ。 注:3^n-2　の素因数分解にあらわれるすべての素数って意味ね 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 01:27:46 ] p:3^n-2の素因数として表れない素数とする このとき 任意のｎに対して 3^n ≠ 2 (mod p) 一方、p＝３のときを例外として、明らかに 3^n ≠ 0 (mod p) 従って、任意の自然数ｎに対し 3^n = 1 (mod p) つまりpは3^n-1を常に割り切る とくにn=1のときを考え、pは2を割り切る 2を割り切る素数、それは２しかない ∴pは3^n-2の形の整数の素因数に現れない　⇒　p=２またはp=3 逆に3^n-2が2でも3でも割れないのは明らか よって (3^n-2の素因数全体の逆数和) ＝(2と3を除く全ての素数の逆数和) 素数全体の逆数和は発散するのでもとめる級数も発散する 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 02:36:02 ] >>332 ７行目がわかりません。 なんで「従って」？ その時点ではｐは３より大きいかもしれないんだから 3^n ≠ 2 (mod p) かつ3^n ≠ 0 (mod p) だからって 3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？ 334 名前：333 mailto:sage [2007/12/09(日) 02:41:31 ] 間違った。 誤）3^n ≠ 1 (mod p) とはならないんじゃない？ 正）3^n ＝ 1 (mod p) とはならないんじゃない？ 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:00:56 ] 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは 3^n ＝ 1,3,4,5,6,…,3^n−1 (mod p)だけだよな。 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 04:24:57 ] >>332 13 は 3^n-2 の素因数にならない 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/09(日) 16:44:29 ] 332です どうも頭の中でmod pの話だったのがいつのまにかmod 3にすりかわって ヘンな勘違いをしてしまったようです なんでこんなことにも気づかないまま書き込んでしまったのか 我ながら理解に苦しみます 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:22:29 ] >>335 いえません 339 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:50:06 ] 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは 3^n ＝ 0,1,2,3,4,5,6,…,3^n−1 (mod p)だけだよな。 340 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 07:56:37 ] 3^n ≠ 0 , 2 (mod p) から言えることは 3^n ＝ 3^n (mod p)だけだよな。 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/11(火) 23:30:23 ] 自分で未解決の問題でもここに書いて良いのか？ 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:30:28 ] 面白ければ。 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:33:43 ] 面白くないと承知しねーぞ。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 00:38:02 ] では一つ。 (a, b) から R への C^1 級関数で、 有理数を有理数に、無理数を無理数に移す関数は１次関数に限るか？ 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 09:21:47 ] f(x)=1/x 346 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:46:06 ] そんな簡単なのがあったか！ ではもう一つ。 (a, b) から R への C^∞ 級関数で、 代数的（実）数を代数的数に、超越数を超越数に移す関数は代数関数に限るか 347 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 10:56:25 ] >>346 は複雑すぎるようだから、 >>344 で、単調増加とするとどうだろうか？ 348 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 12:06:10 ] www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/70.html の回答が d.hatena.ne.jp/redcat_math/comment?date=20070621#c にあった。よろ。 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 14:30:08 ] >>347 f(x)=1-(1/x) on (0,1) 定義域をR全体にすると難しいかも。 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 18:33:10 ] >>345 を聞いて>>349に気が付かないとは俺も頭悪い。 そろそろ数学やめようか。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/13(木) 19:32:32 ] >そろそろ数学やめようか。 面白い問題だな！ 352 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:33:05 ] 0から9までの数字が書いてあるカードが一枚ずつあり、一列に並べて10桁の数を作った。 その10桁の数は、一番大きい位からn番目までのn桁の数を取り出してできる数はnで割り切れるという この10桁の数は何でしょう？ 353 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/13(木) 22:39:22 ] どなたかエクセルで３次方程式の確実な解法教えて下さい。 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/14(金) 01:14:17 ] >352 3816547290 355 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/20(木) 03:18:50 ] >>354 おお、本当にそうなってる、うめぇｗ 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/22(土) 00:31:38 ] (1/1√1)＋(1/2√2)＋(1/3√3)＋(1/4√4)＋……＋(1/n√n)＋…… はいくつに収束するか？ 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 03:51:21 ] >356 (与式) = ζ(3/2) = 2.6123753486 8548834334 8567567924 0716305708 0065240006 3407573328 2488149277 6768827286 0996243868 1263119523 8… 358 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/22(土) 17:19:35 ] \Gamma (1/2), \Xi (s) 見たいに「函数等式」って無かったのか！ 359 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/25(火) 22:25:17 ] >>354 今さらながら、どうやったの？ 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:32:36 ] >>354 超うめぇｗ 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:35:41 ] >>353 エクセルじゃないけど、三次方程式の解の公式（カルダノの公式）↓ www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/cardanos_formula.html 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/25(火) 22:52:11 ] >>359 >>354ではないけど、倍数判定をしていけばよろし。 順番としては最後に７の倍数判定かな 順に絞っていくと、6通りぐらいに絞れて、最後に７の条件を満たす候補を探す。 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/26(水) 05:08:17 ] OA=OB=OC=1として四面体OABCがある。頂点Oの立体角をπとするとき、この四面体の体積Vの範囲。 364 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/26(水) 12:11:41 ] >>315 ペルの3次は x^3+ay^3+(a^2)z^3-6xyz=1 だよ aは立方数じゃないからな 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 14:20:50 ] 動点Pが(0,0)から(1,1)まで移動する。 途中、Pの座標値(x,y)のうちどちらか一つが必ず有理数になるように移動すると考えたとき、 Pの移動距離の最小値を求めよ。 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/29(土) 16:25:27 ] 2 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2007/12/29(土) 20:47:53 ] >>364 具体的な一般解（全ての解）の例を挙げてくれ a = 2, 3 位で。 368 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/29(土) 21:06:20 ] xy平面上に曲線y=log x と直線y=m(x-2)がある。ただしm>0。 この二つのグラフで囲まれる面積の最小を求めよ。 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 15:54:09 ] >>368 最小は2交点が x=2±t, log(2+t)+log(2-t)=0 となるとき。t^2=3 なので m=(log(2+√3))/(√3) のときに最小。面積も大してキレイにならない。 議論の精密化をしたところで面白い話は出てこない。つまんないなー。 ここは「面白い問題」を楽しむ所だよ。 370 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 22:22:18 ] www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ を見てみると、代数の問題が少ないようだがどうしてだろう。 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:31:38 ] 自作問題投下。 無限に広がる平面があって、同じ大きさの正方形のマス目に区切られているとする(碁盤の目のように)。 これらのマスのうち有限個のマスを黒で塗りつぶす。n個のマスを塗りつぶしたとする。 塗りつぶしたマス目に、1からnまでの自然数を1つずつ書き込む(順番はどうでもよい)。 各項が0と1のみから成る、n次の正方行列Aを次のように定める。 ・Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0 ただし、i＝jのときは、iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスは隣接していると 定義しておく(従って、Aの対角成分は全て1である)。このAについて、次が成り立つ ことを示せ。 ・A^(n^2)の成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。 ・A^(n^2)の成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。 372 名前：１３２人目の素数さん [2007/12/31(月) 23:32:27 ] 転載ですがどうぞ 1)10cmの直線ABを引く、 2)直線ABのAから90度の角度で、直線AC(3cm)を引く 3)直線ABのBから88度の角度で、直線BD(3cm)を引く 4)点Cと点Dを結ぶ直線を直線CDとする。これで台形(のような)四角形ができる 5)直線ABの中点E1から垂線を引く 6)同様に、直線CDの中点E2から垂線を引く 7)E1の垂線とE2の垂線の交わる点をFとする 8)Fから、点ABCDに線を引く 9)三角形AFCと三角形BFDを考える。この2つは異なる形状となるのが見て取れるだろう 10)しかし、三角形は3辺の長さが同じなら合同のはずである。 10-1)三角形AFCの辺AFと、三角形BFDの辺BFは、ABの中点から伸ばした垂線の任意の1点からの長さなので、同一 10-2)同様に辺CFと辺DFも長さは同じ、辺ACと辺BDは初期条件が3cmでこれも同じ 問題：この話のどこかに間違いがある、それを見つけろ 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/12/31(月) 23:32:45 ] たとえば、n＝4として、以下のように4マスを黒で塗りつぶしたとする。 □□□□□ □■■■□ □□□■□ □□□□□ 次に、1から4までの番号を適当に書き込む。例えば □□□□□ □�C�A�B□ □□□�@□ □□□□□ と書き込む。このとき、行列Aは １０１０ ０１１１ １１１０ ０１０１ となる。A^4を計算すれば、A^4の成分は全て正だと分かるので、A^(n^2)＝A^16もまた、成分が全て正だと 分かり、よって、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である(実際、連結になっている)。 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:02:22 ] >>371 グラフ理論で良く知られた事実と思うが。 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:05:38 ] >>372 問題：この話のどこかに｢間違い｣がある、それを見つけろ ×××××××××××××↑ここに｢間違い｣があるじゃん 376 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 00:13:13 ] >>732 これも良く知られた話だ。 F が非常に遠くにあって、三角形BDFが裏返っているから。 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 01:27:12 ] >>374 そうなのか。グラフ理論のどんな定理？ 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 08:56:24 ] >>377 定理という程の名前はなかったと思う。 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 10:42:59 ] 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、 元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通る物とする。 正十二面体ではどうか？ ここでは図を書けないので理論で答えよ。 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 11:38:11 ] a を非負の実数とする。 i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), （iii) Σ[n = 2 → ∞ ]a^(√log n) が収束する a の範囲をそれぞれ求めよ。 381 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/01(火) 21:47:40 ] >>380 問題文列記が汚い 人に読ませる力がない 論文書いても読まずにポイ 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/01(火) 21:59:46 ] では書き直し。 a を非負の実数とする。 (i) Σ[n = 1 → ∞] a^(√n), (ii) Σ[n = 2 → ∞] a^(log n), (iii) Σ[n = 2 → ∞] a^(√log n) の三つの無限級数について、それぞれ収束する a の範囲を求めよ。 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 04:30:54 ] >>382 (ii)があると易し過ぎてツマラナイ。 (ii)がないと結果がツマラナイ。 ゆえにこの問題は 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 05:15:44 ] >>378 ということは、かなり簡単に導けるってことか… 実は、Aの作り方を (i≠jのとき)　Aの(i,j)成分＝(iが書いてある黒マスとjが書いてある黒マスが隣接しているとき) 1 , (それ以外のとき) 0 (i＝jのとき)　Aの(i,i)成分＝(iが書いてある黒マスの上下左右4箇所が全て黒マスのとき) 0 , (それ以外のとき) 1 に変えても ・A^nの成分が全て正ならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結である。 ・A^nの成分のうち0のものがあるならば、塗りつぶしたn個の黒マスから成る図形は連結でない。 が成り立つのだが( A^(n^2)は勘違いで、A^nで十分ですた )、これも簡単に導ける？ 385 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 08:39:11 ] >>379 こうゆう消防でも問題自体はわかる問題は良問ノ予感 ただ「理論」というのが漠然として 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 09:44:31 ] >>385 「理論」は大げさだった。 「図で具体例を書くより、簡単な文章で」ぐらいに解して置いて下さい。 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 11:00:26 ] >>384 変形した方の問題は兎も角として、元の問題は、連結でなければ、 A を何乗しても 0 は消えないし、 A^k の要素が全て正ならば、更に A を掛けてもそうだから、 小さい n で示せば十分。グラフ理論の結果では、 「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」 が簡単に導けていたと思う。 A^(n^2) については、その系として、 「必要十分が知られている」と言う意味で書いた。 変形した方の問題に対応する直接のグラフ理論の結果は知らないが、 何かの結果から出そうな気はする。 388 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 11:33:43 ] >>367 便宜上2^(1/3)=pとおく a=2なら (1+p+p^2)^n=x[n]+p*y[n]+p^2*z[n] として x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 が任意のnで成り立つよ． 389 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:30:38 ] >>386 ＞簡単な文章 経線５回＆逆＋緯線３回＆逆（ｗ 何通りあるかのほうが面白そう 「正多面体逆向二２筆書き」 390 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 12:33:04 ] 多面体逆向二筆書き 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 12:48:01 ] >>389 うーん、簡単すぎたか。もう少し条件を付けたバージョンを考えておく。 392 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 13:53:06 ] >>389>>391 >>379では「頂点でＵターンしない」という条件を忘れていた。 その条件を付けても可能となる。それでも簡単なら、改めて付帯条件を考える。 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 16:59:03 ] >>387 ＞「A^(n-1) の各要素が正である事が必要十分。」 ＞が簡単に導けていたと思う。 ああ！そうか、確かにn−1乗でOKだわ。 俺のやった方法だと、初めの方も、変形した方も、全く同じ方針で 解けるのだが、グラフ理論からの解法も気になるな。 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 21:10:09 ] >>388 なるほど。しかしこれでは 2^(1/3) の有理数近似は苦しいな。 x[n]^3+2y[n]^3+4^2*z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 は x[n]^3+2y[n]^3+4z[n]^3-6x[n]y[n]z[n]=1 の誤記 だろうけど、これを2次のペル方程式の真似で (x[n]+y[n]p+z[n]p^2)(A[n]+B[n]p+C[n]p^2)=1 と因数分解して 「x,y,z がデカイと A[n]+B[n]p+C[n]p^2 ≒ 0」を 利用しようとしても、pの2次方程式を解くことになってしまい、 「2次の無理数による、2^(1/3) の近似値」しか出てこない。 395 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/02(水) 21:17:56 ] >>394 x[n]/y[n]→2^(1/3) x[n]/z[n]→2^(2/3) てな風に近似すんだよ 極限とってみ 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/02(水) 22:26:34 ] >>395 あそーか。行列 [1,2,2] [1,1,2] [1,1,1] の絶対値最大の固有値の固有ベクトル [2^(2/3),2^(1/3),1] の成分比だな。 なるほどー。 397 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 00:52:39 ] >>396 成る程、同様にして m^(1/n) の近似分数列も定まってきそうだな。 高次ペル方程式とは一寸違う方向かも知らんが。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 07:05:13 ] 行列 A [1,2,2] [1,1,2] [1,1,1] を、実射影平面 P^2 の射影変換と見ると、 （実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、 [1, 1, 1] からでなくとも、どの整数点 [p, q, r] から始めても A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。 2^(2/3),2^(1/3) の同時近似（同一分母による近似）としては効率は良さそうだが。 単一近似としての効率はどうかな。 一般の初期値から出発した場合は、ペル方程式としては N(α) = 定数 の形になるのかな。 同じく、行列 B [1, n, n, n] [1, 1, n, n] [1, 1, 1, n] [1, 1, 1, 1] を、実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、 [1, 1, 1, 1] 等任意の整点を出発点として、 B を何回も施すと、n^(1/4) の近似分数列が得られるだろう。 この場合、ペル方程式は、 Q(n^(1/4)) の整数環の単数群の torsion free part を表すものとなるのだろうが、 その生成元は、 n = 2, 3 の場合でも結構複雑になるのかな。 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 11:54:58 ] >>398 >（実の）不動点は [2^(2/3),2^(1/3),1] だけだから、(中略) >A を何回も施すと P^2 の点 [2^(2/3),2^(1/3),1] に収束しそうだな。 不動点がちょうど1つ、というだけでは収束は保証されないよ。 対応する固有値の絶対値が、虚数固有値の絶対値より大きいからOK。 > 同じく、行列 B(中略)を実射影空間 P^3 の射影変換と見ると、 >（実の）不動点は [n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1] だけだから、 [ - n^(3/4), n^(2/4), - n^(1/4), 1] も実不動点だよ。でも [ n^(3/4), n^(2/4), n^(1/4), 1 ] は固有値(の絶対値)が最大なので 収束はこっち。 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 12:11:00 ] >>398 >単一近似としての効率はどうかな。 効率は悪いよ。平方根を今のと同じアルゴリズムでやった場合を a[n]、 ニュートン法でやった場合を b[n] とし、初項を b[0]=a[1]=1 にすれば b[n]=a[2^n] になる。 立方根でも、ニュートン法のような2次収束する数列が、部分列になるか どうかを調べるのも面白そうだ。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 17:05:37 ] >>399>>400 tkx 大部感じが分かってきた。有難う。 402 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:37:11 ] リーグ戦の組合せ順は何通りあるか？ 　例）４チーム（ＡＢＣＤ）の場合は６通り（↓の節の順＝３！） 　　　　□ＡＢＣＤ 　　　　Ａ□１２３　　第１節がＡ−Ｂ＆ＣーＤ 　　　　Ｂ１□３２　　第２節がＡ−Ｃ＆ＢーＤ 　　　　Ｃ２３□１　　第３節がＡ−Ｄ＆ＢーＣ 　　　　Ｄ３２１□　 一般解（ｎチームの場合）を求める問題です。 403 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 18:47:00 ] 放置推奨 404 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/03(木) 19:01:25 ] >>401 ↓ここに高校生向きの問題として３次ペルがあるよ。２番な。 93.xmbs.jp/ch.php?ID=checkmath2&c_num=83037 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 19:07:43 ] >>400 　f(x) = x^2 -2/x = 0 を使えば3次の収束らしいお。 >>275 406 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/03(木) 19:27:32 ] mainichi.jp/select/opinion/editorial/news/20080103k0000m070070000c.html 407 名前：405 mailto:sage [2008/01/03(木) 19:38:30 ] a_(n+1) -p = a_n -p -{(a_n)^2 - (p^3)/a_n}/{2a_n + (p^3)/(a_n)^2}, 　　　　= (a_n -p)^3 (a_n +p)/{2(a_n)^3 + p^3}, 408 名前：400 mailto:sage [2008/01/03(木) 21:33:05 ] >>405 本当だ、確かに3次収束だ。はえー 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/03(木) 23:22:15 ] >>359が2007/12/25(火) 22:25:17 だから、このスレ年末年始で結構進んだな。 社会人は明日から初仕事だから、ちょっと勢いが鈍るかも。 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 04:55:41 ] >>394-401 同じように 整数 a,b,c,d に対して p=d^(1/3) (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) として x[n] + y[n]*p + z[n]*p^2 = ( a + b*p + c*p^2 )^n で定まる数列 x[n],y[n],z[n]は、行列 A = aE + bD + cD^2 のn乗 A^n の第1列で与えられる。 ただし Dは D = [0,0,d] [1,0,0] [0,1,0] であり Eは3次の単位行列。また Dの固有ベクトルは、ω=exp(i*2π/3) として Dの固有値 p に対しては t[p^2, p, 1] Dの固有値 ωp に対しては t[ω^2*p^2, ω*p, 1] Dの固有値 ω^2p に対しては t[ω*p^2, ω^2*p, 1] Aの固有値は上のそれぞれに対して a+bp+cp^2, a+bωp+cω^2p^2, a+bω^2p+cωp^2 になる。従って a,b,c が正なら a+bp+cp^2 が絶対値が最大の固有値だが、たとえば c=0 で aとbが異符号なら a+bωp+cω^2p^2 や a+bω^2p+cωp^2 の方が絶対値が大きくなる。 このため収束列を作りたいなら a,b,c の選択に制限がある。 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 06:13:30 ] >>成る程。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/04(金) 17:43:27 ] >>409 数学板は全般的にこの通りだな。 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 00:23:35 ] www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ に代数の問題が少ないので一つ投入しよう。 但し数検過去問の変形、と言ったら大ヒントになるので、 知っている人は別として、過去問は見ないやうに。 a, b, c, d, e, f の実係数 1 次同次式を成分とする 4 次正方行列 A で、 det A = (a^2 + b^2 + c^2 - d^2 - e^2 - f^2)^2 なる物が存在する。 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:20:46 ] >>413 電磁場テンソルF (4次元の二階交代テンソル) の行列表示が det(F) = ( E_1*B_1 + E_2*B_2 + E_3*B_3 )^2 をみたすな。 E_1=a-d, B_1=a+d, E_2=b-e, B_2=b+e, E_3=c-f, B_3=c+f とすれば題意をみたす行列の出来上がり。 415 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 10:51:12 ] >>382 の (ii) 簡単の為 a ＞ 0 とする。 a = e^(log a) a^(log a) = e^{(log a)*(log n)} = n^(log a) よって log a ＜ -1, i.e; a ＜ 1/e で収束、 これが a の収束範囲。 416 名前：410 mailto:sage [2008/01/05(土) 11:05:43 ] >>410 × (ただし 1,d,d^2 はQ上1次独立) ○ (ただし 1,p,p^2 はQ上1次独立) 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 14:50:06 ] >>414 意外と簡単だったか！ 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:30:21 ] >>413 が意外と簡単だったので、行列ではなく多項式の代数問題。 n を奇数とし、 f (x, y), g (x, y) を高々 n - 1 次の実係数多項式とする。 この時、連立方程式 x^n = f (x, y) y^n = g (x, y) は、少なくとも一つの実数解を持つ。 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 15:50:46 ] >>418 そっちのほうが簡単な気が… 実係数、奇数次だから (∀y∈R)(∃x∈R) x^n = f (x, y) (∀x∈R)(∃y∈R) y^n = g (x, y) よって（ry 420 名前：419 mailto:sage [2008/01/05(土) 15:57:07 ] ごめん。できてなかった。 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 16:49:57 ] >>399 前半の話だが、虚数不動点は実の回転みたいなものだが、 整点でそんな点はないんじゃないか？ だから任意の整点から出発して収束するとは云えない・・・・？ いや待てよ、やっぱり云えないか。 複素力学系みたいな振る舞いをするのかな？ 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:17:41 ] >>382 (1) a ≧ 1 だと当然収束しないから、 0　≦ a ＜ 1 とする。 この時適当な定数 C により、 a^(√n) ≦ C/n^2 と評価されるから、その範囲で収束。 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:32:24 ] >>418 F:y∈R→x∈R, x^n = f(x,y) G:x∈R→y∈R, y^n = g(x,y) を満たす連続関数F,Gがあって、グラフx=F(y)とy=G(x)がxy平面で交点をもつ。 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 17:44:34 ] >>423 F, G は一価連続じゃないぞ。連続な物があるという保証はない。 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:07:25 ] 遅ればせながら高校生スレに便乗 (1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう (2) 111222333の9つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう (1)(2)共に回転して一致する並べ方は1通りとする てかあの問題と同じ仕様で 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:13:27 ] ん？ 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:14:14 ] >>425 ポリアの定理で計算出来る。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 18:52:00 ] >>379 が出題ミスだったので、もう一度きちんと書いておこう。 正二十面体の一つの頂点を出発して、全ての辺を二度ずつ通り、 元の頂点に戻ってくる経路があることを示せ。ただし、正し各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。 また、辺上を動いていて、頂点に到達した時、今通った辺にすぐ戻る事（Ｕターン）は禁止する。 正十二面体ではどうか？ 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/05(土) 21:32:15 ] D を xy-平面内の原点中心の「面積」 1 の閉円板、 f, g をその上の連続関数で、条件 ： 任意の p, q ∈ D に対して [ f (p) ≦ f (q) ⇔ g (p) ≦ g (q)] を満たす物とする。 また、関数 g に円板 D の任意の回転を合成した関数を h とする。このとき (∬_D f (x, y) dxdy)*(∬_D h (x, y) dxdy) ≦ ∬_D f (x, y)*g (x, y) dxdy を示せ。 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/05(土) 23:00:51 ] >429 　ただの �迫随�序積 ≦ �箔ｯ順序積 (積分版) だって… science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/206-207 不等式スレ３ 431 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 00:07:59 ] X=cosX Xはいくつ？ 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 00:20:41 ] >>431 で、問題は？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:ｓage [2008/01/06(日) 02:07:17 ] で、答えは？ 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:44:35 ] >>431 X=0.7390851332151606416553120876738734040134117589… 死ぬほどクダラナイ 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 02:52:44 ] >>427 ポリア？ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 09:16:28 ] xyz-空間 R^3 で、x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d が、全て整数になる点は 0 ≦ x, y, z ≦ n の範囲で幾つあるか？ a, b, c, n が奇数の場合は 0 ≦ |x|, |y|, |z| ≦ n の範囲で幾つあるか？ a, b, c, d が整数なる平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d で、0 ≦ x, y, z ≦ n　なる領域は幾つの領域に分割されるか？ a, b, c, d, n が奇数の時、 x + y + z ≦ n, -x + y + z ≦ n, x - y + z ≦ n ,x + y - z ≦ n なる領域は、平面族 x + y + z = a, -x + y + z = b, x - y + z = c, x + y - z = d で、幾つの領域に分割されるか？ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 13:13:22 ] >>435 www.mathreference.com/grp-act,bpt.html 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 15:15:01 ] >>436で与えられた各点を中心とする半径 r の球体を考える時、 それらが球面以外で共通点を持たない様な最大の r を求めよ 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 17:49:50 ] >>437 英語は嫌いだぁ 実際に解いてみてよ 440 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/06(日) 18:01:45 ] 英語が嫌いでは高等数学は出来ない。 441 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/06(日) 19:06:39 ] >>428 シンプルな問題だったのが台無し 正多面体の辺を二筆書きする方法はそれぞれ何通りあるか？ ただし各辺は違う向きに一度ずつ通るものとする。 のほうが汎用性がある。 頂点発着と辺発着は同じとする条件は必要？蛇足？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/06(日) 19:19:11 ] >>425>>439 では(1) 11223344の8つの数字を円形に並べるとき並べ方は何通りあるでしょう を解いてみよう。 先ず、回転を考えない並び方の総数は 8!/(2!)^4. このうち、自明でない回転で一致する物は、 各 n に対し、 n と n が中心対称の位置にある物のみで、 4!. 従って答えは (8!/(2!)^4 - 4!)/8 + 4!/4. 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/07(月) 07:46:34 ] 各辺の長さがいずれも整数であり、その最大公約数が1である三角形で 1つの内角がθであるような三角形の集合を S[θ] と書くことにする。 S[θ] が空集合でなく、かつ有限個の要素からなるようなθは存在するか。 444 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/07(月) 15:09:09 ] >>425 等間隔とかの条件がないから無限大 線対称は別の条件を入れないと誤解 445 名前：Eukie_M_SHIRAISHI mailto:ms.eurms@gmail.com [2008/01/07(月) 21:30:59 ] 【賞品付きＱｕｉｚ】(先着１０名まで) １２個の硬貨ある。　そしてその中には贋金が一つ含まれている。 その偽（にせ）の硬貨は残りの本物の硬貨よりも質量が違うことが分かっている。 上皿天秤が与えられている。　その上皿天秤を３回だけ使って、 その偽（にせ）の硬貨を見つけ出し本物よりも重いか軽いかを判定する方法がある どんな方法か？　Web Page を作ってその方法を示せ。 E-mailの宛先は：− ms.eurms@gmail.com Nao kono Mondai ni wa bimyou ni tsugau（違う）fukusuu-ko no Seikai ga aru ! Good Luck to YOU and to US ALL ! 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 05:03:26 ] >>444 馬鹿無限大 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/08(火) 15:43:48 ] >>443 存在しない。二次体の簡単な話題。 448 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/10(木) 02:46:04 ] ここに、赤玉と青玉が入った袋がある。玉を無作為に一個取りだして、 玉の色を見て、それを袋に戻す。この操作を n 回行った時、 赤玉が r 回であるである確率はいくらか？ と言うのが問題であるが、ここで赤玉の出る確率は、 途中 k 回まで操作を行った時に赤玉が j 回であったなら、 次に赤玉が出る確率は (j + 1)/(k + 2) とする。 最初、即ち k = j = 0 の場合は 1/2 である。 449 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 03:27:41 ] >>443 の>>447での解答が素っ気なかったので、もう少し詳しく述べる。 これは、三辺の長さが有理数で、相似で無い物が一個あれば無限個あるという問題と同値なので、 この形で考える。三辺の長さを X, Y, Z, cos∠C = a とすると余弦定理より、 Z^2 = X^2 + Y^2 - 2aXY. X^2 + Y^2 - 2aXY (a ∈ Q) は有理数体 Q または二次体 K で因数分解出来る。 (i) 有理数体 Q で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY) と因数分解された場合。。 相異なる素数 p, q, ...... が無限にあるから、 Z = pq, X - bY = p^2, X - cY =q^2, ... とすれば、相似でない物が無限に得られる。 (ii) そうでない場合、二次体 K で X^2 + Y^2 - 2aXY = (X - bY)(X - cY). K の整数環の元 p, q, ...... で (p), (q) が異なる素イデアルになる様な物が無限にある。 Z = pp~ (p~ は p の共軛元）、X - bY = p, X - cY = p~ とすれば得られる。 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:00:01 ] x^2+y^2-axy=1. y=1+tx. x=(a-2t)/(1-at+t^2). y=(1-t^2)/(1-at+t^2). 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 06:29:01 ] >>450 当然有理曲線ではあるよ。 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 09:00:18 ] んー 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 16:43:25 ] n個の数θ_1, θ_2, ... , θ_n が sinθ_1=θ_2, sinθ_2=θ_3, ... , sinθ_n=θ_1 を満たすとき、θ_nをnを用いて表せ。 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/10(木) 17:17:56 ] 0 455 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/10(木) 22:16:08 ] ルービックキューブ（３Ｘ３Ｘ３、面中心色固定）をばらして無作為に組み直すと 完成出来なくなる場合がある。何通りあるか。 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/11(金) 02:08:18 ] どこまでどうばらして良いのだ？ 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/11(金) 03:14:06 ] クォーク・レベルまで分解して、ハニーフラッシュ。 458 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/11(金) 23:26:13 ] 世の中、馬鹿が多い様だな。 459 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 12:05:10 ] ルービックキューブと言えば、 同形の立方体を27個使って、3×3×3に組み上げ、大きな立方体を作る。 はじめに赤いペンキで、その立方体の表面を塗る。 その後、一旦バラバラにして、まだ塗られていない面が表に出るように、 再び大きな立方体を作る。 次に、緑色で表面を塗る。 その後、同様に一旦組みなおして、まだ塗られていない面を表にして 大きな立方体を作る。 最後に、表面を黄色いペンキで塗る。 ここまでの作業で、ひとつひとつの立方体に着目したとき、 6面が2種類の色で塗られているものは何個あるか ( あるいは その個数は定まるだろうか )。 って問題を思い出した。 なんか発展した問題ない? 460 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 15:58:34 ] ばらして組みなおしてもまたばらして組みなおせるから完成できなくならない。 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 16:22:07 ] >>455 直感的には 八つの角について位置の違いが２通り。向きの違いが３通り。 辺について位置の違いが２通り。向きが２通り。 ２×３×２×２＝２４通り。 違うか…？ 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 19:38:58 ] 全ての部品が正解位置にある場合だけでも3^8*2^12-1通りはある。 463 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/12(土) 21:58:17 ] 9*AB*CDE=ABCDE 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 22:21:14 ] >>463 その種の問題はもう飽きた 465 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/12(土) 22:27:23 ] どんな問題が「面白いか」は人さまざまだろうが… このスレの他の問題のレベルを見てから投稿しても遅くはないだろう。 466 名前：455 [2008/01/12(土) 22:52:59 ] 予想通り茶化された（まじ予想では無視スルーだったから感謝） コマネチ大の１６パズルの発展系として考えたんだが ルービックキューブを壊した事がない人には問題自体理解するのも無理か？ 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 23:10:07 ] 壊した事は無いが、「壊れた」事ならあるよ。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/12(土) 23:53:28 ] 俺はメタメタにシールを貼りかえたことがある 4歳とか5歳とかそれくらいのときに 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:30:14 ] >>468 そりゃばったもの 470 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:31:23 ] もうかなり昔、中1の春にルービックキューブを買った。中の構造が気に なったんだけど、でも壊すのは勿体無くて、しょうがないから、キューブと キューブの間の僅かなスキマから中を覗いて、その構造を想像してた。 半年くらい考えて、中1の秋のころ、構造を解明した。友達の持っていた キーホルダーサイズのルービックキューブを分解してもらい(結局、自分のは 分解せずｗ)実際の構造を見てみたら、バッチリ合ってた。 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 00:51:56 ] >>466 どんな状態からでも1段と半分までは揃うんだな。 あとは3軸周りの移動回数で場合分けすればいけそうだが面倒だな。 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 01:44:33 ] 正方形のみで作る立方体の展開図の個数を数学的に解くとか、ってある？ 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/13(日) 02:33:09 ] >>472 無限個 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 02:49:47 ] 正方形のみで作る立方体の意味が分からん 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 03:29:05 ] 問題 無理数の無理数乗が有理数になる事はあるか？ 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 03:43:34 ] e^(ln 2) 477 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/13(日) 10:38:57 ] a^b、b^aがいずれも有理数となる無理数a、bは存在するか 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 11:07:31 ] >>466 ばらしたあとどう組みなおせるのかもわからん。 対象の位置にあるのは全部入れ替え可能なのか？ 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 11:36:18 ] >>477 x^x = 3 なる実数 x が存在するから、 これが無理数なる事も容易に分かり、 a = b = x とする。 480 名前：475 mailto:sage [2008/01/13(日) 12:31:31 ] 一応用意しておいた解答を書いとくと まず√2は無理数である 従って(√2)＾(√2)が有理数ならば、主張が成り立つ (√2)＾(√2)が無理数ならば((√2)＾(√2))＾(√2)=2　なので やはり主張が言える というのがあった 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 12:43:52 ] >>480 (√2)＾((√2)＾(√2)) は、どうして有理数なの？ 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 13:03:29 ] >>481 475は(√2)＾((√2)＾(√2))という数には触れてないぞ。((√2)＾(√2))＾(√2)でしょ。 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/13(日) 13:44:15 ] あ、いや、わかった。>>477と勘違いした。 484 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/13(日) 14:46:38 ] >>478 もちろん！ 原型に直したら数学の問題にならない 機械組立工作の問題になる 485 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 13:30:20 ] 1から6までの数字を1回ずつと＋､−､×､÷､括弧のいずれかを使った式を考えます それを例えば6×(1＋25)÷3−4とします この式を逆から読むと4−3÷(52＋1)×6となります この2式の差は48−3.66037……≒44.33963となります この様に逆から見た値と元の式との差が､ 0にはならず､できる限り0に近くなる様な式を見つけて下さい [ﾙｰﾙ] (1)1から6までの数字を全て1回ずつ使う.これ以外の数字の使用は不可 (2)156の様に数字をくっつけてもよい (3)＋､−､×､÷､括弧はそれぞれ何回使ってもよいし､使わないものがあってもよい それ以外の演算子の使用は不可 (4)4の斜め上に3を書いて4の3乗にする等は不可 486 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 14:19:18 ] >>485 ルールをつけたす必要があるぞ 1+2+3+4+5+6 6+5+4+3+2+1 差は0 487 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 16:17:30 ] >>486 「0にはならず」だよ 488 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 16:55:06 ] >>485 数学的な魅力に乏しい気がする。 条件を満たす最良の式を求めたりチェックしたりするには、総当りしかないだろうから。 489 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 17:37:33 ] ﾙｰﾙを厳密に定義したければ追加要 負の数を表す-は不可 （）は逆使用 例　1+(-2x3)+4+5+6⇔6+5+4+)3+2-(+1 意味不明 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 19:01:38 ] 156/234 -> 625/90000 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:47:44 ] >480 何が言いたいのかよくわからないけど (√2)＾(√2)　は無理数だよ 492 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:51:19 ] >>491 元の問題良く読め。 (√2)＾(√2) が有理数であっても無理数であっても、どちらを仮定しても、 元の問題が高校レベルで解けるという事だ。 493 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/14(月) 20:52:04 ] >>491 高校生向きの解答なら>>480じゃないと無理だろ 高校生には(√2)^√2が無理数であることの証明はできない 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 20:56:32 ] ああ、なるほど　よく読んでなかった すまぬ うまく考えたものね 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/14(月) 21:11:48 ] nを2以上の自然数とするとき √1+√2+…+√n が無理数であることを示せ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 00:21:31 ] >>485 少しだけやってみた 5÷6＋24÷31＝1.6074･･･ 13÷42＋6÷5＝1.5095･･･ 上−下≒0.0979 ただこれが最小な自信も根拠も何も無い 問題というかチャレンジだねコレ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 00:37:23 ] >>490が0.003くらいだな 498 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 01:20:30 ] 156/432-234/651≒0.001664 プログラム書いてこのタイプの商の差を求めたらこれが最小だった 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 01:21:17 ] プログラム書くなら全部やればいいのにｗ 500 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 01:26:02 ] 演算子や括弧まで網羅するのは俺には無理 ３桁の商の差は網羅した 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 01:46:49 ] 逆ポーランド記法使えば括弧使わなくて済むから プログラミングが楽になるよ。 でも計算量がなぁ… 502 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:14:45 ] プログラムをちょっと変更して↓のタイプのを試した 6÷5132÷4-4÷2315÷6＝0.00000431 503 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:18:11 ] 0でない有理数というと結局は割り算しかないのだからこの辺で限界じゃまいか 504 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:39:56 ] 1.05の4分の1乗はどうやって解くのですか? 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 02:40:27 ] >>504 「解く」とは？ 506 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:44:45 ] どのように計算したら良いですか？ 507 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 02:47:52 ] 平方根の筆算ができるのなら、それを２回やるといいよ 508 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 03:02:15 ] ごめんなさい。 よくわかりません… 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/15(火) 03:07:58 ] 平方根の筆算は検索すればすぐ見つかる。 それができないなら、電卓を使うしかないな。 それから、その問題はこのスレじゃない方がいいだろうね。 510 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/15(火) 16:52:45 ] 23:MASUDA◆5cS5qOgH3M :2008/01/14(月) 21:46:37 以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ． 条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/16(水) 23:01:32 ] >510 p≧2, b[k]≧2 として 　c[n] = Π[k=1,n] b[k], 　a[n] = p^c[n] とおく。 　a[j]/a[i] -1 = p^(c[j]-c[i]) -1 = p^{c[i](c[j]/c[i] -1)} -1 = a[i]^(c[j]/c[i] -1) -1, 　c[j]/c[i] -1 ≧ 1 だから a[i] -1 の倍数。 　a[j] -1 = (a[i] -1)(a[j]/a[i]) + a[j]/a[i] -1, より 　gcd(a[i] -1, a[j] -1) = gcd(a[i] -1, (a[j]/a[i]) -1) = (a[j]/a[i]) -1. science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199706844/23-29 東大入試作問者スレ１３ 512 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/17(木) 02:34:57 ] >>511 その答えに反例が挙がってるようだが 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 16:07:40 ] Nを任意の自然数とし、F(n)をフィボナッチ数列とする F(n)がNで割り切れるような自然数n全体を決定せよ 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 17:16:18 ] >>513 www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ohkawa/ohkawa.htm#118 より、フィボナッチ数 F(n) はmod. N 周期を持つが、 それすら分からない難問であるから、 もっと易しくしてちょ。 なお上記より、 N で割り切れるフィボナッチ数が必ず存在することは分かる。 515 名前：513 mailto:sage [2008/01/17(木) 17:53:43 ] >>514 n|m ならば F(n)|F(m) であることに注意する F(n) ≡ 0 (mod M) となる最小の n を n(M) とする N = Π^{m}_{k=1} p^{a_k}_k と素因数分解されるとする このとき Chinese Remainder Theorem より次が成り立つ n(N) = LCM( n(p^{a_1)_{1}) , ... , n(p^{a_m)_{m}) ) 従って求める自然数全体は n(N) の倍数全体となる 以上より、素数 p と自然数 a に対して n(p^a) を具体的に求めれば良い n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 20:39:05 ] >>515 >n(p) を具体的に求めるのは大変なので、n(p^a) を n(p) を用いて表せ 良く知られた予想はあるが、誰も証明した物はいない。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:00:41 ] www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#118 とその解答参照 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:16:16 ] なんだよ転載かよ 519 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:43:10 ] >>441 蛇足 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/17(木) 21:56:54 ] >>518 www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/link1.html くらいチェックしておけ 521 名前：513 mailto:sage [2008/01/17(木) 22:58:17 ] >>516 用意していた解答にミスを見つけたorz てか、有名な問題だったのね。知らんかった お騒がせしました 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/19(土) 23:02:13 ] 平面ではなくて空間に世界地図があるとする。 各国は空間領域とする。各国に色を塗って塗り分けたい。 但し、点や線で接している国は同じ色にしても良いが、 面で接する国は違う色で塗り分けねばならない。最低何色必要か？・・・・ と言いたいが、これでは何色でも必要になってしまう。 それでは条件を付けて、国は全て有界凸閉多面体で、 国の数も有限とするとどうか？ 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:14:08 ] 小学校の時、先生が遊びで出した問題です。 マラソンランナーは42キロの距離をを、1時間で残りの距離の1/2進めるとします。 いつまで行ってもその残りの1/2が残りますが、数は無限大にあるので、 ランナーは永久にゴールできないのか？ 確かゴールできるという答えだったと思うのですが、 理系の大学に入った今でもわかりませんｗ ふと思い出したので、答えを教えてください。 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:24:59 ] 高校の内容を使ってもいいなら↓ スタート地点をｘ、ゴール地点をｙ、ランナーをaとする。 このとき、aはｙに限りなく近づく。 よって、a=y つまり、aとｙの位置が同じとなり、ランナーはゴールできる。 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 00:42:22 ] n時間後のランナーとゴールの距離をd[n]とすれば d[n]=42*(1/2)^n>0 であるから、決してたどり着けない 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 01:00:39 ] 足元がゴールラインすれすれになった頃に胸を突き出せばゴールイン扱いになる そういう問題ではないのか 527 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 01:19:57 ] 実数列A[n]で、以下の条件を満たすものが存在するか？ 存在するなら具体例を、存在しないならその証明を示せ １、lim[n→∞] A[n] = +∞ ２、lim[n→∞] A[2^n]/A[n] が存在 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 02:08:05 ] >>527 数列{fn}を次のように定める。 f1＝2 , f(n＋1)＝2^fn 数列{fn}は明らかに狭義単調増加である。g：[2,＋∞)→Rを g(x)＝k ( fk≦x＜f(k＋1) ) として定め、数列A[n]をA[n]＝g(n)で定義する。このA[n]は、 １と２をともに満たす。 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 02:22:56 ] >>528 別の問題になってしまうが、その fn をn(>0)について実解析的に拡張できないものだろうか。 何らかの意味で自然に。 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:02:39 ] f(x)=x^a，a=x^a とする． (1)x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ． (2)x＜1の場合を論ぜよ． 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:52:35 ] >>530 「収束する」という単語は、数列にしか使わない。 「数列{1/n}は0に収束する」という使い方しかしない。 1つの実数を持ってきて、それが何かに収束する、という言い回しはしない。 たとえば、「実数1は1に収束する」という言い回しはしない。 ＞x≧1として，f(x)が収束するようなxの範囲を求めよ． f(x)は数列では無い。各xごとに、f(x)は実数を表しているから、「f(x)が収束するような」 という言い回しはしない。これに対し、たとえば、関数列{fn(x)}が与えられたとき、 「関数列{fn(x)}が収束するようなxの範囲を求めよ」という言い回しは正しい。 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 07:56:07 ] 収束フォーーー 数列フォーーー 実数フォーーー 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 09:33:29 ] >>530 x^a = a なんだから、 f (x) = x^a = a は定数 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 09:38:30 ] 10^30 を 1002 で割った数の 10 の位を求めよ。 535 名前：530 mailto:sage [2008/01/20(日) 11:22:45 ] >>531 訂正どうも。だめだめでｺﾞﾐﾝ >>533 確かに・・。 f(x)=x^a ←このaにa=x^aを代入を繰り返して f(x)=x^(x^(x^(x^(x^･･･)))) ってさせたかったんだけど、これじゃ結果が一意にならない？（のかな？） 混乱してきたので問題訂正しますorz 【問】 x^(x^(x^(x^(x^･･･))))＝α (α∈R) となるようなxの値の範囲を求めよ． 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 11:27:48 ] >>535 f(1)=x f(n)=x^(f(n-1)) lim [k->∞] f(k) = α と理解してよいか？ 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:01:11 ] >>536 なるほどそれなら>>533で指摘された不備が出ないですね。 問題無いと思います 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:06:07 ] >>537 -1<x<=1 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 12:47:19 ] >>535-537 www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/towerp.pdf 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:09:29 ] 巡回するとなると厄介だな 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:10:36 ] >>539 鼻血出た 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 13:20:36 ] 1≦x≦exp(1/e) と思ったら exp(-e)≦x≦exp(1/e) までいけるのか 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:04:44 ] >>542 学部二年の時にそれ導いたわ 有界で単調な数列は収束する、が本質だった 複素数の範囲は難しくて諦めた 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:05:09 ] >>536 そいつを f と書いてしまうと、最初の出題の 「 f(x) 」 という書き方ができなくなってしまう。 g(x,1):=x g(x,n):=x^( g(x,n-1) ) f(x):=lim [n→∞] g(x,n) にしとこうぜ。 なおこのf は f^(-1) が簡単な式で書けるな。 545 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 14:07:20 ] >>543 > 複素数の範囲は難しくて諦めた y=f(x) は x=y^(1/y) をみたすから、これを用いて解析接続することになるね。 546 名前：529 mailto:sage [2008/01/20(日) 14:12:26 ] オレは >>544 の g(x,n) を、 xについてではなく nについて解析的な拡張をしたい。 g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、 zが実数を動くときはzについて対数凸な、 そんな拡張はできませんか。 547 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/20(日) 16:59:56 ] 全部数字を入れるクロスワードです。入れる数字は全て平方数(何とかの2乗)です。同じ数は2度使っては駄目です。 　 ■□■■□□ □□□■□■ □■□□□□ □□□□■□ ■□■□□□ □□■■□■ 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:04:08 ] >>547 それが埋まると、何か面白い数学的事実が証明できたりするのか? 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:44:07 ] >>547 平方数の「数字」は 0, 1, 4, 9 の四つだから重複を許さねば埋まる訳がない。 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:47:28 ] >>549 バカなの？ 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:53:24 ] >>550 お前がな 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 17:58:17 ] 〔527の変形〕 以下の条件を満たす実数列 A[n] の具体例を示せ。 1.　lim[n→∞)　A[n] = +∞ 2.　lim[n→∞) A[2^n]/A[n] = α,　　　　(α>0) 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:02:33 ] >552 　A[n] = k*α^g(n),　　　　　　(k>0, α≧1) ただし、g(x) は >>528 に定義されているもの。 554 名前：546 mailto:sage [2008/01/20(日) 18:11:12 ] × g(a,z+1)=g^( g(a,z) ) が成立し、 ○ g(a,z+1)=a^( g(a,z) ) が成立し、 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:21:17 ] >>547 ほう、最近はこういうのも「クロスワード」というのか。 ところで君の言う「クロスワード」の定義を教えてくれないか？ 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:48:30 ] >>552 α＜1だと困るがな 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 18:58:05 ] mathworld.wolfram.com/PowerTower.html ぱわたわ… 558 名前：552 mailto:sage [2008/01/20(日) 20:54:37 ] >556 　α≧1 だった … ｽﾏｿ. 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/01/20(日) 21:30:21 ] >>557 も>>529の疑問には答えていない様だな。 これはアーベルの問題として昔から有名な問題だ。 幾つかの解も知られている。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/20(日) 23:26:53 ] >>559 kwsk 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 01:12:25 ] >>560 色々検索しても出てこなかったが、 サーティ編「現代の数学 III」（岩波）第一章に出ていた。 君が良く行く図書館にこれがあることを祈る。 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 01:17:23 ] ありがとう。 >>561 英語でいいから、もっといい検索キーはないもんかな。 abel interpolatoin power 563 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 13:55:30 ] 俺が今考えてる問題 おまいらにも考えて欲しい n，mを自然数とする．1からnまでの数字が書かれたカードがそれぞれm枚ずつ， 合計nm枚ある．これらをm枚ずつn組に無作為に分けるとき，それぞれの組から うまく1枚ずつのカードを拾って1からnまでの数字を集めることができるか． 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 14:02:09 ] >>563 その問題の本質的な部分だけを取り出した問題を、 俺が過去ログに書いたことがある。解答もされた。 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 14:45:10 ] >>564 むうｶﾞｲｼｭﾂだったか すまん指摘ありがとう 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 15:11:04 ] >>560 やっと見つかった。 en.wikipedia.org/wiki/Functional_equation に出てくる f (h(x)) = f (x) + 1 で h (x) = e^x の場合。 解の具体例まではここには書いてない。 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 15:12:08 ] >>565 過去ログは www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 16:16:23 ] ありがとう!! >>566 analytic solution ( "abel functional equation" OR "abel equation") で検索したら、面白そうなのがザクザク出てきた。 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 17:07:37 ] >>568 そんなに沢山出て来たんだったら、分かり易くて面白いの、一つ教えて！ 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/21(月) 21:22:30 ] 方眼紙で，縦2マス，横nマスの長方形を考える． この長方形の１つの角の点をＳ，Ｓからもっとも遠い点をＧとする． Ｓを出発してＧに至る経路のうち，同じ点を2度通らないものの個数をa_nとする． a_nを求めよ． 571 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/01/24(木) 11:02:05 ] >>570 n×2の方眼紙内において (0,0)を出発して(n,1), (n,0)に行き着く道順の総数をそれぞれb_n, c_nとおく a_nのうち(n,0)→(n,1)の順路を含むものの数をa'_nとする c_nのうち(n,2)→(n,1)の順路を含む物の数をc'_nとする a_0 = a'_0 = b_0 = c_0 = 1, c'_0 = 0 となる 漸化式を図から考えて a_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) + a'_(n-1) b_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1) c_n = a_(n-1) + b_(n-1) + c_(n-1)  + c'_(n-1) a'_n = c_(n-1) + a'_(n-1) c'_n = a_(n-1) + c'_(n-1) …もっときれいな解法あるんだろうな 572 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:21:46 ] (m+1)×(n+1) マスの升目がある。一番左側の列と一番下の行には既に碁石が置かれている。 （合計 n*m + 1 個） 残りの n×m の空白の升目に一つずつ碁石を置いて行って全部埋める方法は何通りあるか？ 但し碁石を一つ置くには、そのすぐ左とすぐ下には既に碁石が置かれていなければならない。 （結構有名問題？） 573 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:40:43 ] 株価2000円の会社があるとして、 ボラティリティ40%の場合、 株価が1000円を一回でも下回るのは、 5年間の場合、何%ありますか？ 574 名前：１３２人目の素数さん [2008/01/29(火) 23:45:56 ] >>537 ボラレたくないからあっち行け 575 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 00:11:23 ] 数時間かけて作ってみた。興味あればやってみてな。答えから先に作ったので矛盾はないと思うが・・・。 二次の係数が1、一次の係数と定数項が整数の二次方程式がある。 その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。 AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。 その結果、解の差はAのほうが小さくなった。 正しい二次方程式を示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。 576 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 01:17:50 ] 1,1,5,8を使って10って作れますか？ 教えてくださいm(__)m 577 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 01:19:33 ] >>576 8/(1-1/5) 578 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 01:33:15 ] >>575 取り違えた方はもはや >その解のうち小さい方は-1より小さく、大きい方は1より小さいという。 を満たさなくても良いんだな？ 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 01:50:14 ] 1.8*5+1 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 02:45:51 ] 5*{√(8+1)-1} 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 15:01:41 ] >>578 おｋ。これは正しい二次方程式についての解の性質。 ・・・っていうかすまん！よく見たら問題に重大な欠陥があった。 作り直してくるから>>575は無かったことにしてくれ！ 582 名前：575の改訂版 mailto:sage [2008/02/02(土) 16:17:18 ] 二次の係数が1、一次の係数と定数項がいずれも絶対値が一桁の整数という二次方程式がある。 その異なる二解のうち小さい方は-2より大きく、大きい方は2より大きいという。 AおよびBの二人がこれを解こうとしたが、うち一人は誤って、一次の係数と定数項を入れかえて書いてしまった。 その結果、解の差はAのほうが小さくなった。 正しい二次方程式の候補をすべて示せ。また、それを解いたのはAとBのどちらか。 今度こそ間違いはないはず・・・問題作成って想像以上に気を遣うなあ。 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 17:09:51 ] 二次方程式の解の大きい方、小さい方という言い方をする以上は 重解の場合（大きい方や小さい方というの解はない）や 解が非実数になる場合（そもそも大小関係がない）は 成り立たないものだと考えてよいのだな？ 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 19:03:14 ] >>583 その通り。「〜その異なる二実数解〜」とでも書けばベターだったかな。 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 20:04:09 ] X_n = { 2^a + 2^b + 2^c | a, b, c は 1 ≦ a, b, c ≦ n なる自然数 } の濃度を求めよ。 586 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/02(土) 21:43:20 ] >>585 ２０％くらいじゃないの？ 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/02(土) 21:45:31 ] 集合の濃度ってそういう意味じゃないだろ… a＜b＜cのときは、2進法表示の一意性により、全部異なる。 あとは、それ以外の場合でどれだけ重複があるかを調べる。 面倒くさいので他の人に任せた！(＾o＾) 588 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/03(日) 04:04:37 ] >>586 ４年前にタイムスリップしたのかとオモタじゃないか。 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/04(月) 23:49:40 ] >>582 >をすべて示せ。 では面白い問題とは云えない。そんな問題なら誰でも作れる。 唯一つ解が有ってこそ面白い。 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:05:09 ] >>589 そんなことは百も承知さ。だから初めは>>575のようにしていた。 でもこれは欠陥問題だったから涙を呑んで改変したわけだ。 「間違えて○○してしまった」系の問題って面白いだろ？あとは矛盾無く問題にできるかどうか、だ。 だから君に期待する。「間違えて○○してしまった」系の問題を作っておくれよ・・・。 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 00:07:28 ] >>589 構造を調べたりするのも面白いと思う まぁ>>582の設問は確かにつまらないが 592 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 05:26:11 ] １００以上あるのを全て書くのは面倒 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 11:33:51 ] いったい何が１００以上もあるのだろう？ 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/02/05(火) 22:08:05 ] 実数 x_1, x_2, ........... , x_n が全て正なる為の必要十分条件は、 それらの基本対称式の値が全て正なる事である。 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/05(火) 23:53:17 ] yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1201948696/ 問題文がちょっと悪いと思っても気のせいです。 596 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 00:12:05 ] それ落ちてない？ 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 00:15:09 ] うん。未解決なんだ。困ってる。 598 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 01:19:30 ] 糞スレ立ててまで 答え出したのじゃないのか？ 11 ：１３２人目の素数さん：2008/02/05(火) 23:04:52 ・・・でも解いてくれます？多分オレ答え出したんだけど。 出題者いなくなっちゃったし。数学板の人なら、と思ったんだけど 先にオレの解き方言っちゃたら面白くないだろから言いづらいですけど IQ160以上の超難問題解けるやついる？ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1202217368/11 599 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/06(水) 01:20:55 ] 韓東の極左のゴミ共へ �@jp.youtube.com/watch?v=MOnh3ff3djY&feature=user �Ajp.youtube.com/watch?v=sSx5OACLdUg&feature=user �Bjp.youtube.com/watch?v=nkRQvoIEePU&feature=user �Cjp.youtube.com/watch?v=y3o_R2GwCyk&feature=user �Djp.youtube.com/watch?v=kOnxs8jEo7c&feature=user �Ejp.youtube.com/watch?v=ismanizU9l0&feature=user �Fjp.youtube.com/watch?v=8fiBJRt8BC4&feature=user �Gjp.youtube.com/watch?v=AenI3lTX6Vk&feature=user �Hjp.youtube.com/watch?v=VPE-mofvZ2g&feature=user 600 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 03:54:15 ] >594 必要性は明らかなので十分性を示す。 基本対称式 S_1, S_2, ……, S_(n-1), S_n がすべて正とする。 　f(x) = (x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)…(x+x_n) = x^n + S_1･x^(n-1) + S_2･x^(n-2) + …… + S_(n-1)x + S_n, とおくと 　x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0, 根 -x_1, -x_2, ……, -x_n はすべて負。 数セミの「エレガントな解答をもとむ」に出てた… 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:30:25 ] 具体的な問題でなくてすまん。 ここの住人なら何か情報を知っているんじゃないかと思って あえてスレ違いを承知で尋ねたい。 平面上の位相幾何の問題なのだけど、 幾つかの点とそれを任意に結ぶ辺からなる図形が 辺が交差しないように変形(点の移動)できるか否か についての研究などの情報をお持ちでないでしょうか？ ・正方形の頂点(４点)を互いに全て結んだもの(辺は６本)はそのままでは対角線で交差しているが 　正三角形と重心の位置に点を移動させれば辺は交差しないように変形可能。 ・正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?) 　しかしどこか一箇所を切ったものならば可能。 ・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 10:54:19 ] >>601 その研究についての情報は持っていないが、 ＞正五角形の頂点を互いに結んだものは、交差しないように変形は不可能(?) これは実際に不可能。平面上の一般の位置(＝どの3点も一直線上に無い)に 5つの点を取ると、その中のある4点は凸四角形を作る(ハッピーエンド問題)。 凸四角形があるならば、交差する2辺が存在するのは明らか。 以下、凸四角形が存在することの証明。 5つの点の凸包を考え、場合分けする。 凸包が五角形のとき：どの4点を選んでも、凸四角形になっている。 凸包が四角形のとき：凸包自身が凸四角形である。 凸包が三角形のとき：三角形の頂点をA,B,Cとする。残りの2点をD,Eとすれば、D,Eは△ABCの内部に 存在する。図を描けば分かるとおり、A,B,Cの3点から適当な2点X,Yを選べば、4点X,Y,D,Eが凸四角形になる。 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 11:07:04 ] >>594>>600 昔どこかのスレで見た >>601 平面グラフ 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 12:19:45 ] >>601 ＞・一般にどういう条件なら交差しないように変形が可能なのか？ グラフが K5 あるいは K3,3 に位相同形な部分グラフを 含まなければ変形可能。 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 14:11:18 ] K5ってのは先に出た５角形のようだが K3,3 ってどんな図形？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 15:12:26 ] >>605 www32.ocn.ne.jp/~graph_puzzle/1no9.htm 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/06(水) 16:52:23 ] >>600 thx 確かにエレガントな解答だ。 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm#115 に、微分を使った解答が載っていたのだが、そんな簡単に証明できるとは気がつかなかった。 608 名前：570 mailto:sage [2008/02/06(水) 20:29:47 ] 亀ですが >>571 一解答例としてはその方針でおｋ a'_nとc'_nについてはもう少し考察が必要 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:04 ] >>595の問題 >1 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2008/02/02(土) 19:38:16.48 ID:8Qf0u1wDO >幽霊が次のような問題を出した >800ml入る容器が8つあり1〜8まで番号がついていて　今それぞれ100mlずつ水が入っている >何個かの容器の水には　お前らには見えないし触れない魚の幽霊が　容器の番号と同じ匹数だけ入っている >それ以外の容器には水しか入っていない >何らかの理由で容器が空になった場合は　すぐに100mlの水と最初に魚の幽霊が入っていた場合は魚の幽霊を　容器の番号と同じだけ入れる >大きな水槽があるがこれに容器の水を移した時　移った魚の幽霊の数を教えてやる >その際水槽に移す時使用した容器は没収する >魚の幽霊の数はたまに適当な数を教えるがその後3回は正しい数を教えてやる >最初にどの容器に魚の幽霊が入っていたか確実にわかるためには　何回容器を水槽に移せばいいか　またどのようにすればよいか は>>610のようにすれば容器に移す回数は5回以内である事が分かる 4回以内だと無理かどうかはまた今度考える 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:28:14 ] 番号nがついた容器に最初に入っていた水を水nと書くとする ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする まず (1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888) と容器内の水を移し変えれば水1,2,4,8のうちどれに幽霊が入ってるかを3回確かめられる (3)(6)(5)(7)→(37)(65)(57)(7)→(37)(65)(57)(3655777)→(37)(3657)(365577)(3655777) と移し変えれば水3,5,6,7についても同様に3回確かめられる 水1,2,4,8について確かめる動作を2回行い、同じ結果が得られれば 水3,5,6,7について確かめる動作を3回行う。 違う結果が得られた場合はもう一度水1,2,4,8について確かめ、 その後に水3,5,6,7について確かめる動作を2回行う。 これで水1-8のうちどれに幽霊が入っていたかが確実に分かる。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 18:50:42 ] なにを言ってるんだかさっぱりわからん。 このあたりは間違いなく意図通りに正しく書かれているのか？ >　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする まず >　(1)(2)(4)(8)→(18)(24)(48)(8)→(18)(24)(48)(1244888)→(18)(1248)(124488)(1244888) 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 19:11:06 ] >>611 まず最初に容器n（n=1〜8）に水nが100mlずつ入っている この状態は(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)と書ける 次に容器8の水を容器1に入れる 状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)()となる 幽霊が容器8に水8を100ml補充してくれるから状態は(18)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)となる 容器4の水を容器2に入れる。幽霊が容器4に水4を補充する。 容器8の水を容器4に入れる。幽霊が容器8に水8を補充する。 これで状態は(18)(24)(3)(48)(5)(6)(7)(8)となる。 容器1,2,4の水を容器8に入れると 状態は()()(3)()(5)(6)(7)(1244888)となる。 このように操作を繰り返して最終的に 状態を(18)(1248)(37)(124488)(3657)(365577)(3655777)(1244888) としたかったんだが、勘違いしてて上手く出来ないっぽい…やり直す あと>>595のスレ見ると4回のやり方もあるっぽいな 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/07(木) 20:10:55 ] (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)→(14) () (3) () (5) (6) (7) (28) →(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (28)→(14) () (3) (4) (5) (6) (7) (248) →(14) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (248)→(14) () (3) (24) (5) (6) (7) (248) →(14) (2) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→() (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248) →(1) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (248)→(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) () →(1248) (124) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) () →(1248) (1248) (3) (24) (5) (6) (7) (8)→(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) () →(1248) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (8)→() (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488) →(1) (1248) (3) (248) (5) (6) (7) (12488)→() (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488) →(1) (1248) (3) (1248) (5) (6) (7) (12488) （略）→(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (35677) (12488) →(1) (1248) (3567) (1248) () (3567) (355677) (12488) →(1) (1248) (3567) (1248) (5) (3567) (355677) (12488) と水を移し変える 水1,2,4,8が入った容器の中身を水槽に入れると 幽霊は0〜15匹のどれかを言う→水1,2,4,8のどれに魚の幽霊がいるか分かる 水1,2,4が100ml、水8が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合、 水3,6が100ml、水5,7が200ml入った容器の中身を水槽に入れた場合も同様に分かる ただ幽霊は嘘をつく事があるから2,3回同じことを確かめなきゃいけず この場合だと5回かかる >>611　この説明でも駄目か？ 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 09:32:27 ] >>612 >　ある容器に水1が100ml、水2が200ml、水4が400ml入っているような状態を(122444)と書くとする オレにはこれは 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」 を意味しているように見えるんだが 444は400mlなのか？ 300mlはどう書くんだ？ 意図どおりに正しく書かれているのかを確認してくれ。 前提の大事なところにタイプミスがあったりしたら、意思の疎通ができない。 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/08(金) 14:50:04 ] >>614 あぁ…そこでタイプミスしてたようでごめんよ 「水1が100ml、水2が200ml、水4が300ml」だ 616 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 03:18:01 ] △ABCがあり、三辺の長さは公差がdの等差数列をなしている。 最大辺の延長上に点Pを取ると、元の辺から増えた長さがdであった。 また、最小辺上に点Qを取ると、元の辺から切り取った長さがd/2であった。 ただしQが切り取った長さは、最大辺を含む点から測ったものとする。 さらに、直線PQの延長が△ABCの残った一辺と交わる点をRとする。 すると、直線PQRは△ABCの面積のうち半分を切り取ることとなった。 三辺の長さをdを用いて表せ。 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/10(日) 04:22:45 ] >>616 AB < AC < BC として一般性を失わない。 AB = x とすると、 AB + AC > BC より x > d。 Q は AB 上にあり、 R は AC 上にある。 △ABC = 2△AQR より AB*AC = 2*AQ*AR。 メネラウスの定理より (PC/PB)*(QB/QA)*(RA/RC) = 1。 これらを連立して x について解けば良い。 618 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/15(金) 22:05:18 ] ABCに正の整数(何桁でも可)を入れて等式を成立させて下さい ただし同じ文字には同じ整数,違う文字には違う整数が入ります (A＋B−C)×{(1/A)＋(1/B)−(1/C)}＝564 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 18:17:31 ] 正方形をどの２つも合同でない３つの相似な図形に分割せよ(フラクタル不可) 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/16(土) 20:41:18 ] >>619 七問目-26 621 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 14:11:16 ] 五段の階段があり、サイコロを振って出た目だけ上り、ちょうど一番上に止まったら終了する。 ただし、五段目までの段数よりサイコロの出た目が大きい時は、その分だけ下がるとする。 例えば、三段目で５が出たら、二段上った後三段下がるので、二段目になる。 サイコロの目が出る確率はすべて等しいとする。 一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。 問１．A(2-0),A(2-1),A(2-2),A(2-3),A(2-4),A(2-5)を求めよ。 問２．A(N-5) (N≧1) を、Nを用いてあらわせ。 622 名前：621 [2008/02/18(月) 15:29:35 ] せっかく作ったんだから解いてよ！ 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:19:49 ] まだ一日もたってないだろ&終了したらどうなる？&何故引き算？ 624 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 16:21:36 ] A(i-3-1) 625 名前：621 [2008/02/18(月) 16:24:53 ] >>622 引き算？ >一番下（0段目）から始めてN回サイコロを振った時、ｎ段目にいる確率をA(N-n)とする。 N-nは引き算じゃなくて、添え字ｗｗ 626 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 16:56:36 ] >>625 だったらN_nって書け 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:08:06 ] 漸化式書いて終わりのよくある問題にしか見えん 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:20:00 ] ttp://www.vippers.org/img/uho2820.jpg □の次は何でこうなるの・・・？ わからん・・・やばい・・・ 629 名前：sage [2008/02/18(月) 17:33:11 ] 職場で 図の斜線が引いてある部分の面積を求めよ。但し、π=3 √3=1.7とする。 と言う問題が出たのですが無知な私にはさっぱり解りません。どなたかご教授お願いします 図 a.pic.to/nkx34 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 17:37:05 ] なんというスレ違い 631 名前：sage [2008/02/18(月) 17:59:28 ] お手数ですがお願いします。皆様が頼りなんです 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:03:59 ] 取り下げて移動しないとここでは回答はいただけないかと science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197828000/ >>629 ◆指定されたページは存在しないか、携帯端末以外からのアクセスは許可されていません 633 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 18:04:52 ] >>627 解けないくせに… 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:37:19 ] >>633 難しくて全然分からないよ 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 18:52:11 ] >>621 スレ違い 636 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/18(月) 21:07:26 ] 30になった 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/18(月) 23:22:22 ] 三十路か。 誕生日おめ。 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 01:51:03 ] >>622名大入試問題のパクリやん… 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 04:19:38 ] 五段だと他のどこの段にいたときも1/6の確率であがれるわけだから全然面白くない 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:45:23 ] ４段目で６が出たら落ちて死亡して終了ですか？ 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/19(火) 13:50:00 ] あれ？ ひょっとして５段の階段というのは高さは６種あるのかな？ 階段の段数は高さの種類-1なんですかね？ ０段の階段というのはいわゆる平地なんでしょうか？ じゃあ１段目ってのは地面と同じ高さ？ それともひとつ上？ １階って地面と同じ高さ、２階はその上 てことは１段目は地面と同じで、ひとつ登ると２段目？ いやいや、ｎ階建のnは高さの種類と等しいから階段とは違うのかな？ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:01:15 ] >>618 　A = 122 44200 50100 02877 81163 51171 17995 21361 35134 91867 (48桁) 　B = 74807 19101 53025 27837 94583 60171 46464 94820 59055 28060 (50桁) 　C = 3460 69586 84255 04865 64589 22621 88752 08971 30654 24460 (49桁) なお、因数分解すると 　A = bc * 19 * 29 * 46591 * 100363979, 　B = ca * 37 * 1806705194075701, 　C = ab * 3 * 11 * 73 * 1543 * 4663 * 169789, 　a = lcd(B,C) = 2^2 * 5 * 449 * 35869 * 516624461, 　b = lcd(C,A) = 97 * 3769 * 19329352219, 　c = lcd(A,B) = 7 * 79 * 239441 * 50787883, 　lcd(a,b,c) =1, らしい。 〔参考文献〕 A.Bremner, R.K.Guy and R.J.Nowakowski; "Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals ?" 　Math. Comput. Vol.６１, No.203, (1993 July) www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math03/math0304.htm 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 00:17:27 ] 〔問題〕 x,y,z に整数を入れて等式を成立させて下さいです。。。 1)　x^3 + y^3 + z^3 = 564, 2)　x^3 + y^3 +2z^3 = 564, 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 01:11:54 ] z=0は明らかなんだからただの二元三次連立方程式だな 645 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 04:06:17 ] >644 1) と 2) は別々の問題でつ。 2) の方が易しいでつ。 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:50:19 ] 問題番号見てなかったぜorz >>645 2もｚが奇数でｘ,ｙが偶数であることしかわからないんだぜ 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 04:52:49 ] ん！！？ よく考えたらxyzすべて奇数だよな・・・？ 648 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 05:31:00 ] >643 の 2) はすべて奇数で、2桁以下らしいよ。1桁もあるらしい。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 06:47:58 ] この問題の面白さがよくわからんのだが 2) -1^3 - 21^3 + 2*17^3 = 23^3 - 33^3 + 2*23^3 = 93^3 + 95^3 - 2*94^3 = 564 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 09:24:38 ] 564 = 538724191073^ + (-1300749634)^3 + (-53872166335)^3 (Leonid Durman, 2007) きっと ttp://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math04/math0403.htm から 持ってきたんだと思うけど、出題者は面白さが分かってるんだよね？ 俺は564に関するこの結果は、単に計算がんばったら出た、ってものだと 思ってたんだけど、なんか面白いところがあるなら教えてもらいたいなあ。 651 名前：643 mailto:sage [2008/02/20(水) 22:39:22 ] >>649-650 御名答. 見た目は似たような「564」でも、難問もあれば易しいのもある、という事で……（当然だが） 因数分解しても、とくに面白くないし…… 　564 = 2^2 * 3 * 47, 　53872419107 = 13 * 1193 * 3473623, 　 1300749634 = 2 * 223 * 2916479, 　53872166335 = 5 * 13^2 * 47 * 59 * 83 * 277, >>642 　B = c * a * 37 * 2829383 * 638550947, 　gcd(a,b,c) =1, 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/20(水) 23:30:00 ] lcd＝最大公約数？ 653 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:19:14 ] いくつ解けますか？ ブラジル数学オリンピック 本選 2004 小学生対象 [1問目] 下記の条件を満たす全ての3桁の自然数nを全て見つけよ。 n は奇数である n は平方数である n の各位の数字の平方の和は平方数となる [2問目] 辺の長さ1の4つの正三角形で、図のように、辺の長さ2の正三角形を作ることができる。 　△ △▽△ 先の図のような三角形を作るために、3つの種類(白、黒、灰色)の辺の長さが1の正三角形をたくさん持っているとする。 作られた二つの三角形のうち、回転して同じになるもの同士は同じものとみなす。 　黒　 | 　白 白白灰 | 灰白黒 ↑同じペア 　黒　 | 　黒 灰白白 | 白白灰 ↑異なるペア この提示された条件でいくつの異なる三角形を作ることができるか。 654 名前：１３２人目の素数さん [2008/02/29(金) 02:22:29 ] [3問目] 自然数が1より大きな二つの自然数の積で表されるとき、それを合成数という。 たとえば91は91=7*13とかけるので、合成数である。 2^(2^2004+2)+1 が合成数であることを示せ。 [4問目] ArnaldoとBernaldoが2*nのテーブルでゲームをする。駒は2*1のドミノで、まずArnaldoが最初にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおく。 プレイヤーは常にテーブルの2マスに収まるように縦または横にしてドミノをおかなくてはいけない。既に置かれたドミノに重ねてはいけない。 テーブルにおけなくなった方の負けである。 どちらのプレイヤーが必勝であるか？ (a) n = 2004 の時は？ (b) n = 2005 の時は？ [5問目] 辺の数が13のタイルで平面の敷き詰めは可能か もし可能ならば例を示し、不可能ならばそれを証明せよ。 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 03:51:19 ] >654 [3問目] 　2^(3m) + 2 = 4n + 2, 　2^(4n+2) = 4^(2n+1) ≡ (-1)^(2n+1) = -1 (mod 5) ∴　5 の倍数… 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 04:50:26 ] >>654 [4問目] nが偶数なら後手必勝。 先手と線対称（点対称でもいい）に置き続ける。 nが奇数なら先手必勝。 一手目は(n+1)/2マス目（中央)に縦に置く。 [5問目] 辺の数が13のタイルってのは13角形ならなんでもいいのかな？ だったら、正方形の対角線のあたりを中央点対象にギザギザに切ればいい。 それとも凸型に限定されるのか？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:09:11 ] AKB４８のCDを1枚買うと、ポスターが1枚もらえます。このポスターは全部で４４種類あり もらえるポスターはランダムです。 そして４４種類全部集めると特典が付いてくるのですが、果たして４４種類コンプリート するには、平均何枚の購入が必要となるでしょう？ 別に問題的には面白くないかｗ ニュースとしては面白かったが・・・ 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:24:55 ] >>657 クーポンコレクター問題。 問題としては面白いと思うが、あまりに有名だろう。 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 10:28:03 ] ｎ種類だとおよそ平均ｎ*log ｎ くらいだね。(ｎが十分大きいとき) 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 13:37:02 ] >>657-658 ってか、すでにマルチされまくってるじゃんか。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:16:33 ] 3^n (n=1,2,3,‥)を十進表記したとき、 十の位は常に偶数であることを示せ。 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:33:19 ] 3^1=3, 3^2=9,3^3=27, 3^4=81 3^(n+4)-3^n=3^n*80 663 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 19:52:23 ] ゴリ押しで解いてみた。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204281995 ちょうどn回目で全てのおまけが集まる確率を実際に計算し、そのあとは 期待値の定義に従ってゴリ押しで期待値を計算し、でも出て来る値は MΣ[k＝1〜M](1/k)の形をしていないので、この形になるように変形。 >>659 γをオイラー定数とするとき、nΣ[k＝1〜n](1/k)＝nlogn＋γn＋ε(n)，|ε(n)|≦1　(n＝1,2,…) 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/02/29(金) 20:46:34 ] なんか添え字ミスがいっぱいあった。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1204285553 665 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:38:29 ] >>655,656 正解.今度は中学生向けのを翻訳してみた. [Q1] 幾何の問題なので省略 [Q2] 次の数字の列 1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,...は次の方法で作られる. 5つめ以降の各要素はその前の4つの和の下一桁である. a) 2,0,0,4という並びはこの数列に現れるだろうか b) 1,2,3,4という並びは再びこの数列に現れるだろうか [Q3] Esmeraldaは100個の石を持っている. 彼女はこの山を二の新しい山に分け、続いてこの二の山の石の数を掛け合せ その積を紙に書きこむ. そして、一つ以上の石がある山を選び次の操作をくりかえす. 一つの山を二つに分け、この二の山の石の数の積を紙に書きこむ. 紙に書かれたすべての積の和はどのような値になるだろうか？ 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 06:40:51 ] 前の書きこみ, "二の" -> "二つの" に訂正. [Q4] ArnaldoとBernaldoの二人が交互に正の数を選ぶゲームをする. それぞれのターンでは、前の人が選んだ数よりも大きく、かつ二倍未満の数を選ばないといけない. このゲームでは2004を選べたプレイヤーが勝利する. Arnaldoが先手で2から始めたとき、どちらのプレイヤーが必勝か. [Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする. O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする. a) 角O1DO2が直角である事を示せ. b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ. [Q6] 0,1,2,...,9の各数字が10個ずつあり、これを10x10の升目に並べることを考える. どの並べ方に対しても、ある列または行に少なくともn種類の数字が 含まれているというとき、nの最大値を求めよ. 667 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 10:05:24 ] >>665 [Q2] a) この数列は 奇数、偶数、奇数、偶数、偶数 の並びを繰り返すので ４つ偶数が並ぶことはない。 b) 実際に書き下せば現れるんだが… うまい方法が見つからん。 「Q3] Σ_[n=1→99]{n} ｎ個の山をかならずn-1と1の分けることにするとそうなる。 さらにn-2と2に分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを… さらにn-kとkに分ける場合もn-1と1に分けたのと同じ結果になることを… 結局どう分けようとも… [Q4] nを選ぶためには、ｎが偶数ならn/2を、nが奇数なら(n-1)/2を選べられればいい。 2004を選ぶためには1002を選べればいい、そのためには501を、そのためには250を そのためには125を、62を、31を、15を、７を、3を選べればいい。 後手必勝である。 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 12:18:37 ] Q2のb ループすることと、列の４つの並びからその前が自動的に決まることから1,2,3,4を含むループだとわかる 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:22:01 ] a,b,cは異なる自然数とし、全て2以上であるとする。 (1＋a＋a^2＋…＋a^n)＋(1＋b＋b^2＋…＋b^n)がcで割り切れ、さらに、 (1＋a＋a^2＋…＋a^(n＋1))＋(1＋b＋b^2＋…＋b^(n＋1))がcで割ると 2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 15:24:38 ] 訂正。 2余るような自然数nが存在するとき、そのようなnのうち最小のものを rとおけば、rはnを割り切ることを示せ。 ↓ 2余るような自然数n＝n_0が存在するとする。このようなnのうち最小の ものを rとおけば、rはn_0を割り切ることを示せ。 671 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/01(土) 15:47:36 ] >>666 [Q5] Dを直角三角形ABCの斜辺ABの中点とする. O1とO2をそれぞれ三角形ADCとDBCの外接円の中心とする. a) 角O1DO2が直角である事を示せ. 外接円は各辺の垂直二等分線の交点で表されるので,円O2はACの垂直二等分線上にある.∴DO2⊥AC　同様にBD⊥DO1　よってOD1⊥DO2　∠OD1O2=90°(証明終了) b) ABがO1O2を直径とする円に接する事を示せ. [方針]例えばA(0,4a),B(4b.0)とおき,D,O1,O2の座標を求める.新たな円の中心をO3とする。このときABが円O3の接線になることを示す。又、接線と半径は垂直となるはずだから,<O3D>と<AB>との内積が0になることを示せばよい。 解答は計算が面倒なので...すいません。 [自作問題] 縦1,横√3の長方形をSとする。Sの対角線を中心に30° 回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の重なった部分の面積を 求めよ. 　高校入試レベルの問題ですが、辺の長さの求め方などが解答する人によって分かれるという意味で面白いと思います。 672 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:52:49 ] >>668 ループすることはわかるんだが、その先がよくわからない。 もうすこし詳しく教えてもらえないだろうか？ 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 19:55:51 ] >>671 > 角線を中心に30°回転 線を中心に回転させると（回転軸）重なる部分は直線(面積０)になると思うのだが しかし高校入試に空間図形というのもめったに出ないだろうし、なにか出題ミスか？ 674 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:24:58 ] >>672 ループするのはわかるんだな、じゃあ２つの可能性がある ・途中からループに入る ・最初からループしている 途中からループに入るとしたら、その部分は逆回転するときに枝分かれに見えるだろ？ ４つの並びからその前が決るとなら、そんなことは起こり得ない。 だから最初からループしてるてことだ 俺は>>668になるほど、と思っただけで気づいたわけじゃねえよ 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:27:56 ] >>674 いやすまん。 > ４つの並びからその前が決るとなら ここがわからないんだ。 676 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/01(土) 20:30:56 ] a+b+c+d≡e (mod. 10) なら a≡e-b-c-d (mod. 10) aは0〜9だから丁度1個ある 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 20:33:25 ] なるほどそうか。 サンキュ。 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 21:38:01 ] >>666 [Q6]の意味がいまひとつわからん。 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/01(土) 22:38:32 ] 並べ方Aに対し i行にr_i(A)種類の数字 j列にc_j(A)種類の数字 があるとする r(A):=max_i(r_i(A)) c(A):=max_j(c_j(A)) n(A):=max{r,c} としたとき min_A(n(A))を求めよ、ということだろう 680 名前：671 [2008/03/01(土) 23:50:28 ] >>673さん。 　問題の部分。「対角線」ではなく。「(二本の)対角線の交点」となり ます。書き間違えまえてしまってすみません。 [自作問題（訂正）] 縦1,横√3の長方形をSとする。このときSにおける二本 の対角線の交点を中心に30°回転させた長方形をS'とする。このときSとS'の 重なった部分の面積を求めよ. 681 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/04(火) 10:48:57 ] □に1〜9の整数を1つずつ入れ成立する等式を全て求めて下さい 同じ数字2度使いは不可 □□□×□□＝□□×□□ 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 10:55:33 ] 既出 683 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:09:16 ] 134*29 = 58*67 138*27 = 54*69 146*29 = 58*73 158*23 = 46*79 158*32 = 64*79 174*23 = 58*69 174*32 = 58*96 186*27 = 54*93 259*18 = 63*74 532*14 = 76*98 584*12 = 73*96 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 11:34:32 ] >>600 アホな質問かも知れんけど、(x+x_i) の偶数個だけ負なんてないん？ 685 名前：2ndVirgin ◆8dN/5Nqmfw mailto:sage [2008/03/04(火) 11:50:51 ] >>684 x≧0 ⇒ f(x) ≧ S_n >0から f(x)=0の解はx≧0には存在しない つまり、f(x)=0の解-x_1,-x_2,...,-x_nは（実数だから）すべて負 と考えてるんだと思う 686 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:49:41 ] 正整数全体の集合をNとする。A={-1,0,1}に対して M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A} とする。このときN⊂M(A)であることを示せ。 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 19:53:24 ] >>686 ただの3進法じゃないの？(0,1,2じゃなくて-1,0,1に変えただけの) 688 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:09:07 ] 三進法と同じです 条件を満たすAは他にあるか、を入れ忘れてました 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:12:18 ] Aを含む集合ならOKだし 690 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:16:41 ] ノントリビアルなのを考えるのが面白いと思い、出題しました 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:24:52 ] まあ出題者の意図を汲むのも解答者のたしなみとは思うが もうちょっとシャンとしてくれや 692 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/04(火) 20:35:26 ] シャンとしなくて申し訳ないです 問題文を改めてみました 正整数全体の集合をNとする。 相異なる三つ整数からなら集合Aに対して M(A)={Σ[k=1,n](3^(k-1))a[k] | n∈N, a[k]∈A} とする。このときN⊂M(A)となるAを全て求めよ。 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 03:54:27 ] この前数学教師から出されて解けなくてｲﾗｲﾗしてる問題を。 既出だったらすまん 三角形がある。 今、△ＡＢＣはＡ=20°の二等辺三角形で ＡＣの間に、ＡＤ=ＢＣの点Ｄをとる。 このとき、∠ＡＤＢを求めろ。 694 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 04:35:44 ] ラングレーでググれ 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2008/03/05(水) 07:57:30 ] >>649 レスthx でもこれラングレーとちがくね？ ラングレーってＢとＣの所に角度の決まった辺が付くし 求める角度の場所も違うような 一応ググったが・・・すまん 696 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 08:07:35 ] AとBとCそれぞれに0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい AとBは違う組み合わせにして下さい.同じ文字での同じ数字2度使いは不可 AAAAAA×AAAA＝BBBBBB×BBBB＝CCCCCCCCCC 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 09:53:08 ] 15864*9327 = 18654*7932 = 147963528 37962*5148 = 51948*3762 = 195428376 26475*9381 = 62481*3975 = 248361975 54186*7923 = 87153*4926 = 429315678 698 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 10:24:05 ] 197208*5346 = 723096*1458 = 1054273968 253098*4176 = 538704*1962 = 1056937248 192087*6435 = 960435*1287 = 1236079845 820794*1536 = 950784*1326 = 1260739584 435618*2970 = 653427*1980 = 1293785460 154638*9072 = 231957*6048 = 1402875936 286794*5103 = 479682*3051 = 1463509782 158640*9327 = 186540*7932 = 1479635280 537186*2940 = 926835*1704 = 1579326840 319875*6042 = 486210*3975 = 1932684750 379620*5148 = 519480*3762 = 1954283760 249651*7803 = 748953*2601 = 1948026753 815430*2679 = 945687*2310 = 2184536970 264750*9381 = 624810*3975 = 2483619750 286071*9354 = 781059*3426 = 2675908134 405612*7938 = 709821*4536 = 3219748056 549780*6231 = 837165*4092 = 3425679180 541860*7923 = 871530*4926 = 4293156780 453186*9702 = 906372*4851 = 4396810572 651840*7293 = 847392*5610 = 4753869120 704592*6831 = 830412*5796 = 4813067952 751398*6420 = 783240*6159 = 4823975160 564732*9180 = 914328*5670 = 5184239760 699 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/05(水) 18:54:47 ] >>697-698 どうやって求めんの 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:33:02 ] ?に0〜9迄の数字を1つずつ入れて成立する等式を全て求めて下さい 分や秒は59以下,時間は1以上.同じ数字2度使いは不可 ??分??秒×?＝?時間??分??秒 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:49:25 ] kingは死ぬ 702 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 20:55:12 ] 明日ここにカキコしたあと心臓麻痺で死ぬ、とデスノートに書いておいた 703 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:24:23 ] つぎの　やさいのうち　なかまはずれは　どれ　? 1. だいこん　　2. にんじん　3.　ごほう　4. じゃがいも 私立幼稚園入試問題 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:26:57 ] じゃがいも。 ほかのみっつはふといねっこそのものをたべる。 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:35:29 ] せいかい 3. ごぼう　　です。 だいにじせかいたいせん　のとき ほりょとなった　あめりかじん　にだした　りょうりに ごほう　を　だしたら、　にほんじんは　われわれに きのねっこ　を　たべさした　と　くじょうがあり そのご　しゅうせん　を　むかえ　ほりょしゅうようじょ　の しょちょうが　じぃえいちきゅう　から　せんぱん　の　ようぎ　を かけられました。 とさ 706 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/03/05(水) 21:35:47 ] Reply:>>701 お前が先に死ね。 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:50:29 ] もんだい 1. しゃつ　　2.　ぱんつ　3. くつした　4. はんかち なかまはずれは　どれ　? 国立教育大付属幼稚園入試問題 708 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:54:24 ] ぱんつ これはニオイかいでみたいから 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 21:55:18 ] 面白くない問題は自粛願います 710 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [2008/03/05(水) 22:02:18 ] Generalist の修行が足りない奴が仲間はずれを決めてはならぬ。 711 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 22:10:22 ] >>710 スレチ 712 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/05(水) 22:14:14 ] せいかい 4. はんかち ほかのものは　どれも　りったいてき　であります。 また、ことばに　つ　が　ついています。 713 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/06(木) 00:35:04 ] >>700 50分42秒 * 9 = 7時間36分18秒 714 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/06(木) 03:41:02 ] シャツとパンツ（小用穴付き）は同相。 ハンカチと靴下は同相。 715 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2008/03/07(金) 07:11:22 ] >>705 ようぎを かけられたのは よくわかった が なぜ それが なかまはずれの りゆうに なるんだ？ 716 名前：１３２人目の素数さん [2008/03/07(金) 15:35:15 ] >>693 >>695 線分BCのC側の延長上に、BE=ACとなるような点Eをとり、 △BEF≡△ABCとなるような点Fを、BEから見てAと同じ側にとると △ABEは正三角形，四角形ADEFは平行四辺形 △EDBはED=EBの二等辺三角形

---

---

[ 新着レスの取得/表示 (agate) ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef