代数的整数論 005

1 名前：１３２人目の素数さん [2007/03/16(金) 07:45:20 ] Kummer ◆g2BU0D6YN2氏が代数的整数論を語るスレです。 前スレ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/ 271 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:04:00 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式 とする。 >>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。 >260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明 θ = (-b + √D)/2a ∈ (Q_0)+(D) とする。 I = [a, (-b + √D)/2] とおく。 ψ_QI({ θ }) = { I } である。 α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = αβ' - βα' = -a√D ＜ 0 よって α, β の向きは正である。 β/α = (-b + √D)/2a = θ 従って、ψ_IQ({ I }) = { θ } である。 よって (ψ_IQ)(ψ_QI) = 1 である。 証明終 272 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:06:55 ] >>271 >>260 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 >>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 273 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:10:04 ] 命題 R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式 とする。 >>266 で 写像 ψ_QI: (Q_0)+(D)/Γ → CL(D) が定義された。 >>270 で 写像 ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ が定義された。 (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明 >>207 より Cl(D) の代表として原始イデアル I が取れる。 >>210 より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a ＞ 0, 0 ≦ b ＜ a α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。 β/α = (2b + D + √D)/2a よって ψ_IQ({ I }) = { (2b + D + √D)/2a }) a ＞ 0 だから ψ_QI({ (2b + D + √D)/2a })) = { [a, b + (D + √D)/2] } よって (ψ_QI)(ψ_IQ) = 1 である。 証明終 274 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 01:12:24 ] >>271 と >>273 より D ＜ 0 のとき (Q_0)+(D)/Γ と Cl(D) は集合として同型である。 275 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:01:18 ] D ＜ 0 のとき >>248 と >>249 より ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) は同型である。 >>271 と >>273 より ψ_IQ: CL(D) → (Q_0)+(D)/Γ は同型である。 よって ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 このとき (a, b, c) ∈ (F_0)+(D) の類には (-b + √D)/2a の類が 対応する。 276 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:07:44 ] >>275 >よって >ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 277 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:08:27 ] >>275 >よって >ψ_FQ = IQ(ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は >同型である。 よって ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : (F_0)+(D)/Γ → (Q_0)+(D)/Γ は 同型である。 278 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 10:10:42 ] R = [1, fω] を２次体 Q(√m) の整環とし、D をその判別式とする。 D ＞ 0 のとき >>251 と >>252 より ψ_FI : F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。 >>261 と >>262 より ψ_IQ : CL+(D) → Q_0(D)/Γ は同型である。 よって ψ_FQ = (ψ_IQ)(ψ_FI) : F_0(D)/Γ → Q_0(D)/Γ は 同型である。 このとき (a, b, c) ∈ F_0(D) の類には (-b + √D)/2a の類が 対応する。 279 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/05(土) 13:30:17 ] 挨拶にシカトするなんて糞 はじめから見てるが、この書き込んでるやつ馬鹿もいいところだろ。 うんこ以下 280 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 19:50:46 ] R = [1, fω] を虚２次体 Q(√m) の整環とし、D ＜ 0 をその判別式 とする。 >>220 より同型 φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1} が存在する。 φ_FI は >>243 の同型 ψ_FI を引き起こす。 ψ_FI : (F_0)+(D)/Γ → Cl(D) 281 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:07:26 ] R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式 とする。 P+ = {αR ; α ∈ Q(√m), N(α) ＞ 0 } とおく。 完全列 1 → P+ → K^*/(R^*)+ → {±1} → 1 が存在する。 ここで K = Q(√m) であり、 (R^*)+ = { α ∈ R^* ; N(α) ＞ 0 } である。 K^*/(R^*)+ → {±1} は α ∈ K^* に sign(N(α)) を対応させる ことにより引き起こされる。 P~ = K^*/(R^*)+ とおく。 (I, s) ∈ I(R) × {±1} と、[β] ∈ P~ に対して [β](I, s) = (βI, s(sign(N(β)))) と定義する。 ε ∈ (R^*)+ のとき (εI, s(sign(N(ε)))) = (I, s) だから [β](I, s) は [β] ∈ P~ のみで決まる。 よって商集合 (I(R) × {±1})/P~ が定義される。 >>220 の同型 φ_FI : F_0(D)/Γ_∞ → I(R)/Q^* × {±1} は同型 F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ を引き起こすことを示そう。 282 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:22:44 ] [ (a, b, c) ] ∈ F_0(D)/Γ のとき [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~ が代表 (a, b, c) の取り方によらないことを示す。 ここで、[ (a, b, c) ] は (a, b, c) が属す F_0(D)/Γ の類を表す。 同様に、[([a, (-b + √D)/2], sign(a))] は (I(R) × {±1})/P~ の 類を表す。 f = (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき Ψ(f) = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とおく。 過去スレ４の269より SL_2(Z) は S = (1, 1)/(0, 1) と T = (0, -1)/(1, 0) で生成される。 従って、いつものように Ψ(fS) = Ψ(f) と Ψ(fT) = Ψ(f) を証明すればよい。 >>185 より (a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c) よって Ψ(fS) = [([a, -a + (-b + √D)/2], sign(a))] = Ψ(f) 283 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/05(土) 20:29:31 ] >>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから Ψ(fT) = [([c, (b + √D)/2], sign(c))] I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] θ = (-b + √D)/2 とおく。 θ'I = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(-b - √D)/2, c] = a[c, (b + √D)/2] = aJ よって I = (a/θ')J N(θ') = ac だから N(a/θ') = a/c Ψ(fT) = [((a/θ')[c, (b + √D)/2], sign(c)sign(N(a/θ')))] = [([a, (-b + √D)/2], sign(c)sign(a/c))] = [([a, (-b + √D)/2], sign(a))] = Ψ(f) 284 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:16:12 ] (I, s) ∈ I(R) × {±1} とする。 即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。 I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。 >>197 で f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) とおいた。 f(α, β, s; x, y) ∈ F_0(D) である。 I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。 >>189 より α = pγ + qδ β = rγ + tδ となる有理整数 p, q, r, t で pt - qr = 1 となるものがある。 f(α, β, s; x, y) = sN(xα - syβ)/N(I) に α = pγ + qδ β = rγ + tδ を代入すると f(α, β, s; x, y) = sN(x(pγ + qδ) - sy(rγ + tδ))/N(I) = s((xp - ysr)γ - s(-xsq + yt)δ)/N(I) = f(γ, δ; xp - ysr, -xq + yst) 従って (a, b, c) = (k, l, m)σ ここで σ = (p, -sr)/(-sq, t) ∈ SL_2(Z) 285 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 07:43:24 ] δ ∈ K^* として [δ](I, s) = (δI, s(sign(N(δ))) を考える(>>281)。 δI = [δα, δβ] であり、 Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β) まず N(δ) ＞ 0 の場合を考える。 Δ(δα, δβ) = Δ(α, β) だから δα, δβ の向きは正である。 f(δα, δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = sN(xδα - syδβ)/N(δI) = (N(δ)/N(δ))sN(xα - syβ)/N(I) = sN(xα - syβ)/N(I) = f(α, β, s; x, y) N(δ) ＜ 0 とする。 Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β) だから δα, -δβ の向きは正である。 f(δα, -δβ, s(sign(N(δ)); x, y) = -sN(xδα - syδβ)/N(δI) = -(N(δ)/|N(δ)|)sN(xα - syβ)/N(I) = sN(xα - syβ)/N(I) = f(α, β, s; x, y) 286 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:07:13 ] >>282, >>283 より 写像 Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ が Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] により定義される。 >>284 より 写像 Ψ_1 : (I(R) × {±1})/P~ → F_0(D)/Γ が Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ f(α, β, s; x, y) ] により定義される。 287 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:16:09 ] (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] a ＞ 0 のとき α = a β = (-b + √D)/2 s = sign(a) = 1 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα')/N(I) = a -(αβ' + βα')/N(I) = b s(ββ')/N(I) = c よって f(α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 a ＜ 0 のとき α = -a β = (-b + √D)/2 s = sign(a) = -1 とおく。 Δ(α, β) = a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα')/N(I) = a -(αβ' + βα')/N(I) = b s(ββ')/N(I) = c よって f(-α, β, s; x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 以上から Ψ_1Ψ_0 = 1 である。 288 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:48:13 ] [ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。 即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。 >>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。 よって I は原始イデアルと仮定してよい。 >>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。 α = a β = b+ (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα')/N(I) = sa -(αβ' + βα')/N(I) = b s(ββ')/N(I) = sc となる。 ただし、 c = (ββ')/N(I) とおいた。 よって f(α, β, s; x, y) = sax^2 + bxy + scy^2 Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, b, sc) ] Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, (-b + √D)/2], sign(sa)) ] = [ (I, s) ] よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。 289 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 08:51:59 ] >>287, >>288 より Ψ_0 と Ψ_1 は互いに逆写像であり、 Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ は集合としての同型である。 290 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:14:03 ] 写像 Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D) を Φ_0( [ (I, s) ] ) = [ δI ] で定義する。 ここで δ ∈ K^* は s = sign(N(δ)) となる任意の元である。 写像 Φ_1 : Cl+(D) → (I(R) × {±1})/P~ を Φ_1( [ I ] ) = [ (I, 1) ] で定義する。 Φ_1Φ_0( [ (I, s) ] ) = Φ_1( [ δI ] ) = [ (δI, 1) ] = [ (I, sign(N(δ))) ] = [ (I, s) ] よって Φ_1Φ_0 = 1 他方、 Φ_0Φ_1( [ I ] ) = Φ_0( [ (I, 1) ] ) = [ I ] よって Φ_0Φ_1 = 1 以上から Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D) は集合としての同型である。 291 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:16:15 ] >>289 と >>290 より Ψ_0 : F_0(D)/Γ → (I(R) × {±1})/P~ と Φ_0 : (I(R) × {±1})/P~ → Cl+(D) の合成写像 Φ_0Ψ_0 : F_0(D)/Γ → Cl+(D) は同型である。 292 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/06(日) 09:41:43 ] >>288 を以下のように修正する。 [ (I, s) ] ∈ (I(R) × {±1})/P~ とする。 即ち、I は R の可逆分数イデアルであり、s = ±1 である。 >>207 より qI が原始イデアルとなるような有理数 q ≠ 0 がある。 よって I は原始イデアルと仮定してよい。 >>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。 α = a β = b+ (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから α, β の向きは正である。 s(αα')/N(I) = sa -(αβ' + βα')/N(I) = -2b - D s(ββ')/N(I) = sc となる。 ただし、 c = (ββ')/N(I) とおいた。 よって f(α, β, s; x, y) = sax^2 - (2b + D)xy + scy^2 よって Ψ_1( [ (I, s) ] ) = [ (sa, -(2b + D), sc) ] Ψ_0( (sa, b, sc) ] = [ ([sa, b + (D + √D)/2], sign(sa)) ] = [ (I, s) ] よって Ψ_0Ψ_1 = 1 である。 293 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 06:46:05 ] >>286 より Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [ ([a, (-b + √D)/2], sign(a)) ] である。 よって Φ_0Ψ_0( [ (a, b, c) ] ) = [a, (-b + √D)/2]δ ここで δ ∈ K^* は sign(a) = sign(N(δ)) となる任意の元である。 従って、>>242 より Φ_0Ψ_0 = ψ_FI である。 294 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:38:51 ] R = [1, fω] を実２次体 Q(√m) の整環とし、D ＞ 0 をその判別式 とする。 >>253 より F_0(D)/Γ と Cl+(D) は集合として同型である。 では広義のイデアル類群 Cl(D) は F_0(D) とどのような関係に あるのだろうか？ この問題について考えてみる。 295 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:40:28 ] (a, b, c) ∈ F_0(D) のとき I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアル である。 a ＞ 0 なら、 α = a β = (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D ＜ 0 だから I の基底 α, β は正の向きである。 (αα')/N(I) = a^2/(-a) = a -(αβ' + βα')/N(I) = (ab)/a = b (ββ')/N(I) = ac/a = c だから N(xα - yβ)/N(I) = a^x^2 + bxy + cy^2 である。 a ＜ 0 なら、 α = -a β = (-b + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = a√D ＜ 0 だから I の基底 α, β は正の向きである。 (αα')/N(I) = a^2/(-a) = -a -(αβ' + βα')/N(I) = (-ab)/(-a) = b (ββ')/N(I) = ac/(-a) = -c だから N(xα - yβ)/N(I) = -a^x^2 + bxy - cy^2 である。 従って F_0(D)/Γ において [ (a, b. c) ] と [ (-a, b, -c) ] が同一視出来ればそれによる商集合が Cl(D) と同型になるのでは ないかと見当がつく。 296 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 20:51:58 ] τ = (1, 0)/(0, -1) とおく。 det(τ) = -1 である。 (a, b. c) ∈ F_0(D) のとき (a, b. c)τ = (a, -b, c) である。 σ ∈ SL_2(Z) とし、(a, b, c)σ = (k, l, m) とする。 (-a, -b, -c) と (-k, -l, -m) も F_0(D) の元であることに注意する。 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 よって (-a, -b, -c)σ = (-k, -l, -m) 一方、(-a, b, -c)τ = (-a, -b, -c) だから (-a, b, -c)τσ = (-k, -l, -m) = (-k, l, -m)τ τを両辺に掛けて τ^2 = 1 より (-a, b, -c)τστ = (-k, l, -m) det(τστ) = det(τ)^2 det(σ) = 1 以上から (a, b, c) と (k, l, m) が F_0(D)/Γ の同じ類にあるなら (-a, b, -c) と (-k, l, -m) も同じ類にある。 297 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:15:53 ] >>296 より F_0(D)/Γ の元 [ (a, b, c) ] に [ (-a, b, -c) ] を対応させるのは 代表 (a, b, c) の取り方によらない。 有理整数環 Z の単数群 Z^* = {±1} の元 -1 の F_0(D)/Γ への 作用を [ (a, b, c) ](-1) = [ (-a, b, -c) ] で定義すれば、 [ (a, b, c) ](-1)^2 = [ (a, b, c) ] である。 よって F_0(D)/Γ は (Z^*)-集合(過去スレ４の388)となる。 よって商集合(過去スレ４の390)が (F_0(D)/Γ)/Z^* が定義される。 298 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:43:25 ] (a, b, c) ∈ F_0(D) に Cl(D) の元 [[a, (-b + √D)/2]] を 対応させる写像をχ_0とかく χ_0((a, b, c)) = [[a, (-b + √D)/2]] >>185 より (a, b, c)S = (a, 2a + b, a + b + c) χ_0((a, b, c)S) = [[a, -a + (-b + √D)/2]] = [[a, (-b + √D)/2]] よって χ_0((a, b, c)S) = χ_0((a, b, c)) >>184 より (a, b, c)T = (c, -b, a) だから χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]] I = [a, (-b + √D)/2] J = [c, (b + √D)/2] θ = (-b + √D)/2 とおく。 θ'I = [a(-b - √D)/2, ac] = a[(-b - √D)/2, c] = a[c, (b + √D)/2] = aJ よって I と J は Cl(D) の同じ類に属す。 よって χ_0((a, b, c)T) = [[c, (b + √D)/2]] = χ_0((a, b, c)) 以上から χ_0 は F_0(D)/Γ から Cl(D) への写像を誘導する。 この写像を同じ記号 χ_0 で表す。 即ち χ_0([ (a, b, c) ]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。 299 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:48:55 ] χ_0([ (-a, b, -c) ]) = [[-a, (-b + √D)/2]] = [[a, (-b + √D)/2]] = χ_0([ (a, b, c) ]) だから χ_0 は (F_0(D)/Γ)/Z^* (>>297)から Cl(D) への写像を誘導する。 この写像を同じ記号 χ_0 で表す。 即ち χ_0([[ (a, b, c) ]]) = [[a, (-b + √D)/2]] である。 300 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 21:59:14 ] I を R の可逆分数イデアルとする。 I = [α, β] で、α, β は正に向き付けられているとする(>>188)。 N(xα - yβ)/N(I) は F(D) の元である。 I = [γ, δ] で、γ, δ の向きも正とする。 >>189 より α = pγ + qδ β = rγ + sδ となる有理整数 p, q, r, t で ps - qr = 1 となるものがある。 N(xα - yβ)/N(I) の α, β に α = pγ + qδ β = rγ + sδ をそれぞれ代入すると N(xα - yβ)/N(I) = N(x(pγ + qδ) - y(rγ + sδ))/N(I) = ((xp - yr)γ - (-xq + ys)δ)/N(I) よって、N(xα - yβ)/N(I) と N(xγ - yδ)/N(I) は F(D)/Γ の同じ類に属す。 301 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:20:34 ] δ ∈ K^* として δI を考える。 δI = [δα, δβ] であり、 Δ(δα, δβ) = δαδ'β' - δβδ'α' = N(δ)Δ(α, β) よって N(δ) ＞ 0 なら Δ(δα, δβ) ＜ 0 だから δα, δβ の向きは正である。 このとき N(xδα - yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα - yβ)/N(I) = N(xα - yβ)/N(I) よって N(xδα - yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は (F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。 N(δ) ＜ 0 なら δα, -δβ の向きは正である。 N(xδα + yδβ)/N(δI) = (N(δ)/|N(δ)|) N(xα + yβ)/N(I) = -N(xα + yβ)/N(I) >>197 より a = (αα')/N(I) b = -(αβ' + βα')/N(I) c = (ββ')/N(I) とおけば、N(xα - yβ)/N(I) = ax^2 + bxy + cy^2 である。 よって -N(xα + yβ)/N(I) = -ax^2 + bxy - cy^2 である。 よって N(xδα + yδβ)/N(δI) と N(xα - yβ)/N(I) は (F(D)/Γ)/Z^* の同じ類に属す。 302 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:32:34 ] >>300 と >>301 より Cl(D) から (F(D)/Γ)/Z^* への写像が χ_1([I]) = [[N(xα - yβ)/N(I)]] で定義される。 ここで I = [α, β] は R の可逆分数イデアルであり、 α, β は正に向き付けられているとする。 303 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:40:04 ] >>295 より χ_1χ_0 = 1 である。 304 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:41:44 ] I を R の原始イデアルとする。 >>210より I = [a, b + (D + √D)/2] と書ける。 ここで a, b は有理整数で a ＞ 0 である。 α = a β = b + (D + √D)/2 とおく。 Δ(α, β) = -a√D だから I の基底 α, β の向き(>>188)は正である。 >>228 において (αα')/N(I) = a^2/a = a -(αβ' + βα')/N(I) = -a(2b + D)/a = -2b - D (ββ')/N(I) = (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a よって χ_1([I]) = [[ (a, -2b - D, (b^2 + bD + (D^2 - D)/4)/a) ]] χ_0χ_1([I]) = [[a, b + (D + √D)/2]] よって χ_0χ_1 = 1 である。 305 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:43:54 ] >>303 と >>304 より (F_0(D)/Γ)/Z^* と Cl(D) は集合として同型 である。 これで >>294 の問題は解決した。 306 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:49:01 ] 訂正 >>285 >Δ(δα, δβ) = Δ(α, β) >だから δα, δβ の向きは正である。 sign(Δ(δα, δβ)) = sign(Δ(α, β)) = -1 だから δα, δβ の向きは正である。 307 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/07(月) 22:52:16 ] 訂正 >>285 >Δ(δα, δβ) = -Δ(α, β) >だから δα, -δβ の向きは正である。 sign(Δ(δα, δβ)) = -sign(Δ(α, β)) = 1 だから δα, -δβ の向きは正である。 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:10:00 ] 55 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:11:00 ] 54 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:12:07 ] 53 311 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:13:00 ] 52 312 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:14:00 ] 51 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/08(火) 04:15:00 ] 50 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:10:00 ] 49 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:11:00 ] 48 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:12:03 ] 47 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:13:00 ] 46 318 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:14:00 ] 47 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/09(水) 04:15:00 ] 46 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:10:00 ] 45 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:11:01 ] 44 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:12:01 ] 43 323 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:13:00 ] 42 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:14:00 ] 41 325 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/10(木) 04:15:00 ] 40 326 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 12:43:06 ] D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 Q+(D) = { (-b + √D)/2a ; a ＞ 0, D ≡ b^2 (mod 4a) } とおく。 これは >>218 で Qd と書いたものである。 >>218 より φ_FQ([ (a, b, c) ]) = ([ (-b + √D)/2|a| ], sign(a)) により同型 φ_FQ : F(D)/Γ_∞ → Q+(D)/Z × {±1} が得られる。 (a, b, c) ∈ F(D) に ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) を対応させる ことにより 写像 F(D) → Q+(D) × {±1} が得られる。 この写像を記号の濫用でやはり φ_FQ と書くことにする。 これは明らかに集合としての同型である。 327 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 16:58:20 ] 判別式が正の２次形式を不定符号２次形式と呼ぶ。 328 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 17:01:14 ] 過去スレ４の293で判別式が負の２次形式 (a, b, c) で a ＞ 0 のとき (a, b, c) は正定値というと書いたが、 これは Zagier の数論入門の日本語訳(岩波) から借りたものである。 しかし、この訳語はあまり良くない。 判別式が負の２次形式を定符号２次形式と呼び、 正定値の代わりに正の定符号と呼んだほうが意味がはっきりする。 しかし、今さら変えるのも混乱するのでこのままにしておく。 329 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:38:01 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 即ち、不定符号２次形式(>>327)とする。 >>326 より (a, b, c) には ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) が対応する。 (-b + √D)/2|a| は２次無理数だから >>41 以降で展開した連分数の 理論が適用できる。 この理論を上記の対応により２次形式の言葉に翻訳しよう。 330 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:44:53 ] 定義 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。 1/θ が簡約された２次無理数のとき (a, b, c) を簡約された２次形式、 または単に簡約２次形式という。 331 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 20:47:39 ] >>330 において、θ ではなく 1/θ としたのは後で述べる ２次形式の簡約過程の計算をより単純にするためである。 332 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 21:11:44 ] 補題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。 (a, b, c) が簡約２次形式であるためには 0 ＜ θ ＜ 1 1 ＜ -θ' が必要十分である。 ここで、θ' はいつものように θ の共役を表す。 証明 1/θ が簡約ということは >>95 より 1/θ ＞ 1 -1 ＜ 1/θ' ＜ 0 ということである。 1/θ ＞ 1 は 0 ＜ θ ＜ 1 と同値である。 -1 ＜ 1/θ' ＜ 0 は -θ' ＞ 1 と同値である。 証明終 333 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/10(木) 22:54:24 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約２次形式であるためには |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D が必要十分である。 証明 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。 >>332 より (a, b, c) が簡約２次形式であるためには 0 ＜ θ ＜ 1 1 ＜ -θ' が必要十分である。 0 ＜ θ ＜ 1 より 0 ＜ (-b + √D)/2|a| ＜ 1 だから 0 ＜ -b + √D ＜ 2|a| よって √D - 2|a| ＜ b ＜ √D 他方 1 ＜ (b + √D)/2|a| より 2|a| ＜ b + √D よって 2|a| - √D ＜ b よって |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D この逆も明らかである。 証明終 334 名前：１３２人目の素数さん [2007/05/11(金) 07:57:24 ] oniku!! 335 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:42:22 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 このとき ac ＜ 0 である。 即ち a と c は符号が反対である。 つまり sign(c) = -sign(a) 証明 >>333 より 0 ＜ b ＜ √D よって b^2 ＜ D D - b^2 = -4ac だから 0 ＜ -4ac よって ac ＜ 0 証明終 336 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:43:42 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 このとき |a| + |c| ＜ √D である。 証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b 両辺を２乗して (√D - 2|a|)^2 ＜ b^2 よって (√D - 2|a|)^2 - b^2 = D - 4|a|√D + 4a^2 - b^2 = -4ac - 4|a|√D + 4a^2 ＜ 0 よって ((√D - 2|a|)^2 - b^2)/4|a| = -ac/|a| - √D + |a| = -sign(a)c - √D + |a| = sign(c)c - √D + |a| = |c| - √D + |a| ＜ 0 証明終 337 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:44:42 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約２次形式(>>330)であるためには |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D が必要十分である。 証明 >>333 より |√D - 2|a|| ＜ b よって -b ＜ √D - 2|a| ＜ b 即ち 0 ＜ √D - b ＜ 2|a| ＜ √D + b √D - b ＜ 2|a| の両辺に √D + b を掛けて -4ac ＜ 2|a|(√D + b) -2sign(a)c ＜ √D + b 2sign(c)c ＜ √D + b よって 2|c| - √D ＜ b 他方 2|a| ＜ √D + b の両辺に √D - b を掛けて 2|a|(√D - b) ＜ -4ac √D - b ＜ -2sign(a)c = 2sign(c)c = 2|c| √D - b ＜ 2|c| よって -b ＜ 2|c| - √D 以上から |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D 同様にして、この式から逆に |√D - 2|a|| ＜ b ＜ √D がでる。 証明終 338 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 09:50:01 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 >>333 より 0 ＜ b ＜ √D >>336 より |a| + |c| ＜ √D 従って、判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式 (a, b, c) の個数は 有限である。 339 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 15:15:39 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の簡約２次形式(>>330)とする。 θ = (-b + √D)/2|a| とおく。 α = 1/θ - [1/θ] とおくと 1/θ = [1/θ] + 1/(1/α) である。 >>41 の連分数の記号で書くと 1/θ = [[1/θ], 1/α] α = 1/θ - [1/θ] を計算しよう。 >>335 より sign(a) = -sign(c) であることに注意する。 1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = sign(a)(-b - √D)/2c = -sign(c)(-b - √D)/2c = (b + √D)/2|c| よって 1/θ - [1/θ] = (b + √D)/2|c| - [(b + √D)/2|c|] = (b - 2|c|[(b + √D)/2|c|] + √D])/2|c| ∈ Q+(D) よって >>326 より φ_FQ( (c, r, (r^2 - D)/4c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a)) である。 ここで r = -b + 2|c|[(b + √D)/2|c|] 340 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/11(金) 15:36:10 ] >>339 の続き。 n = [(b + √D)/2|c|] とおく。 即ち n ＜ (b + √D)/2|c| ＜ n + 1 よって 2|c|n ＜ b + √D ＜ 2|c|n + 2|c| r = -b + 2|c|n だから √D - 2|c| ＜ r ＜ √D 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:10:00 ] 40 342 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:11:00 ] 39 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:12:00 ] 38 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:13:00 ] 37 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:14:00 ] 36 346 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/13(日) 04:15:00 ] 35 347 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 13:05:45 ] (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 D = b^2 - 4ac は平方数でないと仮定しているから c ≠ 0 である。 >>340 と同様に n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。 >>340 と同様に √D - 2|c| ＜ r ＜ √D である。 >>339 を参考にして２次形式 (c, r, (r^2 - D)/4c) を考える。 r^2 - D = (-b + 2|c|n)^2 - D = b^2 - 4b|c|n + 4c^2 n^2 - b^2 + 4ac = - 4b|c|n + 4c^2 n^2 + 4ac よって (r^2 - D)/4c = a - sign(c)bn + cn^2 よって (c, r, (r^2 - D)/4c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおく。 det(σ) = 1 だから σ ∈ SL_2(Z) である。 過去スレ４の280より (a, b, c)σ = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) である。 348 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 15:39:41 ] ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) とおく。 即ち ρ(a, b, c) = (a, b, c)σ である。 ρ(a, b, c) = (a_1, b_1, c_1) とおく。 |c_1| ＜ |a_1| なら、即ち |a - sign(c)bn + cn^2| ＜ |c| なら ρ(a_1, b_1, c_1) = (a_2, b_2, c_2) とおく。 以下同様にして |c_(n-1)| ＜ |a_(n-1)| なら ρ(a_(n-1), b_(n-1), c_(n-1)) = (a_n, b_n, c_n) とおく。 |c| = |a_1| ＞ |c_1| = |a_2| ＞ . . . ＞ |c_(n-1)| = |a_n| |c| は有限だからこの過程は有限回で終わる。 よって |a_n| ≦ |c_n| となる n がある。 このとき (ρ^n)(a, b, c) = (a_n, b_n, c_n) は簡約された２次形式 であることを証明しよう。 349 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 16:29:19 ] 記号を簡単にするため (a_n, b_n, c_n) = (A, B, C) とおく。 |A| ≦ |C| である。 >>347 より √D - 2|A| ＜ B ＜ √D よって 0 ＜ √D - B ＜ 2|A| よって 1/|√D - B| ＞ 1/(2|A|) 一方、 |√D - B||√D + B| = |D - B^2| = 4|A||C| よって |√D + B| = 4|A||C|/|√D - B| ＞ 2|C| よって |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0 B ＜ 0 とすると √D + B = √D - |B| √D - B = √D + |B| よって |√D - |B|| ＞ √D + |B| となって矛盾。 従って、B ≧ 0 である。 B = 0 なら |√D + B| ＞ √D - B より √D ＞ √D となって矛盾。 よって B ＞ 0 である。 よって 0 ＜ B ＜ √D である。 上の |√D + B| ＞ 2|C| ≧ 2|A| ＞ √D - B ＞ 0 より √D - B ＜ 2|A| ＜ √D + B 即ち |√D - 2|A|| ＜ B ＜ √D である。 よって (A, B, C) は簡約されている。 350 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/13(日) 18:17:50 ] 命題 (a, b, c) を判別式 D ＞ 0 の２次形式とする。 (a, b, c) が簡約されていれば >>348 で定義した ρ(a, b, c) も 簡約されている。 証明 n = [(b + √D)/2|c|] r = -b + 2|c|n とおく。 ρ(a, b, c) = (c, r, (r^2 - D)/4c) である。 >>347 より √D - 2|c| ＜ r ＜ √D |c| ＜ (√D)/2 なら 0 ＜ √D - 2|c| よって |√D - 2|c|| ＜ r ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。 |c| ＞ (√D)/2 なら 2|c| - √D ＞ 0 (a, b, c) は簡約されているから 2|c| - √D = |√D - 2|c|| ＜ b ＜ √D よって 2|c| ＜ b + √D ＜ 2√D ＜ 4|c| よって 1 ＜ (b + √D)/2|c| ＜ 2 よって [(b + √D)/2|c|] = 1 r = -b + 2|c| ＞ 2|c| - √D = |√D - 2|c|| 一方 2|c| - √D ＜ b だから r = -b + 2|c| ＜ √D よって ρ(a, b, c) は簡約されている。 証明終 351 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 12:13:22 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>326 で φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により 写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。 任意の σ ∈ SL_2(Z) に対してある τ ∈ GL_2(Z) があり φ_FQ((a, b, c)σ) = (τ(θ), det(τ)sign(a)) となることを証明しよう。 ここで (a, b, c) は F(D) の任意の元であり、 θ = (-b + √D)/2|a| である。 352 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 14:39:08 ] >>351 の主張は(たぶん)誤りなので >>351 は削除する。 353 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 21:42:49 ] 補題 D を平方数でない有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) とする。 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c)σ = (k, l, m)とする。 θ = (-b + √D)/2a とおき、τ = (-sθ + q)/(rθ - p) とする。 即ち θ = (pτ + q)/(rτ + s) である。 このとき τ = (-l + (ps - qr)√D)/2k 証明 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 τ = (-sθ + q)/(rθ - p) に θ = (-b + √D)/2a を代入すると、 τ = (-s(-b + √D) + 2aq)/(r(-b + √D) - 2ap) この分子と分母にそれぞれ (r(-b - √D) - 2ap) を掛けると 分子 = (-s(-b + √D) + 2aq)(r(-b - √D) - 2ap) = -4acrs - 2apsb - 2aqrb + (2aps - 2aqr)√D = -2a(2crs + psb + qrb + 2apq) + 2a(ps - qr)√D = -2al + 2a(ps - qr)√D 分母 = (r(-b + √D) - 2ap)(r(-b - √D) - 2ap) = 4acr^2 + 4abpr + 4a^2p^2 = 4a(cr^2 + bpr + ap^2) = 4ak よって τ= (-l + (ps - qr)√D)/2k 証明終 354 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 22:25:29 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 判別式 D の簡約2次形式(>>330)の集合を RF(D) と書く。 355 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 22:32:47 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 σ = (p, q)/(r, s) ∈ GL_2(Z) とし、 (a, b, c) を判別式 D の2次形式とする。 過去スレ４の401より k = ap^2 + bpr + cr^2 l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs m = aq^2 + bqs + cs^2 とおけば (a, b, c)σ = (k, l, m) とくに U = (0, 1)/(1, 0) ∈ GL_2(Z) のとき (a, b, c)U = (c, b, a) 明らかに (a, b, c) が簡約(>>330)されていれば (a, b, c)U = (c, b, a) も簡約されている。 μ(a, b, c) = (c, b, a) と書く。 μ は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を定める。 この写像をやはり μ と書く。 μ^2 = 1 だから μ は RF(D) の集合としての自己同型である。 356 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 23:34:23 ] >>348 の ρ(a, b, c) は RF(D) (>>354) から RF(D) への写像を 定める。この写像をやはり ρ と書く。 (ρμ)(ρμ) = (μρ)(μρ) = 1 となることを示そう。 >>347 より n = [(b + √D)/2|c|] として、 σ = (0, 1)/(-1, -sign(c)n) とおくと、 σ ∈ SL_2(Z) で、ρ(a, b, c) = (a, b, c)σである。 >>355 より U = (0, 1)/(1, 0) とおくと、 μ(a, b, c) = (a, b, c)U σU = (1, 0)/(-sign(c)n, -1) よって (σU)(σU) = 1 よって (ρμ)(ρμ) = 1 同様に、 Uσ = (-1, -sign(c)n)/(0, 1) よって (Uσ)(Uσ) = 1 よって (μρ)(μρ) = 1 357 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/18(金) 23:39:39 ] >>356 より ρ^(-1) = μρμ である。 よって (a, b, c) ∈ RF(D) のとき ρ^(-1)(a, b, c) ∈ RF(D) である。 よって ρ は RF(D) の集合としての自己同型である。 358 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 02:05:20 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 (a, b, c) ∈ RF(D) (>>354) とする。 i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 >>350 より (ρ^i)(a, b, c) ∈ RF(D) である。 >>338 より RF(D) は有限集合である。 従って、(ρ^n)(a, b, c) = (ρ^(n+m))(a, b, c) となる n ＞ 0 と m ＞ 0 がある。 >>357 より RF(D) の集合としての自己同型 ρ^(-n) が存在するから ρ^(-n)(ρ^n)(a, b, c) = ρ^(-n)(ρ^(n+m))(a, b, c) より、 (a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる。 さて、(a, b, c) は簡約されているので、>>335 より (a, b, c) の先頭項、即ち a と ρ(a, b, c) の先頭項 c は 符号が反対である。 同様に i ＞ 0 を任意の正の有理整数とすると、 (ρ^i)(a, b, c) の先頭項と (ρ^(i+1))(a, b, c) の先頭項は 符号が反対である。 従って、(a, b, c) = (ρ^m)(a, b, c) となる m は偶数である。 359 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 02:27:23 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 >>357 より ρ は RF(D) の自己同型である。 G を ρ で生成される巡回群とする。 RF(D) は G-集合(過去スレ４の388)となる。 よって軌道空間(過去スレ４の390) RF(D)/G が考えられる。 f ∈ RF(D) のとき f の軌道(過去スレ４の390) は >>358 より { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の形である。 ここで (ρ^m)f = f であり、 0 ≦ i ＜ j ＜ m のとき (ρ^i)f ≠ (ρ^j)f である。 さらに m は偶数である。 f の軌道のことを f のサイクルと呼ぶ。 360 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/19(土) 03:20:43 ] >>359 において f のサイクル { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } の 元の個数 m を ｆのサイクルの長さという。 361 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:10:00 ] 42 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:11:00 ] 41 363 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:12:00 ] 40 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:13:00 ] 39 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:14:00 ] 38 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2007/05/20(日) 04:15:00 ] 37 367 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:13:37 ] D ＞ 0 を平方数でない正の有理整数で、D ≡ 0 または 1 (mod 4) と する。 f = (a, b, c) を判別式 D の簡約２次形式とする。 f のサイクル(>>359) を { f, ρf, . . . , ρ^(m-1)f } とする。 n ≧ 0 のとき (ρ^n)f = f_n f_n = (a_n, b_n, c_n) とおく。 f のサイクルは { f_0, f_1, . . . , f_(m-1) } である。 >>326 で φ_FQ((a, b, c)) = ((-b + √D)/2|a|, sign(a)) により 写像 φ_FQ : F(D) → Q+(D) × {±1} を定義した。 θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、 φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) である。 368 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:24:42 ] >>339 より φ_FQ( ρ(a, b, c) ) = (1/θ - [1/θ], -sign(a)) よって φ_FQ( ρ(f_n) ) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n)) よって (θ_(n+1), sign(a_(n+1)) = (1/θ_n - [1/θ_n], -sign(a_n)) 即ち θ_(n+1) = 1/θ_n - [1/θ_n] sign(a_(n+1) = -sign(a_n) よって sign(a_n) = (-1)^n sign(a_0) 369 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:35:53 ] >>368 より f = (a, b, c) のサイクルは 1/θ の連分数展開 と対応していることがわかる。 (a, b, c) は簡約されているから >>335 より sign(c) = -sign(a) よって 1/θ = 2|a|/(-b + √D) = 2|a|(-b - √D)/4ac = -sign(a)(b + √D)/2c = sign(c)(b + √D)/2c = (b + √D)/2|c| 370 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 10:49:57 ] ここで、簡約２次形式のサイクルの計算例を述べる。 D = 52 = 4×13 として２次形式 f = (3, 2, -4) を考える。 [√D] = 7 である。 |√D - 6| ＜ 2 ＜ √D だから (3, 2, -4) は簡約されている。 (a, b, c) = (3, 2, -4) とおく。 >>348 より ρ(a, b, c) = (c, -b + 2|c|n, a - sign(c)bn + cn^2) n = [(b + √D)/2|c|] = [(2 + √D)/8] = 1 だから ρ(3, 2, -4) = (-4, 6, 1) 同様に [(6 + √D)/2] = 6 だから ρ(-4, 6, 1) = (1, 6, -4) 以下同様にして長さ10のサイクル (3, 2, -4) → (-4, 6, 1) → (1, 6, -4) → (-4, 2, 3) → (3, 4, -3) → (-3, 2, 4) → (4, 6, -1)→(-1, 6, 4) → (4, 2, -3) → (-3, 4, 3) →(3, 2, -4) が得られる。 371 名前：Kummer ◆g2BU0D6YN2 [2007/05/20(日) 11:16:11 ] >>367 より θ_n = (-b_n + √D)/2|a_n| とおくと、 φ_FQ(f_n) = (θ_n, sign(a_n)) = (1/(1/θ_n), sign(a_n)) よって φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 6, 1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), -1) φ_FQ( (1, 6, -4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), 1) φ_FQ( (-4, 2, 3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 4, -3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 2, 4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 6, -1) ) = ( (-6 + √D)/8, 1 ) = (1/((6 + √D)/2), 1) φ_FQ( (-1, 6, 4) ) = ( (-6 + √D)/2, 1 ) = (1/((6 + √D)/8), -1) φ_FQ( (4, 2, -3) ) = ( (-2 + √D)/8, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1) φ_FQ( (-3, 4, 3) ) = ( (-4 + √D)/6, 1 ) = (1/((4 + √D)/6), -1) φ_FQ( (3, 2, -4) ) = ( (-2 + √D)/6, 1 ) = (1/((2 + √D)/6), 1)

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