関数解析＆ルベーグ積分

1 名前：１３２人目の素数さん mailto:　 [03/01/25 00:45] について語りましょう。 562 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 09:56] >>561 ここは２ｃｈだよ。>>555よりよっぽど内容があるだろ。 お前が書け。 563 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 10:40] 関数解析は面白い｡ 漏ﾚは藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学は初版(1978年)のを持ってる｡ ｱﾚは例が豊富だし初学者にも具体的なｲﾒｰﾂﾞが掴めて分かり易いからｵｽｽﾒ｡ 今はどｰか分からないけど初版のは3分冊になってて全部読むには結構ｽ夕三ﾅが居るけど､作用素論とかやるならｲｲと思ﾜﾚ｡ 漏ﾚは現在､1分冊3章Hilbert空間の｢Rieszの表現定理｣をやってて､そこから｢Lax-Milgramの定理｣へと入ろうとしてるところ｡ しかも3分冊合わせると500頁ぐらいになるけど､1冊は160頁ぐらいだから持ち運びやすくて肌身離さず持ち歩いて暇になったらﾉｰﾄに書きながら読んでるよ｡ 564 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 12:56] 藤田､黒田､伊藤の｢関数解析｣岩波基礎数学がいいのは確かなんだけど ある程度やると物足りなくなる。 具体的には偏微分方程式がらみで使うソボレフ空間の説明がほとんど無いこと。 これはかなり痛い。 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:09] >>562 ２chだからといってオマエみたいな中身の無い引きこもりばかりではない。 おれは>>555ではなく>>556,>>564を書いた。 おまえも書けよ。 566 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 13:11] 確かにSobolev空間については例としてちょっと出てくるだけだね｡ 定義(と言えるか分からないぐらい)しか書かれていない｡ 漏ﾚもSobolev空間は別な本で補う必要が出て来た気がする｡ あとBanach環の話も殆ど無いとか聞いた事が有る｡ やはりｱﾚは初学者向けなの? つｰか､教科書で使ってるｾﾞﾐとかは有るのかな? 567 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 13:16] >>565 禿同｡ 吉田耕作の｢ﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間論｣ったらあの青っつｰか水色の本でしょ? 活字は汚いし一部旧字体が出てくる｡ 例えば｢数｣が｢數｣ でも数学専攻の人にも割と読み易そう｡ 活字が汚いと言えば､理工学社の｢関数解析｣が有るけど､ｱﾚはどｰ? 568 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:27] 藤田､黒田､伊藤｢関数解析｣岩波基礎数学 はよくできた教科書です。 もちろん優秀な人向け。 ソボレフ空間は ハイム.ブレジス「関数解析」産業図書 が一番役に立つ。 辞書的には K. Yosida "Functional Analysis" Springer もいい。 この２つもルベーグ空間とソボレフ空間の説明が分かりやすい。 岡本久・中村周「関数解析(１・２)」岩波講座 現代数学の基礎 谷島賢二「ルベーグ積分と関数解析」朝倉書店 いまこの２つを教科書に採用するところは無いでしょう。採用しても入手困難だから。 藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書 吉田耕作・河田敬義・岩村聯「位相解析の基礎」岩波書店 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:40] Banach環の話については コルモゴロフ・フォミーン「関数解析の基礎(下)」岩波書店 の後ろに補遺として詳しく書かれているのがお勧め。 どちらにせよ、一冊では済ませられないので 藤田宏・黒田成俊・伊藤清三「関数解析」岩波基礎数学選書 を読んでるなら K. Yosida "Functional Analysis" Springer を辞書的に使うのが便利かもしれない。 でも個人的にはブレジスとコルモゴロフ・フォミーンを勧めたい。 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 13:55] 宮地｢関数解析｣理工学社 ソボレフ空間の説明がないから、偏微分方程式にどのように用いるかは， やはりブレジスなどを読む必要があると思います。 でも分かり易そう。 増田久弥「関数解析」裳華房 なんかと同じように最小限度に内容を絞ってるので試験勉強とか定理を覚える時には特に役に立つでしょう。 571 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 14:08] >>565 >>549は十分内容があると思うが。 内容が無いと思うのは、そちらの問題だろう。 あれで十分だと思うが因みにもっと言うと Arzelaの定理で一時、ここがにぎわったが、あれにも かなり貢献してる。例えば、英語で書かれた参考文献を 紹介してあるやつは俺がコピって投稿した。 あれは、俺がsci.mathに質問したものへ誰かが回答してくれたものだ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 16:25] 共立のほうの黒田はどう？ 573 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 20:05] >>574 漏れも訊こうと思った。 誰か読んでる人いないのかな。 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 20:06] >>574 じゃなくて >>572 でした。 575 名前：Q.man [03/08/11 20:42] 漏れに聞かれても困るぜ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 21:07] >>571 いつまでもぐだぐだいってんじゃねえ。 昔の実績を自慢する老教授か？ >>549は全く無内容！ 『内容ある事を書け！』 脳みそねぇのか、てめぇは？ これだから引きこもりは困るんだよ（ｗ 577 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:19] >>576 何興奮してんだ、アホか？ 578 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:21] いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。 数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？ 579 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 21:21] 質の悪い燃料だね 580 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 23:20] >>579 意味不明 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:23] >>578 素直に数理物理を語るか別スレに逝け！ 煽りしか出来ない屑野郎が。 582 名前：１３２人目の素数さん [03/08/11 23:25] 燃料再投下 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:36] ソボレフ空間の説明はこの本でも詳しかったが絶版ですね。 田辺広域「関数解析(上・下)」実教出版(1978) 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/11 23:46] >>578 数理物理以外にいくらでも関数解析は使える。 数理物理オタは他の分野を過小評価したがる。 585 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 00:04] >>570 宮寺 功｢関数解析｣理工学社 が正しい著者名でした。 586 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 10:09] >>584 いくらでもってのは言い過ぎ。 確率論とか数理経済のことを言ってるのだろう。 これらにしても数理物理と関係大有りだろう。 要は数理物理で出てくる偏微分方程式とか積分方程式の ことを知らないで関数解析をやってもほとんど無意味。 587 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 14:14] 幾何方面でも最近使われ始めてますが何か? 588 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 14:19] 幾何が数理物理と関係ないとでも？ 589 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 16:55] >>587 幾何方面では昔から使ってますが何か？ 日本で関数解析が輸入された当初(ｒｙ 590 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 17:03] なんでそんなに必死に数理物理と結びつけたがるんだろう？？？ 591 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:05] 少しでも活躍すると何でもかんでも在日認定したがるチョンと同じ心境だろ。 592 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:20] >>590 好意的に解釈すると、1932年にバナッハ、ストーンとともに 出版された教科書、フォン・ノイマン「量子力学の数学的基礎」が 関数解析の始まりの一つだからでしょう。 最近の数理物理ヲタの数学板でのイタさにはうんざりだから、 止めて欲しいと思うけどね。 ノイマンの平均エルゴード定理は関数解析黎明期の重要な研究 の一つ。もちろん、関数解析のルーツは積分方程式だけど。 その辺を知らずに、関数解析の抽象論しか見てないと 研究がやせ細ってくるのは間違いないけどね。 593 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 17:58] 俺は数理物理オタじゃないって言ってるだろう。 関数解析のスレで数理物理の話が出てくると なんで感情的になって数理物理オタ攻撃になるんだ？ 異常だよ。お前らよっぽど数理物理が嫌いらしいな。 それだと解析では大成しないよ。よけいなお世話だろうが。 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:26] >>593 おいおい、逆だろ。感情的になって痛いレスをしているのは君じゃないか。 >>592は客観的で冷静なレスをしていると思うけど。 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:37] もう少し言わせてもらえば、 ＞解析では大成しないよ。 こういう考え方は、間違っていると思う。 アブストラクト・ナンセンスと言われていて、後々になって実は重要な 概念だった、なんてものはいくらでもある。 こういうやり方だと大成しない、こういうやり方だと大成するなんて考えながら 研究する方が結局時流に流されているわけで、見ていて痛々しい。 596 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 21:39] >>594 >>595 馬鹿を晒しアゲ 597 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 21:46] >>596 常駐ご苦労様。 わざわざsageてあげたのに、自分で自分の首をしめて 楽しいですか？ 598 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 21:55] >>594 スレの流れを見てないようだな。 俺は>>592に返事したわけじゃない。 感情的になってるのは俺じゃないよ。 599 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 22:08] 549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08 函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。 552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36 >>551 俺は別に数理物理オタクじゃない。 ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、 あまり意味がないってこと。 578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21 いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。 数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？ 600 名前：１３２人目の素数さん [03/08/12 23:50] >>599 で何が言いたいんだ？ >>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか 興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/12 23:52] 600 ：１３２人目の素数さん ：03/08/12 23:50 >>599 で何が言いたいんだ？ >>578は俺の常識的なアドバイスに対してなにをとち狂ったか 興奮して暴言を吐いたアフォに対してのものだ。 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:00] >>592 その辺の話を詳しく聞きたいのですが、お願いできますか？ 歴史的な話から関数解析を俯瞰するような視点で是非おねがいします。 たしかその頃の解析はフランス、ドイツ、イタリア、ポーランド、ハンガリー辺りの 国が中心になっていたと思うのですが。 603 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:06] あとフレドホルムのノルウェーも入れとかないといけないのかな。 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:08] 日本は入れておいても良いのかな？ 吉田耕作先生や加藤敏夫先生などの大御所が居るから入れてもいいんだよね。 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:17] 1903年、Acta Mathematicaという北欧のマイナーな雑誌に掲載されたフレドホルムの 論文が積分方程式にとって大事な論文。フレドホルムはミッターク・レフラーの弟子。 ミッターク・レフラーとコワレフスカヤは恋人どうしだったから、想像だけどフレドホルムはコワレフスカヤの影響も受けているかも。 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:22] バナッハの"Theorie des operations lineaires"は1932年に刊行。 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:24] フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」も1932年に刊行。 608 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 01:51] ストーン（M.H.Stone）の論文も1932年に発表された。 On one-parameter unitary groups in Hilbert space, Ann. of Math. 33 (1932), 643-648 この論文でストーンの定理が証明された。 ストーンの定理はボホナーの定理やナジーの定理とほぼ同等なものである。 このストーンの定理からスペクトル分解定理がでてくるし、 ボホナーの定理でリースの表現定理が説明できるなど、 非常に重要な定理である。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:11] フレドホルムの仕事に触発され、ヒルベルトが積分方程式の仕事をしている。 1906年にl^2空間を導入した。これがヒルベルト空間の歴史上はじめての登場。 1912年に『線型積分方程式の一般論概要』という280ページ程の本にまとめている。 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:12] 1909年にF.リースはl^2空間とL^2空間が同一であることを証明。 現在、フィッシャー・リースの定理として引用されるこの定理によって 抽象ヒルベルト空間が発見され、ここから関数解析が始まったとする人は多い。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:31] >>604 「ワイル-ストーン-ティッヒマーシュ-小平の展開定理」の小平邦彦先生もよろしく。 どうでもいいがこの定理名は長いよね。 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 03:54] 1924年にバナッハはバナッハ空間の公理を与えた。 1929年にバナッハは「汎関数について」という論文でハーン・バナッハの定理として引用される定理を証明している。 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 04:11] 関数解析の始まりはフレドホルム、ヒルベルト、バナッハ、ノイマン、ストーン辺りというのは共通認識として確立されたものなんですか？ 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 07:10] ベールのカテゴリー定理はいつ頃登場したの？ 615 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:09] ハウスドルフやフレシェは何をやった？ 616 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 10:38] >>601 だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、 乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが 物理数学に関して感情的になってるということは、 出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。 よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。 それで関数解析やってどうするんだ。 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:45] 616 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 10:38 >>601 だから正当な理由もなく暴言を吐かれたら、こちらも人間だ、 乱暴な言葉になることもある。そのことから、こちらが 物理数学に関して感情的になってるということは、 出てこないだろ。奴が先に暴言を吐いたんだよ。 よっぽど物理数学つまり偏微分方程式や積分方程式が嫌いなんだろ。 それで関数解析やってどうするんだ。 618 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:51] >>616 あなたにピッタリのスレ↓があります。ごゆっくりどうぞｗ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1024149701/l50 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 10:54] 関数の関数、即ち汎関数、の研究が始まったのは、1906年のフレシェの学位論文 「関数解析におけるいくつかの問題について」においてである。 ここでフレシェはコンパクト集合の概念を明確化し、抽象空間論の観点が登場した。 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:00] 1914年にハウスドルフは「集合論概要」という480ページ程の本を出版した。 この本でカントールは位相空間論を展開した。それはカントールの集合論に基礎を置くものだった。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:04] ハウスドルフの位相空間論は、ボレルやルベーグに影響を与え、測度論やルベーグ積分やルベーグ空間が登場してくる。 622 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:05] >>616 でもやっぱり関数解析をやってて､その応用に関する文献を見ると､つくづく知っておきたい事が多いなって実感する｡ 関連分野の多さに魅力を感じる反面､どこに焦点を当てて研究しようか迷う事も有るのは事実で､その一つに数理物理も有るのは確かだけどさ､必ずしも数理物理を知らないと無意味かは別だと思うよ｡ まあ､それだけ関数解析は元気な学問って事で>>616を放置ﾌﾟﾚｰしてｲｲんじゃないの? どうせ>>616は物理的なｲﾒｰﾂﾞが無いと数学が理解出来ない貧脳な香具師なんだからさ｡ 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:06] >>616 邪魔！ 624 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:15] （・∀・）？ 625 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:17] >>618 どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。 俺も結構このスレに貢献してるだろ。 そう邪険にするな。 今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。 つまり物理数学が関数解析の母体だからね。 626 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:20] >>625 黙れ小僧！おまえに(ry 627 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:20] 625 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 11:17 >>618 どうせろくでもないスレだろ。見ないよ。 俺も結構このスレに貢献してるだろ。 そう邪険にするな。 今話題になっている関数解析の歴史も俺のレスがきっかけだろ。 つまり物理数学が関数解析の母体だからね。 628 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:21] >>622 関数解析が元気ってのは嘘。 もう昔みたいに流行ってない。 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:22] これだから、物理数学厨はダメなんだよ。はぁ………。 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:43] 1902年に当時弱冠２８歳のルベーグは学位論文「積分、長さ、面積」において、 極限概念を測度の中に取り入れた測度論を展開した。 その後、1910年代にカラテオドリやハウスドルフが測度論の現代化に努めた。 そして1916年、この「ルベーグ積分」という言葉がシュタインハウスとバナッハ＆ニコディムを出合わせ、バナッハを関数解析の桧舞台へ誘うことになるのである。 631 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:44] 関数解析ってのはもはや単なる道具であって、それ自体の研究はもうｵﾜｯﾃﾙのでは？ 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 11:51] だから放置ﾌﾟﾚｰはダメなんだよ。 このスレに貢献してるとか言い出すし・・・ これ以上荒らすならサーバーのIPからプロバイダーに苦情を言って、 利用制限をかけたほうがいい。 633 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:56] 「○○は××に関係している」 から 「○○は××にとって不可欠」 は 出てこない。 それと、 「○○は××に関係している」 を ただ繰り返すのではなく、もっと踏み込んだ話を聞きたいものだ。 634 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 11:59] 馬鹿ばっかりだな。 635 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:00] >>632のアフォは放置 636 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:00] >>634 自己紹介ですか？ 637 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:01] 635 ：１３２人目の素数さん ：03/08/13 12:00 >>632のアフォは放置 638 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:08] 1932年にバナッハが刊行した"Theorie des operations lineaires"という本の柱は二つある。 [1]抽象的な一般論の柱： ・ハーン・バナッハの汎関数の拡張定理 ・共役空間の定理 [2]具体的な応用例を持つ柱： ・バナッハ空間上の線型作用素の性質 このように抽象的な一般論と具体的な応用例という２つの足場を持っているところがバナッハの強みである。 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:10] きゃんきゃんとよく吠えること（ｗ 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:12] >>633 自分で踏み込んだ話を始めればいいだろうに、はぁ〜・・・ 641 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:18] 数理物理が関数解析に必須なのではなく 関数解析が数理物理に必須なのだよ。そこんとこ勘違いしないように。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:20] ageんな。うぜえから。 643 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:20] 549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08 函数解析をやる前に数理物理をやったほうがいいと思うが。 552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36 >>551 俺は別に数理物理オタクじゃない。 ただ数理物理を知らないで関数解析をやっても、 あまり意味がないってこと。 578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21 いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。 数理物理の知識がなくて関数解析やってどうする気だ？ 644 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:21] 　 　　　　　　　　s　a　g　e　厨　降　臨　！　！　！ 645 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:21] 549 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:08 数理物理をやる前に 関数解析をやったほうがいいと思うが。 552 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 07:36 >>551 俺は別に 関数解析オタクじゃない。 ただ 関数解析を知らないで数理物理をやっても、 あまり意味がないってこと。 578 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 21:21 いいか、よくその少ない脳みそを振り絞って考えてみろ。 関数解析の知識がなくて 数理物理やってどうする気だ？ 646 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:26] 数理物理をしらない奴が幾何をやっても意味がない。 647 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:27] 幾何をしらない奴が数理物理をやっても意味がない。 648 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:28] 数学を知らない奴が物理をやっても意味がない。 649 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:30] 物理をしらない奴が数学をやっても意味がない。 650 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:31] 数学を知らない奴が生きていても意味がない。 　 651 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:32] 生きてない香具師が数学していても意味が無い。 652 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33] >>631 もとから関数解析は道具の色合いが強い分野。 道具と目的を混同するのはよくある間違いだな。 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:33] 生きていない奴が数学をやっても意味がない。 654 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33] 数学は意味がない。 655 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:33] かぶった…。 656 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:33] 生きていても意味がない。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:34] 人生は意味がない。 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:34] また、かぶった…。 659 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:35] 意味はない。 660 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36] いちいちかぶったかぶった言うな、意味が無い。 661 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36] ない。　 662 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36] い。 663 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:36] 数学は味がない。 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 12:37] 意味なんていらない。 665 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 12:37] いらないなんて意味。 666 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 13:12] >>625って具体的なこと、何も書いてないな。 667 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 13:57] >>666 だから？ 668 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 14:15] 572 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 16:25 共立のほうの黒田はどう？ 573 ：１３２人目の素数さん ：03/08/11 20:05 >>572 漏れも訊こうと思った。 誰か読んでる人いないのかな。 669 名前：１３２人目の素数さん [03/08/13 16:19] 『数理物理を知らん奴が関数解析やっても無意味』 このスレでも上のコンセンサスは取れたように思えるが。 670 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/13 18:19] うむ。 『数理物理を知らん奴が関数解析やっても物理をやるには無意味』 というコンセンサスは取れている。 671 名前：山崎 渉 mailto:（＾＾） [03/08/15 18:24] 　　　 (⌒V⌒) 　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。 　　⊂|　　　　|つ 　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン 672 名前：１３２人目の素数さん [03/08/27 06:33] 7 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/27 18:00] ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !! 674 名前：１３２人目の素数さん [03/08/28 15:23] もしわかれば、教えていただけると助かります。 （ヒントだけでもいいです...） 「命題： 可分でないヒルベルト空間Ｈの正規直交系をＭとする。 任意のベクトル f ∈ Ｈ に対し、 (f,e) ≠ 0 (e ∈ Ｍ) の集合は高々可算個である。 （具体的に書くと、(f,e_1), (f,e_2), (f,e_3),... (e_1, e_2, e_3,... ∈ Ｍ)）」 675 名前：ちびねこ ◆x0KR.Mv5tU [03/08/29 00:43] ||f||^2 = Σ_{e ∈M} | (f,e) |^2 < +∞ A := { e ∈M | (f,e)≠0 } A_1 := { e ∈M | |(f,e)| > 1}　←有限個 A_2 := { e ∈M | |(f,e)} > 1/2 }　←有限個 … A_n := { e ∈M | |(f,e)} > 1/n}　←有限個 … A = ∪{ n ∈ N}A_n　←高々可算 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/29 18:25] (φ)　　←　オマン個 677 名前：674 [03/08/29 19:50] >>675 お忙しいところありがとうございます。 図書館へ行って勉強してきます…。 678 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/29 21:05] >>676 お忙しいところありがとうございます。 ソープへ行って勉強してきます…。 679 名前：１３２人目の素数さん [03/08/29 21:15] >>676 お忙しいところありがとうございます。 ﾄﾙｺへ行って勉強してきます…。 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/08/30 11:11] 　　 ／⌒ヽ 　　/　‘д‘）　　　 ／⌒ヽ 　ちょっと通りますね、ここ通らないと行けないので・・・ 　　|　 　　/ 　　　/　‘д‘） 　　| /|　| 　　　　|　 　　/ 　　　　 ／⌒ヽ 　ﾁｬﾌﾟｯ 　 //　| | 　 　　　| /|　| 　　　　　/　‘д‘） 　Ｕ　 .Ｕ 　　 　 //　| | 　　　　　|　 　　/ 　　　　　 ／⌒ヽ 　ﾌﾟｸﾌﾟｸｯ　　　　　　ﾌﾟｸﾌﾟｸﾌﾟｸ・・・・ 　　　　　　　 　 Ｕ　 .Ｕ 　　　　二| /|　|二-＿　 -_/＿‘д‘）二-　　　　- ／⌒ヽ=　_　　　　　　　　_　　　ｯ・・・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　￣-￣-￣　　　　─　　─ ￣-　　　　　￣-￣　￣- 681 名前：１３２人目の素数さん [03/09/04 21:36] 単調族定理の証明をしていています． CをXの部分集合からなる有限加法族とし，Cを含む最小の単調族を M(C) とする． また，A ∈M(C)に対して，M_A=｛B ⊂X:A ∩B ∈M(C)｝とおくとき， M_A が単調族になることは証明しました。 C ⊂ M_A となることを証明したいのですが，うまくいきません． どなたかヒントを下さい． 682 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/04 23:15] >>681 ∀S⊂Xに対し、S∈C⇒S∈M_Aを示せばよい。 S∈CならばS∈M(C)は明らか。A∈M(C)だから、（単調族が∩について閉じて いることが既知ならば）S∩A∈M(C). よってS∈M_A. 683 名前：681 [03/09/05 00:02] >>682 レスありがとうございます． 「単調族が∩について閉じていること」の証明がどうやればいいかわからないので， これもヒント下さい． 684 名前：１３２人目の素数さん [03/09/05 12:50] 抽象関数解析はいまでもゲンキですよ。 ９８年にもバナッハ空間論の研究者がフィールズ賞貰っていますし。 バナッハ空間論も作用素環論も大部分は数理物理とも微積分とも無関係っスね。 685 名前：１３２人目の素数さん [03/09/12 20:07] 関数解析やるには、吉田先生の本が一番でしょうか？ 686 名前：ななし [03/09/12 21:34] >>685 研究の方向性によって分かれてくると思う。 吉田先生（＝耕作先生）の本って、偏微分方程式に向けた本って感じがする。 687 名前：１３２人目の素数さん [03/09/12 22:55] >>686 thx 688 名前：１３２人目の素数さん [03/09/13 10:44] ブルバキの｢位相線形空間｣は、どうですか？　読んだ人の御感想を お聞かせ下さい。 689 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/09/13 23:01] >>683 A,B ∈ M(C) ならば、A⊇(A∩B) で A∩(A∩B)=A∩B だから、単調族の定義より 明らかに A∩B∈M(C). （可算個の減少列の∩について閉じているのだから、有限個についてももちろん閉じている） 690 名前：ななし [03/09/14 00:13] >>685 山上先生の関数解析の講義ノートがあるよ。 691 名前：ななし mailto:sage [03/09/14 00:14] あ、忘れてた。ごめん。 suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/kankai.html 692 名前：１３２人目の素数さん [03/09/14 23:27] 親切にありがとうございます:D 将来、解析系に進みたいと思っていまして、 関数解析といっても、正直その先に何があるのかよく理解してないんですが、 参考にしてみたいと思います。 693 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [03/09/15 22:04] コルモゴロフ・フォミーンの「函数解析の基礎」（岩波書店）の英語版ってどっち？ Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486406830/ Introductory Real Analysis www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486612260/ 過去ログ読んだらElements〜とIntroductory〜の両説あるけど、版が違うの？ 694 名前：１３２人目の素数さん [03/09/29 20:59] ルベーグ可測関数列で、λ-a.e.収束も測度収束もしないが、 L^p収束はするような関数列の例はありますか？ 出来れば証明もおながいします。 695 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 10:57] ａｇｅ 696 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 11:23] 作用素論の中で､最近のﾎｯﾄな研究ﾃｰﾏってなんでつか? 697 名前：ななし [03/10/17 12:08] >>696 なんだろ？漏れも知りたい。 不等式の研究とか、特定の空間上の作用素を研究したり、 （偏）微分方程式から出てくる微分作用素の研究とかもあるし… 不変部分空間の問題とか未だだったような… （何回か「解けた！」って論文が出たみたいだけど…） その道の先生にお話を聞くってのも良いかも。 F田一派はしらん。 698 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 12:36] やはり偏微分方程式への応用がﾒｼﾞｬｰなのかな つｰかこないだ工学部の教授が分かりもしない癖に解析系を馬鹿にしてたぞ さもさも分かってるかの様に彼曰く､｢所詮､解析系なんて不等式使って0か有限か∞かを調べるだけの学問だろ｣との事 工学部は石村本でも読んでろって感じ 699 名前：supermathmania ◆ViEu89Okng [03/10/17 12:45] Re:>694 f_1=1_[0,1],f_2=1_[2,3],f_3=1_[0,1],f_4=1_[2,3],… 700 名前：supermathmania ◆ViEu89Okng [03/10/17 12:45] と思ったけど[>699]は無し。 701 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/17 12:48] >>698 日本で出されている関数解析系の教科書は、殆どと言っていいほど、 偏微分方程式を主眼に書かれていますからね… 702 名前：１３２人目の素数さん [03/10/17 19:44] 解析と言っても、作用素環論はちっと別。 703 名前：１３２人目の素数さん [03/10/20 01:56] Bをb次元ボレル集合体，Dをd次元ボレル集合体とし， Tをb次元ボレル集合，Yをd次元ボレル集合とする。 T'＝｛A⊂T：A∈B｝ Y'＝｛A⊂Y：A∈D｝ とおく。 また，T×YをTとYの直積，T'×Y'をT'とY'の直積σ集合体とする。 f:T×Y→R（実数）をT'×Y'可測関数とする。 このとき，t∈Tを固定すれば，g:Y→R:g(y)=f(t,y)はY'可測関数である。 これって真ですか？偽ですか？ ボレル集合ってのが効いて，真になるような気がするんですけど， どうですかね？ 704 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/20 13:37] >>703 i:Y → T×Y　:i(y)=(t,y) とするとg(x)=f(i(x))だから、iの可測性がいえればいいわけだ。 確か、iによる引き戻しが可測になるようなT×Yの部分集合全体を考えればできたはず。 705 名前：福田和也 [03/10/24 11:33] ルベグ積分では、可測関数の値域を有限に分割し、それぞれの区間の引き戻しの測度に高さをかけて単関数を作ります。ここで疑問なのは、 Ｘ軸に導入する測度ですが、この測度が完全加法性を満たしている必要はあるんでしょうか？値域の分割を細かくして単関数で近似していく様子を考えてみても、Ｘ軸上の測度が完全加法性を満たさねばならない 必要性はないと思います。 学校の授業では完全加法性が必要条件だという風ないい方をしていましたが、ホントでしょうか？測度が完全加法的であると、可測な函数 がたくさんになると言うだけで、ルベグ積分の技術で 決定的な意味をもっているとまでは言えないのではないでしょうか。 706 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 02:50] >>705 測度が完全加法性をもつことと、連続性をもつことは同値なので、 （測度μの連続性とは、集合En→E(n→∞)のときμ(En)→μ(E)となること） 完全加法性をもたない測度で構成した積分は∫[En]f(x)dμ→∫[E]f(x)dμが必ずしも 成り立たないことになる。 707 名前：１３２人目の素数さん [03/10/26 03:01] ついでにこっちにもレスしとこう（遅レススマソ。久しぶりに来たので）>>694 Lp収束⇒測度的収束だから（チェビシェフの不等式により証明される）、そのような例は作 れない。 ちなみに、「大数の弱法則」は、ふつう確率収束の形で述べられており、「証明はチェビシ ェフ」と盲目的に覚えていたりするが、本質はL2収束で、L2収束から確率収束を導くところ にチェビシェフが必要になっているだけである。（そのことに注意した本を見たことがない ので一応） 708 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/27 00:03] >>706 レスサンクスです。じゃ、ルベグ積分は定義できるが、その積分のもつ性質が あまりよくないという事でよろしいでつか？ 709 名前：706 [03/10/30 00:58] YESだけど、完全加法的でない有限加法族（たとえばジョルダン可測集合族）Mと有限 加法的測度μ（たとえばジョルダン測度）を用いて可測性と積分をルベーグ式に定義し た場合どうなるのか（極限定理の成立が不十分だとしても、リーマン積分程度のもの にはなるのか、もしかしてその定義でもリーマン積分に一致するのか、等）について 書いてある本を見たことがないので、少し注意しとく： その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で ある「加法性」すら成り立たない。 （理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。 f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数 で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。 いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。 よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En) でなければならない。 710 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 01:22] >>706 まじ参考になりました。有難うです。 俺、最初>>705の考えを思いついた時は、 俺って頭イイ−とか勘違いしたけど、やっぱり人の意見聞いたり 何度も考えないとあかんって分りました。 測度論はルベグ積分で殆ど「決定的」な役割を果たしてたんですね。 あのまま突っ走ってたら大恥かくとこだった（ｗ 711 名前：709 [03/10/30 02:04] ちょと訂正。Mやμが抽象的に｢有限加法的」という場合はたしかに709のとおりだけど、 Mがジョルダン可測集合族、μがジョルダン測度の場合は、μはM上で完全加法性をもつ ので、709のような問題は生じない。（Mが可算演算に対して閉じていないという問題 は残る---したがって極限定理は不十分にならざるをえない---が、μがσ(M)上の完全 加法的測度に拡張できるならば、μはM上ですでに完全加法的でなければならない。 Hophの拡張定理。） てことは、μがジョルダンの場合は、ルベーグ式に定義した積分は、M可測な関数に対す るリーマン積分に一致するのかな？ 少し考えてみないとわからん。そういうことをはっ きり書いてある本は知らないし。 （一次元の場合、fのリーマン可積分性と、fのグラフの下の面積のジョルダン可測性は 一致することから考えて、一致するような気がする） 余談ですが、よく「ルベーグ積分はわかりにくい」と言われるけど、単に「こうすれば うまくいく」という解説書ばかりで、そうする必然性（そうしないとどこで困るのか、 どう自然なのか、いろいろな定義の関係はどうなっているのか）に対する解説がなさす ぎるのが原因ではないか？ たとえば、正値可測関数の積分を、単関数の積分のsupで定義する流儀とlimで定義す る流儀があるが、両者の同値性を保証するのがエゴロフの定理（なので、そのこと が必要になる場合には定理が引用される）。後者の方法だと、単関数列の取り方によ らないことの証明が必要だが、前者は不要。しかし前者だと積分の加法性の証明が 面倒で、結局エゴロフで後者に帰着してたりする。……とか、いうようなことが全部 見えるようになって初めて分かった気がした。 （そういう意味ではまだ分からん点がいくつも残ってたり） 712 名前：１３２人目の素数さん [03/10/30 02:18] 202.212.248.37/cgi-bin/up/img/37156.jpg no.m78.com/up/data/up054755.jpg no.m78.com/up/data/up054756.jpg no.m78.com/up/data/up054757.jpg www.42ch.net/UploaderSmall/source/1067442086.mpg no.m78.com/up/data/up054785.jpg no.m78.com/up/data/up054782.jpg 713 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 03:39] >>711 持つカレー。 参考になりました。がんばって函数解析につなげるつもりであります。 714 名前：１３２人目の素数さん [03/10/30 19:28] とりあえず、そういうことしたいなら、 Lebesgue積分だけじゃなく、他の積分論を学んだほうがよろし。 715 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 20:39] >>709で気づいたこと。 その場合でも「積分」は定義されるが、リーマン積分でも持っている基本性質で ある「加法性」すら成り立たない。 （理由） E∈Mを共通部分を持たない可算個の集合 E1,E2,…（∈M）に分割する。 f=1-2^(-n) on En, g=2^(-n) on En と定義する(∪Enの外では0）と、f,gは単関数 で、積分の定義によって、∫fdμ=Σ(1-2^(-n))μ(En), ∫gdμ=Σ2^(-n)μ(En) となる。 いっぽう、f+g=1 on E,=0 (Eの外）だから、∫(f+g)dμ = μ(E)となる。 よって、この場合に∫(f+g)dμ =∫fdμ+∫gdμ が成り立つためには、μ(E) = Σμ(En) でなければならない。 ここホントにこうなのですか？ｆとｇは単函数では無い気が。 値域を有限個に分割してその引き戻しを用いて変域を分割するのだから、 Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ２+・・・・Ｅｎと有限個の類の直和に表現されるはず。 なんか変。 716 名前：709 [03/10/30 21:54] 有限加法族Mと有限加法的測度μに対し、まず先に可算個の集合E1,E2,…∈M で∪En=E∈Mとなるものをとり、それらの定義関数の一次結合として単関数 f,gを作るわけ。「単関数」として可算個の値をとるものまで許す流儀と、 有限個の値をとるものに限る流儀があるが、後者だとしても、f,gに収束する 単関数列で定義したf,gの積分値は、結局709のとおりになることはほぼ明ら かでしょう。 717 名前：709 [03/10/30 22:06] 余談だが、(X,M,μ)を（完全加法的）測度空間とするとき、X上の実数値関数 fが「可測」であることを、すべてのボレル集合Bに対しf^(-1)(B)∈Mとなる ことで定義し、可測集合の定義関数の有限個の一次結合である関数を「単関数」、 可算個の一次結合である関数をσ-単関数とでも呼ぶことにすると、次の(1)〜 (5)はすべて同値であることに注意されたし。（証明は良い演習だろう） (1)fは可測関数である (2)fはσ-単関数列の一様極限である。 (3)fは単関数列の各点極限である。 (4)fは階段関数列のほとんどいたるところの極限である。 (5)fは階段関数列の測度的極限である。 さらに、Xがユークリッド空間の部分集合で、有限測度の場合は、次の(6)〜 (8)も同値。 (6)∀ε>0に対して、μ(E)<εとなるEが存在して、X-E上でfは連続関数列の 一様極限である。 (7)∀ε>0に対して、μ({x;f(x)≠φ(x)})<εとなるX上の連続関数φが存在する。 (8)fは連続関数列のほとんどいたるところの極限である。 718 名前：711 [03/10/30 22:25] >>714 (ﾟДﾟ)ﾊｧ? 「ルベーグ積分論」というとき、ユークリッド空間のルベーグ測度およびそれに もとづく積分論のみ意味する場合と、測度空間の一般論とそれにもとづくルベー グ式積分論を意味する場合があるけれど、現在たいていの教科書は後者を意識し ているはずで（特に確率論への応用を考える場合は必然）、「ルベーグ積分論を 学ぶ」とかいうとき、基本的に後者を想定している。（もちろんスティルチェス 積分も範疇に入る。） 711の教科書批判も、抽象積分論に対して言っているので、一般測度空間で理 論展開しようがユークリッド空間であろうが、問題点に変わりないと思うが。 　それとも、「他の積分論」というのは、ダンジョワ積分とかファインマン積 分とか伊藤積分とかetc？（まさかね。そんなのは（抽象）ルベーグ積分論が完 全にわかった上での話だ） 719 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/10/30 23:15] うわぁぁぁあああああ。 >>709氏、気合入りまくりの書きこマジ持つカレーです。 やり始めて一ヶ月で分らんことばかり、マジわからん。 >>715では妙な事言って失礼しました。 また励みます。 720 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 10:14] たかだかルベーグ積分で必死なこったねぇ・・・・ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/10/31 10:19] たかだかねぇ．．． 722 名前：１３２人目の素数さん [03/10/31 22:06] ﾙﾍﾞｰｸﾞ積分における高々加算個とは… 723 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 19:54] たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。 たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w 集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。 関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。 集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は 上からで、関数の場合は下からでやるのか。 答えられるヤシいる？ 724 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 21:10] 誰からの受け売り？ 725 名前：723 [03/11/02 21:38] >>724 もし723のことを言っているなら、受け売りじゃないよ もし同じ問いまたは答がどっかにあったなら教えてくれ。 726 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 02:37] >>723 集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が 作れるんじゃなかったっけ？ 関数の方は、何だろう… 727 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 03:33] >>726 ＞集合の方は、下から近似したら、近似の仕方によって発散してしまう例が それって、曲面積の話じゃ？ ベクトル解析的な話はリーマン積分でまにあうので、ルベーグ積分とはあん まり関係ないと思う。 728 名前：福田和也 ◆6FkUGxN6is [03/11/03 16:09] 測度の公理を満たさない場合が出てくるからでしょ。 R*R／（有理数の全体）には片開区間を含ませることが出来ないから、 測度0となっちまう。ｍ（有理数の全体）＝0だから、 R*R＝0+0＝0？？？？？？？？？？？？？？？？ 729 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:26] そんなところで積分考える必要あるんだろうか 730 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:10] 728はやや意味不明気味だが、言おうとしていることはこのこと↓なのだろうと思う。 ルベーグ測度の定義では「内測度」を考えることもある（内測度と外測度が一致するとき 可測とする）が、内測度の定義は外測度と双対に「含まれる区間隗の測度の上限」とはせ ず、補集合の外測度を利用する（だから結局外測度だけで話をしているのとあまり変わら ない）。 　で、その理由としてよく引き合いに出されるのが内点を持たない集合（で正測度の もの）、たとえば一次元なら[0,1]の無理点全体など。この場合、外測度は1だが、 内測度を「含まれる区間」で考えようとしても不可能。「1-(補集合の外測度)」なら 1-0=1で外測度と一致する。 731 名前：(*^ーﾟ)b ◆.JqYhx/qlc [03/11/14 21:28] 学生時代に授業中に寝ていて、当てられて、 判んないから適当に１と答えたら合ってた。 732 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 21:55] 確かに∞と言うよりは当たりそうだ罠 733 名前：１３２人目の素数さん [03/11/26 02:03] age 734 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/26 12:29] 溝畑のルベーグ積分を読んでるけど分かりやすい良い本だなと自分は思う。 しかし数学板の色々なスレを見る限り伊藤のが評判良いらしい。 どんな本なのか気になる。 735 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 08:29] 伊藤のルベーグ積分を読んでるけどしっかりした良い本だなと自分は思う。 しかし、>>734曰く溝畑のルベーグ積分は良いらしい。 どんな本なのか気になる。 736 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 21:11] ∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0 a.e. 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/27 21:16] そういうレスいいね（ｗ ∫|神(x)->>736(x)|^2dx=0 a.e. 738 名前：１３２人目の素数さん [03/11/27 21:50] 共立の復刊したUMEGAKIの｢作用素代数入門｣って証明の行間とか取り上げられてる内容とかどｰなんだろ 今関数空間終えてこれから作用素論に入ろうとしてるんだけど 739 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/28 22:56] >>736 積分値はひとつの実数だろーが。 ∫|>>734(x)->>735(x)|^2dx=0 か >>734(x)->>735(x)=0 a.e. かどっちかにしてホスィんですけど(w 740 名前：１３２人目の素数さん [03/11/28 23:29] >>734-735 ルベーグ積分の導入法についていえば、 溝畑：積分が先、測度が後 ／ 可測関数…階段関数の測度的極限 　／ 積分…階段関数の積分の極限 ／ 非有界区間・非有界関数へ順次拡張／ 　／ 有界収束定理→単調収束定理→ルベーグの収束定理 伊藤：測度が先、積分が後 ／ 可測関数…測度による一般的定義、単関数の各点極限として特徴づけ 　／ 積分…単関数の積分の極限 ／ 測度および関数が非有界な場合を最初から含める／ 　／ 単調収束定理→ルベーグの収束定理→有界収束定理 であり、いろいろある中で対照的な選択ばかりしてくれているので、全体として両極端 になっている。 だから逆に、この２つを両方読むと、路線乗り潰しには効果的か？(w あとはコルモゴロフ・フォミーン（非常にユニーク）と竹之内（読みにく いがかなりユニーク）あたりを加えればほぼすべての路線がカバーできる。 741 名前：１３２人目の素数さん [03/11/29 22:12] L^2のるむの収束でちゅか 742 名前：735 mailto:sage [03/11/30 03:38] >>740 さんくす。溝畑も読んでみたくなったよ。 743 名前：735 mailto:sage [03/11/30 03:57] って、絶版なんだな…溝畑 744 名前：734 mailto:sage [03/12/02 17:40] >>740 自分も感謝します。 溝畑のが終わった後に伊藤の方も見てみる事にします。 745 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 00:16] 解析を専門にしないなら、伊藤先生のを読んだほうがいいよ・・・。 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 08:37] >>745 そうか？漏れはむしろ逆だと思うが。 分量からいっても溝畑の方が読みやすいだろうし、 なによりてっとりばやくルベーグ積分の概念に到達できる。 747 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 10:48] 解析 -> 関数解析方面 -> 測度論はとりあえず後回し -> 溝畑 解析以外 -> 確率論方面 -> 測度論が目的 -> 伊藤 ではないかと >>745 の意図を推測してみるテスト 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/03 18:00] >>747 確率論は解析ではないのか、と小一時間 たとえば、複素幾何で L2コホモロジー必要な人とか、 Lie群やっててHaar測度がいるとか、解析を専門にしない 人で積分論に興味ある人は普通にたくさんいる。 749 名前：１３２人目の素数さん [03/12/04 08:13] 測度の一般論は確率論以外でも大事だと。 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/04 15:09] >>748 サードの定理とかでもでてきますね。 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/04 16:00] サードの定理って特に深い解析の知識を使うわけでもないと思うのだが・・。 752 名前：１３２人目の素数さん [03/12/04 19:13] フォン・ノイマンの「量子力学の数学的基礎」を読むのにはルベーグ積分３０講くらいで 十分でしょうか？物理専攻で、ヒルベルト空間をある程度（そんなに厳密にじゃなく）理解したいのですが。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 00:19] 十分。どっちかというと関数解析の本を読んだ方がいいんじゃない？ 754 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 00:23] >>753 ありがとうございます。物理科なもんで、関数解析自体よく知らないのですが、 手頃な入門書のオススメを教えてください。 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 00:59] 関数解析で手頃と言ったら増田久弥 www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1407-9.htm 756 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 01:42] >>755 ありがとうございます。 それは定評のある本ですか？ そんなに高くないようですし、欲しいですね。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 03:01] >>756 blueskyproject.net/book/masuda_hisaya.html 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 03:45] >>756 余計なお世話ですが、数学科以外の人が独学するなら理解の助けとするために 少しやさしめの本も視野に入れておいたほうがいいかもしれません。 州之内治男　「関数解析入門」　サイエンス社 荷見 守助　「関数解析入門」　内田老鶴圃 759 名前：１３２人目の素数さん [03/12/05 05:19] すいません、以前分からない問題スレで質問したのですが 答えてもらえなかった問題を質問します。 レリッヒ・コンドラコフの定理で、 指数がq=np/n-p（臨界指数）の時に成り立たないのは何故ですか？ 田中和永著『非線形問題２』岩波書店に成り立たない例があるのは 知っているのですが・・・。 760 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/05 13:15] >>758 その２冊のほうが増田さんのより易しいのですか？ 数学専門ではないので、易しいほうが良いのですが・・・ 761 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 19:41] あ、A4だ。物理板ではいろいろ大変だね。 定評があるわけではない(と思う)けど、サイエンス社のは易しいと思うよ。 www.saiensu.co.jp/books-htm/ISBN4-7819-0742-3.htm 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 20:11] 黒田成俊さんのはむちゃくちゃ難しい? 763 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE mailto:sage [03/12/05 21:08] >>761 おお！俺を知っているのか。 情報ありがとう。サイエンスのを注文したよ。安いし、目次みたらよさそうだった。 764 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:12] >>762 www.kyoritsu-pub.co.jp/juhan/j01106-6.html 分厚い分、丁寧そうな感じが。 765 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:16] >>752も、A4さんなんですか？ 物理板をしきってるA4さんが、フォン・ノイマン読むのに「ルベーグ積分３０講」っすか・・・ なんかイメージ狂うな。 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/05 22:45] A4は、解析概論や佐武は難し過ぎ、とかそんなことを言ってたし、 >>752がA4でも別に意外ではないような。 767 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE mailto:sage [03/12/05 23:24] 752は俺じゃないが、数学に弱いのは確か。でも解析概論難しすぎとは言ってないぞ。 佐武は言ったかもしれない。あと、そもそも俺はフォン・ノイマン持ってない。 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/06 21:21] てかさー、物理とかでＬ２空間の完備性やヒルベルト空間の性質を知っている 必要があるのはわかるけど、Ｌ２空間の完備性の「証明」まで知っている必要 ってあるの？？ ルベーグ積分そのものを勉強しなくても、「積分をルベーグの意味で定義して おけば、Ｌ２空間は完備」とかの事実だけ知ってればいいんじゃないん？ 769 名前：１３２人目の素数さん [03/12/06 23:06] 物理のための確率論（確率過程とか）のためだったら 伊藤と西尾のどちらがいいですか？ 770 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 08:39] 関数解析と表現論が関係してるらしい話を聞いたのですが本当ですか？ だとしたらどの様に関係しているか教えて欲しいのですが… 771 名前：１３２人目の素数さん [03/12/07 12:30] >>770 例えば、リー群の無限次元ユニタリ表現なんて、もろ関数解析と 関係してますが。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/07 16:05] >>770 調和解析とか？ 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 01:27] >>769 伊藤ってどの本のこと？ 岩波の古いやつ？ 774 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 01:40] 学部2年なのに全くルベーグ積分の本を読んでないよ… 溝畑のほうをとりあえず買いに行ってきます… 775 名前：１３２人目の素数さん [03/12/08 02:16] 確率論―確率の解析的理論 現代数学の系譜 伊藤 清, 樋口 順四郎 単行本 (1986/11) 共立出版 通常11〜13日以内に発送 価格： ￥10,000 8. 確率論 新数学講座 伊藤 雄二 (著), その他 単行本 (2002/04) 朝倉書店 通常3日間以内に発送 価格： ￥5,200 9. 確率論 岩波基礎数学選書 伊藤 清 (著) 単行本 (1991/05) 岩波書店 おすすめ度： 在庫切れ 価格： ￥4,400 776 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 02:18] >>743曰く絶版らしいのだが… 777 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 03:26] >>769 西尾はとてもいい本だけど数学者向きと思う。 それと、離散時間どまりなので、連続時間の確率過程が必要なら不十分。 778 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/08 12:49] >>777 そうなんですか。 フェラーとかどうですかね？ 779 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/08 13:57] Williams, "Probability with Martingales" とかコンパクトで良さそう。 でも、文章がうざいらしい。 780 名前：１３２人目の素数さん [03/12/09 17:26] (X，A，μ)をσ有限な測度空間とする。 P_0,P_1はμに関して確率密度関数p_0，p_1を持つものとする。 このとき， ∫ φ(x)p_0μ(x)=0かつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1 となるA可測関数φ：X→[0,1]は存在しない。 この命題、合ってると思うのですが、うまく示すことができません。 反例はあるのでしょうか？ また、示すとしたらどのような手続きをとるのでしょうか？ どなたかヒントを下さい！ 781 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [03/12/09 22:11] >>780 思いつきだけど、こんな反例はどう？ Ｘ＝［０，１］、ＡはLebesgue可測集合、μはLebesgue測度とする。 Ｐ_０、Ｐ_１を夫々［０，０．５］，［０．５，１］の一様分布確率測度とする（これらはμ−絶対連続）。 すると、ｐ_０、ｐ_１は、夫々［０，０．５］，［０．５，１］の定義関数の二倍になっている。 φを［０．５，１］の定義関数とすると、φはＡ可測で、 ∫φ（ｘ）ｐ_０（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_０（ｘ）＝０　∧　∫φ（ｘ）ｐ_１（ｘ）ｄμ（ｘ）＝∫φ（ｘ）ｄＰ_１（ｘ）＝１ 782 名前：１３２人目の素数さん [03/12/10 22:01] その通りですね。 α∈(0,1)とする。 ∫ φ(x)p_0μ(x)<αかつ∫ φ(x)p_1μ(x)=1 となるφが存在しない。 という条件を加えて問題は解決しました。 ぼるじょあさんには前にも答えたもらいますた。 ありがとうございますた。 783 名前：１３２人目の素数さん [03/12/12 01:47] 素股age 784 名前：１３２人目の素数さん [03/12/12 23:30] 3人から2人を選んでｾｸｰｽする順列は? 785 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/13 00:01] 須之内さんの関数解析入門買ったよ。 確かに易しい本だね。 物理屋ならこれで十分かな。 786 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/16 12:19] 伊藤清三「ルベグ積分入門」ｐ６４　補助定理（エゴロフの定理の前振り） が理解できん。関数列がｆに収束するって書いてあるけど、 一様収束じゃないと無理っぽくない？来週関数解析のテスト。まじでヤヴァイ。 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/16 14:16] lim E_n = E のところかね？ {E_n}が単調増加だから lim E_n = ∪E_n これがEと等しいことをいうには x∈E に対してx∈∪E_nをいえばいいんだから あるnがあってx∈E_nをいえばよい。後は簡単だよね 788 名前：１３２人目の素数さん [03/12/16 21:34] 明日卒研発表会 漏ﾚは数学科じゃないが卒研で関数解析のｾﾐﾅｰ受けてる 発表会では20分で数学をろくに氏らない厨達に弱解の存在と一意性を発表する罠 789 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/16 22:15] >>787 のわぁぁぁ。すまんすまん。ちょっと考えてようやく エゴロフの考えが理解できた。あのままでオッケイだった。 わからんかったらまたお願いします。 790 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/18 03:29] 723 ：１３２人目の素数さん ：03/11/02 19:54 たかがルベーグ積分、されどルベーグ積分。 たかだかなどと言えるヤシはいいよな。無知なだけかもしれんが。(w 集合の測度をσ拡張する際には、外から近似する（被覆のinfで外測度を定義するなど）。 関数の積分をσ拡張する際には、下から近似する（単関数積分の単調増加列とかsupとか）。 集合の測度定義と関数の積分定義は本質的に対応しているはずだが、なぜ集合の場合は 上からで、関数の場合は下からでやるのか。答えられるヤシいる？ 亀レスだが、今重要なトコで同じ疑問に突き当たり、一つの考えが浮かんだので書いておく。 つーか、間違ってたら指摘キボンヌ。 可測な函数に対して単関数積分の単調増加列で面積を下から漸近させるとあるが、 つまり、 ｆｎ＝ｋ−1/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時 　　　　　　　　　　ＯＲ 　　　　ｎ　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時 でしたから近似するってことだよね。でも、よく考えたら、別の単函数の列 ｇｎ＝ｋ/２＾ｎ　但し　ｘがＥ（ｋ−1/２＾ｎ＝＜ｆ＜ｋ/２＾ｎ）の元の時 　　　　　　　　　　　　　　ＯＲ 　　　　∞　　但しｘがＥ（ｆ＞＝ｎ）の元の時 を考えたら、任意のｎで、∫ｆｎ＝＜∫ｆ＜＝∫ｇｎが成り立つ。 ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、 ∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から 実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの? 逆に聞きたいのは、可測函数ｆが一様有界でない時や、∞の値を取る場合には、 今のように上下から単函数列でサンドイッチする作業が出来ない場合があると思うが、どうよ？ つまり、リーマン式で言う広義積分（＝積分もどき）になっちまう。でもルベ−グ式では特に二つの間に区別が無い。 これってなんかおかしくね？ 791 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/18 03:32] 間違えた。訂正。 ｆが一様有界の時（或るＭに対して、任意のｘでｆ（ｘ）＜＝Ｍ）ならば、 ∫ｆｎ＝∫ｇｎは容易に示せる。つまり、目に見えない形で上下から 実数軸の一点に積分の値を追いこめている（挟み撃ちの定理）ってことじゃないの? ↓ limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。 792 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/18 12:01] 測度が有限でないときでも容易に示せる？ 793 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 18:18] >>792 ∫ｇｎが無限になれば∫ｆｎも無限になるから、Ｓは∞。 ∫ｇｎが有限になれば∫ｆｎも有限になるから、どっちにせよ limn→∞∫ｆｎ＝limn→∞∫ｇｎは容易に示せる。さっきも書いたけど、 あくまでｆが一様有界な場合の話ね。 794 名前：１３２人目の素数さん [03/12/19 19:06] ほんとに測度が有限でないときも容易に示せる？ 795 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 20:08] ぐぁぁぁ。外側から押さえつける単函数の面積が無限になっちまう。 でも、測度空間全体の測度が無限の場合は、古典論の言葉遣いで言えば、 広義リーマン積分に相当するわけじゃないの?じゃあ、俺の論理がこの場合 に対して適切な記述を与えられなくても、全否定される謂れは無いと思うのだが。。。。。 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 20:25] >>795 全否定してほしかったのか？ 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/19 21:52] ちょっと疑問なのですが σ有限測度でなくても広義リーマン積分に相当するのでしょうか 798 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/19 23:19] >>796? 基本的な場合（ｆが一様有界、測度空間の測度が有限）には、 俺の方法で下と上から押さえつけて実数の一点に面積を追い込めるってのは同意してくれるわけ? 799 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/20 00:05] リーマン積分と違って 挟まなくても収束することが言えるしねえ 挟むなら0≦f≦φな可積分関数φがある場合は 上から >>790 にある単関数 g_n の代わりに min(g_n, φ)とか使うほうが自然な気がする 800 名前：１３２人目の素数さん [03/12/20 18:58] 物理板の者ですが、ヒルベルト空間論のよい本ありませんか？ 定番でもいいです。 801 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 12:32] >>800 石村園子 すぐ分かるﾋﾙﾍﾞﾙﾄ空間 802 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 14:13] >>800 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/432001703X/ www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535608822/ 803 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 16:23] >>802 それの下の奴はちょっと・・・ 上のヒルベルト空間論というのは定番なんですか？復刊されたみたいですが。 804 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/21 16:25] >>803 吉田耕作のヒルベルト空間論は、定番中の定番ですね。 805 名前：１３２人目の素数さん [03/12/21 17:46] >>804 そのわりにはあまり話題に出てこないような・・・ 806 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/21 22:20] 関数解析の教科書キボンヌ、ルベグ積分は目処つきました。 807 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 00:00] 増田って人のが良さそうだよ。 808 名前：723 mailto:sage [03/12/22 00:57] >>790-798 スマソ、しばらくアクセスしてなかった。（年末は忙しい〜） 有限測度空間で、一様有界な関数に対しては、単関数による上からの積分近似と下か らの積分近似が一致することと、可測であることは同値になる。 >>798の主張と同じ内容を明確に述べているものとしては、たとえば谷島賢二「ルベーグ積 分と関数解析」（朝倉書店 講座 数学の考え方）p.51定理4.12がある。： 「m(E)<∞, f:E→Rは有界とする。このとき、 inf{∫_E ψ : ψは単関数,ψ≧f} = sup{∫_E φ : φは単関数,ψ≦f} であることとfが可測であることは同値である。このとき、上の両辺は∫_E f に等 しい。」 （証明の考え方もほぼ>>790と同じ。主張はsup,infになっているが、証明では上下 からの単調列のlimを使う） 809 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [03/12/22 03:43] >>723 レスサンクス子でつ。てことは概略において俺の考えは正しいわけですね。 聞きたいのは>>723氏は>>706から俺に教えてくれてた人でつか? 810 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [03/12/22 03:45] >>807 増田久弥でつか？アレはちょっとやさしすぎる気が。ブランド好きな漏れとしては もう少しアカデミックな雰囲気の奴キボン。 811 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 16:12] >>810 ブレジスとかコルモゴロフ＆フォーミンではいかかでしょう？ 812 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [03/12/22 16:41] コルモゴロフでつか。なるほど。図書館で見ましたが、手強そうでした（ｗ Air4th ◆xWn.OsrdWE氏は物理版の住人なのに、 数学にも強いでつね。数学専攻の漏れが負けては話にならないので励みまつ。 813 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 17:23] >>812 いや〜コルモゴロフは名前知ってるだけで読んだことはないよ。 増田さんのが易しいなんて君のほうが数学強いんじゃない？ 俺は物理屋だから須之内で十分だね。 コルモゴロフ読んだら感想きかせてね〜 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:13] ｱﾚ嫁。岩波。 815 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 18:24] ヒルベルト空間と量子力学 黒田の関数解析 あたりがいいんじゃない？ 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:33] 黒田先生は共立がいいと思います。 L^2のFourier解析とかもあるけど。 817 名前：Air4th ◆xWn.OsrdWE [03/12/22 18:33] >>815 新井さんのだよね？ タイトルに量子力学ってあるけど、内容は数学科向け？ 818 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/22 18:45] Yes 819 名前：１３２人目の素数さん [03/12/22 19:58] 日本ってBanach algebrasを学部でやる？ちなみにBanach algebraとは In functional analysis, a Banach algebra is an associative algebra over the real or complex numbers which at the same time is also a Banach space. The algebra multiplication and the Banach space norm are required to be related by the following inequality: ||xy|| ≤ ||x|| ||y|| for all x and y 820 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 00:12] いきなりブレジスは無理だろー 突然ハーンバナッハが出てきて困惑するんだ 間違いない 増田か黒田がいいんじゃないの 821 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 00:13] ブレジスはあの日本語に困惑するんだ 間違いない 822 名前：723 mailto:sage [03/12/23 00:18] >>809 イエス。>>706=>>723でつ。 ここに書き込んでるヤシってせいぜい数人かも(w コルモゴロフ・フォミーンは数学屋にとっては分かりやすく書かれていると思う。 ちなみに、ルベーグ積分の定義で、「単関数」を定義関数の可算無限個の一次結合で 定義して、無限級数の絶対収束で｢単関数」の積分を定義し、可測関数が「単関数」 の一様収束極限であることを使う流儀は、この本が元ネタではないかと思うのだが…。 823 名前：１３２人目の素数さん [03/12/23 01:01] コルモゴロフ・フォミンって日本語版と英語版どっちが いいんですか？ 日本語版のほうが中身が多いって聞いた ことがあるんですが。 824 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/23 12:44] つか結局>>693ってどっちなの? webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773 webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00664006 この辺によると Elements のほうっぽいのだが…。 825 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/23 12:57] >>823 webcatplus.nii.ac.jp/tosho.cgi?mode=tosho&NCID=BN00646773 には 原書第4版(Москва : 《Наука》, 1976)の全訳 って書いてるけど、 www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0486406830/ には 1957 ed. って書いてある。 なんかでも、Introductory Real Analysis のほうが新しいみたいだな。 Introductory Real Analysis は新しい版の訳なのかな? 826 名前：１３２人目の素数さん [03/12/26 17:58] 加藤敏夫の「位相解析」ってどうなんですか？ 827 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/12/29 06:43] ``Introductory Real Analysis'' from Dover looks so different from the books from Iwanami. (First of all, it has only some 400 pages.  The books from Iwanami consists of vol. I and II) The other one might be the translated book. Nihongo henkan ga sinjatta yo... 828 名前：１３２人目の素数さん [03/12/29 23:20] 作用素環論における近年の研究の主流は何でつか? 829 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/10 06:44] 220 830 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 02:40] R^n上の凸集合の境界をA、R^n上のルベーグ測度をμとおくとき， μ(A)=0 となりますか？ なるのならどういう方針で証明すると思いますか？ 831 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/20 17:40] >>830 eps^n の小箱で覆う方法が最初に思い浮かびますが これでは証明できない簡単なありますか？ 832 名前：１３２人目の素数さん [04/01/20 22:59] >>831 それって有限個の小箱で覆うのですか？ また、どのような定理から覆えることが補償されるのでしょうか？ 833 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 13:27] age 834 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:15] L^2(Ω)の定義をおしえてくらさい。 835 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 20:58] うん？ルベーグ？なつかしい。 836 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 21:21] >>834　（・３・）工エェー Ｌ²（Ω）が定義できるためには、前提として、Ωには可測集合と測度が定義されていることが必要だＹｏ。 （Ω，Ｂ，μ）がこの測度だとするＹｏ。 ＫはＲまたはＣとし、ｐ≧１とするとき、 　Ｌ＾ｐ（Ω）：＝｛ｆ：Ω→Ｋ｜ｆはＢ可測∧∫_Ω|ｆ|＾ｐｄμ＜∞｝ だＹｏ。 837 名前：834 [04/01/25 21:29] >836　ｔｈｘ。 一応自分なりにも調べてみました。 測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が ∫　|f(s)|^p dx < ∞ 　Ω を満たすとき f(x) はＬp(Ω)に入るという．ただし，1≦p＜+∞ である. こんな感じでいいですかね？ 838 名前：１３２人目の素数さん [04/01/25 21:33] パロマ湯沸器は世界初の不完全燃防止装置を開発。以来今日まで、25年間不完全燃焼無事故！！ www.paloma.co.jp/products/kettle/kettle.html の謳い文句を見て中古の湯沸し器を買った漏れなわけだが・・・　今のところ快適ﾓﾅｰ 839 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/25 22:29] >>837 誤字を除けば、それでいい。 ＞測度空間Ｘ上の可測関数 f(x) が ⇒測度空間Ω上の可測関数 f(x) が ＞∫　|f(s)|^p dx < ∞ ⇒∫　|f(x)|^p dx < ∞ 等 ちなみに、Ωの測度がμのとき、∫|f(x)|^p dx　は、μを明示して　∫｜ｆ｜＾ｐｄμ、∫｜ｆ（ｘ）｜＾ｐｄμ（ｘ）　等と書く方が無難 840 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/01/25 22:30] フーリエ・ラプラス変換と演算子法、微分方程式での応用ついて、 コンパクトで原理的な解説の教科書って無いですか？テストまじかなので。 841 名前：１３２人目の素数さん [04/01/26 21:46] スペクトル定理わからん。なにが言いたいんだ。 842 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/26 22:40] スペクトルマン 変身せよ 843 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 00:46] 空手踊り 844 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:04] >>839 積分における測度の明示の仕方って、 ∫ |f|^p dμ、 ∫|f(x)|^p dμ(x)、 ∫|f(x)|^p μ(dx) のどれがbestと思う？ 845 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:29] >>840 本当の意味で「原理的な」解説はみたことない。（だから自分でまとめようとした ことはあるが） テストのレベルならまあ適当でもいいんだろうけどさ… 漏れの認識はこうなので↓ ・フーリエ変換とラプラス変換は実は同じ（実軸上のξで定義されたフーリエ変換 を上半平面に解析接続したものがラプラス変換） ・フーリエ展開とローラン展開は実は同じ（単位円の周上で定義されたξを内部 に解析接続） ・ミクシンスキー演算子法と漸化式（差分方程式）の生成関数法は実は同じ ・微積分法と和差分法（組合せ解析）は実は同じ。ラプラス変換とＺ変換（生 成関数法と同値）が対応し、超関数のレベルまでいくと演算子法（ミクシンス キーはもちろん、線形微分方程式の一般解を求める演算子法）やグリーン関数 のレベルまですべて対応 ・上記全ては同じ原理で統一できる 846 名前：１３２人目の素数さん [04/01/27 11:50] >>841 有限次元の場合を理解すればいい。 線形作用素というのは、無限次元線形空間の上の線形写像だから、有限次元線 形空間の場合は行列のことになる。 単純な場合、対称行列（orエルミート行列）Aは、固有値をλ1,…,λn, 各固 有空間への射影行列をP1,…,Pnとすると、A = λ1P1 + … + λnPn とあらわせる。 これがスペクトル展開。 ちなみに、適当な境界条件をつけた関数空間で、ベクトルと思った関数を「直交基 底」sinnx,cosnxで成分表示したのがフーリエ展開だが、二階微分作用素A=d^2/dx^2 が（適切な設定のもとで）「エルミート」になり、その固有値nの固有空間が{sinnx, cosnx}になる。フーリエ展開と二階微分方程式の相性がいいのは、作用素の「対角 化」になってるから。 （細かい問題はいろいろあるが、認識論だけなら小針「確率・統計入門」（岩波）の 真中へんに「フーリエ変換」という短い解説がある。あと、志賀30講シリーズ の「固有値問題」あたりもわかりやすい。） 847 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/01/27 17:07] Re:>>837 それはp乗可積分の説明でしかない。 L^pというのは、p乗可積分関数全体のなす集合の、{殆ど至る所0となる関数}による類別によって定義される。 どうしてこんな面倒なことをするかと云うと、L^pにノルムの構造を入れたいからだ。 L^pの元[f]の代表元をfとするとき、汎関数 ||[f]||_p=(∫|f|^pdμ)^(1/p) によってノルムが与えられる。同値類をとらないと、セミノルムにしかならない。 (ちなみに、通常はL^pの元は同値類らしい書き方がされていない。通常の関数と同じに書くことが多い。これは初心者が引っかかるところだ。) 848 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 00:12] ほとんどいたるところ一致する関数を同一視するのって、ルベーグ測度論やったあと ではかなり自然に思えるけど、リーマン積分できない関数として有名な、[0,1]の有理 数全体の定義関数（有理数で1,無理数で0）も、なんのことはない、いたるところ0と いう連続関数と同値になってしまうんだよね。 　初学者の頃ってこういうあたりの感覚的理解があいまいだったりするかも。 849 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/28 15:19] 伊藤清三の『ルベーグ積分入門』の定理4.2(p.19)の証明って かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式 を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な 場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ を詰めるのは結構面倒な気がする。 850 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 00:08] >>849 >かなり飛躍がありませんか? 特に(第3段)のところで(4.21)式 >を満足する区間J_nの存在は、I_nが非有界かつm(I_n)が有限な >場合には自明ではないと思う。右連続性とmの定義を使ってここ >を詰めるのは結構面倒な気がする。 なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が∞のと きはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、測度も同じま まだからべつにかまわない）。 851 名前：１３２人目の素数さん [04/01/29 02:44] >>849 飛躍はないと思うけど、伊藤清三のこの部分の運びは気に入らないな。 この定理（定理4.2）はユークリッド空間のルベーグ測度構成の基本部分（一般に、 有限加法族F上の測度mが完全加法的ならば、mをFの生成する完全加法族σ(F)上の 完全加法的測度に拡張できるので、ユークリッド空間の場合は区間塊が作る有限 加法族F上で普通の体積mがF上完全加法的であることを示すことが基本になる）。 （なお、この証明にはどうしても(4.21)式＋有界閉集合のコンパクト性が必要で、 その部分がもっとも本質的。コンパクト概念のひとつの起源にもなった。） それを、最初から非有界な区間塊を扱い、しかもいきなりスティルチェス測度の場合でや るものだから、証明がいたずらに長くなってて、本質が見えにくい。 第一に、mが有限加法的測度であるとき 「mが完全加法性をもつ ⇔ mが完全劣加法性をもつ ⇔ mが完全被覆劣加法性をもつ」 で、これらは一般論で簡単に言えるので、そのことは分離したほうが見通しがいいの に、伊藤清三は定理4.2の中でまとめてやっている。 （(第3段)をみると分かるように、結局は完全被覆劣加法性を示す。） 第二に、有限加法族Fとして有界な区間塊だけ考えても、どうせσ(F)は同じボレル集 合族になるのに、なぜわざわざ最初から非有界を含めて話を面倒にするのかがわからん。 852 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 09:53] >>850 > なんで？ あるνで、区間の左は議論に関係ないから∞でも問題なく、区間の右が > ∞のときはそのまま同じ∞。したがってν成分については同じ区間のままだが、 > 測度も同じままだからべつにかまわない）。 m(I)はIが非有界な区間の場合には、それに含まれる有界区間Jに ついてのm(J)の上限として定義されているのだから、Iが有界で ない場合にもm(I)が成分毎の積で表されることが示されてなければ、 この成分に関する議論は通用しないでしょう。 853 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 13:23] 続き。で、あるνについて区間左端が-∞、右端が実数b_νのとき、 その成分について、f_ν(b_ν) - inf f_ν(x)がf_νの単調増加 から出てくるわけだけど、やっぱり一言欲しいというのが感想です。 854 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:11] >>852 ああなるほど。Iが非有界な場合のm(I)を、成分ごとのsupの積として定義してあれば よかったのかな。 　あるいは伊藤の定義とこの定義が同値であることを先に示しておくとか。 　教科書は注意して書かないと非本質的なところでひっかかられるものなのだなあと いう感想を持った。（非本質的部分だからこそ深く考えずに書いてしまうわけだが。） 855 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/29 15:23] 折れの思い出。講義でルベーグ測度→ルベーグ積分のあと、変数変換公式の証明が あった。ヤコビアンがかかるやつ。で、その証明中で平行四辺形の面積が行列式で 表されることを自明として使っているのが気になった。解析概論でその証明を調べ ると、平行四辺形の面積の定義を底辺×高さとして証明していた。 　しかし傾いた平行四辺形の面積のルベーグ測度は、座標軸に平行な長方形の合併 （区間塊）で覆って、その面積の下限で定義するんじゃなかったか？ とすると、 その定義と初等的な面積の定義が一致することの証明が先に必要では？ 　そのあたりの論理的整合性を深く考え始めるとだんだん混乱してきたので、講義 の先生に質問してみたが、「それは確かにそうだ」というだけで、具体的なことは 教えてくれなかった。「やればできる」が「たいしたことではない」ので「面倒」 だったのだろう。いまはわかる。 （有名な話として、lim(x→∞)(sinx/x)の証明は へたすると循環論法になるが、 それと似たようなものか） 856 名前：855 mailto:sage [04/01/29 15:26] 訂正。lim(x→0)(sinx/x) ね。寝ぼけてる… 857 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/01/29 21:45] （・３・） 伊藤先生のLebesgue積分入門はとても良い本だと思うが、可測関数の説明は晦渋だ。可測関数を普通に 　ｆ：（Ω，Ｂ）→（Ω’，Ｂ’）が可測　⇔　∀Ａ∈Ｂ’ ｆ＾（−１）（Ａ）∈Ｂ と定義すれば、後の記述で結構簡単化できるところが各所ある。 伊藤先生は、なぜこの様な記述方法にしたのだろうか。 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/30 00:29] >>857 たしかに伊藤流（測度→積分）ではそのほうがスマートな気がする。 基礎的な部分がところどころ洗練されてないような…。 （ちなみに漏れが気に入っているのは岩波「現代数学概説２」。） まあ積分の導入をどうやるかによって、可測関数の定義はベストな選択が変わるとは思うが。 （>>717の(1)-(5)すべてのパターンが実際にある。） 859 名前：ド素人 mailto:sage [04/01/31 21:50] 関数解析とルベーグ積分にどういう関係があるのですか？ 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/01/31 22:09] ルベーグ積分だと話が上手くいく。 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/01 01:26] 積分で距離を定義した距離空間が完備になるというのが関数解析におけるルベーグ 積分の最大の意義かな。 862 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E [04/02/04 04:31] 高村多賀子’函数解析入門’なかなかイイと思って購入したが、 なんとｐ25に、’ルベーグ積分を仮定しないわれわれの立場’などと言う 台詞が。この本の位置付けってどうなんでしょう？ 結構レベル高めと思って買ったが、そう思ったのは実は俺だけ？ あと、この本のスレを立てるか上げて欲しいんだが、見つからない。。。。。。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 04:42] 君いつも本ばっか買ってるね。 864 名前：１３２人目の素数さん [04/02/04 15:18] >>862 その本の専用スレなんて需要ないだろ。 865 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:53] Re:>>862 吾は「測度論を介さずにルベーグ積分に類する演算を定義できる。」という話を知っている。 (Rietz(スペルが怪しい。)が導入した積分論らしい。) 866 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/02/04 15:54] RietzじゃなくてRieszだった。 867 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/04 22:06] 福田和也はちょっとねじゆるんでるとおもう。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/05 01:38] で、結局さ、どのルベーグ積分を勉強するにはどの本がいいのさ？ 伊藤清三よりいい本ってあるの？ 869 名前：福田和也 ◆P.o66TRa1E mailto:sage [04/02/05 03:03] ３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。 870 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:07] リーマン積分は短冊をうーんと増やして足してるから 完全加法的測度ではないの？ DQNでスマソ・・・ 871 名前：１３２人目の素数さん [04/02/16 22:36] >>861 それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも 統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。 >>869 「３０講→伊藤でいいはず。俺はそうした。 」 嘘だろ。その程度ですむのか？その程度ですむような 範囲でしか使わないなら構わないが。 伊藤清三は基本中の基本。あれは本当に基本的なことしか 書いてないから、あれだけで十分だと思ったら大間違いですよ。 872 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/02/16 22:58] >>870 そういうこと。リーマン測度は、有限加法的測度。 873 名前：870 [04/02/16 23:57] >>872 レスありがとうございます。自分の表現がわるかったです。 リーマン積分は、短冊をうーんと（無限個まで） 増やしたのを足しているから完全加法的ではないかと思うのですが・・・。 ということなんです。 どうやらこの解釈は違うのですね・・・ 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/02/17 00:48] あげ 875 名前：870 [04/02/17 06:21] リーマンは最初に有限個で覆ったのち、それを無限まで飛ばしてるだけだから有限加法的測度。 （だから[0,1]の有理数点は最初に有限個で覆えず、外測度と内測度が一致しない｡） ルベーグはいきなり最初から加算無限個で覆えちゃう。これが完全加法的。 ということか！ 間違ってたら指摘お願いします｡一人でうだうだすみません。 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 10:16] >>875 いいんでない。 877 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/02/17 11:42] >>871 >それは違うだろ。抽象的な空間でも、測度空間ならなんでも >統一的に積分論が展開できることが　ルベーグ積分の強みだろう。 それはどっちかっていうと関数解析における意義というより、確率論における意義だ ろう。汎関数積分にしても確率論的色彩が強いし。 関数解析で抽象積分が要ることはないではないけどさ。（連続スペクトルの積分とか） 878 名前：１３２人目の素数さん [04/03/04 16:52] ２つ質問させていただきます。 (A) 「ほとんどいたるところで成立する」の定義が本によって違うのですが、 どちらが正しいのでしょうか? 測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数列fn(x)がm-a.e.x∈Xで関数f(x) に収束する、すなわちlim(n→∞)fn(x)=f(x) m-a.e.x∈Xを例に挙げます。 (1)A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}とおくと、m(A)=0が成り立つ。 (2)m(E)=0を満たすある集合E∈Fの点を除くすべての点x∈Xで lim(n→∞)fn(x)=f(x)が成り立つ。 A⊂Eかつm(E)=0なので、Aがm-零集合であることが分かります。 (2)においては、(X,F,m)が完備測度空間またはf(x)が可測関数でなければ、 m(A)=0であることは言えないと思います。 そこで、次の質問です。 (B) 測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)がm-a.e.x∈Xで関数g(x)に 等しい時、すなわちf(x)=g(x) m-a.e.x∈Xである時、 g(x)は可測関数である。これは正しいのでしょうか? (B)に関しては、正しければ証明をお願いしたいです。 「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に 等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。 879 名前：878 [04/03/05 14:33] 追加です ｢ただし、(X,F,m)は完備測度空間でないものとします｣ 880 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 14:59] >>877　ちゃうちゃう全然。関数解析だろうが確率論だろうが 関係ない。 汎関数積分？確率積分のことか？確率積分は ルベーグ積分が前提だぞ。 連続関数の空間の上で積分するにはルベーグ（式）積分が必要だぞ。 関数解析での「抽象積分」ってなに？ 連続スペクトルの積分？「スペクトル測度」による ルベーグ（式）積分のことか？ ボホナー積分は関数解析では必須。その基礎となるのは ルベーグ（式）積分論だよ。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:04] 880は知識が狭いんとちゃう？ 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:31] >>878 (A)について (1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば可測になる ので、どちらの定義でもよい。 理由： A = ∪[ε>0] ∩[N≧1] ∪[n≧N] {x∈X ; |fn(x) - f(x)| >ε } と書けることに注意すればわかる。（ε>0のところは、εn→0となる適当な可 算列で十分であることにも注意） (B)について 測度空間が完備でない場合、成り立たない。 反例：Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。gとしてE'の 定義関数をとれば、gは可測関数f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。 測度論の理解を深める役に立つ良い質問と思いますが、ひとつだけ気になった 記述： >「測度空間(X,F,m)上で定義された可測関数f(x)が各点で関数g(x)に >等しい時、g(x)は可測関数である。」は証明済みとします。 各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでもなく 自明では？ 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 15:45] (A)については (1)のAは確かに可測でない場合がある。 m(A)=0というのは、 Aが可測であってさらにm(A)=0だといってるんだと思う。 これが成立すればf(x)は可測関数でもある (2)のほうが普通の定義だと思うね (2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。 P(x) a.e.の意味を普通は m({x:P(x)でない})=0 ではなくて ∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立 と定義するのと同じこと 884 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:33] >>881 理由は？ 885 名前：１３２人目の素数さん [04/03/05 17:43] ８８１　君の知識を披露してくれ。何も知らないと思うが。 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 18:00] >>883は>>881と逆の主張をしている？ ＞(1)のAは確かに可測でない場合がある。 ＞(2)が成立してもf(x)が可測関数とはいえないから、弱い定義。 証明というか例キボン。 887 名前：886 mailto:sage [04/03/05 18:01] 間違えた >>883と>>882の話ね 888 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:53] (1)はコピペですまぬが Eを零集合とし、Eの部分集合で非可測なものをE'とする。fとしてE'の 定義関数をとれば、f≡0とX-Eで一致するが、非可測関数である。 さらに、fn≡0 on X とすれば A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}={x∈X:0≠f(x)}=E' なのでAは可測ではない。 というか>>882 が同じこと書いてる気がする 一方、(2)はこの場合でも成立する 889 名前：883 mailto:sage [04/03/05 18:58] ＞これが成立すればf(x)は可測関数でもある ｽﾏｿ、これは嘘だ釣ってくる 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/05 20:20] なんかややこしくなってきたので、事実をまとめよう。 ・fnが可測関数ならば、f=limfnも（存在する限り）可測関数である。（cf.伊藤清三 定理10.6） ・fn,fが可測関数ならば、A={x∈X:lim(n→∞)fn(x)≠f(x)}は可測集合である。cf.>>882 ・fnが可測関数でも、fが可測関数でないならば、Aは可測集合とは限らない。cf.>>888 ・P(x) a.e.の定義は、通常「∃A:可測集合 m(A)=0かつx∈AでないときP(x)が成立」とする。 ・f=limfn a.e.を考えるときはfはX-E上でのみ定義されたものと考えるようである （たとえば伊藤でegoroffの定理10.9の記述を、>>888の例を念頭において読むとよくわかる）。 伊藤のように「fとfnを別々に与える場合はつねに各点収束で考え、a.e.収束におい てはfはlimfnにより定義された場合だけ考える」ようにして議論できるので、これで 問題はない。（一番上の主張のfは各点収束で定義されていることに注意） しかしそれだと、「fとfnをX上の関数として別々に与えてa.e.収束を問題にする」よ うな場合の記述が不便ではある。 P(x)a.e.を「A={x;P(x)が成立しない}とおくときAが可測でm(A)=0」と定義したほう が本当はすっきりするように思うがどうだろう。（この定義だと>>878の質問(B)も真 になる。） 891 名前：883 mailto:sage [04/03/05 21:16] ＞この定義だと>>878の質問(B)も真になる。 漏れも一瞬そう思ったが、それは間違ってる。 例えば、B,C を互いに交わらない非可測零集合で、B∪Cは可測集合とすると 0=χ_B(x)-χ_C(x) a.e. だけど、右辺は可測関数ではない 892 名前：890 mailto:sage [04/03/05 21:35] >>891 おおなるほど、おっしゃる通り。 893 名前：878 [04/03/06 02:56] 質問のお答えありがとうございます >>882 (A)について >(1)の集合Aは、（測度空間が完備でなくとも）fnが可測関数ならば 可測になるので、どちらの定義でもよい。 少し分かりづらかったかもしれませんが、f(x)が可測関数であるという 条件は付けていません。したがって、｢(1),(2)のどちらの定義でもよい｣ となるためには、｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度 空間である｣でないといけませんよね? (B)について >測度空間が完備でない場合、成り立たない。 その通りだと思います。 逆に、測度空間が完備な場合は成り立つと思います。 >各点で一致する関数というのは完全に同一物だから、「証明」するまでも なく自明では？ すいません。少しぼけてました。 実は(B)のf(x)の部分はlim(n→∞)fn(x)だったのですが、勝手にf(x)に 変えたら、自明になってしまいました。 >>883 そう、(2)の方が弱い定義なんだよなあ。 だから、(2)を定義とするときは、上にも書いたように、｢f(x)が 可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という 条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない と思います。 894 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/06 10:40] >>893を補足しておくと、 ＞｢f(x)が可測関数である，あるいは(X,F,m)が完備測度空間である｣という ＞条件がなければ、よく本で使われている(1)を使うことはできない というのはたしかにそうだけれども、本で(1)を使う場合は>>890にあるようにf(x) はlimfn(x)によって定義されたものと考えているはずで、そのとき>>890の一番上 にあるようにf(x)は可測になる。 limfn(x)が定義できないxがある場合にどう約束するかとか、∞という値を許すか どうかなどで、主張の記述に微妙な差が生じ、微妙だがtrivialでない問題を含む のだが、そのへんを明確に書いてある本はほとんどない。>>893はそのあたりのひ とつを浮き彫りにするいい指摘と思う。 （漏れも同様の問題意識から、｢単調収束定理」と「Beppo-Leviの定理」が本質的 に異なる主張であることに気づいたときは愕然とした） 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:43] f=g&g=h&f!=h 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/09 01:52] 435 897 名前：１３２人目の素数さん [04/03/11 12:26] ルベ−グ積分入門（州之内治男）で質問です この本は階段関数の積分の拡張として（測度論を使わずに）積分を定義するのですが、 測度0の集合の定義を階段関数の列の積分で言い換えたものらしいのですが 集合　Ｚ⊂（a,b）が測度0　⇔ 任意のεに対し、階段関数の増加列 (3)　0≦φ1^(ε)≦φ2^(ε)≦φ3^(ε)・・・・ を選び、しかも (4)　∫[a,b]φn^(ε)dx<ε (5)　(Sup_n)φn^(ε)≧1　x∈Z とできる と書いてあります 最後の(5)はSupではなくてInfのような気がするのですけど。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/11 12:30] 木の精。 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 06:54] >>144 無いけど、去年の話か・・・ 900 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 15:22] >>899 不存在証明ってどうやるの？ 901 名前：ペプシ工員 mailto:sage [04/03/13 17:31] >>900 science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/732 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:00] >>901 (2) だけれど、空でない R の G_δ集合ではなく R で稠密な G_δ 集合が正しい。 903 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/13 21:50] >>897 その命題の証明をちゃんと読めば分かるはずだが、直観的にピンとこないというの であれば、次のことに注意すればよい： 単調非減少を仮定しているから (Inf_n)φn^(ε)は有限個のφnにしか関係しないが、 (Sup_n)φn^(ε)は無限個のφnに関係する。 あるいは、limφn^(ε)=(Sup_n)φn^(ε)だから、と言えばよいか？ 904 名前：|дﾟ) [04/03/18 04:24] 最近サイエンス社から出た吉田善章氏の「応用のための関数解析」は結構いいかも．age 905 名前：１３２人目の素数さん [04/03/18 20:41] 確率論以外では測度空間は大抵位相空間にもなっている。 だからラドン測度が重要だと思うんだが、これについて 扱ってる本って少ないよね？　さらにHaar測度も非常に基本的かつ 重要なんだが、これを扱った本も少ない。 906 名前：１３２人目の素数さん [04/03/19 05:59] 売れそうもないから 907 名前：１３２人目の素数さん [04/03/21 18:19] リーマン「おい、おまいら！！積分できない関数発見しますた。集合しる！」 ジョルダン「詳細キボンヌ」 リーマン「上積分と下積分の値が違いますが、何か？」 ジョルダン「積分不可能な関数ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」 カラテオドリ「ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!」 ルベ−グ「リーマン積分ごときで騒ぐ奴は逝ってヨシ」 カラテオドリ「オマエモナー」 ジョルダン--------終了------- リーマン --------再開------- ジョルダン「再開すなＤＱＮが！それより積分の改善うｐキボンヌ」 ルベ−グ「外測度うｐ」 リーマン「↑誤爆？」 カラテオドリ「ルベ−グ可測集合キボンヌ」 ルベ−グ「ほらよルベ−グ可測集合age＞関数」 リーマン「神降臨！！」 カラテオドリ「可測集合の別定義age」 ルベ−グ「糞定義ageんな！sageろ」 カラテオドリ「より抽象化した測度論age」 ジョルダン「抽象概念uzeeeeeeeeeeee！！」 ルベ−グ「ageって言ってればあがると思ってるﾔｼはＤＱＮ」 グロタン「イタイ名前の数学者がいるのはここですか？」 カラテオドリ「氏ね」 ルベ−グ「むしろゐ�`」 カラテオドリ「可測集合age」 グロタン「空　手　踊　り　、　必　死　だ　な　（　藁　） 2ch + 数学 = ? science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1078753069/ 908 名前：１３２人目の素数さん [04/03/23 11:36] 笑った 909 名前：１３２人目の素数さん [04/03/31 19:51] 洋書の入門書で、 Introductory Real Analysis (Kolmogorov and Fomin) Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (Kolmogorov and Fomin) Real Analysis (Royden) Real and Complex Analysis (Rudin) Functional Analysis (Rudin) みたいのがあると思うんですが、 読んだことある人います？ 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/03/31 19:56] 積読。実際に読んでる人もいっぱいいるだろうけど、何が訊きたいの? 911 名前：909 [04/03/31 20:13] 伊藤清三なんかと比べてどこが良いとか悪いとかですね。 912 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:31] 測度論では測度空間の定義に 集合Ｘ　Ｘ上のσ体Ｍ　Ｍ上の非負かつσ加法的な集合関数μ が与えられた時この組（X,M,μ）を測度空間、μを測度（後は略）とよぶ となってますが、 R^n上のリーマン測度などを考えると 明らかにリーマン可測な集合の全体の集合はσ環ではありませんし リーマン可測な集合族に対してだってσ加法的ではないです てことはＲ^n上のリーマン可測な集合全体の集合やリーマン測度の組 (R^n.M,μ)などは測度空間とはいわないのでしょうか またリーマン測度μも一般的には測度のうちには入らないのでしょうか 913 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 14:40] Re:>>912 吾はジョルダン可測とルベーグ可測は知ってるが、リーマン可測って何？ 914 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 14:50] 〜を面積確定あるいはリーマン可測（あるいはジョルダン可測）と呼ぶ　らしいです。 915 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/02 15:08] Re:>>912 リーマン測度の場合は、有限加法的測度空間になるだろう。 916 名前：１３２人目の素数さん [04/04/02 15:26] 測度空間──┬──完全加法的 　　　　　　　　　│ 　　　　　　　　　└──有限加法的 ってことですか？ 917 名前：１３２人目の素数さん [04/04/03 20:26] 複素関数のルベーグ積分はありますか？ 918 名前：ぼるじょあ ◆yEbBEcuFOU mailto:sage [04/04/03 22:50] あります。 919 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 10:50] R^kにおいて ボレル集合全体⊂可測集合全体⊂部分集合全体 ですよね 可側ではない集合に付いては色々考察されてますけど ボレル集合ではない可測集合ってあるんですか？ あるとしたら具体的にどのような集合になるのでしょう 920 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/05 16:07] >>919 吉田洋一著「ルベグ積分入門」新数学シリーズ23 培風館 1965 付録 反例そのほか §7. ルベグ可測な集合はボレル集合であるとは限らない 921 名前：１３２人目の素数さん [04/04/05 20:28] ∫fXQdx+∫fXQcdx=∫1XQdx+∫0XQcdx=1*m(Q)+0*m(Qc)=0 922 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 14:03] X, Yが位相空間でZ=X×Yが直積位相空間のとき、Zのボレル集合族が、 Xのボレル集合とYのボレル集合の直積全体から生成されるσ-集合族に 一致するためには、XとYが第2可算公理を満たせば十分だと思うんですが、 これって必要条件でもありますか？ 923 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 14:17] Re:>>922 有限直積の場合は直積位相空間と箱型位相空間が一致する。 σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、 これをどうやって示せばいいのかを考察することにしよう。 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 14:51] >>923 > σ(B(X)×B(Y))⊆B(Z) を示せば十分なわけだが、 これは一般に言えますが、こっちは？ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) O(X), O(Y), O(Z)をそれぞれX, Y, Zの開集合系とすると、一般には O(Z)は開集合の筒集合の必ずしも可算とは限らない任意個の和になる ので、可算和と可算共通分、及び補集合演算(まとめてススリン演算で 良かったのかな？)で、そもそもO(Z)自身が得られるとは限らないような。 925 名前：１３２人目の素数さん [04/04/18 15:12] お前等こういう話してて面白いと思ってるの？ 926 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 15:34] Re:>>924 箱型位相、直積位相で同じO(Z)が得られる。 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49] ¬（∀ｘ（Ａ（ｘ）⇒Ｂ（ｘ））≡∃ｘ（Ａｘ）∧¬Ｂ（ｘ） 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 15:49] いやだから、箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その 「任意個」の和集合を開集合にするんでしょう？可算和ならばB(Z) に入ることは定義から言えるけど、非可算和だとB(Z)に入らないZの 開集合が存在する可能性があるのでは？で、第2可算公理があれば、 O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて Z自身第2可算公理を満たすから、O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y))となって 等号成立となると。 う〜ん。間違ってるのかなぁ？ 929 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:01] >>928 > O(Z)の基底(箱型だから筒集合からなる)として可算なものが取れて 「筒集合」じゃなくて「箱集合」だったかな？すんません。用語を忘 れてしまった。要するに開集合の直積。 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/18 16:20] ああ、完全におかしい。B(Z)じゃなくてσ(B(X)×B(Y))だ。再び訂正。 箱型でも一般直積でも準基底から基底作って、その「任意個」の和集合を 開集合にする。可算和ならばσ(B(X)×B(Y))に入ることは定義から言える けど、非可算和だとσ(B(X)×B(Y))に入らないZの開集合が存在する可能性 があるのでは？で、第2可算公理があれば、O(Z)の基底で開集合の直積から なる可算なものが取れて、Z自身第2可算公理を満たすから、 O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) ⇒ B(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) となって等号成立。 931 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/18 19:15] Re:>>930 ルベーグ測度のときは、ユークリッド空間が可分であることを使っていた。 第二可算公理を仮定する必要が無いような気がするが、どうか？ 932 名前：１３２人目の素数さん [04/04/19 09:37] ルベーグ測度って案外難しいのね・・・。 933 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/04/19 12:50] Re:>>932 ボレル測度、ルベーグ測度、ともに難しい。 ジョルダン測度はどうだろう？ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/19 13:39] >>931 距離空間だから可分と第2可算公理が同値。一般の位相空間では そうはいかないでしょう。勿論ヒルベルト空間やバナッハ空間の ようなノルム空間ならば、可分であればいいわけですが。ええと、 取りあえず知りたかったのは O(Z)⊆σ(B(X)×B(Y)) から位相空間(X, O(X)),(Y, O(Y))が第2可算公理を満足することを 言えるかどうか、です。あるいは、第2可算公理を満たさない位相 空間の直積位相空間でボレル集合族がボレル集合の直積全体から 生成されるような例があるのか。 935 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/04/20 14:00] ｜Ｚ｜＜｜Ａ｜でＢ⊂ＡがＢ＝Ａまたは｜Ｂ｜＜｜Ｚ｜のとき ＢはＡの閉集合とするとＡは位相空間。 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/20 14:21] >>935 誤爆？それとも非可算濃度の集合を考えるとA×Aが>>934の例になるの？ 937 名前：１３２人目の素数さん [04/04/20 17:14] ここのルベーグ測度論入門って、わかりやすくないですか？ www.s.fpu.ac.jp/u-sano/pdf.html 938 名前：１３２人目の素数さん [04/04/21 07:49] >>937 うん、非常に分かりやすい。カラテオドリーの可測性の定義の 導入方法が優れている。普通の測度論の本はここが説明不足だな。 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/01 22:07] 712 940 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:29] せっかくなら１０００目指せよバカ。 941 名前：１３２人目の素数さん [04/05/06 21:30] せっかくなら１０００までがんばれよバカ 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 02:27] すみません、数学は全然専門外の者ですが… ディラックのデルタ関数って、ルベーグ積分するとゼロになりそうな気がするのですが、 なぜ１になるのですか？？ いや、デルタ関数の定義の問題なのかもしれませんけど 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 05:00] そもそも、どうやってルベーグ積分すればいいのですか？ 944 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 18:26] >>942とは違いますが、最近全く同じ事を考えてます 超関数なんてまだ手もつけてませんが 理論的にどの様に構成するのか教えてもらえませんか？ 945 名前：１３２人目の素数さん [04/05/13 19:32] デルタ関数は関数ではありません。したがって、積分はできません。 デルタ関数をちゃんとした実体として捕らえたければ、 超関数をやるしかありませんし、超関数の理解にはルベーグ積分の 理解は欠かせません。今はとりあえず、連続関数と一緒に 「形式的に積分」したら積分の値が、連続関数の原点での値になる、 そんな、仮想的な「関数」と思って計算方法だけﾏｽﾀｰするのも いいかと思います。 946 名前：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc [04/05/13 22:25] Re:>>944 超関数とは、Schwarzのdistributionでいいのかな？ 無限回連続的偏微分可能でコンパクトサポートを持つ関数全体の集合を(D)としよう。 (D)の点列f_1,f_2,…が(D)の元fに収束することを、 supp(f_1),supp(f_2),…がある一定のコンパクト集合の部分集合で、 各偏導関数∂^αf_1,∂^αf_2,…が、∂^αfに一様収束することとして定義する。 distributionとは、(D)→Rの連続線型汎関数のことである。 (まぁ、初学者はこの説明だけでどうして「超関数」なのか理解できないとは思う。 その辺に関しては、先ずはf(x)→f(u)=∫f(x)u(x)dxという対応関係 から学んで慣れることを勧めよう。) 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/13 23:33] スレを全部読みました。 今年からルベーグ積分（関数解析と確率過程論と熱方程式、全部別の講義）を習うことになったのですが、 測度論をやらずに、積分から始める先生で、 来週にH^+上でのα<∞倍、そして引き算をやれるようになるそうです。（これが『積分の加法性の証明』or『エゴロフ』なのでしょう） 「積分が先、測度が後」なら溝畑を読んでおけばいいのかな？ 学校で探してみますが… これからこのスレに厄介になります。 948 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 01:28] >>947 　いわゆるDaniell積分でしょうか？ブルバキの「積分」がこの方法ですね。 この方法でやる場合は、底集合には位相が入っていてしかも局所コンパクトであると仮定する ことが多いですが、そう仮定しない（位相空間であることも仮定しない）方法もあります。 　いわゆるDiniの性質、すなわち0に各点収束する単調減少な可積分関数の積分は0に収束する、 という性質を公理にすると、底空間に位相を入れなくてもルベーグ式の積分が展開できます。 講義で行われるのはどっちの方法でしょうか？ 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 02:09] Diniって言葉は出てきましたが、あなたのおっしゃっていることが正直全然理解出来ません。 学部３年の講義なので、その辺はお手柔らかに。 講義のノート見て、単語拾っておきます。 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/14 07:26] >>いわゆるDaniell積分でしょうか 一番最初の講義でそれを書いてました、あれだけの情報でよく分かりますね…。 参考書として志賀浩二『ルベーグ積分３０講』が挙げられていました。 この先生の例え話が面白かったのでちょっと書きます。 Riemann積分は小さな丘で誰でも登れる、そしてLebesgueは大きな大きな山、エベレスト級なので登るにはそれ相応の覚悟が必要、 そして何よりRiemannとLebesgueの間には測度論という断崖絶壁があり、ここで命を落とす人が大半。 そこで、地図をよく見てみると、実はRiemannとLebesgueの山の尾根が小さな道ではあるがつながっているのを発見、 そこでRiemannからLebesgueへ山の頂上を介して行き、Lebesgueの山を下りて、最後に断崖絶壁の測度論へ向かおうと。 951 名前：１３２人目の素数さん [04/05/14 23:01] うまい表現だな 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/15 00:50] 先生にも伝えておきます。(w 953 名前：948 mailto:sage [04/05/15 01:11] >>950 　「位相空間」のような抽象的な概念は習ってなかったのですね。失礼しました。 それでは実数の区間 [a, b] 上の積分で説明しましょう。 [a, b] 上で連続な関数の全体を F と書き、f∈F のRiemann積分を I(f) と書くことにします。 { f_n } を F の元の単調減少列で、各点で 0 に収束するものとします。 このとき、解析学で有名なDiniの定理により、{ f_n } は一様に 0 に収束し、したがって I(f_m) も 0 に収束します。 　この性質を用いると、F の（単調減少とは限らない）列 { f_n } で、Σ I(|f_n|) ＜ ∞ となるよ うなものに対する Σ f_n という級数を考えると、これに x を代入した Σ f_n(x) という級数は、 x の値によって収束したりしなかったりしますが、絶対収束する点でその極限値、それ以外の点で 任意の値を与えて得られる関数 f のことをDaniell積分可能な関数といって、f の積分を Σ I(f_n) で定義します。上のDiniの定理の性質によって、この定義がell-definedであることが証明できます。 　このDaniell積分はLebesgue積分と同一のものであることが知られていますが、Daniell積分では 測度の概念を導入せずに積分が定義できるので、初心者にはとっつき易いと思います。 954 名前：１３２人目の素数さん [04/05/28 12:33] 109 955 名前：１３２人目の素数さん [04/06/03 03:59] 683 956 名前：１３２人目の素数さん [04/06/10 16:16] 457 957 名前：１３２人目の素数さん [04/06/15 14:05] あげようかな。 958 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/15 14:22] test 959 名前：１３２人目の素数さん [04/06/22 22:21] Bを反射的(B**=B)とは限らないバナッハ空間として、 D≡domain(A)がBでdenseなdomain(A)→Bなる非有界閉作用素とします。 D*={μ∈B*|あるη∈B*が存在してμ(Au)=η(u) for all v∈D} と定めることによりB*の部分空間D*を定めることができますが、 Aのadjoint operator A*をD*→B*なる作用素でA*μ=η で定めることにします。もちろんηは存在すれば一意なのでwell-defind。 こうすることによって非有界作用素のadjointを定義できますが、 このときA*もまた非有界になるというのはどうやって示したらよいですか？ ヒルベルト空間の場合については多くの本で言及されています。 また反射的バナッハ空間の場合も証明できると思います。 問題は反射的とは限らないバナッハ空間の場合で、主張が正しいかすら わかっていません。ですがまだ反例も構成できていないので、 なんともいえません。ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。 A*はA^*を省略して書いたものです。A*μが少々ややこしい記述ですみません。 960 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/22 22:28] Re:>959 A*が有界ならば、A**も有界である。 そして、BをB**の部分集合であると見て、 A**の定義域をBに制限すると、それはAになる。 …とりあえず作戦を練ってから書き込むことにするか？ 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/25 18:27] ルベーグ積分の「無矛盾性」を証明した人っているんだろうか？ 962 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/25 22:32] Re:>961 それが知られていないことは確かだ。 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:04] ルベーグ積分に矛盾があることが発見されたら一大事だな（ｗ 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/28 23:29] ルベーグ積分の無矛盾性って意味がわからんのだが。 965 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 08:18] ルベーグ積分の土台となる(?) 測度論に対してのひとつの疑問。 σ加法性(互いに交わらない可測集合の可算列{E_{n}}に対して、�芭(E_{n})=m(∪(E_{n}))が成り立つ。) は何故認められるのか？ [>961]の言うことには、これが関係しているのだろうか？ 966 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 09:52] [0,1/2),[1/2,3/4),[3/4,7/8),[7/8,15/16),‥ の Lubesgue measure が1になってほしいとかいう願望が あったりするのでは。 967 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 13:51] Re:>966 それは大して問題にならない。 どこかに同じ事書いてあるかもしれないが、 有理数全体を亘る列{q_{n}}(有理数全体の集合は可算集合だからそういう列ができる。) をとって、区間の列(q_{n}-2^(-n-1),q_{n}+2^(-n-1))をとる。 これ全体の和集合のルベーグ測度が1以下になるということを貴方は認められるか？ 968 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 16:05] 認められる。 969 名前：KingOfKingMathematician ◆H06dC8bpwA [04/06/29 16:35] 私は有限加法性までなら認められる。 だが、σ加法性を素直に認めるのは少々危険である。 (しかしそうは言ったが、私も測度論からルベーグ積分に入った。) 970 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 16:37] ジョルダン測度では決して分かり得ないこと。 971 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 16:58] 学部２年の俺にはさっぱり 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:08] >>969 区間 { −１ ,１ } において、区間 { −１/2 ,１/2 } 内の有理数全体を亘る列{q_{n}}について、 >>967 と同様のものを考えて、967 のものと比べて見たらどうなるか？ 若干面倒かな。多分危惧は消えよう。 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 17:11] >>971 有理数の加算列を図形的にイメージできんのか？ 学部２年だろう、しっかりしろ。 974 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 18:30] >>973 学部２年でルベーグ積分学ぶの？ 975 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 18:36] Re:>972 それは、[>967]から逃げているだけだよ。 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 18:57] >>975 そうは見えんが。 977 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 19:01] Re:>977 [>972]の考えをしたところで、[>967]が解消したわけではない。 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 20:05] 測度論からではなく面積の考えから入っていくと自然に導かれたような… ＞σ加法性 979 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:05] Re:>978 詳細は？ 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/29 22:22] ルベーグ積分の「無矛盾性」が証明されていないのなら、ルベーグ積分は将来つぶれることになる可能性が無くは無いわけだよね。 981 名前：１３２人目の素数さん [04/06/29 22:23] ルベーグ積分の「無矛盾性」って、どういうことなの？ 982 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/29 22:25] Re:>981 私は文字通りに解釈しているのだが。 Re:>980 他の分野で無矛盾性が証明された例があるのか？ 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 09:23] 無矛盾性って普通「公理」に対して使われる言葉だろ。 で、ルベーグ積分の無矛盾性って何？ 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/06/30 19:05] ルベーグ積分の場合、何が公理なのかがハッキリしてないな。 何が公理なのかを明確にせずして、数学理論と言えるのか？？？ 985 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/06/30 19:31] Re:>984 ツェルメロの公理、実数の公理。他にはあるかな？ 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 04:48] >>980 >>984 ルベーグ積分論は通常の数学の体系の中で展開されてるわけで、 ルベーグ積分論に矛盾があったら数学に矛盾があるということ。 まあ、ルベーグ積分論を通常の数学よりも弱い体系 (ペアノの公理系を満たすものを作れない体系)で展開できるなら、 無矛盾性を証明できるのかもしれないけど。 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 05:19] ↓次スレ立ててくれや 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 09:50] 測度論を書き足せば不都合有るかのぉ？ 989 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:05] 次スレはまだか？ 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:07] >>989 解析専門のおめぇが立てれ 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:08] >>989 それとも最近糞スレ立てたから漏れみたく新しくスレを立てれないのか？ 992 名前：UltraMagic ◆NzF73DOPHc [04/07/01 16:11] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:14] >>992 乙 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15] それでは埋めるか 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:15] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 1000 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/01 16:16] Functional Analysis, Lebesgue Integral II science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1088665870/ 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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