大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 610 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:11] 定義 X を整スキームとする。 X~ を正規な整スキームとし、射 f: X~ → X が以下の性質を 持つとする。 U = Spec(A) を X の任意の空でないアフィン開集合とする。 f^(-1)(U) は、Spec(A~) と同一視され、射 f^(-1)(U) → U は 自然な射 Spec(A~) → Spec(A) と見なせる。ここで、A~ は、A の 商体における A の整閉包である。 このとき、X~ を X の正規化と呼ぶ。 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 22:12] >>609 スレ違い。 612 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:23] (´･∀･｀)ﾍｰ 613 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:45] 補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X が正規なら、A は、その商体において整閉である。 証明 定義から A の各局所環は整閉である。 これから、A も整閉である。 614 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:48] 補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 A~ を A の商体における A の整閉包とする。 X~ = Spec(A~) は>>610の意味の X の正規化である。 証明 f: X~ → X を標準射とする。 U = Spec(B) を X のアフィン開集合とする。 f^(-1)(U) は Spec(A~ (x) B) と見なせる。 ここに、A~ (x) B は、A 上のテンソル積。 f^(-1)(U) の商体は、X~ の商体、即ち X の商体である。 f^(-1)(U) は正規であるから、>>613の補代より A~ (x) B は整閉である。これから、A~ (x) B は B の整閉包 である。 615 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:59] 補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X~ を>>610の意味の X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。 証明 U = Spec(B) を Z の任意の空でないアフィン開集合とする。 g の制限 U → X を考える。 g は支配的だから、A → B は単射である。 B は整閉だから、A → B は、A → A~ → B と一意に分解する。 即ち、U → X は、U → X~ → X と一意に分解する。 U は任意の空でないアフィン開集合であったから、 補代がいえる。 616 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:05] 補題 X 整スキームとする。 X~ を>>610の意味の X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。 証明 U = Spec(A) を x の任意の空でないアフィン開集合とする。 >>615より、g^(-1)(U) → U は、g^(-1)(U) → f^(-1)(U) → U と一意に分解する。これより、補題がいえる。 617 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:12] 補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X~ = Spec(A~) を X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 U を X の任意の空でない開集合とする。 f^(-1)(U) は、U の正規化である。 証明 >>614より明らか。 618 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:14] ここは派手なオナニースレですね。 619 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:27] >>592の証明 Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化) 証明 整スキーム X の各アフィン開集合 U = Spec(A) に対して、 A~ を A のその商体における整閉包とし、 U~ = Spec(A~) とおく。f_U : U~ → U を標準射とする。 V をもう一つのアフィン開集合 V = Spec(B) とする。 >>617より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) は、U ∩ V の正規化である。 同様に、(f_V)^(-1)(U ∩ V) も、U ∩ V の正規化である。 正規化の一意性(>>616)より、(f_U)^(-1)(U ∩ V) と (f_V)^(-1)(U ∩ V) は同型である。これより、U~ を 張り合わせてスキーム X~ が得られる。 これが X の>>610の意味の正規化であることは、明らか。 普遍性は、>>616から出る。 X が体 k 上有限型であれば、X~ → X が有限射である ことは、k 上有限生成の整域 A の整閉包が A 上有限加群と なる(環論の本を参照)ことからわかる。 620 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:35] >>592は演習問題ってレベルじゃないよな。 こんなの普通の初心者が解けるわけない。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/03 23:42] 普通の初心者にはHartshorneはお勧めできない。 622 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 00:00] >>621 例えば、Reid の本の知識があったらとしたら？ 勿論、環論の知識(A-M 程度)は当然あるとして。 623 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 15:54] Reidでは足りない Mumfordせめてfultonくらいが必要 ここまでが一章 二章以降は ホモロジー代数も必要 つーか初めてスキーム勉強するのにHartshorneってのはよくなくない？ 層だってぜんぜん不十分の記述だしさ 他の本で補いながら進まないと何も身に付かないんじゃないかな やっぱHartshorneはガイドブックなんだよ　間違いない 624 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 19:01] >>623 EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。 ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg, Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ FACも読んどいたほうがいいな。 625 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 19:23] >>489 Hartshorne II Ex. 3.5 (c) 全射で有限型かつ準有限な射で有限射でない例をしめせ。 この間から考えていてやっと見つけた。 A = Z[X] / (2X^2 + 1) とおく。 ここで、Z は有理整数環． f: Spec(A) → Spec(Z) を標準射とする。 U = Spec(Z) - {(2)} とおく。 f^(-1)(U) → U が (c) の条件を満たす。 626 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 19:58] >>624 >EGAのほうがある意味で簡単だな。全ての命題に厳密な証明をつけている。 >ただし、Bourbakiの可換環論, Zariski-Samuel, Cartan-Eilenberg, >Godement, Tohoku を読んでおく必要がある。ｗ EGA 読む「前に」これら全部読んどきゃなきゃだめですか？ それは ちょっとキツすぎるっす。 627 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 20:06] >>623 >Mumfordせめてfultonくらいが必要 Mumford っていってもいろいろあるけど、Springer の "Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties" のこと？ Fulton は "Algebraic Curves" のことかな？ 628 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 20:11] >>626 全部読む必要はまるで無い。必要なときに参照すればいい。 ただし、可換代数の基礎的なことはやっておく必要はある。 Atiyah-Macdonald がいいだろう。それとホモロジー代数の 基礎的なこともやっておいたほうがいい。河田なんかいいかも。 629 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 21:36] 誰か、問題を解いてくれないか？ 俺一人解くだけじゃつまらない。 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 21:40] >>629 解ける香具師がいりゃぁ解くだろぉよ。ウダウダ言うねぃ。 631 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 21:43] >>628 助言ありがとうございます。 Atiyah-Macdonald と河田ホモロジー代数はだいたい読み終えているので EGA チャレンジしてみようと思います。 しかし EGA I〜IV をすべて制覇するのにどのくらい時間かかるかな。 ちょっと怖い気もするが・・・ 632 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 21:49] 実際、今の代数幾何の研究者の中で、EGA を読破した人って何割くらい なんでしょう？ やっぱみんな読んでるんでしょうか？ 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 21:51] 研究者なら読んでるんじゃねーの？ 634 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 21:53] >>631 EGAは通読するものじゃないだろう。レファレンスとして使うのがいい。 Hartshorneの補助として使うのがいいんじゃないか？ 635 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:04] それと前にも書いたが、EGAを読む前にFACを読んどいたほうがいい。 FACは分かりやすいし、重要な論文だ。 636 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:18] ↑本の名前ばっかいってないで問題解けば 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 22:26] 俺は、位相幾何が専門だが、Hartshorneは輪講に参加させてもらった。 638 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:32] >>636 俺(>>635)がずっと解いてるんだが。 お前こそ解けば。 639 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:33] おま女 640 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:39] >>638 解けない 641 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 22:44] 代数幾何はやることが多すぎで並みの人間には近寄りがたい雰囲気をかもし出している。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 22:45] ふと思ったのだけど、これの解析概論バージョンをやれば多くの人が 参加できるんじゃない？ 643 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:47] 多くの人が参加できたら何か？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 22:50] あんまりうれしくないな。 645 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 22:54] >>641 それは言える。代数幾何は数論とならんで深いからね。 他の全数学を道具とすると言っても過言ではない。 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/04 23:03] じゃあ p 進（簡約群あたりの）表現論やろうよ。というか、俺は出来ないのでやってくれ。 647 名前：１３２人目の素数さん [03/11/04 23:43] >>635 ありがとうございます。FAC 読んでみます。 ところで EGA 全部読んだっていう人いましたら、どの位時間かかったか 参考までに教えてもらえませんか？ 648 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 01:40] いねーよ 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 01:41] つーか、そんなことやるぐらいなら、もっとやりたいこと勉強したほうがいいよ。 650 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 07:48] >>647 EGAを通読するなんて考えないほうがいい。 それより、シャファレビッチとかマンフォードのred book などの 代数幾何の入門書をまず読んだほうがいい。 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 09:43] 入門書をセミナー用に読んだ人、TeX でうｐｷﾎﾞﾝ。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 12:57] >>651 ﾊｧ? 653 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:11] Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間) (a) k[X] (x) k[Y] = k[X, Y] (同型) だから、A^1 x A^1 = A^2 (同型) となる。ここで、k[X] (x) k[Y] は k 上のテンソル積。 ここで簡単のため、k を代数的閉体とする。A^2 = Spec(k[X, Y]) は、 集合として、以下の素イデアルからなる。 (1) 生成点： 零イデアル (2) 既約多項式により生成される単項イデアル (3) 極大イデアル (X - a, Y - b)。この全体は、k x k の点と１対１に 対応する。 これから、A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積 とは一致しないことがわかる。 654 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:12] ↑は>>593の解答 655 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:28] >>593の解答 Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間) (b) Spec(k(s)) x Spec(k(t)) = Spec(k(s) (x) k(t))である。 k(s) (x) k(t) = k(s)[t]_S である。 ここに、S = k[t] - {0} であり、k(s)[t]_S は、環 k(s)[t] の S による局所化である。 k(s)[t] の素イデアルは、k[s, t] の既約多項式で生成される 単項イデアルで、k[s] に含まれないものと零イデアルに １対１に対応する。従がって、Spec(k(s) (x) k(t)) は、 k[s, t] の既約多項式で生成される単項イデアルで、k[s] にも k[t] にも含まれないものと零イデアルに１対１に対応する。 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 21:41] >>651 そもそも、TeXで書き写すやつなんているのか・・・。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 21:45] 漏れはM1のときのセミナーでは、やったことをTeXで書いたノートを出せと 言われて、毎週必死こいてTeX打ちしてたぞ。 658 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:27] >>596の解答 Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー) (a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 f の y 上のファイバーは、X_y = X x Spec(k(y)) である。 ここで、k(y) は y の剰余体で、X x Spec(k(y)) は Y 上のファイバー積である。 射影 X x Spec(k(y)) → X を p とする。 射影 X x Spec(k(y)) → Spec(k(y)) を q とする。 以下の図式は可換である。 X x Spec(k(y)) --> Spec(k(y)) ↓ ↓ X ---------------> Y 659 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:28] >>658の続き。 z ∈ X_y とする。 ファイバー積の定義から、 f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は 標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。 逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。 g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。 ここで、ζはk(x)の生成点である。 f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。 これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。 fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に 存在し、pφ = g, qφ = j となる。 φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。 この z は、φの一意製より、一意に定まる。 以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。 U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 660 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:51] >>659 >U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 これを、以下のように訂正する。 x ∈ X で f(x) = y U を X のアフィン開集合、V を Y のアフィン開集合とし、 x ∈ X, y ∈ V, f(U) ⊆ V とする。U x Spec(k(y)) を V 上の テンソル積とする。U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と 位相同型であることは、>>528よりわかる。 故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 22:53] >>657 いい先生だね(ﾏｼﾞ 662 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 00:55] じゃぼくもＨａｒｔｓｈｏｒｎｅ読むわ 層のとこからゆっくり 61ページの(3)のとこで Note condition(3)implies that s is unique ってあるけどどういうこと？何に対してユニーク？ (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）を除くためのものって理解してた ちがう？ 663 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 01:31] 既約だからユニークなんだろうけど、なんで既約っていうのかは知らん 664 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 02:13] >>662 貼り合わせがユニークに存在するっていうこと。 (3) ∀i s|V_i = 0 ⇒ s = 0 っていう条件は、 (3)'∀i s|V_i = t|V_i ⇒ s = t と書き換えられることに注意。 > (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど > これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層） > を除くためのものって理解してた > ちがう？ これはちょっと言っていることがいまいち掴めませんが（「A.S.前層」って何でしょう？）、 (3) の条件を満たさない前層なんていくらでも存在しますよ。「特殊な例」っていう感じじゃない。 665 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 20:42] >>659 >φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。 この z は、φの一意製より、一意に定まる。 これは、説明不足だった。 p(z) = p(w) として、z = w を言うには、k(z) と k(w) を 共に含む体 K を考え、Spec(K) → X x Spec(k(y)) の一意性を 言う必要がある。後は>>659と同様。 666 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 21:03] >>596の解答 Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー) (b) a ∈ k とし、k[s] のイデアル (s - a) を P とする。 これは、k[s] の極大イデアルである。 B = k[s, t] と置く。 ファイバー X_y は、Spec(B/(s - t^2) (x) k(y)) であり、 これは、B_P/(P(B_P) + (s - t^2)B_P) に 等しい。さらに、これは k[t]/(t^2 - a) に等しい。 これより、(b) の前半がでる。 ηが Y の生成点のとき、X_ηはSpec(k(s)[t]/(s - t^2)) となる。 これより、(b) の後半がでる。 667 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 21:16] >>598の解答 Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム) (a) 問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I), X' = Spec(C) と仮定してよい。 Y x X' = Spec(C/IC) であり、Spec(C/IC) → Spec(C) が閉埋入であることから分かる。 668 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 23:33] >>664 おーそういうことか　なるほど　ありがとう！ 669 名前：１３２人目の素数さん [03/11/07 03:36] P^1 上の O(1) の R 値点全体ってメビウスバンド？ 670 名前：１３２人目の素数さん [03/11/07 19:13] >>667の補足 >問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I), X' = Spec(C) と仮定してよい。 Hartshorne II Ex. 2.18d を使う。 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/07 23:41] >>664 ＞「A.S.前層」って何でしょう？ 河田のホモロジー代数にのってるよ。 672 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 11:26] Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)の解答 (b) Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、 Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。 y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。 Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。 V_g' = D(g) ∩ Y となる。 ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と 制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、 V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。 さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の アフィン開集合を以下のようにとる。 まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。 この D(f_i) の存在は上で証明されている。 Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは 有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから D(f_i) 全体も有限個に出来る。 これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。 Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって Y = Spec(A/I) となり Y → X は 自然な Spec(A/I)→ Spec(A) と見なせる。 証明終 673 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 11:36] 俺は、>>672を解くのに２日くらいかかった。勿論、その間ずっと 考えていたわけじゃない。ヒマな時に考えてたわけだ。 >>672は｢*｣が付いた問題だから少しは自慢していいかな？ 674 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 12:02] >>417 >与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。 これ、わかる人いない？ 675 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 16:17] 岡潔は、数学の問題は情緒によって解くと言っていた。 これは、小平の数覚とも通じる。ペンローズの言うプラトン的世界とも 通じるな。 676 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 16:37] >>675 まあ、Hartshorneの問題を解くくらいのことでは、あまり関係ない かもしれないが。 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/08 17:09] >>673 ｲｲ！(・∀・) 678 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 03:00] なぜ多様体を環付き空間と考えるのですか？ 歴史的にはどのように発生した概念なのですか？ 動機付けを教えて下さい よろしくお願いします 679 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 05:38] >>678 歴史的にはカルタンが多変数複素関数論における岡の理論に ルレイによる層およびそのコホモロジー論を応用したことに始ま ると思う。岡の不定域イデアルが層と同じものと見抜いたから じゃないか。クザンの問題は、層コホモロジーの問題として解釈 するのが一番すっきりする。 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/09 05:52] そしてThomは来日時、岡に会って感動したとか。 681 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 06:32] 層を初めて導入したルレイはもっと認められていい。 層、層のコホモロジー、スペクトル系列。このすべてを 独力で開発した。驚くべき独創だな。彼に較べたら、 カルタン、セールなどは、独創的という面では１段落ちる。 682 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 11:33] >>674 n次monic既約多項式の個数がわかればよい。 一発でわかる公式があるかどうかは知らないけど、 帰納的に、可約多項式の数を組み合わせで算出して求める以外に方法ある？ 683 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 11:38] >>417 ＞Hartshorne II Ex. 2.11. ＞k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。 ＞Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。 　この解答、ｋの代数閉包に、ｋ上の絶対ガロア群を作用させて出来る軌道としては駄目ですか？ （フロベニウス作用がひっかかるんです。誰か教えて！） 684 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 12:11] >>682 有限体 F_p 上の n次monic既約多項式全体の積をφ_n(X)とする。 Πφ_m(X) = X^(p^n) - X である。ここに、左辺の積は、n の正の 約数全体に渡るものとする。 これから、Σdeg(φ_m(X)) = p^n となる。 メビウスの関数 μ(n) をμ(1) = 1, n がr個の互いに異なる素数の積のとき、μ(n) = (-1)^r, 上記以外のとき μ(n) = 0 で定義する。 メビウスの逆変換公式より、deg(φ_n(X)) = Σμ(m) p^(n/m) となる。 ここに、右辺の積は、n の正の約数 m 全体に渡るものとする。 これから、n次monic既約多項式の個数は (Σμ(m) p^(n/m)) / n となる。 これであってると思うけど。面倒なんで、確かめてない。 685 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 12:16] >>683 それでいい。 686 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 19:35] >>683 「フロベニウス作用がひっかかる」って具体的に何がひっかかるの？ 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/09 20:00] >>682 「体とGalois理論」に非常に詳しく載ってまっせ。 688 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 11:05] >>684 メビウス函数を使えば、スッキリとやれるんだ！納得！！ 689 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 20:31] >>591 >>491のHartshorne II Ex. 3.7だけど、X と Y がアフィンの場合を示してある のであれば次のようでいいんでない？ f が有限型であるから、空でないアフィン開集合 U = Spec B' ⊆ Y と f^-1(U) のアフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して A_i は B' 上 of finite type。各 V_i 上の誘導射f_i: Spec A_i → Spec B' は generically finite であり（∵Xの生成点ηはUに入りf_i^-1(η)⊆f^-1(η) だから）、また支配的である（∵Xが既約であるからV_iは稠密、よって Y = Cl(f(X)) = Cl(f(Cl(V_i))) ⊆Cl(f(V_i))）。 よって「アフィンの場合」より f_i は finite。よって finite 射の定義（および Ex. 3.4 >>488）より f^-1(U) → U は finite。以上。 はずしてたらスマソ。 690 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 21:06] >>689 f^-1(U)がアフィンであることを示す必要があると思うんだが。 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/10 23:06] >>690 ほんとだ。やっぱ思いっきしはずしてた（汗 ちゃんと考えてみます。 692 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:30] >>591 >>491のHartshorne II Ex. 3.7 の解答。 よく考えてやってみました。こんどはハズしてないといいんだが・・・ まず次の補題を示す。 【補題】 A を整域、B をその部分整域とし、A は B 上整とする。このとき、 p ∈ Spec A、p ∩ B = 0 ⇒ p = 0。 証明： p = 0 とし、x∈p-{0} をとる。x は B 上整であるから x^n + b_1*x^(n-1) + ... + b_n = 0、b_1, ..., b_n ∈ B となる次数最低の多項式をとれる。 b_n = -x(x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1)) ∈p であり、b_n = 0 とすると x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1) = 0 となり次数が最低であることに反するから b_n ≠ 0。よって b_n ∈ p ∩ B ≠ 0。 693 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:31] >>692 の続き 【Hartshorne II Ex. 3.7 の解答】 X の生成点をξ、Y の生成点をηとする。 まず、f^-1(η) = {ξ} を示す。 ξ'∈f^-1(η)とし、Y の空でないアフィン開集合 U' = Spec B をとる。η∈U だからξ, ξ'∈f^-1(U')である。f^-1(U') の空でないアフィン開部分集合 V' = Spec A で、ξ'の近傍となっており、かつ A が of finite type over B であるものをとって f': V' → U' を考えると、f'は明らかにgenerically finite であり支配的であるから、「アフィンの場合」よりf'は finite。付随する準同型 B → A を考えれば、ξはAの零イデアル、ηはBの零イデアルに対応しており、 ξ' に対応する A の素イデアルを考えれば、補題から ξ' = ξ となる。 次に、f が有限型であるから f^-1(U') の有限アフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して各 A_i は B 上 of finite type。 上と同様の議論により f_i: V_i → U'は finite。 finite 射は特に閉写像（Ex. 3.5. (b) >>535）だから、f: V → U' も閉写像である。実際、S を V の閉集合とすると、f(S) = f(∪(V_i∩S)) = ∪f_i(V_i∩S) であり右辺は閉集合の有限和だから f(S) は閉集合。 今、W := ∩V_i とおく。i が有限だから W は空でない開集合であり、f が閉写像 であることから f(V - W) は U' の閉集合。また、f^-1(η) = {ξ} ⊆ W である から、η は f(V - W) に入らず、よってf(V - W)≠U'。 U ⊆ U' - f(V - W) なる空でないアフィン開集合をとると、 f^-1(U) ⊆ f^-1(U' - f(V - W)) = V - f^-1(f(V - W)) ⊆ W。 よって、f^-1(U) は f_i^-1(U) (i はどれでもよい）と見なせるから、f_i が finite であることから、f^-1(U) は affine であり f^-1(U) → U は finite となる。以上。 694 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:39] >>693 スマソ。「V」の定義を書くのを忘れたが、単に V: = f^-1(U') ということ。 695 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:42] >>692 うーむ、ミスが多い・・・ 補題の証明の「p=0とし」は「p≠0とし」の間違い。 スマソ。 696 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 19:25] >>693 >W := ∩V_i とおく。 これを読んだだけでピンときた。お主出来るな。 この調子で他の難しい問題もやってくれると有りがたい。 697 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 08:50] >>696 どうもです。 ところで翻訳済みでまだ解かれてない問題って残ってる？ 698 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 14:24] >>625 ex.3.5(c) は幾何的に考えると・・・って図書けないし・・・ とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。 Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、 SpecO_K-[P_1}→SpecZ でいけると思う。 ex.3.7 は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」 だったような・・・ というか、ここまで読むのに（あんまり読めてない）めちゃめちゃ時間かかったし。 699 名前：698 [03/11/13 14:47] ↑あれ、嘘やわ・・・prpper quasi-finiteならfiniteやけど・・・ ごめん出直してきます。 700 名前：698 [03/11/13 14:53] あ、ぼーっとしてた。 「f:X→Spec(k)」のときに>>698は正しいから大丈夫。 701 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:10] >>698 > ex.3.7 > は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」 > だったような・・・ すまん、言いたいことがよくわからないんだが・・・ ex 3.7 (>>491) を別の方法で解けるってこと？ 702 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:12] えーっと何が大丈夫かと言うと Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　がfiniteになるので解けてる。 それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は間違いがあると思う。 根本的に間違えてるかは分からんけど、irreducibleで無い限りXに生成点はないよね。 例えば題意を満たすようなＸを何枚かコピーしても大丈夫やし。 それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。 だから>>693の補題が正しい時点でもう証明は終わってる。 僕もそこまで真面目に考えてないんで間違えてたらごめんなさい。 703 名前：698 [03/11/13 15:16] あ、両方とも整スキームか・・・ 風邪引いてるということで言い訳にさせて下さい・・・ 704 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:22] >>702 > Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　 > がfiniteになるので解けてる。 これちょっとわからないんで、説明してもらえませんか？ > それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。 なるとは限らないです。 705 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:25] 勘違いしてた。アホやった。確かに↑のおっしゃる通り。 706 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:34] だから、僕の考え方で解けてるかは分からんけど f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteになるってのがぱっと頭に出て それはkの有限生成代数でそのspecの個数が有限になる場合を考えるとArtin環しかないから。 ほんまごめんね、見てた皆さん。 707 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 16:01] generically finite だが quasi-finite でない例って のはどういうのがあるのかな？ 708 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 19:26] >>697 残ってないと思う。今後は翻訳しないで問題番号と解答だけ書くように しないか？　著作権の問題もあるし、翻訳は面倒だし。 709 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 19:59] >>698 >とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。 Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、 SpecO_K-[P_1}→SpecZ でいけると思う。 これが有限射でないことの証明はどうするのかな？ 710 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 20:12] >>709 affine射にならないんじゃない？

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