大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 710 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 20:12] >>709 affine射にならないんじゃない？ 711 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 20:30] >>710 だからaffine射にならないことの証明なんだけど。 712 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 21:29] ごめんなさいね、適当で。 えーと、SpecO_K-{P_1}がaffineだとするとO_Kのイデアルに対応してそれをIとする。 逆にイデアルに対応するからclosedとしてよく、よって{P_1}がopen pointになって矛盾。 713 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 21:30] >>709 698じゃないけど、整数環 O_K がPIDだったら、 確かに>>489の例になってると思う。 もっと具体的にしちゃえば、たとえば f: Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] → Spec Z とすれば、f は明らかに有限型、準有限で、f((2 - √-1)) = (5) だから全射。 だけど、1/(2 + √-1) ∈ Z[√-1, 1/(2 + √-1)] は Z 上整じゃないから、 特に f は有限射でない。 714 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:12] 712 と 713、思いっきり矛盾してますねｗ 715 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:20] 713 間違ってる？ 716 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:24] >>713　だと思いっきり有限射になってるし 717 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:34] >>716 なぜ有限射？ 718 名前：713 [03/11/13 22:48] なんか、話がかみあってないな。 Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = D(2 + √-1) = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] でしょ？ どうして affine じゃないんだ？ 719 名前：712 [03/11/13 23:11] あれ、まだ間違えてるんかなぁ。 疲れたんで今日は寝ますね。ごめんなさい（熱上がったし・・・） 720 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 23:16] >>719 そう、きついことを言うようだが病気が完全に治ってから投稿してくれ。 721 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 05:58] >>720 病人ですがまた来てしまいました・・・寝てると考えることこればっかりなので・・・ また間違えてるかもしれないし、その時は指摘してください。 とりあえず>>712は間違えてます。イデアルに対応する、ってのが大嘘です。 だから>>698は今のところあってるか分かりません。 なんとなく幾何的に考えたんで、適当でした。 それとex3.7の方ですが f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアルに対応するから整スキームより１点（genericのみ） でこれは体の有限拡大K/kを表してます。 そのaffine近傍をとると、SpecB→SpecA　でB=A[x_1,・・・,x_n]という形。 （x_iは生成元で超越的とは限りません。） またBの商体がK、Aの商体がkであるので、 x_i　はk上整でその最小多項式の分母の最小公倍元Nをとり、SpecAの開近傍U=D(N)とする。 Vをその逆像（上のSpec間の射での）とすると、V→Uはfiniteになっている（と思う←自信なくしつつある） 722 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 12:54] >>721 > それとex3.7の方ですが > f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアル > ... なんか議論があいかわらず大雑把でよくわかりません。 上記の「証明」のギャップを細かく埋めてみてもらえませんか？ 自信を取り戻すきっかけにもなるかもしれないよ。 723 名前：722 [03/11/14 13:03] >>721 具体的にいうと > f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で 何で？ >左辺はXの極小イデアルに対応するから 「Xの極小イデアル」とは何？ >でこれは体の有限拡大K/kを表してます。 何故？ >そのaffine近傍をとると どうとるの？ ・・・という感じ 724 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 17:33] f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteなのは 「kが体なら　X→Speck　がfinite⇔quasi-finite&of finite type」を使う。 この「」の証明はk上有限生成代数で素イデアルが有限個な事からArtin環であることを使えばよい。 （これはきっと有名がlennmaなはず） f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えるとその極小イデアルに対応してると言う意味。 今ｆXは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。 よって、Speck間のfinite射より有限拡大を表してる。 affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。 と思います。 725 名前：722 [03/11/14 21:04] >>724 > f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えると f^(-1)(ξ) は空かもしれないけど、今の場合何故そうでないと言える？ >その極小イデアルに対応してると言う意味。 何故？ >今Xは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。 何が体？ > affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので > その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。 最終的にはYの空集合U'をとってf-1(U')→U' がfiniteであることを言わなきゃいけないから、 この時点で「適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分」をとっちゃうとまずいと思うんですが。 726 名前：722 [03/11/14 21:44] スマソ。後半の「Yの空集合U'」は「Yの開集合U'」の間違い。 727 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 23:55] >>725 １つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。 　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う） ２つ目　零イデアルの逆像だから。 ３つ目　そのArtin環が体 ４つ目　あれ、問題勘違いしてたわ。それなら僕の解等の後半はあかんわ。 　　　　　被覆の取り方とか工夫せんとあかんね。また考えます。 728 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 23:56] 不自然な関西弁きもい。 729 名前：722 [03/11/15 00:42] >>727 >１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。 >　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う） じゃあ、最初からちゃんとそう書かなきゃ。 > ２つ目　零イデアルの逆像だから。 なぜ？ f^(-1)(ξ) が一点なら確かにそうなるけど。今はまさにそれを示そうと してるんじゃないの？ 話の順序が逆だと思うんだけど。たとえば今仮に f が genrically finite という仮定をはずして f: Spec K[x, y] → Spec K[x] を考 えると、f の generic fiber f^-1(ξ) (=~ Speck K(x)[y]) の各点は K[x, y] の極小素イデアルと対応している？ そうじゃないよね。 730 名前：722 [03/11/15 01:17] >>727 > ２つ目　零イデアルの逆像だから。 それとこれを読んでちょっと思ったんだが、もしかして f^(-1)(ξ) の意味を取り違えてないか？ f^(-1)(ξ) はスキームのほうで考えれば たしかに「零イデアルの逆像」だけど、環のほうで考えると 「逆像が零イデアルとなる素イデアル（の集合）」だよ。 まあ、この問題の場合、前半部のf^(-1)(ξ)→ξが体の有限次拡大になってい るっていうのは確かに合ってるから別にいいと言えばいいんだけどね。 で、後半部が本質的な問題だと思うんだが。とにかく > それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は > 間違いがあると思う。 とか書いておいて、指摘することが全然間違ってたり大雑把だったりする ので、ちょっと困ります。>>693 に何か問題ある？（ちなみに693を書いた のは僕です）。 731 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 03:36] ＞722さん まず謝りたいのは>>693が間違いだと思ったのはXが整スキームという仮定を忘れてたからと generic　pointの性質を間違えて思ってたからで問題はないと思います。 あと議論が大雑把だったりするのは、あんまりパソコンの前座ってると熱上がるんで・・・ （だから、治してから来てって言われたんやけど・・・） >>729　genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。 　　　　　僕の説明が悪いのですが、零イデアルの逆像の座標環がArtin環になっているということです。 　　　　　（そこの例でのK(x)[y]のことかな） 　　　　　だから極小なイデアルしか逆像に入ってないんです。 後半が大事なのは当然です。ただ、genericallya finiteという言い方からもこういう方法でちょっとξ の周りに伸ばせるのでは、と思ったので。 よかったらそんな方向で考えて教えて下さい。ヒントはその方向を示唆してるのだと思います。 732 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 06:45] >>731 考えを煮詰めてから書き込んでくれないか。 風邪で集中力がないからそれも難しいだろうが。 迷惑なやっちゃ。 733 名前：722 [03/11/15 11:25] >>731 > genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。 ちょっと勘違いしてるみたいですけど、僕はそんなことは最初からわかって るんです。あなたの説明がいい加減だから指摘してるだけ。generic fiber が の逆像が Artin 環の Spec になるっていうのは、generically finite っていう仮定から出てくるんでしょ？ だったらそこからそれがどう導かれるのかを ちゃんと書かなきゃ。いきなり「極小イデアルが云々」とかいってもわけわかんないよ。 ちなみに「極小イデアル」じゃなくて「極小"素"イデアル」ね。 734 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 17:21] 大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？ 風邪引いてるみたいだし。 少なくとも「極小イデアル」を”素”なしの意味で使う程分かってない奴じゃないだろ。 まぁ、間違いも多いから迷惑だが、方向としては間違ってないし。 それに細かく（ここまでみたいに）やってると何年もかかっちゃうよ。 で、今後の予定はどうすんだ？ 735 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 17:42] >>734 １章を除いて約300題くらいあるのかな。一人でやるとなると ２，３年かかるな。だから共同で解こうじゃないか。二人なら １年半。３人なら１年だ。 736 名前：734 [03/11/15 23:34] 正直４章までしか読んでないし、かなり読み流した（代数幾何が専門ではない）ので できるところだけなら。 次は２章の§４？ 737 名前：722 [03/11/16 00:33] >>734 >大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？ >風邪引いてるみたいだし。 ですね。ちょっときつく書きすぎました。ごめんなさい＞731さん。 >>735 僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。 738 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:39] Ex.3.18. 構成可能集合(constractible set). X をザリスキ位相空間とする. X の構成可能部分集合(constractible subset)とは, 以下をみたす最小の、部分集合の族 F に属する部分集合のことである: (1) 各開集合は F の元, (2) F の元の有限個の共通部分は F の元, (3) F の元の補集合は F の元. (a) X の部分集合が局所的に閉であるとは, それがある開集合と ある閉集合との共通部分になっていることである. X の部分集合が構成可能であることの必要十分条件は それが局所的に閉な部分集合の有限個の非交和と書けることであることを示せ. (b) 既約なザリスキ空間 X の構成可能部分集合が稠密であることの必要十分条件が それが生成点を含むことであることを示せ. さらに, そのときそれは空でない開集合を含む. (c) X の部分集合 S が閉であることの必要十分条件は それが構成可能かつ特殊化で安定であることである. 同様に, X の部分集合 T が開であることの必要十分条件は それが構成可能かつ一般化で安定であることである. (d) f: X -> Y がザリスキ空間の連続写像ならば, Y の構成可能部分集合の逆像は X の構成可能部分集合である. 739 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:40] >>736 次は II Ex.3.11 (c) と (d) だけど、これは今俺がやっている。 だけど早いもの勝ちってことで。誰がやってもいい。 それも、別に順番にやることもないと思う。 あまり飛ばなければ、多少番号が飛んでもいいと思う。 740 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:54] >>738 今後、問題は翻訳しないようにしないか？ 著作権で問題を起こしたくない。 いずれにしても本を持ってない人は理解は難しいと思うし (本文の結果を使うんで)。 ただこの方法で問題なのは、旧版と新版で問題が違うかもしれない ってこと。俺が持ってるのは1977年のものだけど。だれか新版持ってる 人いる？ 741 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:57] >>737 ＞僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。 嬉しいね。大歓迎です。 742 名前：722 [03/11/16 00:57] >>740 新版ってあるんだ？ 知らなかった。ちなみに僕がもってるのも 1977 年版。 ところで著作権だけど、あまり気にしなくてもいいように思うんだが・・・ 「引用」の範囲内ってことで大丈夫だと思うけど。 743 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 01:19] >>742 だけど300問も翻訳したら引用の範囲内ってわけにいかないと思うんだが。 沢山問題を解くとこのスレ有名になるような気がするし。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/16 03:13] 同じ問題を何人が解いてもいいんじゃない。 問題の翻訳は解く人が好きにすればいいと思うけど。 745 名前：７３１ [03/11/16 03:29] >>737　いえ、すいません、迷惑をおかけして。 とりあえず風邪がだらだら続くんで今から治すまでPCやめときます。 746 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 03:48] >>744 同じ問題を解くのは改良とか別証であればいいんじゃない。 問題の翻訳については、俺は反対だけど俺の意見を 強制する気はないし、そんなこと不可能だし。 747 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 08:24] �UEx3.13 (a)　f:X→Y　を　closed immersion とする。 Xの　open affine covering {U_i=SpecA_i}　をとる。この時示すべきことは各iに対して f^(-1)(U_i)が有限個の open affine subset {V_i,j=SpecB_i,j} で覆えて、B_i,jが有限生成A_i algebra であることである。 今　Y×U_i/X→U_i を考えると　Ex.3.11(a)よりclosed immersionであり、Yがaffineの場合に帰着できる。 この場合はほとんど明らかである。(Y=SpecA とすると　X=SpecA/I　なので） (b)　射、open coveringの取り方は上と同じとする。 今、f^(-1)(U_i)=U_i∩X　であり（XはYのopen subschemeと考えれる） quasi-compact より有限個のopen affine subsets {V_i,j=SpecB_i,j}　で覆える。 V_i,j→f^(-1)(U_i)→U_i はopen immersionであるから、これまたほとんど明らか。 反省：Yのopen affineを任意にとってきた方が添え字が楽。 748 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 08:51] �UEx.3.13 (c)・・・被覆を丁寧にとっていくだけ・・・パス (d)　f:X→Y をS上の射として、S'→S　でbase changeする。X'=X×S'　Y'=Y×S' としておく。 今fはof finite typeなのでYのopen affine cover {U_i=SpecA_i}でf^(-1)(U_i)がfinite open affine cover {V_i,j=SpecB_i,j}をもち、B_i,jは有限生成A_i algebra となるものがある。 Y'→Y をpとするとY'はp^(-1)(U_i)=U_i×S'　でcoverできる。 Sのopen affine　cover {S_k}とその逆像のopen affine cover {S'_l}　をとると、 p^(-1)(U_i)は　U_i×S'_l/S_k （今までのそれ以外のfibre積はS上）で覆われる。 よってY'はさらにiを動かしたもので覆われる。 ここで　f':X'→Y' に対し、f'^(-1)(U_i×S'_l/S_k)　は V_i,j×S'_i/S_k （有限個）で覆えて、 これらはtensor積で表されてaffine有限生成は明らか。 749 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 09:13] ・・・飽きた。(e)とか可換図式ないとつらいし・・・ (e)SがaffineのときS=SpecRとする。 　　X×Y→→Y　　　 　　　↓　　　 ↓ 　　　X　→→S　　　上段の→→をp_2、下段の→→をf、左の↓をp_1、右の↓をg 　 仮定よりXの有限個のopen affine cover {U_i=SpecA_i}、Yも同様に{V_j=SpecB_j}　をとる。 (p_1)^(-1)(U_i)∩(p_2)(-1)(V_j)=U_i×V_j　なので（図式で示すか、定義に帰って示すか？） U_i×V_j/S=SpecA_i×B_j/R 　（右辺はテンソルのつもり） なので有限生成R代数になっている。 Sがaffineでない場合はSをaffineに分解しとけばできるでしょう（←適当） (f)これまた頑張って被覆とるだけのような気がするのでパス (g)noether環上有限生成な環はnoetherであり、有限枚のaffineで覆えるのも明らか。（←やっぱり適当） 750 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 12:33] II Ex. 3.11 (c) の解答 まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。 II Ex. 3.11 (b) より、アフィンスキームの閉部分スキームは アフィンだから、Y, Y' もアフィンとなる。 Y = Spec(A/I), Y' = Spec(A/J) と仮定してよい。 V(I) = V(J) だから、rad(I) = rad(J) となる。 Y は被約だから, I = rad(I) である。故に I = rad(J) となる。 J ⊆ I だから、A → A/I は A → A/J → A/I と分解する。 これより、Y → X は Y → Y' → X と分解する。 X のアフィン開集合 D(f) に対して、 上記の分解の D(f) への制限 Y ∩ D(f) → Y' ∩ D(f) → D(f) は、 A_f → A_f/JA_f → A_f/IA_f から得られる。 これより、W = Spec(B) が X の任意のアフィン開集合のとき、 Y → Y' → X の W への制限 Y ∩ W → Y' ∩ W → W は、 B → B/J' → B/I' から得られることがわかる。 ここに、I', J' はそれぞれ Y ∩ W と Y' ∩ W に 対応する B のイデアルである。 一般の場合は、X のアフィン被覆をとることにより、 X がアフィンの場合に帰着する。 これは、次のことに注意すればよい。 U と V を X のアフィン開集合とする。 Y ∩ U → Y' ∩ U → U と Y ∩ V → Y' ∩ V → V は U ∩ V で一致する。 これは、U ∩ V に含まれる任意のアフィン開集合 W をとり、上記を適用すればよい。 751 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 12:59] II Ex. 3.11 (d) の解答 まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。 f: Z → X は φ: A → Γ(X) により定まる(II Ex.2.4)。 I = Ker(φ), Y = Spec(A/I) とおけば、Y が問題の 性質をみたすことは明らかである。 X がアフィンでない場合。 U を X のアフィン開集合とする。 f_U : f^(-1)(U) → U を f の制限とする。 Y_U を上記のようにして得られる U の閉部分スキームとする。 V を X のアフィン開集合とする。 Y_U と Y_V は U ∩ V で一致することは明らかだろう。 これより、Y が存在し、問題の性質をみたすことも 明らかだろう。 752 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 13:30] II Ex. 3.12 (a) の解答 U = Proj(T) は明らか。 φ: S → T の核を I とする。 T と S/I は標準的に同型だから、 Proj(T) = Proj(S/I) とみなしてよい。 h を S+ の同次元とする。 D+(h) = Spec(S[1/h]_0) であり、 f^(-1)(D+(h)) = Spec((S/I)[1/h']_0) である(>>459参照)。 ここに、S[1/h]_0 は局所化 S[1/h] の 0 次部分であり、 h' は h の S/I における像である。 (S/I)[1/h']_0 は S[1/h]_0/IS[1/h]_0 と見なせる。 従がって、f^(-1)(D+(h)) → D+(h) は閉埋入である。 D+(h) は S の開被覆となるから、f も閉埋入である。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/16 15:53] デカルトの精神と代数幾何っておもしろいの？ 754 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 18:06] >>753 スレ違い 755 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 18:17] >>754 別にいいんじゃない。 756 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 19:47] II Ex. 3.12 (b) の解答 I' ⊆ I だから射φ: S/I' → S/I が存在する。 これが誘導する射 Proj(S/I) → Proj(S/I') は 同型であることが II Ex. 2.14 (c) よりわかる(>>469参照)。 S → S/I は S → S/I' → S/I と分解するから、 Proj(S/I) と Proj(S/I') は同じ閉部分スキームを定める。 757 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:12] II Ex. 3.14 の解答 X はアフィンと仮定してよい。 X = Spec(A) とする。 f をベキ零でない A の元とする。 A_f ≠ 0 だから、A_f の極大イデアル P が存在する。 φ: A → A_f を標準射とする。φ^(-1)(P) = P' とおく。 A/P' → A_f/P をφから誘導される単射とする。 A_f は体 k 上有限型だから、ヒルベルトの零点定理より、 A_f/P は k 上有限次代数拡大である。 従がって、A/P' も k 上有限次代数拡大である 故に、P' は A の極大イデアルである。 P' ∈ D(f) だから、X の閉点全体は X で稠密である。 これで、問題の前半が証明された。 (B, m) を体でない局所整域とする。 f ≠ 0 を B の元で、m に含まれる元とする。 D(f) は 0 イデアルを含むから空でなく、m を含まない。 これより、 Spec(B) の閉点全体 {m} は Spec(B) で稠密でない。 758 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:38] �UEx3.13 ｆ：X:→Speck がof finite type なので Xは有限個のopen affine covering {U_i=SpecA_i}をもち、A_iは有限生成k-alg. Zをclosed points全体からなる集合とする。ZのclosureがXであることを示したいので、 任意のopen set Uと共通部分をもつ事を示せばよい。 U∩U_iとZ∩U_iが共通部分をもつ事を示せばよく、さらに U∩U_iよりもさらに小さくとって、U_iの中でD(f)がZ∩U_iと共通部分をもつことを示せばよい。 ややこしいのでU_i=SpecA Aは有限生成k-alg.とおくと SpecA_f∩Z=Φ　（in SpecA)　を示せばよい。 これから　A_f の極大イデアルでAでも極大イデアルになっているものがあることを示せばよい。 （A_fの極大イデアルという言い方は微妙かも。SpecA_f={p∈ApecA| pにfは含まれない}という意味で） ところで、Aは有限生成k-algなので、A=k[x_1,・・・.x_n]/I　という形で 極大イデアルを考えてるので、A=k[x_1,・・・,x_n]としてよい。 そうなると、示したいことは明らか。 （m-SpecA_f={(α_1,・・・,α_n) | f(α_1,・・・,α_n)≠0}　だからこれが空だとf∈∩m = √(0)　） 後半の例としてはRをDVRとして、SpecRはclosed point 1つとopen point 1つからなるので 明らかにdenseでない。 759 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:46] あ、>>758　はEx3.14・・・ってかぶってるね>.757と それと自分の解答（多分>>757さんの分も？）で気になるところが・・・ 「Pがclosed point」⇔「PがU_iのclosed point （∀i）」⇔「PがUのclosed point （∃U）」 を示していない、ということで、僕の場合はD(f)とか勝手に小さくとってるんでこれを示す必要がありそう。 760 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 22:20] >>759 そうだった。 U を X のアフィン開集合とし、 P を U の閉点とする。P が X の閉点であることを示せばよい。 Q を {P} の閉包に含まれる点とする。 Q ∈ V となる任意のアフィン開集合 V = Spec(A) を取る。 P ∈ U ∩ V である。 P ∈ D(f) ⊆ U ∩ V となる、A の元 f がある。 P は D(f) の閉点だから、零点定理より、V の閉点でもある。 従がって、P = Q である。 故に P は の閉点である。 761 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 22:28] >>760 から Ex.3.14 は X が局所有限型でも成り立つな。 762 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 23:25] >>760 ご苦労様。かぶらないように次は・・・ �UEx.3.20 (a)　まずXのopen affine covering {U_i} について　dimX=supdimU_i=maxdimU_i （�TEx.1.10、sup→maxになったのはof finite typeより有限個にできるから） 一方U=SpecA　をそのU_iのうちの一つとすると Aは有限生成k-alg なので　dimU=dimA=height(p)+dim(A/p)=dimA_p+dim(A/p) （�TTheorem1.8A） ここでpがmaximalならdimU=dimA=dimA_p=dimO_p ２つの開集合は必ず交わるので(integral）この議論より実はiによらずpによらず題意が成り立つ。 (b)上のようにopen affineをとると、dimU=dimXになるということと、K(X)=K(U)=O_ξ（ξ：generic）なので 最初からaffineの場合に示せばよい。 X=SpecA　とすると、dimX=dimA=tr.d.S(A)=tr.d.K(X) （�TTheorem1,8A　S(A)はAの商体を表す） (c)codim(Y,X)=inf[Z⊂Y：irreducible] codim(Z,X)　なので（定義） codim(Z,X)を考えればよい。 dimX=dimU が(a)で示せていて、同様にdimZ=dim(U∩Z) も示せるので codim(Z,X)=dimX-dimZ=dimU-dim(U∩Z)=codim(U,U∩Z) これよりU=SpecA, U∩Z=V(p) （p：素イデアル）としてよく codim(U,U∩Z)=height(p)=dimA_p=dimO_p ここでZに対応する点PはYに含まれる点と対応する。 763 名前：１３２人目の素数さん [03/11/17 09:10] >>762(ｃ）でU∩Zが空でない場合の話です。 (d)Xのopen affine coveringを{U_i}とすると、 {Y∩U_i}はYのopen affine coveringで dimY=dimY∩U_i　となるiが存在する。 （Yがirreducibleならiによらない事が(a)で示せてるが） 今、U_i=SpecA Y=V( I )　とおけて、この時 dimY=dimY∩U_i=height( I )=sup[p⊂I：素イデアル]height( p ) =dimA-infdim(A/p)=dimU_i-codim(U_i∩Y,U_i)=dimX-codim(Y,X) (e)(a)で既に示している。 (f)Xのopen affine coveringを{U_i}とすると、 X'=X×k'のopen affine coveringとして{U_i'U_i×k'} がとれる。 X'のirreducible componentはintegralより、U_i'との共通部分の次元を調べればよく、 それはU_i'のirreducible componentであるから、Xをaffineとしてよい。 X=SpecA 、dimA=n　とする。 ここでAはk上有限生成algだからdimA=tr.dK(A)/k （K(A)はAの商体） 一方A×k'はirreducibleでない（nil(A')がprimeでない）かもしれないので、 極小素イデアルでわったものの次元を考えればよい。 その環は当然整域でk'上有限生成alg。 Aを多項式環k[x_1,・・・,x,n]上整とすると、 A'も多項式環k'[x_1,・・・,x_n]上整。 極小イデアルで割っても同じことなので、よって超越次数は等しい。 （なんか(f)は適当なところがある気がするけど、とりあえず） 764 名前：１３２人目の素数さん [03/11/17 20:59] >>753 >「デカルトの精神と代数幾何っておもしろいの？ 一応それなりに面白いトピックは書かれてるが、個人的には I高先生の文体がちょっと好きになれない・・・。対談とか ちょっとキモい感じ。 いずれにせよ必読って感じではないと思うが。 765 名前：１３２人目の素数さん [03/11/17 21:01] 俺は上野先生の論理展開が好きじゃない。 766 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 00:29] �UE.3.21 (a)dimX=dimR[t]=dimR+1 （RがUFDなので） 　　　　=2 一方、Xのclosed point Pを素イデアル(t)に対応する点とすると、πは含まれておらず O_P=R[t]_(t)=K[t]_(t) でこれの商体はK(t)でよって次元は１ (d)Y=V((t^2))　とする。 t^2∈(t)⊂(t,π) よりdimY=2 一方 codim(Y,X)=infcodim(Z,X)=codim(V((t)),X)=1 よりfalse (e)U=D(π)とする。 R[t]_(π)=K[t] なのでdimは１となりfalse 767 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 01:20] �UEx.3.22 (a)　Uをopen affine subset　s.t. U∩Y'=Φ　とする。 このとき、YをU、Xをf^(-1)(U)、Y'をU∩Y'、ZをZ∩f^(-1)(U) 等で置き換えてもよい。 （codim=(Z,X)=codim(Z∩f^(-1)(U),U)　等がEx3.20の証明より成り立つ） よってYをaffineとしてよい。Y=SpecAとする。 ｒ=codim(Y',Y)　とおいて次の補題を使う。 「Y'はf_1,・・・,f_r∈AがあってV((f_1,・・・,f_r))のcomponentとなっている」 証明はrに関する帰納法で。難しくないんで省略。 補題よりY'はV((f_1,・・・,f_r))のcomponent。 今、g_i=f^*(f_i)　とする。（ここで、f^* : A→Γ(X,O_x)　） V((g_1,・・・,g_r))を考える。 （厳密には各open affineでこの形で表されるclosed setの和集合。f^(-1)(V((g_1,・・・,g_r)))のこと） このとき、Z⊂V((g_1,・・・,g_r))は明らか。 しかも、もしZ'をZを含むV((g_1,・・・,g_r))のirreducible componentとすると Y'=f(Z)~⊂f(Z')~⊂V((g_1,・・・,g_r))。 Y'がV((g_1,・・・,g_r))のirreducible componentでf(Z')もirreducibleなのでY'=f(Z')~ よって、Z'⊂f^(-1)(Y') Zはf^(-1)(Y')のirreducible componentだったから、Z=Z'。 つまり、ZはV((g_1,・・・,g_r))のirreducible component。 これよりcodim(Z,X)≦r 768 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 02:57] �UEx.3.22 (b) (a)より　codim(X_y,X)≦codim({y}~,Y) 左辺=dimX-dimX_y 右辺≦dimY　なので示せた。 (c) (a)同様にYはaffineとしてよい。 さらにfがof finite typeだから有限個のopen affine covering ofX {U_i}がある。 fの制限　f_i : U_i→Y を考えると、これもdominatingになっていて、 各U_iで問題のopen subsetV_iがあることを示せば、U=∩V_i（有限個）は題意を満たす。 よって、Xもaffineとしてよい。 X=SpecB→Y=SpecA でA,Bはk上有限生成、その商体をK,K'とする。 このとき、e=dimX-dimY=dimB-dimA=tr.d.K'/k-tr.dK/k=tr.dK'/K=tr.d(A×K/B) よって、K[x_1,・・・,x_e]⊂A×K/B で⊂の拡大は代数的。 ここで、x_1,・・・,x_e∈Aとしてよい。 よって、B[x_1,・・・,x_e]⊂A　ここで⊂の拡大は代数的ではないかも知れない。 しかし、α∈AのK[x_1,・・・,x_e]上の多項式の共通分母gをとれば、αはB_g[x_1,・・・,x_e]上整。 今AはB上有限生成だったから、その生成元について考えれば、 B_g[x_1,・・・,x_e]⊂A_φ(g)　は整拡大　（φはB→A） よってU=D(g)とすると、f^(-1)(U)=D(φ(g)) であり、 f^(-1)(U)→SpecB_g[x_1,・・・,x_e]=U×A^e→U と分解できる。第１の射をa、第２の射をbとする。 aはfinite,surjectiveでbはproject、これが条件を満たすことを示そう。 U_yのirreducible componentをZとする。 (b)よりdimZ≧e なので逆の不等式dimZ≦e を示せばよい。 a(Z)~⊂{y}~×A^e よりdim(a(Z))≦e 一方aはfinite surjectiveより、dimensionをtr.degreeによって調べれば dimZ=dim(a(Z))　なのでこれで示された。 769 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/18 03:47] >>764 「デカルトの精神と代数幾何」って昔買った覚えあります。 確かもってるはず。 分かり易い本で、少しは代数幾何学ぶのに役に立つなら よんでみようかな・・・。 ちなみに私は代数幾何に興味を持っているものですが まだまだ、ここのスレには何とはなしに読む事でしかついて 行けてないです。 誰かお答え下さい。よろしくお願いいたします。m(_ _)m 770 名前：７６９ mailto:sage [03/11/18 14:18] >>764 Ｉ高先生、の代数幾何の本は確か高度なんですよね。 それから、ハーツホーンを持っていないとこのスレについて 行きにくいって事ありますか？ ところどころ意味の分からない単語が出てきて、調べずに 読み流しているから、なんとなくしかわからないのかもしれません。 今、ハーツホーンを読むために必要な知識の書いてある本 を読んでいますが、いずれ理解できるようになればと 思い目を通してしますので、みなさん宜しくおねがいします。 m(_ _)m 771 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 16:12] >>770 とりあえず僕はハーツホーンで使ってる定理とかを使って問題解いてるし、 さらに解いてる問題はハーツホーンの問題ですよ。 ないと、分かりにく過ぎるんじゃないですか？？ 単語も僕の場合日本語訳が逆に分からないんで英語のまま使ってますし。 ちなみに僕の場合はハーツホーンを読んでところどころ（特に最初のうちは）上野先生の本を参照してました。 772 名前：770 mailto:sage [03/11/18 16:20] >>771 上野先生のほんとは、岩波の本のことですか？初心者向けに かかれた？ 773 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/18 16:22] 代数幾何なんて言うほど大層なものじゃないが、救済スレで代数多様体の有理数解の問題が聞かれている。 　science.2ch.net/test/read.cgi/math/1039581014/563 代数幾何の専門家の皆さんのご協力を請う。 774 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 22:38] >>772 岩波講座現代数学の基礎の「代数幾何1〜3」のことだと思われ。 この本は英訳も出てる。 しかし日本語版も英語版も結構最近出たはずなのに、 amazonではすでに「在庫切れ」だね・・・ 結構いい本だと思うんだが。 775 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 22:41] >>770 Iitaka 先生の Springer GTM 版の Algebraic Geometry は結構読みやすいよ。 しかしこれも絶版みたいだが・・・ それと、いずれにせよ代数幾何やるんだったら（精読するかどうかにかかわらず） Hartshorneは必携になると思うから、買っておいても損はないんじゃない？ 776 名前：１３２人目の素数さん [03/11/18 22:50] Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。 あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。 777 名前：771 [03/11/18 23:28] そうそう岩波の基礎数学で１〜３まである奴。 １、２までは丁寧で使えると思うよ。３の後半は結果の紹介ばかりだった気がする。 あれってもう絶版なん？？ 778 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 00:27] �UEx.3.22 >>768で(c)はUの使い道が間違えてる。f^(-1)(U)が(c)におけるUの役目だから問題ないけど。 (d) (1)　(b)から明らか。 (2)　(c)から　E_h⊂X-U なので明らか。 　　（何故なら、ｘ∈U　なら　X_y∩U=U_y　の次元（=X_yの次元）がe） 　　（上で本当はX_yのirreducible componentをとるがあまり変わらない） (3)　dimXに関する帰納法により示す。 　　h≦eの時は明らか。h>eの時を考える。 　　このとき、E_h⊂X-U であるからそのirreducible componentをZ_1,・・・,Z_nとすると 　　その次元は全てdimXより小さい。 　　よって、Z_i→f(Z_i)~ に対して帰納法の仮定が使えて、E_h,i　はclosedである。 　　よって、E_h=∪E_h,i はclosedである。 （e)　(c)の証明でのUを考えるとU⊂C_e。これはopen dense inY 　　C_h=f(E_h) だからconstructible setの像がまたconstructibleであることを示せばよい。 　　これは「f:X→Yの像がconstructible(dominateとは限らない)」を示せば十分。 　　dimYに関する帰納法により示す。 　　fがnot dominatingのとき、Z=f(X)~とすると、dimZ<dimYであり、よってinductionによる。 　　fがdominatingのとき、（ｃ）の証明でのUを使い、Y-Uのirreducible componentsをZ_1,・・・,Z_n 　　さらにf^(-1)(Z_i)のirreducible componentをW_i,1,・・・,W_i,,k_iとすると、 　　dimZ_i<dimY なのでf(W_i,j)はconstructible 　　よって、f(X)=U ∪ ∪f(W_i,j) なのでconstructible 779 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 00:54] 多項式環の基本的な質問なんですが 体Kに対して多項式環K[X]をK上のベクトル空間と見た場合ベクトル空間の次元は有限ですか？無限ですか？ 基底としては1,X,X^2,・・・,X^n,・・・を取るのでしょうが、 f∈K[X]に対してdeg(f)＜∞が多項式の定義なら基底は有限個のような気もするし、 でもK[X]の次元が無限個になってほしい箇所が今読んでる本で出てきています。 どっちなんでしょう？基本的ですみません。 780 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:34] 次元は無限です。 次元が無限の定義（というかそもそも無限の定義）は 任意の自然数ｎに対してn個の基底があればいいので。 781 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:41] >>779 線型代数の教科書で、ベクトル空間の「無限次元」の定義をきちんと確認すべし！ 782 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:50] >>779 >基底は有限個のような"気もするし" >次元が無限個になって"ほしい"箇所 こういう曖昧な理解のまま数学書を読み続けていてもすぐわからなくなるよ。 その都度定義に戻って、このくらい自分で確認しなきゃ。 それに激しくスレ違い。 783 名前：７７０ mailto:sage [03/11/19 02:12] >>774 なるほど、私は少し考えが甘かったようです。私の考えていた本は初心者むけだけど 本当の初心者にむけてかかれたもので、しかし、>>774さんの言ってられる本ならハーツホーン を読むのにも、私は詳しい事は分かりませんが有効なのかもしれません。 その本もひょっとして持っていたかもしれないので、探してみます。 >>775 > >>770 > Iitaka 先生の Springer GTM 版の Algebraic Geometry は結構読みやすいよ。 > しかしこれも絶版みたいだが・・・ ハーツホーンより読みやすいのですか？ > > それと、いずれにせよ代数幾何やるんだったら（精読するかどうかにかかわらず） > Hartshorneは必携になると思うから、買っておいても損はないんじゃない？ わかりました、ご親切にありがとうございます。 >>776 > Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。 > あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。 シャファレビッチとは？イタリア学派の本ではないのですよね？！ 具体的に言うと何を扱った本なのでしょう？ イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。 >>777 そうですか、ご親切にありがとうございます。本棚しらべてなかったら 買いに行きます。本屋さんになかったら古本屋にでも・・。 784 名前：７７０ mailto:sage [03/11/19 02:18] >>779 基底が加算個だけど無限個あるので無限次元なんじゃないですか？ 素朴にそう思ったのですが、他の方ちがうでしょうか？ 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 02:19] >>783 > Hartshorneを読む前にシャファレビッチの巻１を薦める。 > あれで代数幾何学の幾何的イメージを掴かんでおいたほうがいい。 シャファレビッチとは？イタリア学派の本ではないのですよね？！ 具体的に言うと何を扱った本なのでしょう？ イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。 初心者が気にすることじゃない。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 02:20] そもそも>>779はベクトル空間の基底の定義を理解している？ 理解していないなら、有限か無限かも分からないのも納得だが。 787 名前：７７０ mailto:sage [03/11/19 02:38] >>785 > 初心者が気にすることじゃない。 初心者なら自分が読めるとおもった本ならなんでも読んだら良いって ことですか？ それとも、イタリア学派って言うのは、ちょっとした良く勉強した知り合い からの聞きかじりでして・・・。自分としては初心者ですよ。 788 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 02:46] >>785 シャファレビッチはロシアの有名な数学者だよ。 件の本については www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/3540548122/qid=1069177369/sr=8-1/ref=sr_8_1/104-8581170-3804719?v=glance&n=507846 を見れ（amazonにはなぜか "I" しかないが "II" とひとつながりの本なので一緒に購入すべし） algebraic variety, scheme, complex manifoldを丁寧に解説した良書。 789 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 02:48] >>784 それでOK 790 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 06:06] �UEx.3.23 t(V×W)がVとWのfibre productのuniversal propertyを満たすことを示せばよい。 しかし、V×Wは�TEx3.16よりvariety/kのcategoryでfibre productになっている。 一方�UProposition2.6よりHomは全単射だから(fully faithful） 題意は明らか。 791 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 06:40] >101 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:25 ID:D7EJP0Ux >最近、元総連関係者から得た話として >ある２ちゃんねらーからこのような情報が流れてきた。 >「日本国内の反北朝鮮・反韓国の言論に対して常に >圧力がかけられているのに、なぜ２ちゃんねるだけは >黙殺されているのか。これは、総連や民団に斡旋された >東京の在日を、２ちゃんねるのプロ固定・プロ名無しと >して就職させることの見返りなのである。 >また、プロ名無しが日本国内の地域間対立を >煽ること、および最近では皇太子のアスキーアート >を張り付けることも要請している。」 >102 :心得をよく読みましょう :03/01/01 12:26 ID:D7EJP0Ux >さらに、 >「これだけではない。プロ名無しとして就職させた >在日は、企業のデマを流し混乱を与える工作部隊でもある。 >そのためには、外部からの圧力をはねつけ規制の無い掲示板 >にしておいたほうが都合がいい。必然的に起こる朝鮮批判と >デマによる日本批判なら、後者のほうがダメージは大きい。 >２ちゃんねるの言論の自由を、こういうスパイ活動にも巧みに利用してきたのだ。 >しかし、当事者同士の裁判となってこのような工作がばらされる危険性がある。 >しかし、匿名を傘に投稿者を秘匿しておけば心配は無い。 >管理人が訴状を受け取ることを公言していることの裏が >これだ。管理人は工作の尻拭いさせられ、原告は >訴訟したことの批判をうけ、叩きが一層激しくなるのだ。 >しかし、司法がこういう運営姿勢を認めなくなり、 >この工作からは手をひくようだ。それがひろゆきの >運営方針の転換に現れた。その代わり嫌韓厨問題の提起 >や、管理人に職業右翼陰謀説を語らせるなど、別の工作にうって出てる。」 792 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 09:00] age 793 名前：７７０ mailto:sage [03/11/19 09:49] >>788 どうも、ありがとうございました。 794 名前：770 [03/11/19 11:23] 　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣ 　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）＜　うんこまだ〜〜〜？ 　　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿)＿ ＼＿＿＿＿＿＿＿ 　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣／| 　　　　　　　　| ￣ ￣￣￣￣￣￣:|　:| 　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　.|／ 795 名前：７７０ mailto:sage [03/11/19 12:32] >>794 なりすましはやめてください。 796 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 19:00] >>783 ＞イタリア学派の代数曲線の本なら読みかけた事があるのですが・・。 イタリア語読めるの？ 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 19:19] 「イタリア学派の書いた本」じゃなくて、 「イタリア学派による代数幾何を解説した本」 ということじゃないのか、ふつう。 まあ、>>796の可能性もなきにしもあらずだが・・・ 798 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 19:36] コリバギン・フラッハ法 799 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 19:46] >>797 ＞＞「イタリア学派による代数幾何を解説した本」 ということじゃないのか、ふつう。 何々学派の本と言ったら、何々学派の人が書いた本だろ、ふつう。 つまり、他の学派の人が書いた本ではないということ。 解説本ならそう書くべき。 800 名前：770 mailto:sage [03/11/19 20:43] 英語でした。でも、内容よりどちらかというと 英語が難しくて、続かなかったので、これ以上 追求しないでください。 また教えてほしい事があったら、よろしくお願いします。 801 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 21:33] イタリア学派ってエンリケとかザリスキとかのこと？ 802 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 21:41] ザリスキはイタリア学派じゃない。イタリア学派というと、 セグレ、エンリケス、カステルヌオーボ、セベリなど。 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/19 23:07] 代数幾何大好きか？ 804 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 04:28] ハーツホーンって 大学にはいってからの数学で 線形代数、位相空間論、群論、 可換環論（亜ティやー幕度レベル） 可換体論、あと可微分多様体の基礎 を勉強すれば 論理的には読みはじめれるよね。 わかるかわともかくとして。 805 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 05:45] www.shitamachi.net/ranking/cgi05/ranklink/ranklink.cgi?id=05mercur 806 名前：770 mailto:sage [03/11/20 12:46] >>801 私の｣読みかけた本はウォーカーの本です。 >>803 その本に書いてる事を授業で受けた事がありますが それは、すごく引き付けられるものがありました。 全部ちゃんとわかってるわけでもないんですけどね。 ハーツホーンについては、まだまだ、なんとなくしか 理解できないので、判断しかねます。 >>804 ありがとうございます。 洋書に、挫折したので、一応、以前読んだ本も ありますが、それらをやり直そうと考えてる ところです。 807 名前：770 mailto:sage [03/11/20 15:30] >>804 紛らわしい表現していまいました。 以前は読んだ本があると言ってもいいかげんでした。 だから、もう一回読んだ本もきっちり読み直してみよう と思っています。読んで無い本は勿論。 808 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 19:48] >>806 ウォーカーの本はイタリア学派じゃないよ。 あれはいい本だ。 809 名前：770 mailto:sage [03/11/20 19:53] >>808 そうなんですか、確か詳しい知り合いに、そう聞いたと 思ったのですが、違うのなら、そう覚えておきます。 それから、ハールホーンも代数幾何やるのに必須 だって聞くので、読みたいとは思っていますよ。 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/20 20:26] 超越的な方法論も少しはかじっておくといいですよ。

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