- 659 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:28]
- >>658の続き。
z ∈ X_y とする。
ファイバー積の定義から、
f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は
標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。
逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。
g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。
ここで、ζはk(x)の生成点である。
f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。
これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。
fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に
存在し、pφ = g, qφ = j となる。
φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。
この z は、φの一意製より、一意に定まる。
以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として
sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。
U を X のアフィン開集合とすると、
U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、
>>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。
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