(b) Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、 Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。 y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。 Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。 V_g' = D(g) ∩ Y となる。 ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と 制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、 V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。 さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の アフィン開集合を以下のようにとる。 まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。 この D(f_i) の存在は上で証明されている。 Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは 有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから D(f_i) 全体も有限個に出来る。 これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。 Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって Y = Spec(A/I) となり Y → X は 自然な Spec(A/I)→ Spec(A) と見なせる。 証明終
