- 692 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:30]
- >>591
>>491のHartshorne II Ex. 3.7 の解答。
よく考えてやってみました。こんどはハズしてないといいんだが・・・
まず次の補題を示す。
【補題】
A を整域、B をその部分整域とし、A は B 上整とする。このとき、
p ∈ Spec A、p ∩ B = 0 ⇒ p = 0。
証明： p = 0 とし、x∈p-{0} をとる。x は B 上整であるから
x^n + b_1*x^(n-1) + ... + b_n = 0、b_1, ..., b_n ∈ B
となる次数最低の多項式をとれる。
b_n = -x(x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1)) ∈p
であり、b_n = 0 とすると x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1) = 0
となり次数が最低であることに反するから b_n ≠ 0。よって b_n ∈ p ∩ B ≠ 0。
