現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu] ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 413 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/01(木) 23:38:20.54 ] >>412 なので、>>325でしたように ”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に） で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ” と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） ここは、前述>>361のように 倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている >>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう 414 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 07:15:34.96 ] >>412 補足 >ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb) >つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb) ここは、 φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409 分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると そういう見方もできる >そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ） V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し この順列と下記の置換が対応する （a,b,c,・・・） （a',b',c',・・・） （ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください） V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント 　↓ （a',b',c',・・・）順列 　↓ （a,b,c,・・・）置換 （a',b',c',・・・） という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか 415 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 07:43:29.83 ] >>414 ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある 例えば、ガロア論文の最後の定理 「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった 416 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/02(金) 21:29:40.88 ] >>415 とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった 補足 ガロア群Gの位数がn(n-1)として、nは素数 とすると、シローの定理(下記)により、ガロア群Gは素数n次の巡回群を部分群として含むことになり、Gは線形群が出るのだろう ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 シローの定理 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 02:12:13.43 ] これだけ古典的数学に造詣をお持ちの方というとＴ氏なんでしょうか？ 418 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 07:27:36.47 ] >>417 乙です Ｔ氏がどなたか存じ上げませんが、別人です 419 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 08:13:06.94 ] test 420 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 09:32:06.95 ] >>415 補足 ガロア論文>>3の第VII節は、原文ままでは分かりにくい 倉田>>4 P164の解説がお勧め ガロアは、素数P次の既約方程式に対し G=H1＞H2＞・・・＞Hμ-1＞Hμ＝（e） （ここで＞などは、群論の含む記号のアスキー代用。また、Gは方程式のガロア群、（e）は単位元のみからなる群） という、べき根添加による正規拡大列を見ていた そして、（e）の直前のHμが素数P次の巡回群であることを述べ、Hμ-1が線形群になることを述べる 倉田P166（エドワーズ）の証明では、Hμ-1が素数P次の巡回群の正規拡大であることを使って、線形性を導いている 直感的でわかりやすい ガロアは時間が無かったのか、あるいは現在のように群論を表現する記法が十分発達していなかったのもあると思うが、お話し風に書いてあるので分かりにくい 一度、解説を読んで、それから原文を読むのが良い ガロアは間違いなく、倉田（エドワーズ）が示すような風景を見ていたことは確かだろう。だが、見ている風景を表現する記法は当時十分発達していなかったのだった なお、第VII節のP39の最後のラグランジュの分解式（正確にはそのn乗）を使う解法は、ラグランジュがすでに得ていたことは、 「数学史 (数と方程式)」小杉肇や「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385に記されている 倉田>>4は、P206「22. ラグランジュとガロア」で、両者の関係について詳しく述べている ２説あるという。一つは、ガロアがラグランジュ理論の完成者だと 上記の小杉肇やJean-Pierre Tignolを読むと、この説に近いかなと個人的には思う （倉田は、P208で当時ガロアが逮捕されていたときの釈放要求の新聞記事でガロア論文は 「ラグランジュの解釈できなかった困難を取り除くもの・・・」を引用している） ”記者がこれらのことに通じているとは考えられないから、これはガロア自身が語ったことだろう”と 421 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 09:33:09.85 ] >>420 （さらに補足） しかし、そうだとしても、群論の創設は革命的であり、パラダイムシフトと見ることが出来る>>386 まあ、アインシュタインが特殊相対論を提唱したことに例えられるかも>>387 （特殊相対論によって物理学は、単なる数式でしかなかった「ローレンツ収縮」>>387 を大きく超えて発展したのだった） 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 13:51:48.78 ] >>421 群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。 423 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:03:55.60 ] >>422 >群論（正確には置換群）はルフィニやアーベルも使ってるよ。 なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな 「代数方程式のガロアの理論」Jean-Pierre Tignol>>385 P146 「10.3 群論とガロア理論の最初の成果」に、 「・・・ラグランジュ・・・。実際、彼は根の置換に関する計算に着手しており、群論とガロア理論における最初の成果を得ている。」と認定している ところで、有名なペレルマンが、「ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとして」ミレニアム賞の受賞を断ったとか ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3 2010年3月18日に、クレイ数学研究所は、ペレルマンがポアンカレ予想を解決したと認定して、ミレニアム賞（副賞として100万ドル）授賞を発表した。 彼は2010年6月8日の授賞式に姿を見せなかったが、クレイ数学研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。 同年7月1日にロシアのインテルファクス通信がペレルマンの話として伝えたところによると、受賞を断った理由は複数あるが、ハミルトンのリッチ・フロー発見に対する評価が十分でないことなど、数学界の不公平さに異議があることをその主たるものとしてあげたという。 （引用おわり） つまり、「数学界では、大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、証明を完成した者が評価される」という性癖があると言われる ペレルマンは、「自分はハミルトンという巨人の肩の上に登って、仕事をしたのだ」と言いたかったのかも さてガロアの例で言えば、ラグランジュは置換群論の始祖であって、彼が最初の成果を得たことは、Jean-Pierre Tignol>>385認定の通りだろう そして、おいらも「ガロアがラグランジュ理論の完成者だと」思う>>420 だが、数学界一般では、ガロアを群論の創始者とする人たちも多いみたい。それは、ガロアが大伽藍の最後のタイルを貼り付けて、目覚しい成果を数学界の人々に見せたからだろう ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ 424 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:08:05.91 ] >>423 >ガロアが、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたことは確かだと思う >だが、大伽藍の成果を目に見える形にしたのはガロアだ 現代では、誰もが先達の巨人の肩の上にいる それを否定しては、何事も成り立たない 巨人の肩の上に乗っていいが、礼儀がある 先達のオリジナリティーを尊重し、きちんと引用を明確にすること この点、ガロアはラグランジュの引用が少なすぎると思う だが、彼は若かったし、時間がなかったのだろう。この点はスルーとしたい 425 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 21:26:54.09 ] >>424 補足 巨人の肩という言い方は、ニュートンの言葉として有名だ（下記） ja.wikiquote.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%B6%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3 私がさらに遠くを見ることができたとしたら、それはたんに私が巨人の肩に乗っていたからです。--ロバート・フック宛書簡、1675年2月5日（ユリウス暦、グレゴリオ暦では1676年2月15日） If I have been able to see further, it was only because I stood on the shoulders of giants.　 q.hatena.ne.jp/1209546713 ニュートンの有名な言葉「巨人の肩の上に〜」について、その典拠を調べています。 ライバルであるロバート・フックあての1676年2月5日付けの手紙だそうです。 ただし、この言葉はニュートンの独創というわけではなく、1159年にすでに引用の形で残っているとのこと。 426 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 21:32:30.52 ] >>423 単純に、有名な問題を解いたというだけで賞金を出す クレイの売名行為が嫌いだったんだろう。 グロタンディクが、軍から研究所への資金援助を嫌って 隠遁生活に入ったようなもんだ。 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 22:05:01.01 ] >>423 >なるほど、そういう意味で遡ると、群論の始祖はラグランジュだろうな もっと遡ると、いわゆる対称式の対称性を初めて認識した人ではないだろうか？ つまり、対称式ではどんな置換をしても式の形が違わないということに気付いた人だね。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/03(土) 22:13:18.70 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 429 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:28:06.07 ] >>426 乙。そうかも >>427 対称式ね。そうなのか。根と係数の関係（基本対称式）はいつから意識されていたんだろうか？ そういえば、有名なニュートンも対称式を研究していたようだが？ >>428 乙！　いつもご苦労さまです！　できれば、”age”にしてもらえるとありがたい！ 430 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:32:54.84 ] 正20 面体について検索していたら、こんなのが。メモ代わりに貼っておく www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH/ ENCOUNTERwithMATHEMATICS 第51回 正 20 面体にまつわる数学--その 2 -- 2009年10月2日(金), 3日(土) 431 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/03(土) 23:39:52.75 ] 物理学や天文学の発展がなければ 数学上の重要な発見もどうなっていたか？ 432 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:46:49.39 ] 同じく しかし、数学展望 IIの講義資料は、だれかタイプアップしてやれよ、おい＞学生、手分けして　（シラバスは同感） ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) 歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。 433 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/03(土) 23:49:21.40 ] >>431 うん、ちょうど>>432をアップしたところだ ”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。”（粟田英資 准教授）だと 434 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 00:03:38.90 ] >>433 おお、ありがとう！！ 解析力学とかベクトル解析も数学として学ぶことも 出来るが矢張り、数学科でも物理的観点を教えるべき。 435 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:01:14.76 ] >>430-432 A5（５次交代群）が、正20面体群に同型というのは有名だが、詳しい説明を探していたんだ 下記が良いね 図があるので、それを見ながら読んでください hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/ 正多面体群２ [物理のかぎしっぽ] （抜粋） 正十二面体と正二十面体 正十二面体や正二十面体でも，(正四面体で先に示したように)頂点の動きに着目すれば，5次の交代群に同型だということが分かります． P(20)〜P(12)〜A5 （つづく） 436 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:02:12.91 ] >>435　つづき hooktail.sub.jp/algebra/PolyhedronGroup2/ 正多面体群２ [物理のかぎしっぽ] （抜粋） 正十二面体が 次の交代群に対応することは，当初面倒なので結果しか示さなかったのですが，要望があったのでここに補足します． 正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます． この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります． 正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね． さて，上の図のうちの一つだけに注目しましょう．正十二面体群の元のうち，内接する正六面体を正六面体自身に移す変換は，もちろん正十二面体も正十二面体自身に移します． そこで，正十二面体群の元で，内接する正六面体をも保つものをまず考えます．左から四番目のものが見やすいと思います． まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります． 次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります． P(6)と違うのは，正六面体の各辺の中点を結んだ線を中心に回す変換が無いことです．このような回転は正十二面体の対称性を崩してしまうことがわかるでしょう． 結局，上記の二種類に恒等置換を加えて，正十二面体群のうち，正十二面体も内接する立方体も両方不変に保つものには8+3+1=12種類あることが分かりました． 24のちょうど半分ですから，位数からだけでもこれが交代群であることが証明できそうですが，念のため，頂点に番号を振って，ここで求めた変換が偶置換であることを示しましょう． 正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には 種類ありましたから，次式が成り立ちます． P(12)〜5xA4=A5 437 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 08:35:03.60 ] >>434 乙です そうそう でも、粟田英資 准教授 講義資料 | 数学展望 II ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials で、初回にもう少し全体像を話す時間を取った方が良いだろう シラバス ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus ”歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。” の時間を、そしてそのレジュメを 初回で、数学と物理の関係の全体像をレビューする たとえば ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン） 分数関数の積分の要請から、分母の因数分解が強く求められ、方程式論から群論に発展した 電磁気学が出てきた その刺激で、数学はベクトル解析やテンソル解析が発展した 微分方程式を解くための演算子法が出てきた （これは工学から） 熱伝導方程式を解くためにフーリエ変換が出てきた その下で、相対論が出た 量子論もハミルトニアンをベースに発展した 数学が多次元空間や無限次元空間を扱えるように発展した ディラックがデルタ関数の有用性を示した シュワルツが超関数を考えた 佐藤幹雄がhyperfuctionを考えた ワインバーグサラム理論（非可換ゲージ理論）が出た ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A0%B4%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96#.E9.87.8F.E5.AD.90.E8.89.B2.E5.8A.9B.E5.AD.A6.E3.83.BB.E3.83.AF.E3.82.A4.E3.83.B3.E3.83.90.E3.83.BC.E3.82.B0.E3.82.B5.E3.83.A9.E3.83.A0.E7.90.86.E8.AB.96 南部 陽一郎がstring theoryを考えた ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96 ウィッテンがこれを発展させて、どういうわけかフィールズ賞をもらった （つづく） 438 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 09:36:53.84 ] >>437 つづき アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった それが、ウィッテンのM理論に ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ 量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係 ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%AC%A6%E5%8F%B7 ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。 en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice ソリトンも落とせないかな フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C 950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。 当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、 計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。 en.wikipedia.org/wiki/Soliton In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach. They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3] （つづく） 439 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:07:26.35 ] >>438 つづき ヴィラソロ代数→頂点作用素代数　みたいな流れもあると思うんだけど ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%82%BD%E3%83%AD%E4%BB%A3%E6%95%B0 数学・物理学においてヴィラソロ代数（ヴィラソロだいすう、英語: Virasoro algebra）は円周上定義される複素多項式ベクトル場の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のミグエル・ヴィラソロen に由来する。 www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0867-09.pdf 頂点作用素代数入門 最近では、ペレルマンのポアンカレ予想の解決に、熱力学のエントロピーや熱浴の概念が用いられたという www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/HtmlDoc/materilist.html Grisha Perelman Ricci フローのエントロピー公式とその幾何学的応用 www15.ocn.ne.jp/~janpal/webdoc/PDF/gp1.pdf で、話はてんこ盛りになるけれど、全部は話せないので、話題を絞って話すと つまり、全体像→部分像という流れを押さえておくことが要点 それから、物理から数学、数学から物理の行ったり来たりの歴史も入れて 毎回読み切り：今日の講義を聞いて、まとまったなにか「なるほど」と思う要素を入れる こんなことに気をつけると面白いと思うよ 440 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:49:23.43 ] >>436 話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと >正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます． >この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります． >正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね． >まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります． >次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります． >P(12)〜5xA4=A5 P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５ だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと まとめると、 ５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ 441 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 10:53:30.29 ] >>440　訂正スマソ ５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと 　↓ ・・・組み合わせから成る群だと しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、 　↓ ・・・、それはA5に落とせるが、 442 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 11:41:11.77 ] >>440 補足 >５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と・・ A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが） ここらの事情は、エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)に詳しいが （エム・ポストニコフで、検索してたら、下記が・・・ d.hatena.ne.jp/nankai/20110805　 2011-08-05 ガロア理論 雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した． （抜粋） ガロア理論については思い出がある． エム・ポストニコフの『ガロアの理論』(1964年4月25日，東京図書出版発行)を高校3年生のときに買った． 大学に入ったらこの本を読もうと，それを励みに受験勉強した． ・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった． そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった． 今回，吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」を読んで，若いころの自分の思いを整理することが出来た．また論考の中の基本定理の証明にも，あのときこのようなことを自分でするべきだったという悔恨とともに，心を動かされた． 今から思えば，あのとき，19歳の夏にガロア理論を読んであのように思ったのなら，ガロア理論がどのような公理的前提のもとに示されるのかとか，5次方程式の根の公式の不存在の証明に何が用いられるのかとか，その根幹の定理は何かとか， 自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ． それをしなかった，あるいはそのような問題意識は持ちえなかった．これらのことをいろいろ思い起こし考える機会となった若い吉田氏の論考に感謝する．） （つづく） 443 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:08:18.53 ] >>442 横道にそれたが、雑誌『現代思想』4月号 吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動ですか しかし、おそらく大半の人はそこまで行くまいが、読んでみたい気はする で、エム・ポストニコフは >>72 staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 で、元吉文男も引用している なぜか、これ書棚のこやしになっていたんだ いま読むと、なかなかいい本です ポストニコフP145から、５次の推移群として 位数５　C5巡回群 位数10 B5 半メタ巡回群 位数20 B'5 メタ巡回群 これらが、べき根で解かれる群だと >>399 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 大迎規宏くんは、ポストニコフを引用していないが、内容重複している部分があるよ それと、元吉文男も引用していないが、元吉文男を読んでいれば、ポストニコフには気付いたろう それはおいておくとして、我々はありがたく大迎規宏「可解な5次方程式について」を読ませていただければ なお、大迎規宏はジラードの標準型まで落としているが 元吉文男は４次項を落とすだけに止めて係数が有理数体から拡大することなく、可解性が高速判定できるように工夫しているのだった （これは、大迎規宏も4.2節で扱っているかな？） 444 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:39:24.00 ] >>442 >雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している これだね www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19 back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」 2011/04　ガロアの思考　若き数学者の革命 www.seidosha.co.jp/index.php?%A5%AC%A5%ED%A5%A2%A4%CE%BB%D7%B9%CD 特集＝ガロアの思考　　若き数学者の革命 【ガロアの思考】 ガロアの考えたこと　／　上野健爾 ガロア理論体験記　／　砂田利一 ガロア理論の基本定理　／　吉田輝義 数学における抽象化とは何か　アーベルの具象とガロアの抽象を包むもの　／　高瀬正仁 【現代数学へ】 絶対ガロア理論　／　黒川信重 謎をもって謎に答える、或いは問題の解消　／　高瀬幸一 空間の 「形」 を知るための武器　位相空間のガロア理論　／　小島寛之 リーの理論と可積分性　解析学におけるガロアの影響　／　竹縄知之 【現代物理学へ】 存在から関係へ　現実の軽さ　／　佐藤文隆 ガロアは現代物理学の源流だ！　／　竹内薫 【現代哲学へ】 問い・身体・真理　カヴァイエスとドゥルーズの問題論　／　近藤和敬 ヴュイユマン 『代数学の哲学』 における哲学的方法論の探究 　フィヒテの哲学とラグランジュからガロアに至る代数方程式論の変遷　／　原田雅樹 445 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 12:45:24.22 ] >>444 「現代思想」のパックナンバーにこんなのが。年に１回くらい理系の特集かな 「現代思想」は現代哲学系の雑誌だな。理系の読者もいるんだろうね www.seidosha.co.jp/index.php?back-pensee10-19 back-pensee10-19 - 「ユリイカ」「現代思想」の雑誌発行、人文諸科学の専門書の出版社「青土社」 2012/01　ニュートリノ／相対性理論　観測がひらく新世界 2010/09　現代数学の思考法　数学はいかにして世界を変えるか 446 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 13:35:25.90 ] >>442 >雑誌『現代思想』4月号が「ガロアの思考」を特集している．ガロア生誕200年を記念してのものである．そのなかで吉田輝義氏の「ガロア理論の基本定理」にいたく感動した． ネット検索でこんなのが・・ sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html びっくり数学島 日記 （抜粋） 解説記事の紹介『現代数学のめざすもの』 2012-01-22 Sun 以前のブログで吉田輝義さんという方（と言いつつ実は，吉田さんは僕の大学院時代の同級生で，今もお付き合いをさせてもらっているのですが）の論説を紹介しました． 吉田さんが『現代数学のめざすもの』というタイトルで再び現代数学の解説を書いておられます．それを案内しようと思います．前回は雑誌の記事でしたが，今回は吉田さんのwebsiteから直接取ってこれます： ご本人のwebsite → 『現代数学のめざすもの』(PDFファイル, 12ページ)　www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yoshida_2011_Tsukukoma.pdf ご本人の高校での講演が基になっていて，高２ぐらいまでの数学（＝文系・理系共通範囲の数学）に慣れ親しんだ記憶のある方なら読み通せると思います． 目玉の一つは，２次・３次・４次方程式の解法を基にした，ガロア理論（と現代数学）の考え方の説明で，ここまでシンプルにまとまった解説はなかなか見たことがありません． 大学数学科の花形とも言われるガロア理論ですが，『ガロア理論は，方程式のもっている「形」，その本来の姿を人類史上初めて「見た」理論だった』（文中より）ということが，実にうまく説明されていると思います． 習うときはタンタンと 2011-09-26 Mon しばらく前に仲間に言われたこと． できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず， 「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい． なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った． （つづく） 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 13:38:16.96 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 448 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 13:40:34.55 ] >>446　つづき sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html びっくり数学島 日記 論説の紹介『ガロア理論の基本定理』 2011-06-04 Sat 分数の話の途中ですが，雑誌『現代思想』の４月号に掲載されている，吉田輝義さんの『ガロア理論の基本定理』という論説が読んで興味深かったので，簡単に紹介したいと思います． ガロア（Galois,1811-1832）というフランスの天才数学少年によって生み出された，ガロア理論という理論があります． これはその後の数学の流れを変えたほどの重要な"革命的"理論だったのですが，ガロア理論の抽象的な性格もあって，その意味を実感することは数学科の学生にとっても簡単でない（200年近くも経つというのに）のが現状です． アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり，テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる--それと比べると数学者としてはちょっとクヤシイ． そんな中この論説は，ガロア理論の本質を損ねることなしに，ガロア理論とその意義を一般の読者向けに描き出そうと試みた野心作です． （引用おわり） 449 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:06:02.63 ] >>250 ”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業 わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用) これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。 問題を見てすぐに解答、解説を読みます。 英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。 最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。 1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。 2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。 3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 …こんな感じで7周ぐらいやってみてください。 これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。 拾えるものだけ拾うって言うのは ○こういう意味だから、こうなのか ○これとあれは似てる ○こういう計算になるから、こうなる ○語呂合わせ などです。 目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒 大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒 最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。 ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。 繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。 450 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:28:31.48 ] >>449 補足 昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも （因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも） ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B3%B8%E5%B7%9D%E8%8B%B1%E5%A4%AB しかし、両方要ると思うんだよね じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと >>395 >ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。 なにが、余計なお節介なのかどうか、人によると思うんだよね その人の置かれている事情にも それから、ブルバキのスタイルは結構だが、ブルバキで必要十分なら、世の中他の教科書は売れないか消えているわけで 世間一般の事情は、そうじゃないという証明なのではないかな ブルバキはそれなりに意義はあると思うが 一時ほど、ヨイショされなくなったような気がする じっくり理解するというところに戻ると、>>442 ”・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった． そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．” これ、結構共感できる。ガロアの理論あって、それぞれ立派。そして、書いていることは一つ一つは理解できるが、全体像が自分の中で細部まですっきり形成できなかった（自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．>>442） ”群盲象をなでる”という。個々の定理は、象の部分だ。うちわのような耳、ホースのような鼻、柱のような足・・・、それらの部分の記述を元に自らの心象風景として、象の姿を描くことができるか 現代ガロア理論（拡大体と群の対応）は、なんとなく出来た。しかし、ガロア原論文は理解できなかった A5が単純群で、べき根拡大では到達できないということはアタマでは分かった。しかし、なんとか目に見えるような形で納得できないかと考えていた （つづく） 451 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:35:51.40 ] >>450 つづき >>1を見て、ベストアンサー： ”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。” ベストアンサー氏は、おそらく数学科の出身者だろう ならば、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>3で、なんとなくガロア理論が見えた気がしたので、いっちょうスレを立ててみるかと 452 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:43:26.40 ] >>450 ブルバキの整理されたスタイルは、結局理論が出来上がった後の知恵なんだよね 理論が出来上がる進行形のときは、そうじゃない だから、ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、そいつは使えないだろう よって両方あって良いんじゃないか そして、このスレで重視しているのは、全体的な理解、直感的な理解だ 全体から部分へ、部分から全体へ 直感から精密な論理へ、精密な論理から直感的理解へ 数式からお話へ、お話から数式へ この行ったり来たりが自由自在にできる それがベストだろう 453 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:56:22.42 ] >>405 ＞ガロア理論は多くの人が関心をもっている が、大抵は「なんで根の公式がないのか」という程度の関心だから 結局「なんかわからんが、根の公式があるとすると矛盾するらしい」 で終わる。素人は、公式は理解できても、公式がない理由は 理解できないし、ないならないで仕方ないと思うだけ。 454 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:58:27.45 ] ガロア理論の面白さを知るには、一度 「５次以上の方程式の解の公式は存在しない」 とかいうのを忘れる必要がある。 そこは今や本筋でもなんでもないから。 455 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:01:50.60 ] >>452 ＞ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、 数学の論文を一度でも書いたことがあるなら、 ブルバキのスタイルでなんて書けないことは 当然わかるがな。 456 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:12:25.93 ] 何度追い詰められても復活する 探査機はやぶさの執念は凄いわ。 457 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:03.91 ] >アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり， >テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる 双曲幾何はエッシャーの版画作品にもなったがね。 ガロア理論より双曲幾何のほうが分かりやすい。 理屈ぬきに、ポアンカレモデルで、２本の平行線も図示できる。 合同変換もＣＧで示せる。要するに計算できる。 素人に分かるのは計算の方法とその結果。 計算できないという結果を示す論理なんて理解しようがない。 458 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:04.64 ] >>455 そりゃサボってるだけだろ 書こうと思えば書けるけどプロ相手だからあえて書かないというだけで。 それがアダになって間違いとか平気で書いてるがｗ 459 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:18:04.21 ] >>458 サボってるわけじゃないな。 同業者に「ああ、確かに正しいね」と 確認させるために書くんで、 別にアホ学生向けの教科書を 書くわけじゃないからな。 そもそも研究に間違いはつきものだ。 一度も間違った結果の論文を書いたことがない 数学者なんてのは皆無ではないが稀少。 460 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:24:25.36 ] >>459 だからそれが落とし穴なんだって トリビアルと思ってたのが実はトリビアルでなかったというのはよくある。 というかそれがほとんどの間違いの原因 461 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:30:15.67 ] 明確に定義されたものから論理的に命題を導くというのがブルバキの整理されたスタイルというのなら そうでないスタイルは常識的には現代数学とは認められない。 462 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:39:17.33 ] >>460 学生？そんな重箱の隅つついてるようじゃ クソ論文しか書けねぇぞ。 間違いを怖れてちゃいい結果は出せねぇよ。 463 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:42:44.10 ] >>461 現代数学という言葉が、数学書の記述を指すなら 論文の記述は、そのようなものとは程遠い。 数学業界の常識。知らない奴はモグリ。 464 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:51:28.62 ] >>463 数学書だろうと論文だろうと論理的に証明されてなければ駄目だろ エッセーならいいが 465 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:54:12.72 ] >>462 誰も間違いを恐れろと言ってない 間違いは自分のノートで思い切りやればいい ただし、それを論文でやるのは大馬鹿 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:19:09.16 ] >>459 誤植、ミスプリ、計算ミスの類は多々やらかしてるが 主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:24:51.62 ] >>463 ブルバキの「数学原論」の文体で論文を書くことは、昔も ほとんどなかったし、今もまずない、という意味では正しい。 が、ブルバキ以前の数学の論文のスタイルは、今より もう少し雑然としており、現代では定義や主定理とその証明を 明確に書くようになっている。その意味で、現代の論文の 大半は、ブルバキの影響の下にある。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:31:04.16 ] >>461 別にそれはブルバキスタイルではないな。ユークリッドの原論からそのスタイルじゃん。 ブルバキスタイルってよく言うけど、どういうものかわからずに言ってる人多いよねｗ 469 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:49:04.33 ] >>468 でブルバキスタイルとはどういうもの？ 470 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:50:00.98 ] >>466 それはあんたが無知なだけｗ 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:51:57.12 ] >>470 無知のあんたに、勝手に決めつけられてもなあｗ 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:53:29.79 ] 集合論を基礎におき、集合にある数学的構造を定め、それによって数学的現象を説明しようとする態度。 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:55:14.76 ] >>468 ユークリッドの原論のスタイルも、また独特だから 比較に使っても仕方ないでしょう。 19世紀から20世紀前半の、数学の論文のスタイルは、 ユークリッド原論とも、ブルバキ以降の近年の論文の スタイルとも異なり、現代になれた人には読みにくい。 やっぱり、今の論文のスタイルは読みやすくなってるね。 474 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:56:31.37 ] >>471 >主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 Wiles知らないの？ 475 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:01:03.94 ] >>472 それは現代数学そのものじゃん 圏論もブルバキは表立って使ってないが裏では使ってる 476 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:10:01.16 ] 大体、空集合の記号φとか Z、Q、R、C はブルバキの考案だからね。 現代数学はブルバキの強い影響下にある。 別にそれを知らなくてもいいが思いっきり否定するのはアホ 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:14:05.75 ] 定義や公理から出発して論理的に、演繹的に数学を構築していくやり方をもって ブルバキスタイルって言ってるのが、形式だけ見て中身を見ていないって言ってるんだよ。 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:18:49.30 ] >>474 だから、稀なんだろ。 アホですか、あんたｗｗ 479 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:20:53.43 ] >>477 集合論を基礎においてるのはそのとうりだが、 それ以前にあんたの言う定義や公理から出発して論理的に、演繹的に というのがブルバキを特徴付けてるだろ。 Elementsという名前からしてユークリッド原論を意識してるのは明らか。 GrothendieckのEGAも同様 480 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:22:28.97 ] >>478 意味不明 悔し紛れに何言ってるんだかｗ 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:26:36.77 ] >>479 ブルバキが原論を意識してるのは有名な話ですね。 なら、そのような体系を話題にするなら原論スタイルとでも言うべきですね。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:32:25.98 ] >>474 ワイルズの論文は、査読を経て修正された正しい形で Ann. Math.に掲載されている。 今の多くの雑誌は、査読がなされているので、 掲載された論文が深刻な誤りを含んでいることは少ない。 名古屋の藤原氏の論文も不掲載となった。 が、査読をスルーして出版されてしまうケースは皆無ではない。 もちろん、不注意によるくだらないミスは山ほどあるｗ 483 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:36:38.99 ] 要するにブルバキは公理主義ということ これに収まらない数学があることは確かだがそれはその数学がまだ成熟していないと見ることも出来る 484 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:38:32.44 ] >>482 甘いな 査読されてるからってｗ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:40:28.97 ] >>483 成熟すればすべてを収めることのできる体系ができるとでも？ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:42:42.48 ] 非線型の偏微分方程式とかは、ずっと収まらんだろｗ テレンス・タオを収めるには、20世紀のブルバキじゃあ 古くさくて枠が狭いんだろね。 ポアンカレ予想とかもあんまりブルバキっぽくないが、 リッチフローとか、多様体の崩壊とか、別に数学として 成熟してる、してないとかじゃないだろ。 487 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:44:11.37 ] >>485 その分野が成熟すれば体系化されるというほぼ当然のことを言ってる 488 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:47:35.96 ] >>486 代数幾何も昔は体系化は望み薄と思われていたがGrothendieckが現れて（略 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:49:31.54 ] >>488 でも、結局、今の代数幾何って、体系的というより 具体的な対象の研究に戻ったような。 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:53:52.00 ] >>483 公理主義は別にブルバキに限らないってことを言いたかったわけです。 491 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:58:10.76 ] >>489 Grothendieckが去ったから 492 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/04(日) 18:59:47.80 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！ 　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！ 493 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:01:13.38 ] >>492 キチガイは病院行け 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 19:07:28.04 ] >>491 結局、ブルバキもメンバーが替わってしまい、 全ての数学を体系化するとか、もう言わなくなった。 代数幾何で、Grothendieckがやったことが例外的 だったんでしょうね。今世紀に、第2、第3のGrothendieckが 現れて、微分幾何や非線型PDEを体系化する！なんて ことはないと思いますよ。 495 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:18:08.40 ] あれは元気者で気の合うものどうしが集まって 気炎を上げた弾みでできたものだから そう深い意味はないものと思う 496 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 19:21:03.27 ] >>453-478 みなさん、乙です！ >>442 >A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で >シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが） 分かりました ”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記） hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/ (抜粋) 具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます． クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです． （引用おわり） 下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 497 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:02:18.04 ] >>479-495 みなさん、乙です。スレが進む日だな >>496 繰り返しになるが、べき根拡大で解けるのは、ガロア群G=C5xV （V:クラインの四元群 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 ） （C5は、５次巡回群） の場合のみ 一般の５次方程式では、ガロア群G=S5=C2xA5　（A5は位数60の交代群で、これは単純群で、非可解。C2は、２次の巡回群） となってしまうので、解けないと 498 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 20:11:32.05 ] >>494 詳しくないけど代数解析は佐藤とか柏原により少しは体系化されてるでしょ。 数論の一部（類体論その他）も数論幾何が発展することによりLanglands programの下に 体系化されるのではと夢想してる。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:30:29.86 ] >>498 代数解析でも、非線型はまだまだ妄想の範囲ｗ ソリトンとパンルヴェの一部くらい。 500 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:38:45.46 ] >>497 つづき 位数119 までの群の分類が下記にある www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf 位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日 >>372-380 V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式） 一般５次方程式では、Vは120の値を取る。この120個の値を集めて ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない そして、元の方程式を解くことは、ガロア（分解）方程式F(x)が解けることと同じ V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、根の置換と対応している>>414 そして、方程式のガロア群の構造は、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に反映されている 元の方程式がべき根で解けるとは、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解けること つまり、”ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解ける”→”ガロア群Gが、巡回群の拡大で構成される構造を持っているべき”だと しかし、上記”位数119 までの群の分類”にあるように、一般に群には巡回群以外のいろいろな群があり、巡回群の拡大で構成される構造を持っている群ばかりではない その一つが、位数60の５次の交代群A5で、これは巡回群の拡大になっていない。つまり、非可解であり、単純群でもあった ５次の既約方程式で解ける最大の群は、位数20 B'5 メタ巡回群の場合で、それならべき根で解ける>>443（ガロア原論文では線形群とされている） これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 5次方程式の可解性の高速判定法は>>443 また、可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003>>443では、根の公式が導かれている 501 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:42:15.49 ] >>500　訂正 これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 　↓ これが、一般の５次方程式が解けず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:48:41.92 ] >>497 G=S5=C2xA5　 とはならないよ 503 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 21:09:24.99 ] 下記は随分参考にさせてもらいました hooktail.sub.jp/ 物理のかぎしっぽ hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8 代数学 - [物理のかぎしっぽ] 504 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 22:09:33.40 ] >>502 おお、ありがとう しっかりチェックしてくれる人がいて、安心だ 対称群S5 位数120に対し、交代群A5 位数60は正規部分群なので、商群Hが定まり S5/A5＝Hとして、Hの位数は２。位数２の群は巡回群C2に同型なので G=S5=C2xA5　と書いたんだが 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/05(月) 19:33:15.70 ] 直積ではなく半直積だ 506 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/05(月) 22:01:28.33 ] >>505 なるほど、納得 半直積ね 掲示板では、あまり数学記号が文字化けのため書けないので手抜きしたのもある ところで、半直積の参考資料を検索したら、こんなのがあった homepage2.nifty.com/narukawa/bicrossed.pdf 群と群から群を作る話 成川淳（なるかわあつし） （抜粋） 数学の世界ではしばしば、2 つの群から1 つの群を作る場面があります。方法としては、 「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は2 つの群それぞれの役割が非対称で、 気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包 括する概念として、群のBicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心 した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省 略して、作用という概念の紹介から話を進めます。 5 最後に 私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度Bicrossed Product という概 念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件(11)-(14) を考えると、逆に半直積の有 用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した(5) が「準同型」という 扱いやすい性質だからです。逆に(5) を仮定するためには、H のK への右作用が自明でな ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群のBicrossed Product で すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。 homepage2.nifty.com/narukawa/jindex.html 成川淳の文書集へようこそ！ 507 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 06:26:09.03 ] >>506 補足 ご指摘ありがとう www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2004_zenki/2/group07.pdf 抜粋 群G の部分群H とK が与えられたとする。 K がさらにG の正規部分群ならば、HK はG の部分群になる。 ・・・がなりたつとき、G はH とK の半直積であると呼び、G = H △ Kと書かれる。（△は、半直積の記号） H とK の両方がG の正規部分群のときはどうだろうか。 H も正規部分群のときにG はH とK の直積であると呼ばれる。 （引用おわり） （この資料はちょっと読みにくいが） なので、直積はH とKの両方が正規部分群になる場合、半直積はKが正規部分群になる場合の群の構造ってことでしょうか だからG=S5=C2xA5と書いたとき、正規部分群は両方ではなく、A5のみが正規部分群だから、半直積だと 508 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:15:54.25 ] >>507 補足の補足 半直積は、下記にも解説がある シューア・ザッセンハウスの定理が、半直積理解の要点だろうな ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D 群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) といい、 で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。 シューア・ザッセンハウスの定理： Nを有限群Gの正規部分群とし、|N|と|G:N|が互いに素であるとき、Gの部分群Cが存在して、GはNとCの半直積となる。 509 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:42:14.15 ] >>440 >で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 >そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ >しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とせるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる >これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ ガロア論文>>3p38第VII節 ここが、おそらく普通の人はなにが書いてあるか、なかなか読めないだろう 守屋の解説もなかなか難しい ところが、おいらの本で守屋の解説のところに、”アルティンP102”とメモしてあった。うんうん、なるほど・・・ アルティンといえばこれしかないよね・・・？？？ na-inet.jp/weblog/archives/001482.html 上野健爾「数学の視点」東京図書，E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫 www.kishimo.com/math/Galois.html アルティン「ガロア理論入門」を読む 文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。 ”文庫本が出た”？ おいらの持っているのは東京図書のハードカバーだ P102は、定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ これは、なかなかわかり易いよ だから、ガロア論文>>3p38第VII節を読む前に、アルティンの該当箇所を読んで、それからこれを読めば、多少ガロアの言いたいことが分かるだろう ガロアは、アルティンと同じものを見ていたことは間違いない が、見ているものを表現する方法がまだ未熟だったのだろう 510 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:51:35.94 ] >>509 補足 ガロア論文>>3p38第VII節は、訳文もこなれていないのか あるいは、ガロアも決闘が迫っていて時間が無かったのか 結論は正しいが、途中あまり証明らしくない・・・というか、分かる説明になっていない メモを書いたのは、おいらが守屋先生の解説が理解できなかったので、別の本を漁ったのだろう 511 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:35:28.44 ] >>509 >定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ >これは、なかなかわかり易いよ アルティンは、 「Kを任意の体とし、f(x)を素数次数qのK内の既約多項式で、そのガロア群は可解とする。 このときのGの構造は非常に簡単である。 まず、Gは可解であることから正規部分群列 G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1　（注：>は集合の包含記号のアスキー代用） が存在して、相続く２つの群による商群はアーベルである。」 と、始める 実に明快。これをスタートとして、アルティンは線形群を導く（これはさすがにガロアには難しいだろう。群論の用語や記法が当時未整備だったから） ところで、このアルティンの記述が、べき根で解かれる群の構造と、なぜ５次既約方程式が一般の解かれないかの説明になっている つまり、５次既約方程式が可解であるとき、Gの構造は非常に簡単でなければならない 即ち、正規部分群列が存在して、G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1で、相続く２つの群による商群はアーベルであるという しかし、一般の５次既約方程式のガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで、A5の構造は複雑でとてもべき根添加で解けるほど簡単ではないと （ここらの事情は、>>496>>442>>440辺りをご参照） これも、５次方程式がべき根による根の公式を有しない大衆向けの一つの説明だろう 512 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:38:09.08 ] >>511 訂正スマソ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで 　↓ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の交代群A5のみで 513 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 22:35:49.29 ] >>437 >ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた >それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン） （思い出したときに追加しておく） 天体力学から摂動計算が出て、後の量子力学へつながった 量子力学のハイゼンベルグの行列力学から固有値によるシュレージンガー方程式との同等性証明 天体力学の三体問題などから、ポアンカレの位相幾何学へ

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