代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 607 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/27(火) 18:14:03 ] 命題 一意分解整域は整閉である。 証明 A を一意分解整域とし、K を A の商体とする。 a/b ∈ K が A 上整とする。ここで、a ∈ A, b ∈ A, a ≠ 0, b ≠ 0。 a, b は互いに素と仮定してよい。 a/b は A 上整だから、整数 n > 0 があり、 (a/b)^n + (a_1)(a/b)^(n-1) + ... + (a_(n-1))(a/b) + a_n = 0 となる。ここで、各 a_i ∈ A。 この等式の両辺に b^n を掛けて、 a^n + (a_1)ba^(n-1) + ... + a_(n-1)(b^(n-1))a + (a_n)b^n = 0 左辺の a^n 以外の項は b で割れる。よって a^n も b で割れる。 b を割る素元 p があるとすると、p は a も割ることになり、 a, b は互いに素という仮定に反する。 よって b は単元である。したがって、a/b ∈ A となる。 証明終 608 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/27(火) 19:14:01 ] >>606 建部崩れの専門は、ヘルス巡り。月給１０万で 最近はほとんど逝けず、激しく意気消沈なのれしたｗ 609 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 13:48:56 ] 命題 A をネーター整域とする。 A が整閉であるためには以下の条件が必要十分である。 1) A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は離散付値環である。 2) A = ∩A_p となる。ここで p は ht(p) = 1 の素イデアル全体を動く。 証明 A はネーター整閉整域とする。 >>585 より 1) が成立つ。 >>605 より 2) が成立つ。 逆にネーター整域 A が 1), 2) を満たすとする。 1) より A の高さ１の素イデアル p にたいして A_p は 一意分解整域だから、>>607 より A_p は整閉である。 よって、2) より A も整閉である 証明終 610 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 13:54:17 ] 138 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 11:44:27 多元数理研の由来は多元環からきてるの？ だとすると代数系に重点を置いてるのかな 139 名前：１３２人目の素数さん ：2005/12/28(水) 13:24:44 >>138 そんなわけないだろ。 それは吉田正章が言った冗談。 本当の由来はある教授が四方教授と本部の事務官の前で言った「冗談」 611 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 14:58:27 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の単項イデアルである。 A はネーターだから、I は A-加群として有限表示を持つ。 よって、>>235 より I は射影的である。 I ≠ 0 だから I は非退化(>>431)である。 よって、>>511 より I は可逆である。 証明終 612 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:07:07 ] 補題 A を整域とする。 A = ∩A_m (m は A の極大イデアル全体を動く)となる。 証明 x ∈ ∩A_m とし、I = {a ∈ A; ax ∈ A} とおく。 I = A と仮定する。I ⊂ m となる極大イデアル m がある。 x ∈ A_m であるから、sx ∈ A となる s ∈ A - m があり、 s ∈ I に矛盾。 証明終 613 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 16:13:20 ] 命題 A を体でない整域とする。A の任意の非零イデアルが可逆(>>430)なら、 A はDedekind整域(>>601)である。 証明 >>504 より可逆イデアルは有限生成である。 よって、A はネーターである。 p を A の非零素イデアルとする。 p は可逆だから、>>509 より p は階数１(>>253)の射影加群である。 よって、>>191 より pA_p は階数１の自由加群である。 つまり、pA_p は、単項イデアルである。 よって、>>567 より A_p は離散付値環である。 よって、ht(p) = 1 である。これから dim(A) = 1 となる。 よって、A の非零素イデアルと極大イデアルは同じものである。 >>612 より A = ∩A_p (p は A の極大イデアル全体を動く)であり、 >>607 より 各 A_p は整閉だから、A も整閉である。 以上で、A は１次元のネーター整閉整域、つまりDedekind整域で あることがわかった。 証明 614 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/28(水) 16:16:04 ] まだ写経してるのか。 615 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:22:31 ] 補題 A をネーター整域とする。 m をその極大イデアルとする。 任意の整数 n > 0 に対して m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明 Supp(A/m^n) = {m} だから前スレの 166 よりAss(A/m^n) = {m} である。 よって、m^n は準素イデアルである。 よって、前スレの 198 より m^n = A ∩ (m^n)A_m となる。 証明終 616 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2005/12/28(水) 17:31:23 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に分解される。 証明 I ≠ A と仮定してよい。 I = q_1 ∩...∩ q_r を準素イデアル q_i による最短準素分解 (前スレの188)とする。Ass(A/q_i) = {p_i} とする。 I ≠ 0 だから各 p_i は極大イデアルである。ht(p_i) = 1 だから、 p_i は Supp(A/I) の極小元である。 よって、前スレの198より q_i = A ∩ IA_(p_i) となる。 >>585 より A_(p_i) は離散付値環であるから、 IA_(p_i) = (p_i)^(n_i)A_(p_i) となる整数 n_i > 0 がある。 よって、>>615 より、q_i = (p_i)^(n_i) となる。 前スレの339より I = (p_1)^(n_1)...(p_r)^(n_r) となる。 証明終 617 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/02(月) 04:40:51 ] 381 618 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/06(金) 10:30:47 ] 早く崩れろ 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:02:11 ] ここは208の独断場ではない 620 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/08(日) 17:33:38 ] >>619 ここは 9208 の希望によって俺が 9208 の為に立てたスレだ。 趣旨を尊重してもらおう。 数学的内容に関しての、質問、まじめな異論なら歓迎だ。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/08(日) 17:52:07 ] >>620 お前の独壇場でもない。 622 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 13:23:36 ] 命題 kingはKrull次元１の正則局所環である。 証明 明らかではない。 623 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 17:32:41 ] Krull と聞くと、ケロロ軍曹を思い浮かべる漏れって数学に向いてない？ 624 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:22:58 ] talk:>>622 私は代数幾何学の専門家ではないぞ。 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:27:38 ] >>624 お前何もできないじゃん。 626 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:32:23 ] talk:>>625 お前に何が分かるというのか？ 627 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 18:41:07 ] >>626 kingがあほなこと。 628 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/10(火) 18:45:59 ] talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ 629 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/10(火) 20:15:39 ] >>628 talk:>>627 お前に何が分かるというのか？ あんた、他の言い方知らないの？ 630 名前：GiantLeaves mailto:sage [2006/01/10(火) 23:33:31 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/10(火) 23:37:09 ] talk:>>630 お前に何が分かるというのか？ 632 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 07:40:43 ] talk:>>629 お前に何が分かるというのか？ 633 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 08:47:24 ] talk:>>632 お前に何が分かるというのか？ 634 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/11(水) 09:47:27 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = IJ となる A のイデアル I, J があるとする。 このとき、I と J は可逆(>>430)である。 証明 aA = IJ だから、IJ(1/a) = A となる。 よって、I と J は可逆である。 証明終 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 10:56:52 ] talk:>>634 お前に何が分かるというのか？ 636 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 11:51:07 ] talk:>>633 お前に何が分かるというのか？ 637 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 12:28:55 ] talk:>>636 お前に何が分かるというのか？ 638 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 12:35:48 ] talk:>>637 お前に何が分かるというのか？ 639 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:20:51 ] talk:>>638 お前に何が分かるというのか？ 640 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 13:30:59 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 641 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 14:50:02 ] talk:>>639 お前に何が分かるというのか？ 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 15:02:19 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 643 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 15:06:55 ] talk:>>641 お前に何が分かるというのか？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 16:57:39 ] talk:>>1-643 おまいらに何が分かるというのか？ 645 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:01 ] talk:>>642 お前に何が分かるというのか？ 646 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:02:36 ] talk:>>643 お前に何が分かるというのか？ 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:08:43 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 648 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:12:01 ] talk:>>645 お前に何が分かるというのか？ 649 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 18:16:33 ] talk:>>647-648 お前に何が分かるというのか？ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 18:46:06 ] talk:>>649 お前に何が分かるというのか？ 651 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 18:51:50 ] >>635-650 お前らに何が分かるというのか？ 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 19:00:46 ] talk:>>651 お前に何が分かるというのか？ 653 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/11(水) 20:10:44 ] talk:>>650 お前に何が分かるというのか？ 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 20:20:58 ] talk:>>653 お前に何が分かるというのか？ 655 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:24:25 ] talk:>>653 お前に何が分かるというのか？ 656 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 20:34:00 ] >>652-655 お前らに何が分かるというのか？ 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:10:19 ] king よ！ ここを去れ！ゴミに反応するな。 658 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/11(水) 22:22:11 ] >>1-657 お前ら、俺様のスレを荒らすなよ！ 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/11(水) 22:48:46 ] >>658　あんた誰？ 660 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 07:05:45 ] talk:>>654-655 お前に何が分かるというのか？ talk:>>657 私を呼んだか？ 661 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 10:28:57 ] 補題 A を整域とする。 a ∈ A, a ≠ 0 とする。 aA = (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 P_1 を {P_1, ..., P_r} の極小元とする。 (Q_1)...(Q_s) ⊂ P_1 だから Q_i ⊂ P_1 となる i がある。 必要なら番号を付けかえて i = 1 と仮定する。 (P_1)...(P_r) ⊂ Q_1 だから P_j ⊂ Q_1 となる j がある。 P_j ⊂ Q_1 ⊂ P_1 だから P_1 の極小性より P_j = P_1 である。 よって、P_1 = Q_1 となる。 >>634より、P_1 は可逆である。 (P_1)(P_2)...(P_r) = (P_1)(Q_2)...(Q_s) の両辺に (P_1)^(-1) を掛けると、(P_2)...(P_r) = (Q_2)...(Q_s) となる。 これから、r に関する帰納法により本補題の主張が得られる。 証明終 662 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 10:49:17 ] talk:>>660 お前に何が分かるというのか？ 663 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 11:44:02 ] talk:>>662 お前に何が分かるというのか？ 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 12:20:04 ] talk:>>663 お前に何が分かるというのか？ 665 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 13:00:06 ] 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を A の素イデアルとし、a を A の元で P に含まれないものとする。 I = P + aA とする。このとき、I^2 = P + (a^2)A となる。 証明 I^2 = (P_1)...(P_r), P + (a^2)A = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び各 Q_i は素イデアルである。 φ: A → A/P を標準射とする。 φ(I^2) = φ(P_1)...φ(P_r) であり、 φ(I^2) = φ((P + aA)^2) = φ((a^2)A) である。 他方、φ(P + (a^2)A) = φ(Q_1)...φ(Q_s) であり、 φ(P + (a^2)A) = φ((a^2)A) である。 よって、φ((a^2)A) = φ(P_1)...φ(P_r) = φ(Q_1)...φ(Q_s) となる。 各 P_i にたいして、I^2 ⊂ P_i だから I ⊂ P_i となる。 よって P ⊂ P_i である。 各 Q_j にたいして、P ⊂ Q_j は明らか。 よって、φ(P_i), φ(Q_j) は A/P の素イデアルである。 >>661より、r = s であり、順序を適当に入れ替えると φ(P_i) = φ(Q_i), i = 1, ..., r となる。 よって、P_i = Q_i, i = 1, ..., r となり、 I^2 = P + (a^2)A となる。 証明終 666 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 14:19:35 ] talk:>>664 お前に何が分かるというのか？ 667 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 14:23:46 ] >>666 あらすなよ！ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 15:04:49 ] talk:>>666 お前に何が分かるというのか？ 669 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 17:47:41 ] 補題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するとする。 P を零でない素イデアルとし、I を P ⊂ I で P ≠ I となる イデアルとする。このとき P = PI となる。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A となる。 x ∈ P とすると、x = y + za + (a^2)b となる。 ここで、y ∈ P^2, z ∈ P, b ∈ A である。 これから、(a^2)b ∈ P となる。a^2 は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 670 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/12(木) 18:23:22 ] 命題 A を整域とする。 A の任意の零でないイデアルが有限個の素イデアルの積に 分解するなら、A はDedekind整域(>>601)である。 証明 P を A の零でない素イデアルとする。 a ∈ P, a ≠ 0 をとり、aA = (P_1)...(P_r) とする。 ここで各 P_i は素イデアルである。 I をイデアルとし、P_i ⊂ I, P_i ≠ I と仮定する。 >>669より、P_i = (P_i)I である。>>634 より P_i は可逆だから I = A となる。よって、各 P_i は極大イデアルである。 (P_1)...(P_r) ⊂ P だから P_i ⊂ P となる i がある。 よって P = P_i となり、P は可逆である。 A の任意の零でないイデアルは有限個の素イデアルの積であるから、 これも可逆である。>>613より A はDedekind整域である。 証明終 671 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/12(木) 22:14:58 ] talk:>>667 おまえもな。 talk:>>668 お前に何が分かるというのか？ 672 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/12(木) 22:17:35 ] マジで荒らすなよ。 673 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/12(木) 23:59:39 ] talk:>>671 お前に何が分かるというのか？ 674 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:29:05 ] >>661の補題の前に次の補題を書いておいたほうが良かった。 補題 A を環とする。 (P_1)...(P_r) = (Q_1)...(Q_s) とする。 ここで各 P_i 及び Q_j は A の可逆な素イデアルである。 このとき、r = s であり、順序を適当に入れ替えると P_i = Q_i, i = 1, ..., r となる。 証明 >>661と同様。 675 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:45:55 ] >>670 >A を整域とする。 A を体でない整域とする。 676 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 09:47:57 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は、極大イデアルの有限個の積に順序を除いて 一意的に分解される。 証明 分解の可能なことは、>>616 で証明されている。 一意性は>>611と>>674から出る。 証明終 677 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:19:37 ] 定義 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I が次の条件を満たすとき I を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) I ≠ 0 2) K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 678 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 12:27:38 ] 命題 A を整域とし、K をその商体とする。 K の A-部分加群 I ≠ 0 が有限生成なら分数イデアル(>>677)である。 A がネーター整域なら逆も成立つ。 証明 明らかだろう。 679 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/13(金) 13:50:44 ] 命題 A をDedekind整域(>>601)とし、K をその商体とする。 A の分数イデアルと K の A-可逆部分加群(>>430) は同じものである。 証明 I を A の分数イデアルとする。 K の元 x ≠ 0 で xI ⊂ A となるものがある。 xI = J とおけば、J は A の非零イデアルであるから >>611 より 可逆である。I = J(1/x) だから I も可逆である。 逆に、K の A-可逆部分加群は、>>504 より A-加群として有限生成 であるから >>678 より分数イデアルである。 証明終 680 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 09:46:37 ] >>676 一意性は>>611と>>674から出る。 >>616の証明からも一意性は明らか。 681 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:01:19 ] >>634の補題は次のより一般的な補題の系としたほうがよかった。 補題 A を環とし、B を A の全商環(>>362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 MN が可逆(>>430)なら、M と N も可逆である。 証明 MN が可逆だから、(MN)L = A となる B の A-部分加群 L がある。 よって、M の逆加群は NL であり、N の逆加群は MLである。 証明終 682 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:07:04 ] >>669 の証明は以下のようにほんのわずか修正したほうが分かりやすい。 証明 PI ⊂ P は明らかだから、 P ⊂ PI を示せばよい。 I ⊂ J なら PI ⊂ PJ だから、 a ∈ A とし、I = P + aA と仮定してよい。 >>665より、I^2 = P + (a^2)A となる。 I^2 = P^2 + Pa + (a^2)A だから、 P ⊂ P^2 + Pa + (a^2)A ⊂ P^2 + aA となる。 よって、x ∈ P とすると、x = y + ab となる。 ここで、y ∈ P^2, b ∈ A である。 これから、ab ∈ P となる。a は P に含まれないから b ∈ P である。 よって、P ⊂ P^2 + Pa = P(P + aA) となる。 証明終 683 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 10:17:44 ] >>670 の証明(の本質部分)は、松村(1980年頃)にも Zariski-Samuel(1958年)にも載っているが、 秋月・永田の近代代数学(1957年)にもある。 ただし、この本の証明はやや分かりにくい (本質的には我々のと同じだが)。 この本の備考に、この証明は浅野の代数学１(岩波)からとったとある。 ただし、これだけからは浅野がこの証明の最初の考案者かどうかは 分からない。 684 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:02:32 ] 補題 A を整域とする。 I, J を A の分数イデアル(>>677)とする。 IJ, I + J, I ∩ J も分数イデアルである。 証明 K を A の商体とする。 K の元 x ≠ 0 と y≠ 0 で xI ⊂ A, yJ ⊂ A となるものがある。 x = a/b, a ∈ A, b ∈ A とすると、aI ⊂ bA ⊂ A だから、 x, y は A の元と仮定してよい。 xyIJ ⊂ A, xy(I + J) ⊂ A, xy(I ∩ J) ⊂ A は明らか。 分数イデアルの定義(>>677) より I ≠ 0, J ≠ 0 である。 A は整域だから、IJ ≠ 0 である。 I + J ≠ 0 は明らか。 xyIJ ⊂ xI ∩ yJ ⊂ I ∩ J だから、I ∩ J ≠ 0 である。 証明終 685 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 12:48:22 ] >>681 しつこいけど、この補題は単位半群、即ちモノイドにおける 命題として定式化出来るね。 686 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:02:58 ] 定義 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M, N を B の A-部分加群とする。 B の部分集合 {x ∈ B; xN ⊂ M} はA-部分加群である。 これを、(M : N) と書く。 687 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:03:38 ] 補題 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 M, N_1, N_2 を B の A-部分加群とする。 (M : N_1 + N_2) = (M:N_1) ∩ (M:N_2) である。 証明 明らか。 688 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:04:55 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M を K の A-部分加群とする。 x ≠ 0 を K の元とすると、(M : xA) = M(1/x) である。 証明 明らか。 689 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:07:49 ] 補題 A を整域とする。 M, N を A の分数イデアル(>>677)とする。 N が A-加群として有限生成なら、(M : N) も分数イデアルである。 証明 >>684, >>687, >>688 よりでる。 証明終 690 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 13:52:12 ] 命題 A を環、B を平坦な A-代数(>>221)とする。 L を A-加群、M, N を L の A-部分加群とする。 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 ここで、(M ∩ N)(x)B, M(x)B, N(x)B は、B の平坦性により、 それぞれ L(x)B の部分加群と見なしている。 証明 完全列 0 → M ∩ N → L → L/M + L/N (直和) より、完全列 0 → (M ∩ N)(x)B → L(x)B → (L/M)(x)B + (L/N)(x)B (直和) が得られる。 B の平坦性により、 (L/M)(x)B = (L(x)B)/(M(x)B), (L/N)(x)B = (L(x)B)/(N(x)B) だから、 (M ∩ N)(x)B = M(x)B ∩ N(x)B となる。 証明終 691 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:04:44 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の A-部分加群とする。 S を A の積閉集合とする。 N が A-加群として有限生成なら、 (M : N)_S = (M_S : N_S) である。 証明 N が１個の元で生成されるときは、>>688 より明らか。 一般のときは、>>687 と >>690 より出る。 証明終 692 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 14:34:32 ] 補題 A を整域とし、K をその商体とする。 M, N を K の有限生成 A-部分加群とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m = NA_m なら M = N である。 証明 A のすべての極大イデアル m に対して NA_m ⊂ MA_m なら N ⊂ M であることを示せばよい。 I = {x ∈ A; xN ⊂ M} とおく。I は A のイデアルである。 N の生成元を x_1, ..., x_n とする。 NA_m ⊂ MA_m より、(s_i)(x_i) ⊂ M となる s_i ∈ A - m がある。 s = (s_1)...(s_n) とすれば、sN ⊂ M となる。 よって s ∈ I となる。s ∈ A - m だから、I は m に含まれない。 m は A の任意の極大イデアルだから I = A である。 よって、特に 1 ∈ I だから、N ⊂ M である。 証明終 693 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:00:23 ] 次の命題は >>235 などを使っても証明出来るが、別の証明を述べる。 命題 A をネータ整域とし、K をその商体とする。 M を A の分数イデアル(>>677)とする。 A のすべての極大イデアル m に対して MA_m が K の A_m -部分加群として可逆(>>430)なら、 M は A-部分加群として可逆(>>430)である。 証明 m を A の任意の極大イデアルとする。 MA_m = M_m は可逆だから >>503 より (M_m)(A_m ; M_m) = A_m である。 一方、A はネーターだから、>>678 より M は有限生成である。 よって、>>691 より M(A : M)A_m = (M_m)(A_m ; M_m) である。 よって、M(A : M)A_m = A_m である。 >>689 より (A : M) は分数イデアルである。 A はネーターだから、>>678 より (A : M) は有限生成である。 よって、M(A : M) も有限生成である。 よって、>>692 より M(A : M) = A となる。 証明終 694 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/16(月) 16:11:49 ] >>611 の命題の別証明 命題 A をDedekind整域(>>601)とする。 A の非零イデアル I は可逆(>>430)である。 証明 p を A の極大イデアルとする。ht(p) = 1 だから、>>585 より A_p は離散付値環である。よって、IA_p は A_p の可逆イデアルである。 >>693 より I は可逆である。 証明終 695 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 16:21:25 ] いつも何してるんですか。 思い切って聞いてみました。 696 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:36:36 ] ゆんゆんちゃんが黙殺されますた。ご愁傷様でつ。 697 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 17:41:44 ] ゆんゆんて誰？　kingみたいな人？ 698 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 17:44:40 ] kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 699 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 17:48:12 ] talk:>>698 なんだと？ 700 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 18:03:59 ] >>698 ははー、失礼いたしますた。 kingより偉いことはわかったでつ。もう少し、く・わ・し・く！ 701 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:06:08 ] >>699 ×：kingよりもずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 〇：king殿はずっと偉いお方じゃ！無礼者め！ 702 名前：１３２人目の素数さん [2006/01/16(月) 18:07:22 ] >>700 ふむ。良きに計らえ。 703 名前：ゆんゆん ◆kIuLDT68mM mailto:sage [2006/01/16(月) 18:52:04 ] >>698 kingとスレ主比べてるんでしょ？ 9208 ◆lJJjsLsZzw さん、お邪魔しました。 704 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:49:22 ] talk:>>701 I'm the King of kings. 705 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2006/01/16(月) 19:53:12 ] >>704 知らない間にボキャが増えたね。 706 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2006/01/16(月) 19:59:27 ] talk:>>705 何だよ？ 707 名前：9208 ◆lJJjsLsZzw [2006/01/17(火) 09:30:11 ] >>677の分数イデアルの定義は A が整域とは限らない場合には 以下のようになる。 定義 A を環とし、B をその全商環(>>362)とする。 B の A-部分加群 M が次の条件を満たすとき M を A の分数イデアル と呼ぶ。 1) M は非退化(>>431)である。 2) A の非零因子 s で sM ⊂ A となるものがある。

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