大好き★代数幾何

1 名前：１３２人目の素数さん [03/10/02 00:41] Grothendieckは代数幾何が大好きだったそうです。 651 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 09:43] 入門書をセミナー用に読んだ人、TeX でうｐｷﾎﾞﾝ。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 12:57] >>651 ﾊｧ? 653 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:11] Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間) (a) k[X] (x) k[Y] = k[X, Y] (同型) だから、A^1 x A^1 = A^2 (同型) となる。ここで、k[X] (x) k[Y] は k 上のテンソル積。 ここで簡単のため、k を代数的閉体とする。A^2 = Spec(k[X, Y]) は、 集合として、以下の素イデアルからなる。 (1) 生成点： 零イデアル (2) 既約多項式により生成される単項イデアル (3) 極大イデアル (X - a, Y - b)。この全体は、k x k の点と１対１に 対応する。 これから、A^1 x A^1 の台集合は、各因子の台集合の積 とは一致しないことがわかる。 654 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:12] ↑は>>593の解答 655 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 20:28] >>593の解答 Hartshorne II Ex. 3.9 (積の位相空間) (b) Spec(k(s)) x Spec(k(t)) = Spec(k(s) (x) k(t))である。 k(s) (x) k(t) = k(s)[t]_S である。 ここに、S = k[t] - {0} であり、k(s)[t]_S は、環 k(s)[t] の S による局所化である。 k(s)[t] の素イデアルは、k[s, t] の既約多項式で生成される 単項イデアルで、k[s] に含まれないものと零イデアルに １対１に対応する。従がって、Spec(k(s) (x) k(t)) は、 k[s, t] の既約多項式で生成される単項イデアルで、k[s] にも k[t] にも含まれないものと零イデアルに１対１に対応する。 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 21:41] >>651 そもそも、TeXで書き写すやつなんているのか・・・。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 21:45] 漏れはM1のときのセミナーでは、やったことをTeXで書いたノートを出せと 言われて、毎週必死こいてTeX打ちしてたぞ。 658 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:27] >>596の解答 Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー) (a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 f の y 上のファイバーは、X_y = X x Spec(k(y)) である。 ここで、k(y) は y の剰余体で、X x Spec(k(y)) は Y 上のファイバー積である。 射影 X x Spec(k(y)) → X を p とする。 射影 X x Spec(k(y)) → Spec(k(y)) を q とする。 以下の図式は可換である。 X x Spec(k(y)) --> Spec(k(y)) ↓ ↓ X ---------------> Y 659 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:28] >>658の続き。 z ∈ X_y とする。 ファイバー積の定義から、 f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は 標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。 逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。 g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。 ここで、ζはk(x)の生成点である。 f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。 これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。 fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に 存在し、pφ = g, qφ = j となる。 φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。 この z は、φの一意製より、一意に定まる。 以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。 U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 660 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:51] >>659 >U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 これを、以下のように訂正する。 x ∈ X で f(x) = y U を X のアフィン開集合、V を Y のアフィン開集合とし、 x ∈ X, y ∈ V, f(U) ⊆ V とする。U x Spec(k(y)) を V 上の テンソル積とする。U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と 位相同型であることは、>>528よりわかる。 故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/05 22:53] >>657 いい先生だね(ﾏｼﾞ 662 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 00:55] じゃぼくもＨａｒｔｓｈｏｒｎｅ読むわ 層のとこからゆっくり 61ページの(3)のとこで Note condition(3)implies that s is unique ってあるけどどういうこと？何に対してユニーク？ (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層）を除くためのものって理解してた ちがう？ 663 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 01:31] 既約だからユニークなんだろうけど、なんで既約っていうのかは知らん 664 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 02:13] >>662 貼り合わせがユニークに存在するっていうこと。 (3) ∀i s|V_i = 0 ⇒ s = 0 っていう条件は、 (3)'∀i s|V_i = t|V_i ⇒ s = t と書き換えられることに注意。 > (3)の条件って層の既約性のことだと思うけど > これってかなり特殊な例（例えばA.S.前層） > を除くためのものって理解してた > ちがう？ これはちょっと言っていることがいまいち掴めませんが（「A.S.前層」って何でしょう？）、 (3) の条件を満たさない前層なんていくらでも存在しますよ。「特殊な例」っていう感じじゃない。 665 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 20:42] >>659 >φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。 この z は、φの一意製より、一意に定まる。 これは、説明不足だった。 p(z) = p(w) として、z = w を言うには、k(z) と k(w) を 共に含む体 K を考え、Spec(K) → X x Spec(k(y)) の一意性を 言う必要がある。後は>>659と同様。 666 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 21:03] >>596の解答 Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー) (b) a ∈ k とし、k[s] のイデアル (s - a) を P とする。 これは、k[s] の極大イデアルである。 B = k[s, t] と置く。 ファイバー X_y は、Spec(B/(s - t^2) (x) k(y)) であり、 これは、B_P/(P(B_P) + (s - t^2)B_P) に 等しい。さらに、これは k[t]/(t^2 - a) に等しい。 これより、(b) の前半がでる。 ηが Y の生成点のとき、X_ηはSpec(k(s)[t]/(s - t^2)) となる。 これより、(b) の後半がでる。 667 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 21:16] >>598の解答 Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム) (a) 問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I), X' = Spec(C) と仮定してよい。 Y x X' = Spec(C/IC) であり、Spec(C/IC) → Spec(C) が閉埋入であることから分かる。 668 名前：１３２人目の素数さん [03/11/06 23:33] >>664 おーそういうことか　なるほど　ありがとう！ 669 名前：１３２人目の素数さん [03/11/07 03:36] P^1 上の O(1) の R 値点全体ってメビウスバンド？ 670 名前：１３２人目の素数さん [03/11/07 19:13] >>667の補足 >問題は局所的であるので、X = Spec(A)、Y = Spec(A/I), X' = Spec(C) と仮定してよい。 Hartshorne II Ex. 2.18d を使う。 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/07 23:41] >>664 ＞「A.S.前層」って何でしょう？ 河田のホモロジー代数にのってるよ。 672 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 11:26] Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)の解答 (b) Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、 Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。 y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。 Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。 V_g' = D(g) ∩ Y となる。 ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と 制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、 V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。 さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の アフィン開集合を以下のようにとる。 まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。 この D(f_i) の存在は上で証明されている。 Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは 有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから D(f_i) 全体も有限個に出来る。 これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。 Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって Y = Spec(A/I) となり Y → X は 自然な Spec(A/I)→ Spec(A) と見なせる。 証明終 673 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 11:36] 俺は、>>672を解くのに２日くらいかかった。勿論、その間ずっと 考えていたわけじゃない。ヒマな時に考えてたわけだ。 >>672は｢*｣が付いた問題だから少しは自慢していいかな？ 674 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 12:02] >>417 >与えられた剰余体を持つ点の個数はいくつか。 これ、わかる人いない？ 675 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 16:17] 岡潔は、数学の問題は情緒によって解くと言っていた。 これは、小平の数覚とも通じる。ペンローズの言うプラトン的世界とも 通じるな。 676 名前：１３２人目の素数さん [03/11/08 16:37] >>675 まあ、Hartshorneの問題を解くくらいのことでは、あまり関係ない かもしれないが。 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/08 17:09] >>673 ｲｲ！(・∀・) 678 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 03:00] なぜ多様体を環付き空間と考えるのですか？ 歴史的にはどのように発生した概念なのですか？ 動機付けを教えて下さい よろしくお願いします 679 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 05:38] >>678 歴史的にはカルタンが多変数複素関数論における岡の理論に ルレイによる層およびそのコホモロジー論を応用したことに始ま ると思う。岡の不定域イデアルが層と同じものと見抜いたから じゃないか。クザンの問題は、層コホモロジーの問題として解釈 するのが一番すっきりする。 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/09 05:52] そしてThomは来日時、岡に会って感動したとか。 681 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 06:32] 層を初めて導入したルレイはもっと認められていい。 層、層のコホモロジー、スペクトル系列。このすべてを 独力で開発した。驚くべき独創だな。彼に較べたら、 カルタン、セールなどは、独創的という面では１段落ちる。 682 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 11:33] >>674 n次monic既約多項式の個数がわかればよい。 一発でわかる公式があるかどうかは知らないけど、 帰納的に、可約多項式の数を組み合わせで算出して求める以外に方法ある？ 683 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 11:38] >>417 ＞Hartshorne II Ex. 2.11. ＞k = F_p を素数 p 個の元を持つ有限体とする。 ＞Spec(k[X]) はどのようなものか述べよ。 　この解答、ｋの代数閉包に、ｋ上の絶対ガロア群を作用させて出来る軌道としては駄目ですか？ （フロベニウス作用がひっかかるんです。誰か教えて！） 684 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 12:11] >>682 有限体 F_p 上の n次monic既約多項式全体の積をφ_n(X)とする。 Πφ_m(X) = X^(p^n) - X である。ここに、左辺の積は、n の正の 約数全体に渡るものとする。 これから、Σdeg(φ_m(X)) = p^n となる。 メビウスの関数 μ(n) をμ(1) = 1, n がr個の互いに異なる素数の積のとき、μ(n) = (-1)^r, 上記以外のとき μ(n) = 0 で定義する。 メビウスの逆変換公式より、deg(φ_n(X)) = Σμ(m) p^(n/m) となる。 ここに、右辺の積は、n の正の約数 m 全体に渡るものとする。 これから、n次monic既約多項式の個数は (Σμ(m) p^(n/m)) / n となる。 これであってると思うけど。面倒なんで、確かめてない。 685 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 12:16] >>683 それでいい。 686 名前：１３２人目の素数さん [03/11/09 19:35] >>683 「フロベニウス作用がひっかかる」って具体的に何がひっかかるの？ 687 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/09 20:00] >>682 「体とGalois理論」に非常に詳しく載ってまっせ。 688 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 11:05] >>684 メビウス函数を使えば、スッキリとやれるんだ！納得！！ 689 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 20:31] >>591 >>491のHartshorne II Ex. 3.7だけど、X と Y がアフィンの場合を示してある のであれば次のようでいいんでない？ f が有限型であるから、空でないアフィン開集合 U = Spec B' ⊆ Y と f^-1(U) のアフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して A_i は B' 上 of finite type。各 V_i 上の誘導射f_i: Spec A_i → Spec B' は generically finite であり（∵Xの生成点ηはUに入りf_i^-1(η)⊆f^-1(η) だから）、また支配的である（∵Xが既約であるからV_iは稠密、よって Y = Cl(f(X)) = Cl(f(Cl(V_i))) ⊆Cl(f(V_i))）。 よって「アフィンの場合」より f_i は finite。よって finite 射の定義（および Ex. 3.4 >>488）より f^-1(U) → U は finite。以上。 はずしてたらスマソ。 690 名前：１３２人目の素数さん [03/11/10 21:06] >>689 f^-1(U)がアフィンであることを示す必要があると思うんだが。 691 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/10 23:06] >>690 ほんとだ。やっぱ思いっきしはずしてた（汗 ちゃんと考えてみます。 692 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:30] >>591 >>491のHartshorne II Ex. 3.7 の解答。 よく考えてやってみました。こんどはハズしてないといいんだが・・・ まず次の補題を示す。 【補題】 A を整域、B をその部分整域とし、A は B 上整とする。このとき、 p ∈ Spec A、p ∩ B = 0 ⇒ p = 0。 証明： p = 0 とし、x∈p-{0} をとる。x は B 上整であるから x^n + b_1*x^(n-1) + ... + b_n = 0、b_1, ..., b_n ∈ B となる次数最低の多項式をとれる。 b_n = -x(x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1)) ∈p であり、b_n = 0 とすると x^(n-1) + b_1*x^(n-2) + ... + b_(n-1) = 0 となり次数が最低であることに反するから b_n ≠ 0。よって b_n ∈ p ∩ B ≠ 0。 693 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:31] >>692 の続き 【Hartshorne II Ex. 3.7 の解答】 X の生成点をξ、Y の生成点をηとする。 まず、f^-1(η) = {ξ} を示す。 ξ'∈f^-1(η)とし、Y の空でないアフィン開集合 U' = Spec B をとる。η∈U だからξ, ξ'∈f^-1(U')である。f^-1(U') の空でないアフィン開部分集合 V' = Spec A で、ξ'の近傍となっており、かつ A が of finite type over B であるものをとって f': V' → U' を考えると、f'は明らかにgenerically finite であり支配的であるから、「アフィンの場合」よりf'は finite。付随する準同型 B → A を考えれば、ξはAの零イデアル、ηはBの零イデアルに対応しており、 ξ' に対応する A の素イデアルを考えれば、補題から ξ' = ξ となる。 次に、f が有限型であるから f^-1(U') の有限アフィン開被覆 V_i = Spec A_i （各V_i は空でないとする）が存在して各 A_i は B 上 of finite type。 上と同様の議論により f_i: V_i → U'は finite。 finite 射は特に閉写像（Ex. 3.5. (b) >>535）だから、f: V → U' も閉写像である。実際、S を V の閉集合とすると、f(S) = f(∪(V_i∩S)) = ∪f_i(V_i∩S) であり右辺は閉集合の有限和だから f(S) は閉集合。 今、W := ∩V_i とおく。i が有限だから W は空でない開集合であり、f が閉写像 であることから f(V - W) は U' の閉集合。また、f^-1(η) = {ξ} ⊆ W である から、η は f(V - W) に入らず、よってf(V - W)≠U'。 U ⊆ U' - f(V - W) なる空でないアフィン開集合をとると、 f^-1(U) ⊆ f^-1(U' - f(V - W)) = V - f^-1(f(V - W)) ⊆ W。 よって、f^-1(U) は f_i^-1(U) (i はどれでもよい）と見なせるから、f_i が finite であることから、f^-1(U) は affine であり f^-1(U) → U は finite となる。以上。 694 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:39] >>693 スマソ。「V」の定義を書くのを忘れたが、単に V: = f^-1(U') ということ。 695 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 06:42] >>692 うーむ、ミスが多い・・・ 補題の証明の「p=0とし」は「p≠0とし」の間違い。 スマソ。 696 名前：１３２人目の素数さん [03/11/12 19:25] >>693 >W := ∩V_i とおく。 これを読んだだけでピンときた。お主出来るな。 この調子で他の難しい問題もやってくれると有りがたい。 697 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 08:50] >>696 どうもです。 ところで翻訳済みでまだ解かれてない問題って残ってる？ 698 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 14:24] >>625 ex.3.5(c) は幾何的に考えると・・・って図書けないし・・・ とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。 Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、 SpecO_K-[P_1}→SpecZ でいけると思う。 ex.3.7 は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」 だったような・・・ というか、ここまで読むのに（あんまり読めてない）めちゃめちゃ時間かかったし。 699 名前：698 [03/11/13 14:47] ↑あれ、嘘やわ・・・prpper quasi-finiteならfiniteやけど・・・ ごめん出直してきます。 700 名前：698 [03/11/13 14:53] あ、ぼーっとしてた。 「f:X→Spec(k)」のときに>>698は正しいから大丈夫。 701 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:10] >>698 > ex.3.7 > は「射が有限⇔射が有限型＋準有限」 > だったような・・・ すまん、言いたいことがよくわからないんだが・・・ ex 3.7 (>>491) を別の方法で解けるってこと？ 702 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:12] えーっと何が大丈夫かと言うと Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　がfiniteになるので解けてる。 それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は間違いがあると思う。 根本的に間違えてるかは分からんけど、irreducibleで無い限りXに生成点はないよね。 例えば題意を満たすようなＸを何枚かコピーしても大丈夫やし。 それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。 だから>>693の補題が正しい時点でもう証明は終わってる。 僕もそこまで真面目に考えてないんで間違えてたらごめんなさい。 703 名前：698 [03/11/13 15:16] あ、両方とも整スキームか・・・ 風邪引いてるということで言い訳にさせて下さい・・・ 704 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:22] >>702 > Yのgeneric pointをξ=Spec(k)　とすれば　f^(-1)(ξ）→ξ　 > がfiniteになるので解けてる。 これちょっとわからないんで、説明してもらえませんか？ > それとYの生成点ってのは1点だけでYのopen setになるよね。 なるとは限らないです。 705 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:25] 勘違いしてた。アホやった。確かに↑のおっしゃる通り。 706 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 15:34] だから、僕の考え方で解けてるかは分からんけど f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteになるってのがぱっと頭に出て それはkの有限生成代数でそのspecの個数が有限になる場合を考えるとArtin環しかないから。 ほんまごめんね、見てた皆さん。 707 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 16:01] generically finite だが quasi-finite でない例って のはどういうのがあるのかな？ 708 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 19:26] >>697 残ってないと思う。今後は翻訳しないで問題番号と解答だけ書くように しないか？　著作権の問題もあるし、翻訳は面倒だし。 709 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 19:59] >>698 >とにかくKを数体でその整数環をO_Kとする。 Zのある素数pの上に{P_1,・・・,P_n}がのっかってるとして、 SpecO_K-[P_1}→SpecZ でいけると思う。 これが有限射でないことの証明はどうするのかな？ 710 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 20:12] >>709 affine射にならないんじゃない？ 711 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 20:30] >>710 だからaffine射にならないことの証明なんだけど。 712 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 21:29] ごめんなさいね、適当で。 えーと、SpecO_K-{P_1}がaffineだとするとO_Kのイデアルに対応してそれをIとする。 逆にイデアルに対応するからclosedとしてよく、よって{P_1}がopen pointになって矛盾。 713 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 21:30] >>709 698じゃないけど、整数環 O_K がPIDだったら、 確かに>>489の例になってると思う。 もっと具体的にしちゃえば、たとえば f: Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] → Spec Z とすれば、f は明らかに有限型、準有限で、f((2 - √-1)) = (5) だから全射。 だけど、1/(2 + √-1) ∈ Z[√-1, 1/(2 + √-1)] は Z 上整じゃないから、 特に f は有限射でない。 714 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:12] 712 と 713、思いっきり矛盾してますねｗ 715 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:20] 713 間違ってる？ 716 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:24] >>713　だと思いっきり有限射になってるし 717 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 22:34] >>716 なぜ有限射？ 718 名前：713 [03/11/13 22:48] なんか、話がかみあってないな。 Spec Z[√-1] - {(2 + √-1)} = D(2 + √-1) = Spec Z[√-1, 1/(2 + √-1)] でしょ？ どうして affine じゃないんだ？ 719 名前：712 [03/11/13 23:11] あれ、まだ間違えてるんかなぁ。 疲れたんで今日は寝ますね。ごめんなさい（熱上がったし・・・） 720 名前：１３２人目の素数さん [03/11/13 23:16] >>719 そう、きついことを言うようだが病気が完全に治ってから投稿してくれ。 721 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 05:58] >>720 病人ですがまた来てしまいました・・・寝てると考えることこればっかりなので・・・ また間違えてるかもしれないし、その時は指摘してください。 とりあえず>>712は間違えてます。イデアルに対応する、ってのが大嘘です。 だから>>698は今のところあってるか分かりません。 なんとなく幾何的に考えたんで、適当でした。 それとex3.7の方ですが f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアルに対応するから整スキームより１点（genericのみ） でこれは体の有限拡大K/kを表してます。 そのaffine近傍をとると、SpecB→SpecA　でB=A[x_1,・・・,x_n]という形。 （x_iは生成元で超越的とは限りません。） またBの商体がK、Aの商体がkであるので、 x_i　はk上整でその最小多項式の分母の最小公倍元Nをとり、SpecAの開近傍U=D(N)とする。 Vをその逆像（上のSpec間の射での）とすると、V→Uはfiniteになっている（と思う←自信なくしつつある） 722 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 12:54] >>721 > それとex3.7の方ですが > f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で左辺はXの極小イデアル > ... なんか議論があいかわらず大雑把でよくわかりません。 上記の「証明」のギャップを細かく埋めてみてもらえませんか？ 自信を取り戻すきっかけにもなるかもしれないよ。 723 名前：722 [03/11/14 13:03] >>721 具体的にいうと > f^(-1)(ξ）→ξ　がfinite で 何で？ >左辺はXの極小イデアルに対応するから 「Xの極小イデアル」とは何？ >でこれは体の有限拡大K/kを表してます。 何故？ >そのaffine近傍をとると どうとるの？ ・・・という感じ 724 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 17:33] f^(-1)(ξ)→ξ　がfiniteなのは 「kが体なら　X→Speck　がfinite⇔quasi-finite&of finite type」を使う。 この「」の証明はk上有限生成代数で素イデアルが有限個な事からArtin環であることを使えばよい。 （これはきっと有名がlennmaなはず） f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えるとその極小イデアルに対応してると言う意味。 今ｆXは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。 よって、Speck間のfinite射より有限拡大を表してる。 affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。 と思います。 725 名前：722 [03/11/14 21:04] >>724 > f^(-1)(ξ)をaffine近傍に制限して考えると f^(-1)(ξ) は空かもしれないけど、今の場合何故そうでないと言える？ >その極小イデアルに対応してると言う意味。 何故？ >今Xは整スキームなのでこの極小イデアルは１個でよって体。 何が体？ > affine近傍は・・・とりあえず適当にaffine近傍をとるとaffineならD(g)の形の開基をもつので > その適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分に含まれるD(g)の形（こいつはaffine）をとりなおせばよい。 最終的にはYの空集合U'をとってf-1(U')→U' がfiniteであることを言わなきゃいけないから、 この時点で「適当な近傍とf^(-1)(U)との共通部分」をとっちゃうとまずいと思うんですが。 726 名前：722 [03/11/14 21:44] スマソ。後半の「Yの空集合U'」は「Yの開集合U'」の間違い。 727 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 23:55] >>725 １つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。 　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う） ２つ目　零イデアルの逆像だから。 ３つ目　そのArtin環が体 ４つ目　あれ、問題勘違いしてたわ。それなら僕の解等の後半はあかんわ。 　　　　　被覆の取り方とか工夫せんとあかんね。また考えます。 728 名前：１３２人目の素数さん [03/11/14 23:56] 不自然な関西弁きもい。 729 名前：722 [03/11/15 00:42] >>727 >１つ目　dominant やよね？Xのgeneric pointeηとするとそれの行き先がξだから。 >　　　　　（確認は普通に集合論使って頑張るだけやと思う） じゃあ、最初からちゃんとそう書かなきゃ。 > ２つ目　零イデアルの逆像だから。 なぜ？ f^(-1)(ξ) が一点なら確かにそうなるけど。今はまさにそれを示そうと してるんじゃないの？ 話の順序が逆だと思うんだけど。たとえば今仮に f が genrically finite という仮定をはずして f: Spec K[x, y] → Spec K[x] を考 えると、f の generic fiber f^-1(ξ) (=~ Speck K(x)[y]) の各点は K[x, y] の極小素イデアルと対応している？ そうじゃないよね。 730 名前：722 [03/11/15 01:17] >>727 > ２つ目　零イデアルの逆像だから。 それとこれを読んでちょっと思ったんだが、もしかして f^(-1)(ξ) の意味を取り違えてないか？ f^(-1)(ξ) はスキームのほうで考えれば たしかに「零イデアルの逆像」だけど、環のほうで考えると 「逆像が零イデアルとなる素イデアル（の集合）」だよ。 まあ、この問題の場合、前半部のf^(-1)(ξ)→ξが体の有限次拡大になってい るっていうのは確かに合ってるから別にいいと言えばいいんだけどね。 で、後半部が本質的な問題だと思うんだが。とにかく > それとなんか違和感を感じていてやっと分かったんやけど、>>693は > 間違いがあると思う。 とか書いておいて、指摘することが全然間違ってたり大雑把だったりする ので、ちょっと困ります。>>693 に何か問題ある？（ちなみに693を書いた のは僕です）。 731 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 03:36] ＞722さん まず謝りたいのは>>693が間違いだと思ったのはXが整スキームという仮定を忘れてたからと generic　pointの性質を間違えて思ってたからで問題はないと思います。 あと議論が大雑把だったりするのは、あんまりパソコンの前座ってると熱上がるんで・・・ （だから、治してから来てって言われたんやけど・・・） >>729　genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。 　　　　　僕の説明が悪いのですが、零イデアルの逆像の座標環がArtin環になっているということです。 　　　　　（そこの例でのK(x)[y]のことかな） 　　　　　だから極小なイデアルしか逆像に入ってないんです。 後半が大事なのは当然です。ただ、genericallya finiteという言い方からもこういう方法でちょっとξ の周りに伸ばせるのでは、と思ったので。 よかったらそんな方向で考えて教えて下さい。ヒントはその方向を示唆してるのだと思います。 732 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 06:45] >>731 考えを煮詰めてから書き込んでくれないか。 風邪で集中力がないからそれも難しいだろうが。 迷惑なやっちゃ。 733 名前：722 [03/11/15 11:25] >>731 > genericallya finiteの仮定はかなり本質的だと思います。 ちょっと勘違いしてるみたいですけど、僕はそんなことは最初からわかって るんです。あなたの説明がいい加減だから指摘してるだけ。generic fiber が の逆像が Artin 環の Spec になるっていうのは、generically finite っていう仮定から出てくるんでしょ？ だったらそこからそれがどう導かれるのかを ちゃんと書かなきゃ。いきなり「極小イデアルが云々」とかいってもわけわかんないよ。 ちなみに「極小イデアル」じゃなくて「極小"素"イデアル」ね。 734 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 17:21] 大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？ 風邪引いてるみたいだし。 少なくとも「極小イデアル」を”素”なしの意味で使う程分かってない奴じゃないだろ。 まぁ、間違いも多いから迷惑だが、方向としては間違ってないし。 それに細かく（ここまでみたいに）やってると何年もかかっちゃうよ。 で、今後の予定はどうすんだ？ 735 名前：１３２人目の素数さん [03/11/15 17:42] >>734 １章を除いて約300題くらいあるのかな。一人でやるとなると ２，３年かかるな。だから共同で解こうじゃないか。二人なら １年半。３人なら１年だ。 736 名前：734 [03/11/15 23:34] 正直４章までしか読んでないし、かなり読み流した（代数幾何が専門ではない）ので できるところだけなら。 次は２章の§４？ 737 名前：722 [03/11/16 00:33] >>734 >大体言いたいことは分かるんだから細かいところはいいんじゃないの？ >風邪引いてるみたいだし。 ですね。ちょっときつく書きすぎました。ごめんなさい＞731さん。 >>735 僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。 738 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:39] Ex.3.18. 構成可能集合(constractible set). X をザリスキ位相空間とする. X の構成可能部分集合(constractible subset)とは, 以下をみたす最小の、部分集合の族 F に属する部分集合のことである: (1) 各開集合は F の元, (2) F の元の有限個の共通部分は F の元, (3) F の元の補集合は F の元. (a) X の部分集合が局所的に閉であるとは, それがある開集合と ある閉集合との共通部分になっていることである. X の部分集合が構成可能であることの必要十分条件は それが局所的に閉な部分集合の有限個の非交和と書けることであることを示せ. (b) 既約なザリスキ空間 X の構成可能部分集合が稠密であることの必要十分条件が それが生成点を含むことであることを示せ. さらに, そのときそれは空でない開集合を含む. (c) X の部分集合 S が閉であることの必要十分条件は それが構成可能かつ特殊化で安定であることである. 同様に, X の部分集合 T が開であることの必要十分条件は それが構成可能かつ一般化で安定であることである. (d) f: X -> Y がザリスキ空間の連続写像ならば, Y の構成可能部分集合の逆像は X の構成可能部分集合である. 739 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:40] >>736 次は II Ex.3.11 (c) と (d) だけど、これは今俺がやっている。 だけど早いもの勝ちってことで。誰がやってもいい。 それも、別に順番にやることもないと思う。 あまり飛ばなければ、多少番号が飛んでもいいと思う。 740 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:54] >>738 今後、問題は翻訳しないようにしないか？ 著作権で問題を起こしたくない。 いずれにしても本を持ってない人は理解は難しいと思うし (本文の結果を使うんで)。 ただこの方法で問題なのは、旧版と新版で問題が違うかもしれない ってこと。俺が持ってるのは1977年のものだけど。だれか新版持ってる 人いる？ 741 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 00:57] >>737 ＞僕もこれからも時間が取れる範囲で参加しようと思ってますんで、よろしく。 嬉しいね。大歓迎です。 742 名前：722 [03/11/16 00:57] >>740 新版ってあるんだ？ 知らなかった。ちなみに僕がもってるのも 1977 年版。 ところで著作権だけど、あまり気にしなくてもいいように思うんだが・・・ 「引用」の範囲内ってことで大丈夫だと思うけど。 743 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 01:19] >>742 だけど300問も翻訳したら引用の範囲内ってわけにいかないと思うんだが。 沢山問題を解くとこのスレ有名になるような気がするし。 744 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [03/11/16 03:13] 同じ問題を何人が解いてもいいんじゃない。 問題の翻訳は解く人が好きにすればいいと思うけど。 745 名前：７３１ [03/11/16 03:29] >>737　いえ、すいません、迷惑をおかけして。 とりあえず風邪がだらだら続くんで今から治すまでPCやめときます。 746 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 03:48] >>744 同じ問題を解くのは改良とか別証であればいいんじゃない。 問題の翻訳については、俺は反対だけど俺の意見を 強制する気はないし、そんなこと不可能だし。 747 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 08:24] �UEx3.13 (a)　f:X→Y　を　closed immersion とする。 Xの　open affine covering {U_i=SpecA_i}　をとる。この時示すべきことは各iに対して f^(-1)(U_i)が有限個の open affine subset {V_i,j=SpecB_i,j} で覆えて、B_i,jが有限生成A_i algebra であることである。 今　Y×U_i/X→U_i を考えると　Ex.3.11(a)よりclosed immersionであり、Yがaffineの場合に帰着できる。 この場合はほとんど明らかである。(Y=SpecA とすると　X=SpecA/I　なので） (b)　射、open coveringの取り方は上と同じとする。 今、f^(-1)(U_i)=U_i∩X　であり（XはYのopen subschemeと考えれる） quasi-compact より有限個のopen affine subsets {V_i,j=SpecB_i,j}　で覆える。 V_i,j→f^(-1)(U_i)→U_i はopen immersionであるから、これまたほとんど明らか。 反省：Yのopen affineを任意にとってきた方が添え字が楽。 748 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 08:51] �UEx.3.13 (c)・・・被覆を丁寧にとっていくだけ・・・パス (d)　f:X→Y をS上の射として、S'→S　でbase changeする。X'=X×S'　Y'=Y×S' としておく。 今fはof finite typeなのでYのopen affine cover {U_i=SpecA_i}でf^(-1)(U_i)がfinite open affine cover {V_i,j=SpecB_i,j}をもち、B_i,jは有限生成A_i algebra となるものがある。 Y'→Y をpとするとY'はp^(-1)(U_i)=U_i×S'　でcoverできる。 Sのopen affine　cover {S_k}とその逆像のopen affine cover {S'_l}　をとると、 p^(-1)(U_i)は　U_i×S'_l/S_k （今までのそれ以外のfibre積はS上）で覆われる。 よってY'はさらにiを動かしたもので覆われる。 ここで　f':X'→Y' に対し、f'^(-1)(U_i×S'_l/S_k)　は V_i,j×S'_i/S_k （有限個）で覆えて、 これらはtensor積で表されてaffine有限生成は明らか。 749 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 09:13] ・・・飽きた。(e)とか可換図式ないとつらいし・・・ (e)SがaffineのときS=SpecRとする。 　　X×Y→→Y　　　 　　　↓　　　 ↓ 　　　X　→→S　　　上段の→→をp_2、下段の→→をf、左の↓をp_1、右の↓をg 　 仮定よりXの有限個のopen affine cover {U_i=SpecA_i}、Yも同様に{V_j=SpecB_j}　をとる。 (p_1)^(-1)(U_i)∩(p_2)(-1)(V_j)=U_i×V_j　なので（図式で示すか、定義に帰って示すか？） U_i×V_j/S=SpecA_i×B_j/R 　（右辺はテンソルのつもり） なので有限生成R代数になっている。 Sがaffineでない場合はSをaffineに分解しとけばできるでしょう（←適当） (f)これまた頑張って被覆とるだけのような気がするのでパス (g)noether環上有限生成な環はnoetherであり、有限枚のaffineで覆えるのも明らか。（←やっぱり適当） 750 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 12:33] II Ex. 3.11 (c) の解答 まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。 II Ex. 3.11 (b) より、アフィンスキームの閉部分スキームは アフィンだから、Y, Y' もアフィンとなる。 Y = Spec(A/I), Y' = Spec(A/J) と仮定してよい。 V(I) = V(J) だから、rad(I) = rad(J) となる。 Y は被約だから, I = rad(I) である。故に I = rad(J) となる。 J ⊆ I だから、A → A/I は A → A/J → A/I と分解する。 これより、Y → X は Y → Y' → X と分解する。 X のアフィン開集合 D(f) に対して、 上記の分解の D(f) への制限 Y ∩ D(f) → Y' ∩ D(f) → D(f) は、 A_f → A_f/JA_f → A_f/IA_f から得られる。 これより、W = Spec(B) が X の任意のアフィン開集合のとき、 Y → Y' → X の W への制限 Y ∩ W → Y' ∩ W → W は、 B → B/J' → B/I' から得られることがわかる。 ここに、I', J' はそれぞれ Y ∩ W と Y' ∩ W に 対応する B のイデアルである。 一般の場合は、X のアフィン被覆をとることにより、 X がアフィンの場合に帰着する。 これは、次のことに注意すればよい。 U と V を X のアフィン開集合とする。 Y ∩ U → Y' ∩ U → U と Y ∩ V → Y' ∩ V → V は U ∩ V で一致する。 これは、U ∩ V に含まれる任意のアフィン開集合 W をとり、上記を適用すればよい。 751 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 12:59] II Ex. 3.11 (d) の解答 まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。 f: Z → X は φ: A → Γ(X) により定まる(II Ex.2.4)。 I = Ker(φ), Y = Spec(A/I) とおけば、Y が問題の 性質をみたすことは明らかである。 X がアフィンでない場合。 U を X のアフィン開集合とする。 f_U : f^(-1)(U) → U を f の制限とする。 Y_U を上記のようにして得られる U の閉部分スキームとする。 V を X のアフィン開集合とする。 Y_U と Y_V は U ∩ V で一致することは明らかだろう。 これより、Y が存在し、問題の性質をみたすことも 明らかだろう。

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