まず X をアフィンスキーム Spec(A) と仮定する。 f: Z → X は φ: A → Γ(X) により定まる(II Ex.2.4)。 I = Ker(φ), Y = Spec(A/I) とおけば、Y が問題の 性質をみたすことは明らかである。
X がアフィンでない場合。 U を X のアフィン開集合とする。 f_U : f^(-1)(U) → U を f の制限とする。 Y_U を上記のようにして得られる U の閉部分スキームとする。 V を X のアフィン開集合とする。 Y_U と Y_V は U ∩ V で一致することは明らかだろう。 これより、Y が存在し、問題の性質をみたすことも 明らかだろう。
752 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 13:30]
II Ex. 3.12 (a) の解答
U = Proj(T) は明らか。 φ: S → T の核を I とする。 T と S/I は標準的に同型だから、 Proj(T) = Proj(S/I) とみなしてよい。 h を S+ の同次元とする。 D+(h) = Spec(S[1/h]_0) であり、 f^(-1)(D+(h)) = Spec((S/I)[1/h']_0) である(>>459参照)。 ここに、S[1/h]_0 は局所化 S[1/h] の 0 次部分であり、 h' は h の S/I における像である。 (S/I)[1/h']_0 は S[1/h]_0/IS[1/h]_0 と見なせる。 従がって、f^(-1)(D+(h)) → D+(h) は閉埋入である。 D+(h) は S の開被覆となるから、f も閉埋入である。
I' ⊆ I だから射φ: S/I' → S/I が存在する。 これが誘導する射 Proj(S/I) → Proj(S/I') は 同型であることが II Ex. 2.14 (c) よりわかる(>>469参照)。 S → S/I は S → S/I' → S/I と分解するから、 Proj(S/I) と Proj(S/I') は同じ閉部分スキームを定める。
757 名前：１３２人目の素数さん [03/11/16 20:12]
II Ex. 3.14 の解答
X はアフィンと仮定してよい。 X = Spec(A) とする。 f をベキ零でない A の元とする。 A_f ≠ 0 だから、A_f の極大イデアル P が存在する。 φ: A → A_f を標準射とする。φ^(-1)(P) = P' とおく。 A/P' → A_f/P をφから誘導される単射とする。 A_f は体 k 上有限型だから、ヒルベルトの零点定理より、 A_f/P は k 上有限次代数拡大である。 従がって、A/P' も k 上有限次代数拡大である 故に、P' は A の極大イデアルである。 P' ∈ D(f) だから、X の閉点全体は X で稠密である。 これで、問題の前半が証明された。
(B, m) を体でない局所整域とする。 f ≠ 0 を B の元で、m に含まれる元とする。 D(f) は 0 イデアルを含むから空でなく、m を含まない。 これより、 Spec(B) の閉点全体 {m} は Spec(B) で稠密でない。
U を X のアフィン開集合とし、 P を U の閉点とする。P が X の閉点であることを示せばよい。 Q を {P} の閉包に含まれる点とする。 Q ∈ V となる任意のアフィン開集合 V = Spec(A) を取る。 P ∈ U ∩ V である。 P ∈ D(f) ⊆ U ∩ V となる、A の元 f がある。 P は D(f) の閉点だから、零点定理より、V の閉点でもある。 従がって、P = Q である。 故に P は の閉点である。
X が性質Pを満たさないと仮定して矛盾となることを示す。 X の閉集合で性質Pを満たさないものの集合をSとする。 X ∈ S だからS は空でない。 X は仮定よりネーター空間だから、S は包含関係による極小元 F を 持つ。Fの真部分閉集合は性質Pを満たす。従がって、仮定より Fは性質Pを満たす。仮定よりFは性質Pを満たさないから、これは矛盾である。
F をZariski空間 X の空でない極小閉集合とする。 x ∈ F なら {x}の閉包は F に含まれるから F と一致する。 つまり、F の任意の点は F の生成点である。 Zariski空間 X の定義より、F の生成点は一意に決まるから F は一点よりなる。
817 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 21:58]
II Ex. 3.17 (c) の解答
x と y を X の相異なる２点とする。 X はZariski空間だから、{x} の閉包 A と {y] の閉包 B は異なる。 つまり、 A は B に含まれないか、B は A に含まれない。 これは、(c) の主張を意味する。
818 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 22:04]
II Ex. 3.17 (d) の解答
x を X の生成点とする。 定義から X は {x} の閉包である。 これより、(d) の主張は明らかである。
819 名前：１３２人目の素数さん [03/11/20 22:48]
II Ex. 3.17 (e) の解答
x を 特殊化(specialization)における極小元とする。 F を {x} の閉包とし、y を F の元とする。 {y} の閉包は F に含まれるから F と一致する。 従がって y は F の生成元である。 X は Zariski空間だから F の生成元は一意に決まる。 故に、 x = y である。即ち、F は閉点である。
x を 特殊化(specialization)における極大元とする。 F を {x} の閉包とする。 F を含む既約閉集合を E とする。 X は Zariski空間だから E は生成元 y を持つ。 x は y の特殊化だから、x の極大性より x = y である。 故に, F = E となる。これは、F が X の既約成分であることを 意味する。
F を X の閉集合とする。 x を F の点とし、y を x の特殊化とする。 E を {x} の閉包とする。 E は F に含まれる。従がって、y も F に含まれる。 つまり、閉集合は特殊化で安定的(stable)である。
U を X の開集合とする。 x を U の点とし、y を x の一般化(generization)とする。 x は {y} の閉包に属すから、 y は U に含まれる。 つまり、開集合は一般化で安定的である。
今、注文しておいた洋書の古本が届いた。 Theorie der Kahlerschen Mannigfaltigkeiten by Andre Weil. 表紙を見たら Saunders MacLane のサインがあった。 裏表紙の内側にMacLaneの蔵書よりと古書店の書き込みがあった。 サインも古びており偽物と疑う理由はない。
定義より、t(X) の閉集合は、t(Y) の形の集合である。ここに Y は X の閉集合である。本文 (2.6) のように、写像 α: X → t(X) を α(p) = {p}~ で定義する。ここに、{p}~ は {p} の閉包である。 容易にわかるように、Y が X の閉集合なら α^(-1)(t(Y)) = Y である。t(Y_1) ⊆ t(Y_2) ．．． を t(X) の閉集合の昇鎖列とする。 この列にα^(-1)を作用させると、Y_1 ⊆ Y_2 ．．．となる。 X がネーター空間なら、この列はある番号から先一致する。 従がって列 t(Y_1) ⊆ t(Y_2) ．．．もある番号から先一致する。 故に、t(X) はネーター空間である。
t(Y) が t(X) の既約閉集合とする。 Y = Y_1 ∪ Y_2 とする。ここで、Y_1, Y_2 は閉集合。 t(Y) = t(Y_1) ∪ t(Y_2) だから、t(Y) = t(Y_1) または t(Y) = t(Y_2) となる。これより、Y = Y_1 または Y = Y_2 となる。即ち Y は既約である。従がって Y ∈ t(Y) となる。 Z を X の閉集合として、Y ∈ t(Z) とする。これは、Y ⊆ Z を 意味する。故に、t(Y) ⊆ t(Z) となる。これは、t(Y) が {Y} 閉包であることを意味する。即ち Y は t(Y) の生成点である。 Z をt(Y) のもう一つの生成点とする。{Z} の閉包は t(Z) であるから、 t(Y) = t(Z) となり、 Y = Z となる。即ち、t(Y) の生成点は 一意に決まる。以上で、t(X) はZariski空間であることが証明された。
(続く)
831 名前：１３２人目の素数さん [03/11/22 22:57]
II Ex. 3.17 (f) の解答の続き
X はZariski空間であるとする。 α: X → t(X) が全単射であることは明らかである。 Y を X の閉集合とする。α(Y) = t(Y) だから、 αは閉写像であり、従がって、同相写像である。
逆に、α: X → t(X) が同相写像であるとする。 t(X) はZariski空間であるから、X もZariski空間である。
832 名前：１３２人目の素数さん [03/11/22 23:43]
II Ex. 3.18 (a) の解答
X の局所閉集合の有限個の直和となる部分集合の全体をΩとする。 任意の開集合はΩに属すから、Ωは有限個の交わりと補集合をとる 操作に関して閉じていることを示せばよい。
局所閉集合の有限個の交わりは局所閉集合である。 これから E_1 ∈ Ω, E_2 ∈ Ω のとき E_1 ∩ E_2 ∈ Ωとなる。 よって、Ωは有限個の交わりをとる操作に関して閉じている。 次にΩは補集合をとる操作に関して閉じていることを示す。 X の部分集合 A に対して C(A) を A の補集合とする。 U を開集合、F を閉集合とする。 U ∪ F = (U - F) ∪ (U ∩ F) ∪ (F - U) だから、 U ∪ F ∈ Ω となる。 C(U ∩ F) = C(U) ∪ C(F) だから、C(U ∩ F) ∈ Ω となる。 Z_1 と Z_2 を局所閉集合とする。 E = Z_1 ∪ Z_2 なら、C(E) = C(Z_1) ∩ C(Z_2) であり、 上で述べたことより、C(Z_1) ∈ Ω, C(Z_2) ∈ Ωであり、 従がって、C(E) ∈ Ω である。
833 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 02:03]
II Ex. 3.18 (b) の解答
x を X の生成点とする。 E を X の可構集合(constructible subset) とする。 さらに E が X で稠密とする。 E は局所閉集合 Z_1, ... Z_n の直和とする。 E の閉包、即ち X は、各 Z_i の閉包の合併集合であり、 X は既約だから、ある Z_i の閉包と一致する。 Z_i = U ∩ C(V) とする。ここで、U と V は X の開集合であり、 C(V) = X - V である。 U が空とすると、Z_i は空であり、Z_i が稠密であることに反する。 従がって U は空でない。x は X の生成点だから、 x ∈ U となる。さらに V が空でないとすると、Z_i ∩ V は 空だから Z_i が稠密であることに反する。 従がって、V は空であり、Z_i = U となる。 これから、x ∈ Z_i ⊆ E であり、E が空でない開集合 U を含む ことが分かる。
S を X の可構集合とし、特殊化で安定とする。 S が閉集合であることを示す。 U = X - S と置く。 S の閉包の既約成分を F_1, ... F_n とする。 各 F_i の生成点を P_i とする。 ある i に対して P_i ∈ U と仮定する。 i = 1 と仮定してよい。 U は X の可構集合だから、U ∩ F_1 は F_1 の可構集合である。 II Ex. 3.18 (b) より、U ∩ F_1 は F_1 の空でな開集合 V を 含む。G = F_1 - V と置く。 V ⊆ U だから S = X - U ⊆ G ∪ F_2 ∪ ．．．∪ F_n となる。 これより、[S] = G ∪ F_2 ∪ ．．．∪ F_n となる。 ここで [S] は S の閉包をあらわす。G は F_1 の真閉部分集合 だから、これは F_1 が [S] の既約成分であることと矛盾する。 従がって、各 P_i は S に含まれる。仮定より、 S は特殊化で安定であるから、各 F_i は、S に含まれる。 よって、S = [S] となり S は閉集合である。
次に (c) の後半を示す。 T を X の可構集合とし、一般化で安定とする。 X - T が閉集合であることを示せばよい。 x を X - T の点とする。 y を x の特殊化とする。x は y の一般化である。 y ∈ T と仮定すると、 仮定よりT は一般化で安定だから x ∈ T となり矛盾。従がって y ∈ X - T である。 これは、X - T が特殊化で安定であることを意味する。 故に、前半の結果から X - T は閉集合である。
838 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 20:16]
補題 A をネーター環、X = Spec(A) とする。 Z を X の可構部分集合とする。 このとき、アフィンスキーム Y と有限型の射 f: Y → X が 存在し、f(Y) = Z となる。
証明 Z を局所閉集合 Z_1, ... Z_n の直和とする。 各 Z_i に対して アフィンスキーム Y_i と 有限型の射 f_i: Y_i → X が存在し、f(Y_i) = Z_i とする。 Y を {Y_i} の直和スキームとする。f を {f_i} から誘導される 射 f: Y → X とする。f(Y) = Z であり、f は有限型であるから Z が局所閉集合の場合に補題を証明すればよい。 Z = U ∩ F となる X の開集合 U と閉集合 F が存在する。 U はアフィン開集合 D(h_i) の有限個の合併集合となるから、 U はアフィン開集合 D(h) と仮定してよい。 F を X の被約な閉部分スキームと考える。 U x F を X 上のファイバー積とし、Y = U x F とおく。 f(Y) = U ∩ F であり、f は有限型である。 証明終
839 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 20:17]
補題 X をネータースキームとし、Z を X の可構部分集合とする。 このとき、アフィンスキーム Y と有限型の射 f: Y → X が 存在し、f(Y) = Z となる。
証明 X は有限個のアフィン開集合 U_i の合併となる。 各 Z ∩ U_i は U_i の可構部分集合である。 前補題より、アフィンスキーム Y_i と有限型の射 f_i: Y_i → U_i が存在し、f_i(Y_i) = Z ∩ U_i となる。 g_i: U_i → X を標準埋入射とする。 h_i = (g_i)(f_i) : Y_i → X とする。 Y を {Y_i} の直和スキームとする。f を {h_i} から誘導される 射: Y → X とすればよい。 証明終
840 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 21:44]
補題 X をZariski空間とし、E を X の部分集合とする。 X の任意の既約閉集合 Y に対して、以下の条件(*) が成り立つとする。
(*) E ∩ Y が Y において稠密なら、 E ∩ Y は Y の空でない開集合を含む。
このとき、E は X の可構部分集合である。
証明 ネーター帰納法を使う。 X の任意の真閉部分集合 F に対して E ∩ F が F の 可構部分集合であると仮定してよい。 X が既約でない場合、Y_1, ..., Y_n を X の既約成分とする。 各 E ∩ Y_i は可構部分集合であるから、E は可構部分集合である。 X が既約とする。E が X において稠密でないなら、 E の閉包 [E] は E の真閉部分集合だから、 E は E の閉包 [E] の可構部分集合である。故に、E 自体が 可構部分集合である。 E が X において稠密とする。条件(*)より E は X の空でない開集合 U を含む。 E = (E - U) ∪ U であり、X - U は X の真閉部分集合だから E - U は X - U の、従がって X の可構部分集合である。 故に、E は X の可構部分集合である。
841 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 21:45]
以前 Harrison とかいうひとのホームページで Hartshorne の２章とかの 解答公開してたけど、Harrison のそのホームページ現在はなくなってた。
勿体無い・・。
842 名前：１３２人目の素数さん [03/11/23 21:48]
II Ex. 3.19 (a) の解答
Y は有限個のアフィン開集合 U_i の合併となる。 f の 制限 f_i: f^(-1)(U_i) → U_i を考える。 Z_i = Z ∩ f^(-1)(U_i) は f^(-1)(U_i) の可構部分集合である。 f_i(Z_i) = f(Z) ∩ U_i であるから、f(Z) ∩ U_i が U_i の 可構部分集合であれば、f(Z) が Y の可構部分集合であることが いえる。即ち、Y をアフィンスキームと仮定してよい。
補題(>>839)より、アフィンスキーム X' と 有限型の射 g: X' → X が存在し、g(X') = Z となる。 h = fg とすれば、h(X') = f(Z) である。 h は有限型だから、X はアフィンスキームとし、X = Z と 仮定してよい。
補題(>>840)より、Y の任意の既約閉集合 F に対して、 f(X) ∩ F が F において稠密なら、 f(X) ∩ F は F の空でない開集合を含むことを示せばよい。 F を被約な閉部分スキームとみなす。 T = X x F とおく。ここで、X x F は Y 上のファイバー積である。 g: T → F を射影とする。 T は位相空間として f^(-1)(F) と見なせ、 g は f の制限と見なせる。 従がって、g(T) = f(X) ∩ F である。 以上から、Y は既約で、f は支配的と仮定してよい。
X を既約成分 X_i に分解する。ある X_i に対して f(X_i) は Y で稠密である。これより、X も既約と仮定してよい。 さらに、X, Y をそれぞれの被約化 X_red, Y_red に置き換える ことにより X と Y は被約と仮定してよい。 証明終
B = A[x_1, ..., x_n] とし n に関する帰納法による。 n = 1 の場合が証明出来ればよい。 B = A[x] とする。
まず、x が A 上超越的な場合を考える。 b が A に含まれる場合は自明であるから b は A に含まれないとする。 b = a_r x^r + ... + a_1 x + a_0 とする。 ここで、r > 0 で、各 a_i は A の元で、a_r ≠ 0 である。 φ: A → K をφ(a_r) ≠ 0 となる準同型とする。 多項式 φ(a_r) X^r + ... + φ(a_1) X + φ(a_0) の K に おける根以外の K の元の一つをθとする。 K は無限体だからこのような元は存在する。 φの拡張 φ': B → K をφ'(x) = θにより定義する。 定義から、φ'(b) ≠ 0 である。 (続く)
848 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 00:01]
II Ex. 3.19 (b) の解答(続き)
次に、x が A 上代数的な場合を考える。 x が満たす A 上の関係式を c_m x^m + ... + c_1 x + c_0 = 0 とする。 ここで、各 c_i は A の元で c_m ≠ 0 である。 b もA 上代数的であるから、 d_s b^s + ... + d_1 b + d_0 = 0 とする。 ここで、各 d_i は A の元で d_0 ≠ 0 である。 a = (c_m)(d_0) とおく。 φ: A → K をφ(a) ≠ 0 となる準同型とする。 φは φ': A[1/a] → K に拡張される。 この核を P' とする。P' は A[1/a] の素イデアルである。 x は A[1/a] 上整であるから、A[1/a][x] の素イデアル Q で、P' = A[1/a] ∩ Q となるものが存在する。 A[1/a][x]/Q の商体は、A[1/a]/P' の商体の代数拡大だから、 単射準同型 A[1/a][x]/Q → K で、 φ'から誘導される単射準同型 A[1/a]/P' → K の拡張と なるものがある。よって、φ': A[1/a] → K は、 φ'': A[1/a][x] → K に拡張される。 φ''(b) = 0 とすると、φ(d_0) = 0 となり、φ(a) ≠ 0 に矛盾する。よってφ''を A[x] に制限した写像が求めるものである。 (続く)
849 名前：１３２人目の素数さん [03/11/24 00:02]
II Ex. 3.19 (b) の解答(続き)
次に Spec(B) → Spec(A) の像が空でない開集合を含む ことを示す。 b = 1 の場合を考える。 P を A の素イデアルで D(a) に含まれるとする。 A/P の商体の代数的閉包 を K とする。 i:A/P → K を標準単射とし、j: A → A/P を標準写像とする。 φ= ij とおく。φ(a) ≠ 0 だから、φの拡張 φ': B → K が 存在する。φ'の核を Q とすれば、P = A ∩ Q となる。 これは、Spec(B) → Spec(A) の像が D(a) を含むことを意味する。 証明終
