現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

1 名前：名無しさん [2012/01/31(火) 22:32:36.78 ID:LTM9xtnu] ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 449 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:06:02.63 ] >>250 ”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業 わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用) これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。 問題を見てすぐに解答、解説を読みます。 英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。 最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。 1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。 2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。 3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。 …こんな感じで7周ぐらいやってみてください。 これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。 拾えるものだけ拾うって言うのは ○こういう意味だから、こうなのか ○これとあれは似てる ○こういう計算になるから、こうなる ○語呂合わせ などです。 目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒 大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒 最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。 ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。 繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。 450 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:28:31.48 ] >>449 補足 昔、糸川英夫先生が「数学は暗記科目」みたいなことを言ったが、それに似ているかも （因みに、小惑星が「イトカワ」（日本の探査機はやぶさは、この関連）の名前の由来。また、”はやぶさ”も、彼の設計した戦闘機にちなんだものかも） ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B3%B8%E5%B7%9D%E8%8B%B1%E5%A4%AB しかし、両方要ると思うんだよね じっくり理解するところと、暗記してでも覚えることを優先するところと >>395 >ブルバキのスタイルは私は大好きですね。余計なお節介が一切ないので。 なにが、余計なお節介なのかどうか、人によると思うんだよね その人の置かれている事情にも それから、ブルバキのスタイルは結構だが、ブルバキで必要十分なら、世の中他の教科書は売れないか消えているわけで 世間一般の事情は、そうじゃないという証明なのではないかな ブルバキはそれなりに意義はあると思うが 一時ほど、ヨイショされなくなったような気がする じっくり理解するというところに戻ると、>>442 ”・・証明に感心した他はすらすら読める．・・ガロア対応の意義が書かれてはいるが，それを深くつかむことが出来ていなかった． そして思った．一体ガロアの理論とは何なんだ．何がそれまでの数学からの飛躍であり，何が新しいのだ．それがわからなかった．ガロア理論は理解出来た．しかし納得は出来なかった．” これ、結構共感できる。ガロアの理論あって、それぞれ立派。そして、書いていることは一つ一つは理解できるが、全体像が自分の中で細部まですっきり形成できなかった（自分でガロア理論を再構成しなければならなかったのだ．>>442） ”群盲象をなでる”という。個々の定理は、象の部分だ。うちわのような耳、ホースのような鼻、柱のような足・・・、それらの部分の記述を元に自らの心象風景として、象の姿を描くことができるか 現代ガロア理論（拡大体と群の対応）は、なんとなく出来た。しかし、ガロア原論文は理解できなかった A5が単純群で、べき根拡大では到達できないということはアタマでは分かった。しかし、なんとか目に見えるような形で納得できないかと考えていた （つづく） 451 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:35:51.40 ] >>450 つづき >>1を見て、ベストアンサー： ”ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。” ベストアンサー氏は、おそらく数学科の出身者だろう ならば、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>3で、なんとなくガロア理論が見えた気がしたので、いっちょうスレを立ててみるかと 452 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 14:43:26.40 ] >>450 ブルバキの整理されたスタイルは、結局理論が出来上がった後の知恵なんだよね 理論が出来上がる進行形のときは、そうじゃない だから、ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、そいつは使えないだろう よって両方あって良いんじゃないか そして、このスレで重視しているのは、全体的な理解、直感的な理解だ 全体から部分へ、部分から全体へ 直感から精密な論理へ、精密な論理から直感的理解へ 数式からお話へ、お話から数式へ この行ったり来たりが自由自在にできる それがベストだろう 453 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:56:22.42 ] >>405 ＞ガロア理論は多くの人が関心をもっている が、大抵は「なんで根の公式がないのか」という程度の関心だから 結局「なんかわからんが、根の公式があるとすると矛盾するらしい」 で終わる。素人は、公式は理解できても、公式がない理由は 理解できないし、ないならないで仕方ないと思うだけ。 454 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 14:58:27.45 ] ガロア理論の面白さを知るには、一度 「５次以上の方程式の解の公式は存在しない」 とかいうのを忘れる必要がある。 そこは今や本筋でもなんでもないから。 455 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:01:50.60 ] >>452 ＞ブルバキの整理されたスタイルでしか論文読めない書けないないようじゃ、 数学の論文を一度でも書いたことがあるなら、 ブルバキのスタイルでなんて書けないことは 当然わかるがな。 456 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:12:25.93 ] 何度追い詰められても復活する 探査機はやぶさの執念は凄いわ。 457 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:03.91 ] >アインシュタインの相対性理論は100年も経たないうちにＣＧとなり， >テレビの科学番組で解説され，科学好きの中高生の心を掴んでいる 双曲幾何はエッシャーの版画作品にもなったがね。 ガロア理論より双曲幾何のほうが分かりやすい。 理屈ぬきに、ポアンカレモデルで、２本の平行線も図示できる。 合同変換もＣＧで示せる。要するに計算できる。 素人に分かるのは計算の方法とその結果。 計算できないという結果を示す論理なんて理解しようがない。 458 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:13:04.64 ] >>455 そりゃサボってるだけだろ 書こうと思えば書けるけどプロ相手だからあえて書かないというだけで。 それがアダになって間違いとか平気で書いてるがｗ 459 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:18:04.21 ] >>458 サボってるわけじゃないな。 同業者に「ああ、確かに正しいね」と 確認させるために書くんで、 別にアホ学生向けの教科書を 書くわけじゃないからな。 そもそも研究に間違いはつきものだ。 一度も間違った結果の論文を書いたことがない 数学者なんてのは皆無ではないが稀少。 460 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:24:25.36 ] >>459 だからそれが落とし穴なんだって トリビアルと思ってたのが実はトリビアルでなかったというのはよくある。 というかそれがほとんどの間違いの原因 461 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:30:15.67 ] 明確に定義されたものから論理的に命題を導くというのがブルバキの整理されたスタイルというのなら そうでないスタイルは常識的には現代数学とは認められない。 462 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:39:17.33 ] >>460 学生？そんな重箱の隅つついてるようじゃ クソ論文しか書けねぇぞ。 間違いを怖れてちゃいい結果は出せねぇよ。 463 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:42:44.10 ] >>461 現代数学という言葉が、数学書の記述を指すなら 論文の記述は、そのようなものとは程遠い。 数学業界の常識。知らない奴はモグリ。 464 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:51:28.62 ] >>463 数学書だろうと論文だろうと論理的に証明されてなければ駄目だろ エッセーならいいが 465 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 15:54:12.72 ] >>462 誰も間違いを恐れろと言ってない 間違いは自分のノートで思い切りやればいい ただし、それを論文でやるのは大馬鹿 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:19:09.16 ] >>459 誤植、ミスプリ、計算ミスの類は多々やらかしてるが 主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:24:51.62 ] >>463 ブルバキの「数学原論」の文体で論文を書くことは、昔も ほとんどなかったし、今もまずない、という意味では正しい。 が、ブルバキ以前の数学の論文のスタイルは、今より もう少し雑然としており、現代では定義や主定理とその証明を 明確に書くようになっている。その意味で、現代の論文の 大半は、ブルバキの影響の下にある。 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:31:04.16 ] >>461 別にそれはブルバキスタイルではないな。ユークリッドの原論からそのスタイルじゃん。 ブルバキスタイルってよく言うけど、どういうものかわからずに言ってる人多いよねｗ 469 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:49:04.33 ] >>468 でブルバキスタイルとはどういうもの？ 470 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:50:00.98 ] >>466 それはあんたが無知なだけｗ 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:51:57.12 ] >>470 無知のあんたに、勝手に決めつけられてもなあｗ 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:53:29.79 ] 集合論を基礎におき、集合にある数学的構造を定め、それによって数学的現象を説明しようとする態度。 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 17:55:14.76 ] >>468 ユークリッドの原論のスタイルも、また独特だから 比較に使っても仕方ないでしょう。 19世紀から20世紀前半の、数学の論文のスタイルは、 ユークリッド原論とも、ブルバキ以降の近年の論文の スタイルとも異なり、現代になれた人には読みにくい。 やっぱり、今の論文のスタイルは読みやすくなってるね。 474 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 17:56:31.37 ] >>471 >主結果が間違ってる論文のほうが、数学では稀ですよ。 Wiles知らないの？ 475 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:01:03.94 ] >>472 それは現代数学そのものじゃん 圏論もブルバキは表立って使ってないが裏では使ってる 476 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:10:01.16 ] 大体、空集合の記号φとか Z、Q、R、C はブルバキの考案だからね。 現代数学はブルバキの強い影響下にある。 別にそれを知らなくてもいいが思いっきり否定するのはアホ 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:14:05.75 ] 定義や公理から出発して論理的に、演繹的に数学を構築していくやり方をもって ブルバキスタイルって言ってるのが、形式だけ見て中身を見ていないって言ってるんだよ。 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:18:49.30 ] >>474 だから、稀なんだろ。 アホですか、あんたｗｗ 479 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:20:53.43 ] >>477 集合論を基礎においてるのはそのとうりだが、 それ以前にあんたの言う定義や公理から出発して論理的に、演繹的に というのがブルバキを特徴付けてるだろ。 Elementsという名前からしてユークリッド原論を意識してるのは明らか。 GrothendieckのEGAも同様 480 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:22:28.97 ] >>478 意味不明 悔し紛れに何言ってるんだかｗ 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:26:36.77 ] >>479 ブルバキが原論を意識してるのは有名な話ですね。 なら、そのような体系を話題にするなら原論スタイルとでも言うべきですね。 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:32:25.98 ] >>474 ワイルズの論文は、査読を経て修正された正しい形で Ann. Math.に掲載されている。 今の多くの雑誌は、査読がなされているので、 掲載された論文が深刻な誤りを含んでいることは少ない。 名古屋の藤原氏の論文も不掲載となった。 が、査読をスルーして出版されてしまうケースは皆無ではない。 もちろん、不注意によるくだらないミスは山ほどあるｗ 483 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:36:38.99 ] 要するにブルバキは公理主義ということ これに収まらない数学があることは確かだがそれはその数学がまだ成熟していないと見ることも出来る 484 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:38:32.44 ] >>482 甘いな 査読されてるからってｗ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:40:28.97 ] >>483 成熟すればすべてを収めることのできる体系ができるとでも？ 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:42:42.48 ] 非線型の偏微分方程式とかは、ずっと収まらんだろｗ テレンス・タオを収めるには、20世紀のブルバキじゃあ 古くさくて枠が狭いんだろね。 ポアンカレ予想とかもあんまりブルバキっぽくないが、 リッチフローとか、多様体の崩壊とか、別に数学として 成熟してる、してないとかじゃないだろ。 487 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:44:11.37 ] >>485 その分野が成熟すれば体系化されるというほぼ当然のことを言ってる 488 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:47:35.96 ] >>486 代数幾何も昔は体系化は望み薄と思われていたがGrothendieckが現れて（略 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:49:31.54 ] >>488 でも、結局、今の代数幾何って、体系的というより 具体的な対象の研究に戻ったような。 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 18:53:52.00 ] >>483 公理主義は別にブルバキに限らないってことを言いたかったわけです。 491 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 18:58:10.76 ] >>489 Grothendieckが去ったから 492 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/04(日) 18:59:47.80 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！ 　ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！！！！ 493 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:01:13.38 ] >>492 キチガイは病院行け 494 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 19:07:28.04 ] >>491 結局、ブルバキもメンバーが替わってしまい、 全ての数学を体系化するとか、もう言わなくなった。 代数幾何で、Grothendieckがやったことが例外的 だったんでしょうね。今世紀に、第2、第3のGrothendieckが 現れて、微分幾何や非線型PDEを体系化する！なんて ことはないと思いますよ。 495 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 19:18:08.40 ] あれは元気者で気の合うものどうしが集まって 気炎を上げた弾みでできたものだから そう深い意味はないものと思う 496 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 19:21:03.27 ] >>453-478 みなさん、乙です！ >>442 >A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）で >シローの定理>>416により、位数２の部分群が含まれ、位数２の部分群との組み合わせで、位数10の部分群があることがわかる（これが図形の中でどう見えるかまだ自分には見えていないが） 分かりました ”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）は、クラインの四元群ですね（下記） hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/ (抜粋) 具体的にはクラインの四元群は x,y,z各軸回りに180度回転させる回転操作の群として表現されます． クラインの四元群の元 はどれも二乗すると になりますから位数は だと言えます．クラインの四元群は，巡回群ではない群としては最小のものです． （引用おわり） 下記P2によれば、A4の部分群で（位数４）は、二つあるが巡回群でない方だから、{ e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23)}で、これはクラインの四元群そのもの。で、位数２の部分群は、{ e , (12)(34) }となる www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 497 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:02:18.04 ] >>479-495 みなさん、乙です。スレが進む日だな >>496 繰り返しになるが、べき根拡大で解けるのは、ガロア群G=C5xV （V:クラインの四元群 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 ） （C5は、５次巡回群） の場合のみ 一般の５次方程式では、ガロア群G=S5=C2xA5　（A5は位数60の交代群で、これは単純群で、非可解。C2は、２次の巡回群） となってしまうので、解けないと 498 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/04(日) 20:11:32.05 ] >>494 詳しくないけど代数解析は佐藤とか柏原により少しは体系化されてるでしょ。 数論の一部（類体論その他）も数論幾何が発展することによりLanglands programの下に 体系化されるのではと夢想してる。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:30:29.86 ] >>498 代数解析でも、非線型はまだまだ妄想の範囲ｗ ソリトンとパンルヴェの一部くらい。 500 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:38:45.46 ] >>497 つづき 位数119 までの群の分類が下記にある www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf 位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日 >>372-380 V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式） 一般５次方程式では、Vは120の値を取る。この120個の値を集めて ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）で、代数的可解性の原則から根a,b,c・・・の有理式を持ってきても、全部Vとガロア（分解）方程式F(x)の土俵の上に乗っている つまり、ガロアはVとF(x)で、根の有理式が全部乗る土俵を作った。代数的可解性の原則を認めれば、ここからこぼれるものはない そして、元の方程式を解くことは、ガロア（分解）方程式F(x)が解けることと同じ V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、根の置換と対応している>>414 そして、方程式のガロア群の構造は、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に反映されている 元の方程式がべき根で解けるとは、ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解けること つまり、”ガロア（分解）方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）がべき根で解ける”→”ガロア群Gが、巡回群の拡大で構成される構造を持っているべき”だと しかし、上記”位数119 までの群の分類”にあるように、一般に群には巡回群以外のいろいろな群があり、巡回群の拡大で構成される構造を持っている群ばかりではない その一つが、位数60の５次の交代群A5で、これは巡回群の拡大になっていない。つまり、非可解であり、単純群でもあった ５次の既約方程式で解ける最大の群は、位数20 B'5 メタ巡回群の場合で、それならべき根で解ける>>443（ガロア原論文では線形群とされている） これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 5次方程式の可解性の高速判定法は>>443 また、可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003>>443では、根の公式が導かれている 501 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 20:42:15.49 ] >>500　訂正 これが、一般の５次方程式が解けなず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 　↓ これが、一般の５次方程式が解けず、どんな５次方程式なら解けるかの分かりやすい説明かな 502 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/04(日) 20:48:41.92 ] >>497 G=S5=C2xA5　 とはならないよ 503 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 21:09:24.99 ] 下記は随分参考にさせてもらいました hooktail.sub.jp/ 物理のかぎしっぽ hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8 代数学 - [物理のかぎしっぽ] 504 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/04(日) 22:09:33.40 ] >>502 おお、ありがとう しっかりチェックしてくれる人がいて、安心だ 対称群S5 位数120に対し、交代群A5 位数60は正規部分群なので、商群Hが定まり S5/A5＝Hとして、Hの位数は２。位数２の群は巡回群C2に同型なので G=S5=C2xA5　と書いたんだが 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/05(月) 19:33:15.70 ] 直積ではなく半直積だ 506 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/05(月) 22:01:28.33 ] >>505 なるほど、納得 半直積ね 掲示板では、あまり数学記号が文字化けのため書けないので手抜きしたのもある ところで、半直積の参考資料を検索したら、こんなのがあった homepage2.nifty.com/narukawa/bicrossed.pdf 群と群から群を作る話 成川淳（なるかわあつし） （抜粋） 数学の世界ではしばしば、2 つの群から1 つの群を作る場面があります。方法としては、 「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は2 つの群それぞれの役割が非対称で、 気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包 括する概念として、群のBicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心 した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省 略して、作用という概念の紹介から話を進めます。 5 最後に 私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度Bicrossed Product という概 念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件(11)-(14) を考えると、逆に半直積の有 用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した(5) が「準同型」という 扱いやすい性質だからです。逆に(5) を仮定するためには、H のK への右作用が自明でな ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群のBicrossed Product で すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。 homepage2.nifty.com/narukawa/jindex.html 成川淳の文書集へようこそ！ 507 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 06:26:09.03 ] >>506 補足 ご指摘ありがとう www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/kogi2004_zenki/2/group07.pdf 抜粋 群G の部分群H とK が与えられたとする。 K がさらにG の正規部分群ならば、HK はG の部分群になる。 ・・・がなりたつとき、G はH とK の半直積であると呼び、G = H △ Kと書かれる。（△は、半直積の記号） H とK の両方がG の正規部分群のときはどうだろうか。 H も正規部分群のときにG はH とK の直積であると呼ばれる。 （引用おわり） （この資料はちょっと読みにくいが） なので、直積はH とKの両方が正規部分群になる場合、半直積はKが正規部分群になる場合の群の構造ってことでしょうか だからG=S5=C2xA5と書いたとき、正規部分群は両方ではなく、A5のみが正規部分群だから、半直積だと 508 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:15:54.25 ] >>507 補足の補足 半直積は、下記にも解説がある シューア・ザッセンハウスの定理が、半直積理解の要点だろうな ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E7.9B.B4.E7.A9.8D.E3.81.A8.E5.8D.8A.E7.9B.B4.E7.A9.8D 群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積 (semi-direct product) といい、 で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。 シューア・ザッセンハウスの定理： Nを有限群Gの正規部分群とし、|N|と|G:N|が互いに素であるとき、Gの部分群Cが存在して、GはNとCの半直積となる。 509 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:42:14.15 ] >>440 >で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416 >そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ >しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とせるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる >これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ ガロア論文>>3p38第VII節 ここが、おそらく普通の人はなにが書いてあるか、なかなか読めないだろう 守屋の解説もなかなか難しい ところが、おいらの本で守屋の解説のところに、”アルティンP102”とメモしてあった。うんうん、なるほど・・・ アルティンといえばこれしかないよね・・・？？？ na-inet.jp/weblog/archives/001482.html 上野健爾「数学の視点」東京図書，E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫 www.kishimo.com/math/Galois.html アルティン「ガロア理論入門」を読む 文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。 ”文庫本が出た”？ おいらの持っているのは東京図書のハードカバーだ P102は、定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ これは、なかなかわかり易いよ だから、ガロア論文>>3p38第VII節を読む前に、アルティンの該当箇所を読んで、それからこれを読めば、多少ガロアの言いたいことが分かるだろう ガロアは、アルティンと同じものを見ていたことは間違いない が、見ているものを表現する方法がまだ未熟だったのだろう 510 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/06(火) 22:51:35.94 ] >>509 補足 ガロア論文>>3p38第VII節は、訳文もこなれていないのか あるいは、ガロアも決闘が迫っていて時間が無かったのか 結論は正しいが、途中あまり証明らしくない・・・というか、分かる説明になっていない メモを書いたのは、おいらが守屋先生の解説が理解できなかったので、別の本を漁ったのだろう 511 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:35:28.44 ] >>509 >定理43の後（定理44の前。定理44が線形群の話）だ >これは、なかなかわかり易いよ アルティンは、 「Kを任意の体とし、f(x)を素数次数qのK内の既約多項式で、そのガロア群は可解とする。 このときのGの構造は非常に簡単である。 まず、Gは可解であることから正規部分群列 G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1　（注：>は集合の包含記号のアスキー代用） が存在して、相続く２つの群による商群はアーベルである。」 と、始める 実に明快。これをスタートとして、アルティンは線形群を導く（これはさすがにガロアには難しいだろう。群論の用語や記法が当時未整備だったから） ところで、このアルティンの記述が、べき根で解かれる群の構造と、なぜ５次既約方程式が一般の解かれないかの説明になっている つまり、５次既約方程式が可解であるとき、Gの構造は非常に簡単でなければならない 即ち、正規部分群列が存在して、G=G0>G1>G2>・・・>Gs=1で、相続く２つの群による商群はアーベルであるという しかし、一般の５次既約方程式のガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで、A5の構造は複雑でとてもべき根添加で解けるほど簡単ではないと （ここらの事情は、>>496>>442>>440辺りをご参照） これも、５次方程式がべき根による根の公式を有しない大衆向けの一つの説明だろう 512 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 21:38:09.08 ] >>511 訂正スマソ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の対称群A5のみで 　↓ ガロア群GはS5で、正規部分群は位数60の交代群A5のみで 513 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 22:35:49.29 ] >>437 >ニュートンが、天体力学の要請から微分積分を発展させた >それから解析力学が出てきた（ハミルトニアン） （思い出したときに追加しておく） 天体力学から摂動計算が出て、後の量子力学へつながった 量子力学のハイゼンベルグの行列力学から固有値によるシュレージンガー方程式との同等性証明 天体力学の三体問題などから、ポアンカレの位相幾何学へ 514 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/07(水) 23:01:38.54 ] >>385 >最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい >というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している >一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが >ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い 繰り返しになるが ガロア論文>>3のP39のラグランジュ分解式のn乗と、補助方程式の次数が(n-2)!になること（５次方程式の場合(n-2)!＝６次）、この方程式が有理敵に解ければ、５次方程式は代数的に解けること（十分条件） ここまでは、ラグランジュがすでに確率していた ５次方程式の可解性とこの６次方程式が有理敵に解けることが必要十分であることは、ガロアが初めて示したが ラグランジュはもう一歩というところまで行っていた ガロアは、ラグランジュという巨人の肩の上で仕事をしたんだと思う 守屋>>3がP76で 「ガロア時代の数学者に難解と思われても無理とはいえない。当時の科学学士院がこの論文を受理しなかったのも、論文の内容を十分理解しえなかったためだと思う。 この点について、当時の科学学士院の無力を攻めるよりは、むしろはるかに遠く時代に先行していたガロアの天才を讃えるべき・・」と書いているが 書き方が雑ということも大きいように思う おそらく時間が無かったのと、ガロアは若かった 論文が革新的であれば、よけい丁寧に書かなければ理解は得られない ただ、ガロアがあと１０年存命であれば、ガロア理論はもっと早く理解を得られたと思う 「科学学士院がこの論文を受理しなかった」のではなく、書き直しを命じたのだった。決闘で若くして命を無くすとは思わず また、ガロアの時代は現代のようにワープロやコピー機はなく、手書き原稿を紛失されると痛い（がっくりするよね） それは手書き原稿時代に、原稿を紛失され書き直しを言われるとは、なんとも腹立たしいことだったろうとは思う 515 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 00:18:39.00 ] >>80 >近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治 www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910 「ガロアの方程式論は彼が期待したように四十年後にジョルダンが「判読」してぼう然たる置換論（1870）の述作をなした」と高木は書いている ”ラグランジュはもう一歩”>>514と書いたけれども、ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった ガロアの遺稿がなければ、もっと遅れていただろうか だが、もし遺稿がなくとも、いずれガロア理論はだれかが書いたろうと思う、ジョルダンよりずっと後になったかも知れないが・・ 516 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 00:45:20.55 ] >>515 >ガロアの後四十年群論を理解する人思いつく人は出なかった 置換群論はCauchyが1844年にやっている。 そこで有名なCauchyの定理（有限群の位数が素数 p で割れればその群は位数 p の元を持つ）を証明している。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/08(木) 01:04:15.88 ] 群という概念自体はガロア以前にあったんじゃなかったっけ？ ガロアの評価されるべきところは正規部分群という概念を発見したところ っていうのをどっかで見たようなキガス。２ちゃんソースかもしれんがｗ 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/08(木) 01:58:53.69 ] >>516 自分のスレでは相手にされないから、ちょっかい出しに来たのか？ｗ 519 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 06:38:35.67 ] >>516 Kummerさん、乙です なるほど そういえば、倉田>>4がデデキントについて書いていたね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%A3%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%87%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88 デデキントは1855年にゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義を行ったことでも知られている[1]。 [1]^ 佐武一郎「解説「ガロア理論」について」、エミール・アルティン 『ガロア理論入門』 寺田文行訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2010年4月、p. 215。ISBN 978-4-480-09283-0。 （引用おわり） 近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば いわゆる第一論文は「1846年にリウーヴィルの手で発表された」とあるので、発表後９年でデデキントが最初の講義を行ったんだ >>517 乙 その見方も正しい ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い 例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする 上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない 520 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 07:46:58.19 ] >>519 補足 これがまとまっているね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 歴史 ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。 その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。 デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。 早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。 カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。 また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。 ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。 その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。 アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。 521 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 21:54:24.43 ] >>519 >近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治>>515によれば 近世数学史談で面白い記述を見つけた ”１８．パリ便り”というアーベルの手紙に関する節だ。1826年10月24日付け ・・次の一般的の問題を解く手掛かりが見つかったようだ。 それは「代数的に解きえる凡ての方程式の形を決定すること」というのだ。 僕は、五次、六次、七次等々のそれらを無数に見出した。 今までそれを嗅ぎつけたものはあるまいと思う。 同時に僕は最初の四つの次数の方程式の最も直接的なる解法を得た。 それに由れば、何故にこれらだけが解けて、他のものは解けないかが甚だ明白に理会されるのである。 特に、五次方程式に関しては、若しもそれが代数的に解かれるならば、根の形は次のようでなければならないことが分かった。 ｘ=A+(R)^(1/5)+(R')^(1/5)+(R'')^(1/5)+(R''')^(1/5) ここで、R、R'、R''、R'''は一つの四方程式の四つの根で、それらは平方根ばかりで表されるのだ。 （注：(R)^(1/5)などの項は、原文ではRの五乗根（ルート記号）を用いて表されているが、掲示板の制約でエクセル記法を用いた。） （引用おわり） >>440-441、>>443、>>496に書いたが 五次の既約な方程式で、解ける場合はガロア群は位数20 B'5 メタ巡回群であって 位数20 B'5 メタ巡回群（＝線形群（アルティン>>511））は、一つの５次巡回群C5とクラインの４元群Vとの積（直積でいいのかな？）からなるので アーベルの述べた上記の根の形は、位数20 B'5 メタ巡回群の姿を確かに捉えているのではないだろうか アーベルは、1829年4月6日は亡くなったが、生きていれば、ガロアより先に五次方程式に関してなにか書いたかも知れない（それはおそらく上記を発展させたものだろう） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日）はノルウェーの数学者である。 522 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:21:13.18 ] 楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。 もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体 この三つを総合して考える必要がある。 これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。 いわば三位一体 523 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:23:11.83 ] スレを間違えたｗ まったく無関係というわけじゃないが 524 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/08(木) 22:43:09.82 ] GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。 Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。 楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。 Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。 525 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 22:46:56.28 ] >>521 補足 ラグランジュは、素数ｎ次の既約方程式について、補助方程式で次数が(n-2)!のものが解ければ、５次方程式などは代数的に解けること（十分条件）を示していた>>514 だから、これが必要十分条件であることを示せば、ガロアの得た結果と同じになる そして、５次方程式の一般の代数的解法が不可能（べき根による根の公式がない）なことはアーベル自身が証明している だから、アーベルはラグランジュよりさらに半歩、ガロア理論に近づいていたのだ あるいは、手が届いていたのかも ラグランジュも、５次の根の公式があると思い込んでいるから、記載ぶりや結論があやふやになった ５次の根の公式の存在を否定してしまえば、ラグランジュ自身が示した６次の補助方程式が有理解を持つことが必要十分という方向へ行ったろう まあ、一般５次方程式の代数的解法がないことを証明したアーベルだから、 それがガロアのような群論を用いたものになったかどうか不明だが、少なくとも>>521の手紙に記したようなことは、存命ならいずれ発表したろう ガロア論文の出版が遅れたから、おそらくガロア論文が世に出る前にアーベルの理論が出版されたのではないか となると、アーベル存命でアーベルの方程式論が発表されそれが発展すれば、ガロア論文に対する評価も現在とは違った形になったかもしれない 526 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/08(木) 22:48:49.34 ] >>522-524 Kummerさま、投稿乙です！ 527 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 11:13:55.42 ] >>367 >a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 - Wolfram|Alpha　www.wolframalpha.com/input/?i=a_0x%5E4%2Ba_1x%5E3%2Ba_2x%5E2%2Ba_3x%2Ba_4%3D0 Maxima>>283で同じ問題を解かせると a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+c=0は、” << Expression too long to display! >>”となる ３次の項を落として a*x^4+c*x^2+d*x+c=0は解けるが、かなり長い結果表示で、上記のWolfram|Alphaの方が見やすいね。さすがに、こっちの方が上で、使いやすいか 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 15:06:00.79 ] >>524 人が言ったことをさも自分の考えのように言っちゃってｗ さすが、コピペスレのスレ主は違う。 529 名前：１３２人目の素数さん [2012/03/10(土) 15:15:12.64 ] >>524 失せろくんまー 通報するぞ 530 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 17:11:31.85 ] ドキュンはこれだから 誰の考えかは無関係 問題はその内容 531 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 17:19:51.14 ] >>529 お前はもう死んでいる 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 19:11:58.15 ] >>530 >問題はその内容 どれもどこかで聞いた内容ですがｗ 533 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 19:40:22.50 ] Abelの方程式論の背後には明らかに楕円関数の等分方程式の可解性の問題がある。 Galoisの書いたものから判断して彼も同様だと思われる。 この問題はKroneckerの青春の夢につながり最終的には高木により解決された。 534 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/03/10(土) 19:53:41.11 ] 　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！ 　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！ 535 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 19:59:52.44 ] >>528-532 おいらは、Kummerさんも歓迎だよ 但し、定理の証明は自スレでやってもらえば それから”通報するぞ”は無意味だ 通報してから、書くように もっとも、この程度では通報しても荒しとは認められないだろうな 536 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:11:48.70 ] >>525 こんなのが、あった ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 （抜粋） アーベル-ルフィニの定理（Abel-Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。 より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 1770年　ラグランジュが代数方程式の解法と根の置換について考察し、代数方程式が解けるための条件を初めて見いだす。 1799年　ルフィニが最初の不可能性の論文を発表。同年ガウスが代数学の基本定理を証明した学位論文中で五次方程式の不可能性について予言。 1824年　最初の論文によりアーベルによってルフィニの欠陥が解決される。定理の成立。 1829年　アーベル没。ガロアが代数方程式の可解性について最初の論文を書く。 1832年　ガロア没。 1846年　リウヴィルによりガロアの仕事が世に出る。 同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。 なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。 ラグランジュを学んだアーベルは、当初五次方程式の解法を発見しようとしていたが、そのうちに不可能かも知れないと考えるようになり、研究の方向を転換する。 一方ガロアはアーベルとは独立でほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められて存在を知る。 コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。 どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。 537 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [2012/03/10(土) 20:28:25.80 ] >但し、定理の証明は自スレでやってもらえば ここでやるわけないｗ 538 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:28:58.07 ] >>536 >同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 >代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。 ガウスは、作図可能な正多角形の研究を通じて、円分方程式論を展開している。これは、正にべき根と巡回群に関する研究である。それを通じて、べき根拡大には限界があり、一般の５次方程式はべき根では解けないことがガウスには直感的に分かったのではないだろうか ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3 （抜粋） 作図可能な正多角形 正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、 およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が著した『原論』に記されており、よく知られていた。 長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した[3][4]。 同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。 ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち n = 2mFaFb…Fc（Fa , Fb , … ,Fc は全て異なるフェルマー素数、m は非負整数） の形であることを示した[5]。 これは 1 の原始 n 乗根 ζn のガロア群の構造が 2 次拡大の繰り返しによって得られることの特徴付けとして得られる。 539 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:31:26.35 ] >>537 Kummerさん、乙です >ここでやるわけないｗ だよね ま、よろしくね 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 20:33:44.01 ] >>533 知ったかぶり乙ｗ 541 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/03/10(土) 20:40:21.95 ] >>536 >学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。 これだね ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae (抜粋) Disquisitiones Arithmeticae（ディスクィジティオネス・アリトメティカエ、ラテン語で算術研究の意、以下 D. A. と略す）は、カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書にして、後年の数論の研究に多大な影響を与えた書物である。 1801年、ガウス24歳のときに公刊された。その研究の端緒はガウス17歳の1795年にまでさかのぼり、1797年にはほぼ原稿は完成していた[1]。 ラテン語の arithmetica（アリトメティカ）は通常「算術」と訳される[2]が、ガウスの意図したものは、今日「数論」もしくは「整数論」と呼ばれる学術的領域である[3]。 D. A. を『数論研究』と訳している書物もある[4]し、高瀬正仁による最初の D. A. の完全な日本語訳の書名は『ガウス整数論』である。 最後の第7章は、円周の等分に関する理論であり、1の冪根や円分多項式について議論している。特に、正多角形が定規とコンパスによる作図で構成可能であるための条件を与えている（最終第365条、366条）。 ガウスは、高次の合同式に関する、第8章に相当するものを書いていたが、完成することなく、死後に部分的に公表された[5]。 542 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 20:41:52.78 ] >>540 オマエの様な奴が一番いやらしいワ。そやし攻撃したる。 猫 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 21:19:07.40 ] 　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_ 　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、 　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ 　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼ 　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 | 　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 | 　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ| 　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　 　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。 .　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。 　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。 　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて 　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。 　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は? 　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？ 　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼ .　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼ 　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 | 　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､ 　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣| 　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿| 　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/ 　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/03/10(土) 21:47:42.29 ] >>542 痴漢にそんなことをいう資格はない。痴漢はいやらしくないのかｗ 545 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:53:40.49 ] >>544 攻撃するのはわしの勝手や。そやし気に入らんかったらオマエがワシを 攻撃したらエエのや。そうやってスレが焦土と化して行くだけや。 どや、文句アルかァ！ 猫 546 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:57:21.27 ] >>542 オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。 猫 547 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 21:59:23.43 ] アンカーを間違えたワ。攻撃の目標は>>540やったワ。 猫 548 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 22:00:10.23 ] >>540 オマエをズタボロになるまで追い詰めて潰したる。許さんからナ。 猫 549 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/03/10(土) 22:01:45.16 ] >>540 オマエみたいな発想の奴が一番憎いんだヨ。徹底的に追い詰めたる。 猫

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