不等式への招待 第４章

1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ] ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める… 　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 ----- 　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　 　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　 　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ ＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ… 　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ 　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ 過去スレ ・不等式スレッド （Part1）　 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/ ・不等式への招待 第２章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/ ・不等式への招待 第３章　science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/ 過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/ まとめWiki　wiki.livedoor.jp/loveinequality/ 姉妹サイト（？） Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000 175 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:25:30 ] Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx の等号成立条件を示せばいいってこと？ 176 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 18:28:33 ] >>175 違う。 πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。 （つまり、ベスト・コンスタントの問題） 177 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 19:09:06 ] 176にかってに横から追加すると 等号が自明でないfで成り立つならば >>175 のように等号条件を示しても良いが ヒルベルトの不等式を用いるならば 等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので 等号条件を示すのは「違う」となる 178 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:36:27 ] >>126 ゴリ押しの証明だが一応できた。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571189 179 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 20:45:49 ] ゴメン。ちょっと修正。 ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571893 180 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/14(火) 21:55:34 ] >>168,177 【問題】 (訂正版) 閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、 　　a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,, で数列 {a_n} を定める． このとき，不等式 　　Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx が成立することを示せ。 また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。 181 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 03:40:51 ] >>171 √ は上に凸だから、 　√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x,　　････ (1) 　2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z,　　････ (2) 5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2　より 　x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2),　　　　　　　　　　　　　･････　(3) (1) 〜 (3) を辺々たす。 　M = 3+√5, 等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき >>172 　(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね? 182 名前：172 mailto:sage [2009/07/15(水) 03:53:21 ] >>181 　とは言え、(1) (2) は逆向きの希ガス。 183 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 04:30:27 ] a , b , c ≧ 0 a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4 のとき 0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2 | x | ≦ 1 のとき | 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c | の最大値は1以上であることを示せ 184 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 05:21:16 ] >>183 前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です. いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります. 他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね. ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します. 185 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 05:34:55 ] 2log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005 186 名前：185 mailto:sage [2009/07/15(水) 05:42:09 ] >>185は忘れて下さい 187 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:19:05 ] 有名サイトかもしれないが一応 つjp.mathnori.com/ 188 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:31:56 ] >>187 もうずっと更新されていないよね。 189 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/15(水) 16:33:06 ] >>187 もうずっと更新されていないよね。 190 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 22:56:50 ] >>187 おいらには解けない５ science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116991508/ 191 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/15(水) 23:30:32 ] >>183 (下) 4x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、 　f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx, 　{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6, ∴　|f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。 192 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 00:45:04 ] 投下 x > 1 のとき ( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ] の最大値を求めよ 193 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 01:51:25 ] >>192 {log(1+√2)}^2　　　(x=1+√2) 194 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/16(木) 02:08:10 ] >>192 　(x+1)/(x-1) = y とおくと、 　(x-1)(y-1) = 2,　　　(直角双曲線) これは x = y = 1+√2 をとおる。 >>185 　log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698 195 名前：191 mailto:sage [2009/07/16(木) 22:15:14 ] >>183 (下) max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき 　f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1,　(x=1, -1/2 で最大値1) 　f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1,　(x=-1, 1/2 で最小値-1) あるいは 　f(x) = -sin(3arcsin(x)), 196 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/17(金) 02:42:14 ] www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/recent/okayama/zenki/sugaku_bun/images/mon3_1.gif 197 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 03:59:50 ] 拾い ( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3 ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4 のとき a x + b y + c z > 0 198 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/17(金) 05:57:06 ] >>197 あえて、行列使うか、 あるいは、xyz空間で、 x+y+z=(a+b+c)/3 x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4 を考えて、 線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:36:28 ] >>183の上は 三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1 を示せばよい。 200 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 02:38:29 ] >>197 上の式を２乗する事から始めればできそう。 それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。 201 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 02:55:21 ] >>197 >>200 に従い、3個の単位ベクトルを 　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2), 　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2), 　ｅ↑ = (1,1,1) / √3, とおく。いま 　(ａ･ｅ) = A, 　(ｘ･ｅ) = X, 　ａ - Aｅ = Ａ_v, 　ｘ - Xｅ = Ｘ_v, とおくと 　|Ａ_v| = √(1-A^2), 　|Ｘ_v| = √(1-X^2), 　|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX, ∴　(ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1 題意より AX= 1/2 だから 　(ａ･ｘ) ≧ 0, 202 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 03:10:23 ] >>197 >>200 に従い、3個の単位ベクトルを 　ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2), 　ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2), 　ｅ↑ = (1,1,1) / √3, とおく。いま 　(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα,　　　　(0≦α≦π) 　(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ,　　　　(0≦θ≦π) とおくと 　∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ, ∴　(ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ) 　　= 2(cosα)(cosθ) − cos(α−θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1, 題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから 　(ａ･ｘ) ≧ 0, 203 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 04:43:37 ] 0＜θ≦φ≦π/2において sinθ/sinφ≧θ/φ これのうまい証明方法ってありまつか？ 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 05:23:21 ] >>203 sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す くらいしか思いつかん 205 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 05:58:03 ] 数列 a [ n ] において a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7 ( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2 を満たすとき | a [ n ] | < 14 / √ 3 a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c のとき ( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b ) を満たす最大の k を求む 206 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 06:10:14 ] >>202 いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑) 207 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 06:17:59 ] >>205 ２問目は数オリ本選やがな 208 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 06:21:37 ] >>206 涙拭けよ(笑) 209 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/18(土) 10:52:08 ] >>208 はい。 210 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 17:00:00 ] ｄ＝（ｂｃ）＾（１／２）。 　（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２−ａｃ）（ｃ＾２−ａｂ） ＝（ａ＾２−ｂｃ）＾２−４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３） ≧（ａ＾２−ｄ＾２）＾２−４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３ ＝ａ＾４−６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３−３ｄ＾４ ＝（ａ＋３ｄ）（ａ−ｄ）＾３。 211 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/18(土) 22:41:46 ] >>204 y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ 　sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ, 212 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 06:06:31 ] 671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 08:13:08 ] >>212 �納k=1,n] f(k) = S_n　とおく。y=f(x) は上に凸だから 　∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx　< f(k), 　 {f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx, ゆえに 　∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n), 本題では f(x) = √x なので, 　[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n, 　(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n, 本題では n=100 なので 　671.437･･･ < S_100 < 671.50 なお　S_100 = 671.462947103148･････ 214 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/19(日) 19:56:21 ] x≧1のとき(log(x+1))^2>(logx)(log(x+2))を示せ 215 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:44:17 ] >>214 0 < x ≦1 のときは明らか。 x>1 のとき 　ビブンのことはビブンでするのもいいが、 　log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1), 　log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1), 両辺>0 だから 辺々掛けて 　log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2, ぬるぽ 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:53:59 ] >>214 log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む． つまり f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0 を示せばいいが，これは g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える >>215 > x≧1のとき 217 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 21:59:13 ] >>216 x≧1は必要ないってことだろ >>215 が 218 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/19(日) 22:55:17 ] >>199 △ABC の3辺の長さを 　AB = x+y,　BC = y+z,　CA = z+x, とおき >>163 を使うと 　AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR, 　BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR, 　CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR, 　2r = 2√(xyz/s) = abcR, 　R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)}, 　s = x+y+z, ∴　(AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc, 　 219 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 01:44:45 ] αは実数 β = sin α , γ = sin β のとき ( | α | + | γ | ) ≧ 2 β また π < 3.1416 を用いて sin ( 1 / 2 ) > 0.4764 220 名前：203 mailto:sage [2009/07/20(月) 15:35:18 ] >>219 　>>203-204 の応用問題でつね。 (上) 　sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。 　∵　α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと 　|α'| ≦ min(|α|, π) 　β = sinα = sin(α'), ・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。 ・α≠nπ のとき 　θ=|β|, φ=|α'| を代入する。 　|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|, 　|γ| / |β| > |β| / |α'|, 　|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β, (下) 　θ=1/2, φ=π/6 を代入する。 　sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･ 221 名前：181 mailto:sage [2009/07/20(月) 16:32:14 ] >>171 　a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、 (a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、 　pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2}, を満たすMの最小値を求めよ。 　(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。 しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。 それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？ 　(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2), 　pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc　　　(← コーシー) 　　　=　M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c}　{← M = r + √(p^2+q^2)} 　　　≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2　　　　　　　　　　　　(← δ>0) 　　　≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, 　　　　　　　　　　(← コーシー) 等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角��) のとき。 　参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。 222 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 17:39:56 ] sin 10ﾟ > 0.17 を示せ 多分東大模試の過去問 多分小問付いてたはず 223 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 18:10:09 ] 3倍角利用して3次方程式の解の評価に帰着 224 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 18:14:49 ] >>222 　y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。 　sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。 　sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ), ∴ 3α < 30ﾟ, ∴ α < 10ﾟ, ∴ 0.17 < sin(10ﾟ) かな？ 225 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 19:43:48 ] そろそろネタ切れ | Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x | のとき | Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1 226 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/20(月) 21:21:29 ] 255だるまにおん　[2009/06/22(月) 17:50:07] 出題 f(x)は0≦x≦1において積分可能で、 　∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1 が成り立つものとする。このとき、 　∫[0,1](f(x))^2dx≧4 を証明せよ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/ 227 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/20(月) 23:45:03 ] まとめサイトの中の人 携帯でみれるようになりませんかね？ 228 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/20(月) 23:54:08 ] >>226 0≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4 ＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4 移項して ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4 229 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 06:34:31 ] 何処かの掲示板の回答と同じですね。 230 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 07:36:34 ] 同一人物 231 名前：228 mailto:sage [2009/07/21(火) 07:55:52 ] >>229 確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。 どう考えても結局同じ解答に至るということだね。 一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき， 　{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β } の最小元を探す問題は，同様に 　|| f- ag - bh ||^2 を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。 232 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 08:30:59 ] a,b,c＞0 abc=1 (1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3 233 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/21(火) 22:53:03 ] >>227 諦めろ！ 234 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 00:24:18 ] >>231 　{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････ 235 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/22(水) 05:43:21 ] 1.4<∫[0,1]e^(x^2)dx<1.5を示せ。 ただし2.71<e<2.72。 236 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:12:15 ] ふと思った問題 ↑a=(a[1],a[2],…a[n]) ↑x=(x[1],x[2],…x[n]) 0<a[1]≦a[2],…≦a[n] 0≦x[i] ↑a･↑x=K>0 のとき |↑x|を最大,最小にする↑xは何か 237 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/22(水) 21:40:33 ] >>234 直交性から 　∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx 　　≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx, >>235 与式をＩとおく。 　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2), から 　[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1), 　1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1, 　1.43333････ < Ｉ < 1.49290････ >>236 　最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|. 238 名前：235 [2009/07/22(水) 22:07:21 ] 用意していた解法 e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う ∫[0,1]e^(x^2)dx ≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx =43/30 >1.4 ∫[0,1]e^(x^2)dx =e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx ≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx =e-(1178/945) <2.72-1.22 =1.5 239 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/23(木) 00:45:30 ] この数学五輪って確か中学レベルの知識で解ける程度の問題レベルだったはず。 鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、 数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ 俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。 240 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:45:00 ] 釣りは他所でやってね 241 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:50:41 ] >>239 中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける 確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、 知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。 それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に 欠けてるってのは考え難い。 東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。 金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、 素直に応援しようじゃないか。 そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ 242 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 01:54:35 ] 釣りにマジレスすんなｗ 243 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:57:29 ] 3辺の長さがa,b,cの三角形がある。ただし、a≧b≧cである。 s=(a+b+c)/2とおく。 三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、 l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。 244 名前：241 mailto:sage [2009/07/23(木) 01:59:16 ] >>242 すまん、死んでお詫びを(AA略 245 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 04:41:11 ] 政権童貞 「一回やらせて」 246 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 05:30:30 ] 0 ﾟ < θ < 180 ﾟ において cosθ = 12 / 13 のとき n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ を満たす整数nを求めよ （早稲田大） 247 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 09:32:50 ] カンでn=5 248 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 16:55:20 ] ここの問題を他所で自分が考えたように出題 249 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 22:19:35 ] >>246 　cosθ = 12/13 より, 　cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0, 　sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4), 4θ -90ﾟ > 0 より 　sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ), 　|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ), 　239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1), 　0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ 　22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ 　n = 22 なお、　θ = 22.61986494804042617294901087668･･･ >>237 (中)　補足 　1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2), 左側:　逐次積分で 　e^t -1 >0,　　　(t>0) 　e^t -t -1 >0, 　e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0, 右側: (e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2, を e^t について解く。 250 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/23(木) 23:15:31 ] 自然対数の底eを e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! ) とする ( 1 ) e < 2.721 ( 2 ) log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x ) ( 3 ) 1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318 ただし 2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561 とする 251 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 17:00:01 ] myhome.personaldb.net/ideahitme/problem3.pdf 252 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 23:00:31 ] >>228の6x-2ってどっから出てきたんですか？ 253 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/24(金) 23:10:16 ] >>252 ∫[0,1]{f(x)-ax-b}^2dx を展開して，最小になるa,bを平方完成で見つける。 254 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/24(金) 23:30:59 ] なぜ一次関数なんですか？ 何について平方完成するんですか？ 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/24(金) 23:43:44 ] >>250 (1) 　(1/k!) < (1/k!){1 + 1/(k-1) -1/k} = (1/k!){k/(k-1) -1/k} = 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k), 　e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,4] 1/(k!) + Σ[k=5,∞) 1/((k-1)!(k-1)) - 1/((k!)k)} 　　= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + 1/(4!*4) 　　= 2 + 23/32 　　= 2.71875 (2) 　0 ≦ (1 - 1/t)^2 = 1 + 1/(t^2) -2/t, 　を t で積分すると 　0 ≦ t - 1/t -2log(t),　　　　(t≧1) ここで t = √(1+x) とおく。 256 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 00:58:20 ] >>250 (1) k≧4 のとき 　1/k! < (1/4!)(1/5)^(k-4), 　e < Σ[k=0,∞) 1/(k!) < Σ[k=0,3] 1/(k!) + (1/4!)Σ[k=4,∞) (1/5)^(k-4) 　　= 1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!)/(1 - 1/5) 　　= 2 + 23/32 　　= 2.71875 (2) sinh(z) > z,　　　(z≧0) 　に z = (1/2)log(1+x) を代入… 　 257 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 02:08:20 ] x > 1 のとき ( 1 + 4 x ^ 2 + x ^ 4 ) log x + ( 3 / 2 ) ( 1 - x ^ 4 ) > 0 0 ≦ x [ k ] ≦ π / 2 Σ [ k = 1 , n ] cos x [ k ] = 1 のとき Σ [ k = 1 , n ] sin x [ k ] ≧ √ ( n - 1 ) 258 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 04:55:02 ] >>257 (上) 　f(y) = (1/2)log(y) + (3/2)(1-y^2)/(1+4y+y^2), とおくと 　f '(y) = (y-1)^4/{2y(1+4y+y^2)^2} ≧ 0, y=x^2 >1 とおく。 (下) 0 ≦ x ≦ π/2 から 　cos(x) ≧0, sin(x) ≧0, 　cos(x) + sin(x) = √{1 + 2sin(x)cos(x)} ≧ 1, から 　�納k=1,n] sin(x[k]) ≧ n-1, 259 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/25(土) 06:29:57 ] x>0のとき、(x^3+2)/xの最小値を求める問題で (x^3+2)/x=(x^3+1+1)/x≧3√(x^3*1*1)/x=3x/x=3 等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3 x^3+2=x^3+1+1≧3√(x^3*1*1)=3x⇔(x^3+2)/x≧3 等号はx^3=1のとき成り立つからx=1のとき最小値3 どうしてこの2つは駄目なんでしょうか？ 260 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 07:50:38 ] 質問は他いけ 261 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 16:35:01 ] >>254 とりあえず計算してみ >なぜ一次関数なんですか？ 定数じゃムリなので1次関数 >何について平方完成するんですか？ 計算すると∫[0,1]{f(x)}^2dx以外に a,b の2次式が出てくる この2次式を -G(a,b) とでもおくと (わかりやすくマイナスにした) ∫[0,1]{f(x)}^2dx − G(a,b) これが0以上なので ∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ G(a,b) >>226成立のためにはG(a,b)≧4であれば十分 試しにG(a,b)の最小値を求めてみるとa=6，b=-2となる この際に平方完成する．具体的にはまずbについて平方完成→残りをaについて平方完成(逆も可) 262 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/25(土) 21:24:26 ] >>259 別に間違ってないような・・・ 263 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 00:57:10 ] >>259 x>0という条件があるので相加相乗平均の前提条件である非負はクリア 次に等号成立条件も定義域x>0に取れる 第2式の⇔変形もx>0なので問題ない 何も間違っていないと思うぜ tinyurl.com/n2szo6 264 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 05:03:40 ] 周の長さが一定の正 n 角形の面積を S [ n ] とする n < m のとき , S [ n ] < S [ m ] 265 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 06:31:24 ] 拾い 10 ^ 197 < 99 ^ 99 < 10 ^ 198 ただし,対数の値は与えられていない 266 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/26(日) 11:57:06 ] もとは99^99は何桁かって問題だな。 267 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 12:42:54 ] 笑 268 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 14:46:04 ] >>265 受験板とマルチかつ解決済 namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/459-463n namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1247234765/474n 答えて損した 269 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 14:55:45 ] >>265 99^99 < 100^99 = 10^198 は簡単 10log2 = log1024 > 3 より log2 > 0.3 7log3 + log5 = log10935 > 4 より 7log3 > 3 + log2 > 3.3 だから log3 > 0.47 また 4log7 = log2401 > log2400 = 2 + 3log2 + log3 なので 2log99 = log9801 > log9800 = 2 + log2 + 2log7 > 3 + (5/2)log2 + (1/2)log3 よって log99 > 3/2 + (5/4)log2 + (1/4)log3 > 1.9925 ゆえに 99log99 > 197.2575 270 名前：269 mailto:sage [2009/07/26(日) 14:57:46 ] >>268 私も書く前にリロードすべきだった 同じく書いて損した 271 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 16:25:48 ] ヒント：拾い 272 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 17:33:39 ] >>232 　(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) ≧ 5/2, 等号成立は a = b = φ^2, c = 1/φ^4　etc. のとき　{φ=(1+√5)/2=1.618034} >>264 　周の長さを L とおく。 　一辺の長さは L/n, 　中心から一辺を見る角は 2π/n, 　中心と頂点の距離は L/{2n･sin(π/n)}, 　中心と辺の中点の距離は h = L/{2n･tan(π/n)}, 　S[n] = h*L/2 = (L^2){4n･tan(π/n)}, 　ところで tan(x)/x はxについて単調増加。 >>265 　log((n-1)/n) = -log(n/(n-1)) = -log(1 + 1/(n-1)) > - 1/(n-1), 　(n-1)･log((n-1)/n) > -1, n = 100 とおくと 　99*log(0.99) = -0.99498324949664267717133689829622 > -1 同じく 解いて損した。 273 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:16:10 ] はて？この流れだと ﾌﾟｷﾞｬｰのＡＡを張るのが 数学板のマナーかの？ 274 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:38:59 ] >>265 10^197<99^99<10^198⇔1<(1+1/99)^99<10 f(x)=(1+1/x)^x,g(x)=(1+1/x)^(x+1) (x>0)とおく。 (x+1)/xと1に重み付き相加相乗平均を用いて(重みはそれぞれx,a) f(x)は単調増加 x/(x+1)と1に重みx+1,aで同様に、g(x)は単調減少 1<2=f(1)<f(99)=(1+1/99)^99<(1+1/99)^100=g(99)<g(1)=4<10 損した 275 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 18:46:13 ] 損するのがブームらしい 276 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 19:18:45 ] 重み付き相加相乗平均がわからない。加重平均っぽい言葉だ。 277 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/26(日) 19:53:51 ] 自信作 π＾ｅ＜23を示せ。 ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。 278 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 21:39:58 ] >>276 まとめWikiを見よう。 wiki.livedoor.jp/loveinequality/d/%A4%E8%A4%AF%BB%C8%A4%A6%C9%D4%C5%F9%BC%B0 279 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/26(日) 23:16:14 ] >>278 ありがとうあいしてる 280 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 04:26:29 ] 実数全体で定義された実数値関数 f ( x ) は次の条件を満たす 1 + x ≦ f ( x ) f ( x ) f ( y ) ≦ f ( x + y ) このとき x < 0 において 0 < f ( x ) < 1 を満たすことを示せ 281 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 04:57:16 ] 最近は単なる受験問題スレでつまらん 驚きも何も無い 282 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 10:16:13 ] >>280 その条件があれば f(x)=e^x であると決まる。 ゆえに x<0 ⇒ 0<f(x)<1 は成り立つ。 blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51502451.html 283 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/27(月) 18:36:49 ] >>277 示すべき不等式は、 f(23)-f(π)>1 と同値 ただし、 f(x)=ln(lnx) この時、 f'(x)=1/(xlnx)>0(x>1) より、 f(23)-f(π)≧1 ここで、 f(23)-f(π)=1 とすると、 e=ln(23-π)>ln19⇔ln(ln19)<1⇔ln19<1 一方、 ln19>lne=1 となるので不適である。 以上より示された。 284 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 19:04:21 ] >>283 ダメダメ 285 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/07/27(月) 19:25:34 ] 皆さんメチャメチャ辛抱強いなァ 頭が下がりまっせ！ 286 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/27(月) 20:37:41 ] >>282 googleでどうやって検索したんですか？ 287 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/27(月) 23:54:17 ] 数式の終りにコンマ『,』をつける。 288 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/28(火) 14:11:11 ] 251きぼん 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 20:51:43 ] >>232 　(1+ab)/(a+b) + (1+bc)/(b+c) + (1+ca)/(c+a) > 2, (略証) 　例によって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。 　(左辺) = {1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)} + {ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a)} 　　　　= (s^2 +t)/(st-u) + (t^2 +su)/(st-u) 　　　　= 2 + {(s-t)^2 +t +(s+2)u}/(st-u) 　　　　≧ 2, 　下限に近付くのは s=t → ∞ のとき。 　例えば、(a,b,c) = (a,1,1/a)、 s=t = a + 1 + 1/a, u=1, 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:13:34 ] >>277 e = 2.7182818････ < 2 + (5/7) + (1/250), より 　π^(1/250) = {1 + (π-1)}^(1/250) < 1 + (π-1)/250 < 1 +(2.5)/250 = 1.01, π = 3.14159･･･ < 22/7 より 　π^2 < (22/7)^2 = 484/49 < 4851/490 < 9.9, ∴　π^(2 + 1/250) < 10, 　π^(5/7) < (22/7)^(5/7) = (16/7)^(5/7)*(11/8)^(5/7), ところで 　(11/8)^5 = 161051/(8^5) < 5*32764/(8^5) = 5 = 245/(7^2) < 256/(7^2) = (16/7)^2, ∴　π^(5/7) < 16/7, ∴　π^e < 160/7 = 23 - 1/7, Yahoo!掲示板　数学カテ　数学･算数質問コーナー(制限板) messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:19:13 ] 自信作 e＾π＞23 を示せ。 ただし、ｅ＝2.71828・・・、π＝3.14159・・・とする。 292 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:26:21 ] >>291 それは東大の問題だょ 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:29:59 ] >>250 (3)e^(1 / 32) = 1.03174341･･･より題意は示された 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 21:53:45 ] x1,x2,...,xn>0とする n変数k次基本対称式 Sk=Σx1x2...xk とする。このとき、 (Sk/nCk)^(1/k)≧(S_{k+1}/nC{k+1})^(1/(k+1)) を示せ！ 295 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/28(火) 22:12:39 ] 　　　　　　　不等式！ -= ､､∧,,∧ どぞどぞ！ -=≡(｀･ω･) ＜＜ -= ／､_〇＝O≧≧≧ -=(_⌒)ﾆ‖_≦≦≦≦_ -(／し′∂ﾆ∂三∂ﾆ∂ - = ≡ グヮﾗ! ｶﾞﾗ ｶﾞﾗ!! 296 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/28(火) 22:55:34 ] >>292 ちょっと違う >1999年東大6番は、e^π>21 だな。 cheese.2ch.net/math/kako/972/972279847.html e^π>2.71828^3.14159=(2.71828^3)*(2.71828^0.14159) ここで e^x>1+x+(x^2)/2 より 2.71828^0.14159>1+0.14159+(0.14159^2)/2=1.15161386 これと 2.71828^3 = 20.0854964 を合わせて， e^π>20.0854964*1.15161386=23.130736 ちなみにe^π = 23.1406926 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:26:09 ] >>294 過去に何度もでてたはず。 S[k]/C[n,k]=p[k]とおく。 補題.(p[k])^2≧p[k+1]p[k-1] (k=1,2,…,n-1) 等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n] 証明.nについての帰納法で示す。 (n-1)個の数x[1],x[2],…,x[n-1]のk次基本対称式をS'[k]とおき、 p'[k]=S'[k]/C[n-1,k]とおく。 k=1,2,…,n-2で(p'[k])^2≧p'[k+1]p'[k-1]、 等号成立がx[1]=x[2]=…=x[n-1]であると仮定する。 S[k]=S'[k]+a[n]S'[k-1]であるから、 p[k]={(n-k)p'[k]+kp'[k-1]} (k=1,2,…,n-1) k=2,3,…,n-2のとき (p[k])^2-p[k+1]p[k-1]={X(a[n])^2+Y(a[n])+Z}/n^2 ただし、X=k^2(p'[k-1])^2-(k^2-1)p'[k]p'[k-2]≧(p'[k-1])^2 Y=(nk-k^2-n-1)p'[k]p'[k-1]-(n-k-1)(k-1)p'[k+1]p'[k-2]≧-2p'[k]p'[k-1] Z=(n-r)^2(p'[k])^2-{(n-r)^2-1}p'[k+1]p'[k-1]≧(p'[k]^2) ここで、(p'[k])^2(p[k-1])^2≧p'[k+1]p'[k-1]p'[k]p'[k-2]より p'[k]p'[k-1]≧p'[k+1]p'[k-2]となることを用いた。 よって(p[k])^2-p[k+1]p[k-1]≧(p'[k-1]a[n]-p'[k])^2/n^2≧0 左の等号成立はx[1]=x[2]=…=x[n-1]であり、この条件のもとで 右の等号が成立するのはx[1]=x[2]=…=x[n-1]=x[n]のとき k=1,n-1のときも同様にして証明できるので、題意は示された。 Π[i=1,k](p[k])^2k≧Π[i=1,k](p[k+1]p[k-1])^k,p[0]=1より (p[k])^(k+1)≧(p[k+1])^k (k=1,2,…,n-1) よって(p[k])^(1/k)≧(p[k+1])^{1/(k+1)} 298 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:26:29 ] >>295 ワロス 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:42:51 ] a_1，a_2，…，a_(2n+1)を次の性質（Ｐ）をみたす整数の集まりとする。 （Ｐ）：これらの整数のどの１つを除いても，残りの2n個の整数は，２つのn個の整数の集まりに分解でき，それらの和が一致する。 このとき， a_1＝a_2＝…＝a_(2n+1) を示せ。 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 02:51:58 ] 数オリ本選のパクリ乙 301 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/29(水) 03:23:08 ] 節子…それ、不等式やない、恒等式や 302 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 04:48:50 ] 凸5角形の5辺の長さの和を s [ 1 ] , 対角線の和を s [ 2 ] とする s [ 1 ] < s [ 2 ] < 2 s [ 1 ] 1 / 15 < 99 !! / 100 !! < 1 / 12 303 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/29(水) 12:25:34 ] x>0,n≧0の時、(1+x)^n>1+nx をテーラー展開、二項展開を使わずに示せるか論じよ 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 12:27:31 ] 先生！n=0のときその不等式は成り立ちません！ 305 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 13:46:53 ] 先生！n=1(ry 306 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 16:07:36 ] >>303 数日前に別スレで似たような問題があったな マルチっぽいな 307 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 21:19:22 ] >>302 (上) 　凸5角形をABCDE、対角線の交点を A',B',C',D',E' とおく。(対角線BD とCE の交点をA' とおく。) 　CD < CA' + DA',　CE < CD + DE, 循環的に加えると、 　s[1] < s[2],　s[2] < 2s[1], 　 >>303 　x=0 のとき等号成立だから、xで割り切れる。(因数定理) 　(左辺) - (右辺) = {(1+x)^n -1} -nx 　　　= x{(1+x)^(n-1) + (1+x)^(n-2) + ･････ + (1+x)^1 +1 -n} 　　(← 等比級数の和) 　　　= x{(1+x)^(n-1) -1} + x{(1+x)^(n-2) -1} + ････････ + x{(1+x)^1 -1} 　　　> 0, 308 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/29(水) 22:15:26 ] >>303 a[1],a[2],…,a[n]を、-1以上の数で、かつ、a[k]≧0かa[k]≦0のいずれかが成り立つとする。 このときΠ[k=1,n](1+a[k])≧1+Σ[k=1,n]a[k] 等号成立は、a[k]≠0なるkが高々1個のとき n=1は自明 (1+a[k])≧0から、Σ[k=1,n]a[k]<-1であれば明らか 以下、Σ[k=1,n]a[k]≧-1とする。 n=2のとき (1+a[1])(1+a[2])=1+a[1]+a[2]+a[1]a[2]≧1+a[1]+a[2] 等号成立はa[1]=0またはa[2]=0 n=iの場合の成立を仮定して、n=i+1の場合を示す。 Π(k=1,i+1)(1+a[k])≧(1+Σ[k=1,i]a[k])(1+a[i+1])≧(1+Σ[k=1,i+1]a[k]) (∵a[k]≧0のときΣ[k=1,i]a[k]≧0 a[k]≦0のとき0≧Σ[k=1,i]a[k]≧Σ[k=1,i+1]a[k]≧-1) 左の等号成立条件はk=1,2,…,iでa[k]≠0なるkが高々1個であり、 右側の等号成立条件はΣ[k=1,i]a[k]=0またはa[i+1]=0であるから、 (最左辺)=(最右辺)となるのはa[k]≠0なるkが高々1個 (1+x)^n≧1+nxはa[k]=xの特別な場合 309 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/30(木) 03:48:58 ] 三角形の辺の和は,中線の和の4/3より大きくはない 組(a,b,c),(1/a,1/b,1/c)はそれぞれ三角形の三辺をなす それぞれの三角形の面積ををS,S'とすれば SS'≦48 310 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/01(土) 00:32:00 ] >>309 (下) 　つ [前スレ.863-865,870] 　S　≦ ((√3)/4) * abc, 　S' ≦ ((√3)/4) /(abc), を出す。 解1.　[前スレ.865] 相乗･相加平均 と 上に凸から 　{sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(π/3) = (√3)/2, 解2.　[前スレ.870] s=(a+b+c)/2. s-a, s-b, s-c の基本対称式を s,t,u とおく。ヘロン公式から 　S = √(su) = {s･(√su)･u}^(1/3) ≦ {(1/√3)st･u}^(1/3) ≦ (√3)/4･(st-u)^(2/3) = (√3)/4･(abc)^(2/3), 311 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/01(土) 01:38:26 ] ＞nは自然数とする ＞(sinx)^n+(cosx)^n ＞の最大値、最小値を求めよ これって，nが偶数のとき (sinx)^n≦(sinx)^2 (cosx)^n≦(cosx)^2 より (sinx)^n+(cosx)^n ≦(sinx)^2+(cosx)^2=1 の考え方使えないかなー 312 名前：310 mailto:sage [2009/08/01(土) 07:03:19 ] 訂正 　S　≦ ((√3)/4) * (abc)^(2/3), 　S' ≦ ((√3)/4) / (abc)^(2/3), より 　SS' ≦ 3/16, 313 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 09:23:30 ] >>309 (上) 中線を AA', BB', CC' とおく。 △ABC の重心をGとおくと、初等幾何により 　AG = (2/3)AA',　BG = (2/3)BB',　CG = (2/3)CC', ところで 　a = BC < BG + CG, 　b = CA < CG + AG, 　c = AB < AG + BG, 辺々たして 　a+b+c < 2(AG+BG+CG) = (4/3)(AA'+BB'+CC'). 314 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 17:54:30 ] >>309 これって、SS' < 1/4,でもいいとき、 　n=min(a,b,c),　d=mid(a,b,c),　x=max(a,b,c), とおく。 　S　= (1/2)nd･sin(?) ≦ (1/2)nd, 　S' = {1/(2xd)}sin(?) ≦ 1/(2xd), より 　SS' ≦ n/(4x) ≦ 1/4, の考え方使えないかなー 315 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/02(日) 22:43:13 ] p,q,r≧0 A,B,C＞0,A+B+C=π mは自然数 |pqsinmA+qrsinmB+rpsinmC|≦(p^2+q^2+r^2)(√3/2) 316 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/03(月) 07:36:25 ] >>309 (上) 〔類題〕 　三角形の辺長をa,b,c 中線の長さを AA', BB', CC' とおくと 　1 < (a+b+c)/(AA'+BB'+CC') < 4/3. (略証) ・右側は >>313 ・左側を示す。 　B'A' = AC' = C'B = (1/2)AB = c/2, 　C'B' = BA' = A'C = (1/2)BC = a/2, 　A'C' = CB' = B'A = (1/2)CA = b/2, より 　AA' < AB' + B'A' = (c+b)/2, 　BB' < BC' + C'B' = (a+c)/2, 　CC' < CA' + A'C' = (b+a)/2, 辺々たすと 　AA' + BB' + CC' < a+b+c, 317 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 03:39:24 ] このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20) ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験] 318 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/05(水) 14:46:11 ] >>315 過去スレ 319 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/05(水) 20:40:44 ] F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dx を示せ 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 00:39:44 ] [0,1]→[0,1] の意味は？ 値域がって事？ 321 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 07:33:59 ] わかるだｒ 322 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 10:20:05 ] >>319 過去スレ嫁 323 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 17:54:14 ] 拾ったものをいじった 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ 324 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/06(木) 23:28:40 ] > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす > 実数a,b,cが(a+b+c)/3=(abc)^(1/3)≠0を満たす ﾆﾔﾆﾔ… 325 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/06(木) 23:40:01 ] ↑ なんでにやついているの？ 326 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 00:26:45 ] ((-6)^3)^(1/3)って-6？ 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:17:00 ] >>325 相加平均=相乗平均 328 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 03:20:02 ] a=-1,b=0,c=1の場合は？ 329 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:21:20 ] >>328 ≠0 330 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:23:20 ] >>327 適用条件 331 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:23:54 ] >>326 (負)^(1/3) は定義されてない，というかできない． (-8)^(1/3) = -2 としたいところだが (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2 と矛盾を起こしかねないから。 332 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:26:33 ] >>331 ネタ？ 指数法則はどこいったの 333 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:30:00 ] （−１）＾１＝（−１）＾（２／２）＝（（−１）＾２）＾（１／２）＝１＾（１／２）＝１。 334 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:31:05 ] >>332 大丈夫だよ どこにも行っていないよ 安心しておやすみ 335 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:40:00 ] ａ＝８。 ｂ＝−１。 ｃ＝−１。 336 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 03:58:14 ] 高校数学の範囲では、√の左側にnを小さく書くのを(n)√と表すとすると nが奇数のとき、 aが正なら(n)√aは正の実数値 aが負なら(n)√aは負の実数値 をとるものとする、と教科書に明記されている。 しかし、a^(1/n)という記法は、 教科書ではa＞0の場合しか定義されていない。 ただ、その辺は入試になると結構あいまいで、 (n)√aと書く代わりにa^(1/n)と書かれる可能性もある。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 04:01:14 ] >>336 それにしたって a>0 に限定されているはずだ 338 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 04:16:33 ] >>333 これのおかしいところが分からないんだけど… 天才な俺に解説してください！ 339 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 04:17:55 ] >>337 指数法則 340 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 04:18:36 ] 338だった 341 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 04:26:20 ] >335の場合はokやんな？ 342 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 04:27:23 ] >okやんな？ ムカつく 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 04:30:17 ] 三角形ABCにおいて、sinA+sinB+sinCの最小値を求めよ。 最大値は凸不等式で出るんですけど最小値の出し方がわかりません・・・ 344 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 04:38:00 ] A,B,Cを0,0,πに近づければ値が0に近づく 345 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 07:24:12 ] >>331 多価関数として定義すれば無問題 346 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 08:00:53 ] >>338 お前ら複素関数論を知らんのか？ 一般のベキの定義は多価関数だろうが！　　　　　　　 と思ったら、ここは工房スレかorz 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 08:47:51 ] >>346 2chは良く言えばがらくた市 掃きだめの中に鶴が見つかれば大吉 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:23:43 ] >>345 >>346 複素数まで広げちゃうと不等式にそぐわなくないかい？ 349 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:35:00 ] >>348 そりゃ複素数に不等号（大小関係）は無いが、>>332や>>338のような奴がいるからなｗ そういうアホな突っ込みをする前に、函数論を勉強してから来いと 350 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:37:50 ] >>348 負の実数の1/3乗の主値を、負の実数と決めれば >>323に関しては問題ないだろ。 351 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:38:31 ] >>336 > aが負なら(n)√aは負の実数値 a=-1， n=2 のとき√-1は負の実数値なのですかｗ ゆとりの影響は恐ろしいなｗ 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 09:39:19 ] >>351 nが奇数のとき の文字が見えんのか 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 10:10:03 ] 本当にゆとりの影響は恐ろしいな 354 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 11:28:14 ] >>350 それでも>>331の問題が解決できぬ 355 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 11:43:54 ] ゆとり不等式 356 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 14:22:00 ] >>354 あ゛ーもうどいつもこいつもお塩も法子も．．． (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6) = 64^(1/6) = 2 が (-1)^1 = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = 1 と同じ暴論だということもわからんのか。 357 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 15:42:54 ] お塩と法子ｗｗ 358 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 16:20:53 ] 単純打率　ヒットの本数だけで判断した稚拙な計算による打率　→　イチロー 実質打率　内野安打・ポテンヒット等の凡打を省いた打率（２塁への進塁打は安打に含む）　　　　→　松井 正当打率　偶然ではなく実力で打ったヒットによる打率　　　　　　→　松井 貢献打率　勝利のためのチームバッティングを評価する打率　　→　松井 名門打率　所属チームの強さ・格式に準拠される打率　　　　　　→　松井 強敵打率　雑魚相手にヒットを稼ぐ不正を許さない打率　　　　　 →　松井 健康打率　健康体であるという条件下の元で算出した打率　　　 →　松井 芸術打率　フォーム・弾道の美しさを最大限評価する打率　　　　→　松井 人格打率　選手の人間性を加味した上で導き出す打率　　　　　 →　松井 大局打率　現状の成績に惑わされず大局を見抜いた打率　　　　→　松井 謙虚打率　強欲にヒットを欲しがろうとしない控えめな打率　　　　→　松井 精髄打率　ヒットの量ではなく本質を見つめ直した打率　　　　　　→　松井 社会打率　１人目立とうとして周りの空気を悪くしない打率　　　　→　松井 来年打率　今年は忘れ来期に目を向けた将来性重視の打率　　→　松井 玄人打率　野球に詳しい理系の人間だけが知る真実の打率　　 →　松井 主観打率　数字に依存しない独自の視点から優劣を決める打率 →　松井 実績打率 過去の成績を考慮に入れた打率→ 松井 怪我考慮打率 怪我をしていてもチームの為に痛みを我慢して打席に立つ男気溢れる打率→ 松井 スタベン打率 チームの為なら調子の悪い時はスタベンでも構わないという人情味溢れる打率→ 松井 チームリーダー打率 リーダーとしてチームメイトの悩みを聞いたり、アドバイスしたりする打率→ 松井 トレード打率 トレードされるかもしれないというとてつもない不安感の中での打率→ 松井 焼肉打率　　　焼肉記者の機嫌を取りながら稼ぐ打率　　　　　　　　→松井 仮に四番打率→ もし四番で起用されていたらと仮定した場合の打率 →松井 立場逆転打率 イチローと松井の立場が逆ならばと仮定した場合の打率→ 松井 常識打率　普通に考えたらどっちが上かわかりそうな打率　　　　→　松井 撃破打率 　ヒットや三振などに囚われず、相手投手にダメージ、動揺を与えた打率→ 松井 359 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 16:25:50 ] www4.himitsukichi.info/up/occult/1221405706/1221405706.jpg コイツも覚せい剤やってそう 360 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 17:45:25 ] >>323 3乗根に関して不毛(?)な議論が繰り広げられてるが、 {(a+b+c)/3}^3=abc≠0で考えればいいだろうし、この問題の場合 a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、 abc>0として大丈夫だろう。 で、自信はないが a+b+c=1としてよく、このときabc=1/27 a/(b+c)+1=(a+b+c)/(b+c)=1/(b+c) k+3=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) よって(k+3)(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b) (a+b)(b+c)(c+a)=(1-a)(1-b)(1-c) =1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc=ab+bc+ca-1/27 (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=(a+b+c)^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca+1 k=(ab+bc+ca+1)/(ab+bc+ca-1/27)-3=(28/27)/(ab+bc+ca-1/27)-2 ab+bc+ca={(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}/2=(1-a^2-b^2-c^2)/2であり、 (a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≧(a+b+c)^2からab+bc+ca≦(1-1/3)/2=1/3 k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2 361 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/07(金) 19:32:01 ] ＞a,b,cをすべてt(≠0)倍してもkの値や条件式に変化がないから、 ＞abc>0として大丈夫だろう。 Why ? 362 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 19:33:58 ] whyもなにも書いてある通りだろ 363 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 19:36:18 ] >>361 abcが負のとき、-a,-b,-cを新たにa,b,cとすればabc>0 でも、これでも{(-1)^3}^(1/3)がでてきて、 解決にはなってないような気がすると思い始めてきた 364 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 19:48:36 ] (abc)^(1/3)は或る実数 r か rω か rω^2 なんだから そのうち r を表す場合以外は解無しだと思う 365 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:05:47 ] 夏だからなのか？そうなのか？そうなんだな？ 366 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:30:35 ] >>356 どの辺が暴論？ 367 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 20:43:29 ] a,b,cを実数とするとき r^3 = abc を満たす実数 r(a,b,c) は唯一つ存在する。 実数a,b,cが(a+b+c)/3=r(a,b,c)≠0を満たすとき k=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)の取り得る値の範囲を求めよ これなら問題ないんだよね 368 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 22:46:25 ] 重大なミスを発見 > k≧(28/27)/(1/3-1/27)-2=3/2 ab+bc+ca<1/27を考えてなかった。 k<-2または3/2≦kだな。 実際>>335のように a=8,b=c=-1のときk=-30/7 369 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:06:27 ] >>366 指数定理 　(a^m)^n=a^(mn) が成り立つのは、 「a＞0である」か「m,nがともに整数である」かの どちらかの条件を満たす場合である。 だから (-8)^(2/6) = ((-8)^2)^(1/6)や (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2)は 成立しない。それだけのこと。 370 名前：360 mailto:sage [2009/08/07(金) 23:12:10 ] 頭に残ってたもやもやを取り除く方法を思いついたら、 また間違いに気付いたorz 十分性に欠けることには気づいてたんだが… ab+bc+ca=pとおくとa,b,cは t^3-t^2+pt-1/27=0の解 判別式 -{(4p+5/3)(p-1/3)^2}/27≧0より p=1/3またはp≦-5/12 したがってk=3/2または-30/7≦k<-2 首吊ってくる 371 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:14:25 ] >>369の修正 誤：指数定理 正：指数法則 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/07(金) 23:27:34 ] >>369 知らなかった… 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:28:24 ] >>349 >>369を見ても>>332がおかしいと思う？ 374 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:35:39 ] 　>>326　→　>>331 →>>332　→　>>334 良く見ろ しかし最近レベルの低いレスがやたら増えたな 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/08(土) 01:42:56 ] >>369 だからこそ (-8)^(1/3) = -2 と安直に定義するわけにはいかない というのが >>311 の趣旨ではないかと思うが まあ，この矛盾を避けるために [1] (負）^(1/3) の定義を許さない [2] 定義は許すが指数法則の適用を許さない の両者の立場の違いなのかとも思うが， 一般的には前者なのではないか？ もっとも，複素関数論のように多寡であることを認めるのであれば 事情は全く異なるのは確か 376 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/09(日) 08:26:18 ] p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ： ∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p). 377 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:29:27 ] >>374 本当だよ。 複素ベキを知らない奴が８割もいるｗ はっきり言って、受験生は板違いだから。 このスレを見ている人はこんなスレも見ています。(ver 0.20) ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part89＊＊＊ [大学受験] 378 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:49:48 ] >>369 嘘つくなボケ！ 379 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/09(日) 08:51:46 ] オイラーの公式をしらんのか？ e^{πi}=-1 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 01:53:40 ] >>302 (下) 　√{(k-1)(k+1)} = √(k^2 -1) < k, を使う。 　99!!/100!! = {3/(2√4)}{5/√(4･6)}{7/√(6･8)}･･････{99/√(98･100)}{1/√(100)} 　　　> {3/(2√4)}{1/√(100)} 　　　= (3/4)(1/10) 　　　= 3/40 　　　= 1/13.3333333･･･ 　99!!/100!! = {9!!(√11)/10!!}{√(11･13)/12}{√(13･15)/14}･･････{√(97･99)/98}{(√99)/100} 　 　　　< {9!!(√11)/10!!}{(√99)/10} 　　　= (9!!*11*3)/(10!!*10) 　　　= 31185/384000 　　　= 1/12.3136123･･･ 381 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/10(月) 02:14:11 ] >>40 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/10(月) 03:09:31 ] >>381 a≧c≧0≧bの場合を考えれば良く a(a+c)x+c(a+c)y=xa^2+yc^2+(x+y)ac≧(x+y+2√xy)ac より abx+bcy+caz≦(z-x-y-2√xy)ac=(√z+√x+√y)(√z-√x-√y)ac　……�@ ここで条件より√z≦1≦√x+√yなので�@≦0 よってabx+bcy+caz≦0 383 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/11(火) 21:09:17 ] kＣ［n，r］≦Ｃ［nk，rk］ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 01:41:55 ] Ｃ[nk,rk]≧(Ｃ[n,r])^k より明らか 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 13:26:47 ] >>383,>>384 r≠0,nか? ζ(s)=Σ[n=1,∞]1/(n^s)とする。 Σ[s=3,∞]{ζ(s)-1}<1/2を示せ。 (できればζ(2)=π^2/6を用いないで) 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 15:15:56 ] >>385 ζ(3)-1<�納n=2_∞]1/(n^3-n)<1/4 ζ(s+1)-1<{ζ(s)-1}/2 より Σ[s=3_∞]{ζ(s)-1}<2{ζ(3)-1}<1/2 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:15:09 ] >>315 コーシーより 　(左辺)^2 ≦ {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･{sin(mA)^2 + sin(mB)^2 + sin(mC)^2} 　　　　= {(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2}･f(mA,mB,mC) 　　　　≦ (1/3)(p^2 + q^2 + r^2)^2･f(mA,mB,mC), となるので、 f(mA,mB,mC) ≦ 4/9 を示せばよいが･･･ ※　(p^2 + q^2 + r^2)^2 - 3{(pq)^2 + (qr)^2 + (rp)^2} 　　= (1/2)(p^2 -q^2)^2 + (1/2)(q^2 r^2) + (1/2)(r^2 -p^2) ≧0, 388 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/12(水) 18:24:14 ] >>315 〔補題〕 A+B+C=π、mは整数のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 ≦ ９／４, (略証) m=0 のときは明らかだから m>0 とする。 左辺は mA, mB, mC について周期π をもつ。剰余を 　A' = mA - [mA/π]π, 　B' = mB - [mB/π]π, 　C' = mC - [mC/π]π, とおくと 　0 ≦ A',B',C' < π. 　A' + B' + C' = 0, π, 2π. しかし　右辺が0のとき A'=B'=C'=0 なので明らかに成立。 　 また　右辺が2πのときは　　　　　　{sin(π-x) = sin(x)} 　A' = π + [mA/π]π - mA, 　B' = π + [mB/π]π - mB, 　C' = π + [mC/π]π - mC, とおき直せば 　A' + B' + C' = π, 鈍角3角形(C'>90ﾟ)の場合は、C'を90ﾟに減らし、その分 A',B'を増やした方が明らかに大きい。 ∴　鋭角三角形と直角三角形を考えれば十分。 　(左辺) = {sin(A')}^2 + {sin(B')}^2 + {sin(C')}^2, 　= 1 -(1/2)cos(2A') -(1/2)cos(2B') + {sin(C')}^2 　= 2 + cos(C')cos(A'-B') + {sin(C')}^2　　　　　　{0≦cos(C'), cos(A'-B') ≦1} 　≦ 2 + cos(C') - {cos(C')}^2 　= 9/4 - {1/2 - cos(C')}^2 　≦ ９／４. 等号成立は A'=B' かつ C'=π/3,　すなわち A'=B'=C'=π/3 (正三角形)のとき。　 389 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/12(水) 19:35:02 ] α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾β の大小関係を答えよ 390 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 17:44:53 ] >>387 (別解) A+B+C = π のとき 　{sin(mA)}^2 + {sin(mB)}^2 + {sin(mC)}^2 　= 2 -(1/2){cos(2mA) + cos(2mB)} - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(A+B))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - cos(m(π-C))cos(m(A-B)) - {cos(mC)}^2 　= 2 - γ･cos(mC) - {cos(mC)}^2 　= 2 + (1/4)γ^2 - {(γ/2) + cos(mC)}^2 　≦ 2 + (1/4)γ^2, ただし、γ=(-1)^m･cos(m(A-B)), ぬるぽ 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:03:57 ] >>385 n≧2 のとき 　1/n ≦ 3/{2(n+1)}, ∴　Σ[s=3,∞) 1/(n^s) = 1/{(n^3)[1-(1/n)]} 　= 1/{(n^2)(n-1)} 　≦ 3/{2(n-1)n(n+1)} 　= (3/4){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}, よって 　ζ(s) -1 = Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　Σ[s=3,∞) {ζ(s)-1} = Σ[s=3,∞) Σ[n=2,∞) 1/(n^s) 　= Σ[n=2,∞) Σ[s=3,∞) 1/(n^s) 　≦ (3/4)Σ[n=2,∞) {1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))} 　= 3/8, 蛇足だが、 　ζ(3) - 1 = 0.20205690315732････ 　ζ(4) - 1 = (π^4)/90 - 1,　 　ζ(6) - 1 = (π^6)/945 - 1, 　････ を使うと 　(左辺) = 0.3550659331455･･･ < 3/8, 392 名前：385 mailto:sage [2009/08/13(木) 19:41:53 ] >>386,>>391 正解です。にしても評価粗すぎたなw 最初の想定では Σ[s=2,∞]{ζ(s)-1}=1とζ(m)-1>Σ[s=m+1,∞]{ζ(s)-1} で証明だったが(だからζ(2)の条件を付けた) 考えてみたらζ(s)<1+2/2^s+4/4^s+…くらいの評価で示せたorz ついでに >(左辺)=0.3550659331455･･･ =2-(π^2)/6です 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/13(木) 19:59:02 ] つまらん 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:49:16 ] >>316 　 〔問題38〕 三角形の辺の長さの和をa,b,c, 頂角A,B,Cの二等分線と対辺の交点をA",B",C" とおくとき、 　(1/2)(a+b+c) < AA" + BB" + CC" ≦ {(√3)/2}(a+b+c), 等号成立は a=b=c (正三角形) のとき。 (大塚氏による) 　 数セミ、Vol.48, No.9, 通巻576, p.54, Notes (2009/09) Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.38 395 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/14(金) 20:55:34 ] >>394 (左側) 　 角の二等分線は△の内部で交わるから、 　a = BC < BB" + C"C, 　b = CA < CC" + A"A, 　c = AB < AA" + B"B, 辺々たして2で割る。　 　 (右側) 　(a+b+c)/2 = s とおく。 �僊BC = �僊BA" + �僊CA" 　= (1/2)(b+c)AA" sin(A/2) 　= (1/2)(b+c)AA" √{(s-b)(s-c)/bc} 　≧ AA" √{(s-b)(s-c)},　　　　　　(相加相乗平均) ∴ ヘロンの公式から AA" ≦ �僊BC /√{(s-b)(s-c)} 　= √{s(s-a)} 　= (√3) √{(s/3)(s-a)} 　≦ (√3){(s/3)+(s-a)}/2　　　　　(相加相乗平均)　 　= (√3){(2/3)s -a/2}, 循環的にたすと 　AA" + BB" + CC" ≦ (√3)s, 等号成立は s-a = s-b = s-c = s/3, すなわち a=b=c. 　 Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 質問ｺｰﾅｰ(制限版) - No.39 396 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 01:37:47 ] 　　∧＿∧ 　　( ;´∀｀)=3 ﾊｧﾊｧ… 　 人　Y　/ 　(　ヽ し 　（＿）＿） 397 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 02:35:00 ] 516:大学への名無しさん[] 2009/08/07(金) 17:14:38 ID:ZA6uauFfO みんな聞いてくれ。昨日電車で勉強してたんだが、前にいた女がいきなり「この人、今痴漢しました。」 って俺に指さして騒いだわけ。この意味が分かるかな？ そう俺はそのとき痴漢積分していたのだ。 398 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 03:12:26 ] 褒美だ！ ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ、ｿﾚﾊ ﾎｳﾋ！ 　 くく　へﾍﾉ ←>>397 399 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 15:29:22 ] >>376は？ 400 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/15(土) 18:16:10 ] x,y,x∈R、x+y+z=1, xy+yz+zx=-8 のとき x^3+y^3+z^3 の最大最小。 2文字消去して定義域出して微分して解析、 という吐き気を催す解法しか思いつかなかった。 誰かかっこよく頼む。 401 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:08 ] >>400 x y z = s とおくと x, y, z は X^3 + X^2 - 8 X + s の解．また， x^3 + y^3 + z^3 = 3 (x y z) + (x + y + z)^3 - 3 (x + y + z) (x y + y z + z x) = 3s + 25 なので x^3 + y^3 + z^3 の最小化するためには， X^3 + X^2 - 8 X + s が３実数解を持つ条件で s を最小化すればよい． ３次方程式の判別式より D = 2112 - 148s - 27s^2 = -(s + 12)(27 s - 176) よって D ≧ 0 なる最小の s は s = -12． よって x^3 + y^3 + z^3 の最小値は 3×(-12) + 25 = -11 ３次方程式の判別式はアンチョコつかった． 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 19:30:26 ] そんな数II・Bﾚﾍﾞﾙの問題はスレ違い 403 名前：401 mailto:sage [2009/08/15(土) 19:32:29 ] 最大値を忘れてたが、判別式から 176/27 だな。 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:23:11 ] >>401 アンチョコって？ 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/15(土) 20:34:54 ] >>404 覚えてないからメモを見たってことでしょ 406 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/16(日) 06:33:24 ] f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする (∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a)) 407 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/17(月) 02:02:15 ] >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=-15 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]+15-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz-7 よって求める最小値, 最大値は-43, 113/9 t^3-t^2-8t-xyz=0の両辺にt^nをかけてからx. y and zを代入して辺ごと足すと {t[n]}の漸化式が得られる. 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:15:05 ] >>400 x=kとおくと y+z=1-k また x(y+z)+yz=-8より k(1-k)+yz=-8 k(1-k)+y(1-k-y)=-8 y^2-(1-k)y-k(1-k)-8=0 yが実数解を持つには (1-k)^2+4k(1-k)+4･8≧0 -3≦k≦11/3 よって -3≦x,y,z≦11/3 x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) 　　　　　 =1+16=17 x^3+y^3+z^3=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz 　　　　　 =25+3xyz 　　　　　 =25-3x(xy+zx+8) 　　　　　 =25-3x{xy+(1-x-y)x+8} 　　　　　 =25-3x(x-x^2+8) 　　　　　 =3x^3-3x^2-24x+25 xの範囲より最小値-11最大値779/3 409 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 05:33:58 ] >>407はt[2]で早くも間違えてたので書き直そう >>400 n∈N, t[n]=x^n+y^n+z^nとおくとt[1]=1, t[2]=17 x, y and zはtの3次方程式t^3-t^2-8t-xyz=0の根で y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 t^3-t^2-8t-xyz=0にt=x, y, and zを代入し辺ごと足してt[3]-17-8-3xyz=0 i.e. t[3]=3xyz+25 よって求める最小値, 最大値は-11, 401/9 410 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 06:12:35 ] >>407>>409 y=t^3-t^2-8tとy=xyzのグラフを考えてx, y, and z∈Rとなるのは-12≦xyz≦176/27 ここの論理って、どういう過程？ 411 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:07:19 ] 易問にいつまで関わるん？ 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:27 ] >>410 xyz=kとするとkの値によってx,y and zの値が変わる(つまりxyzの値を何にとるかで3文字は，3!=6通り以下あるにせよ，決まる)． kを変えたときに3変数がどれも実数となるようなkの範囲を調べる． そうなるのはグラフ書いて考察して今回の場合は(y=t^3-t^2-8tの極小値)≦k≦(y=t^3-t^2-8tの極大値)． 413 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 08:19:36 ] >>411 いいから黙ってろ！ 屁かますぞ！ 414 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/17(月) 18:14:00 ] なるほど。Thx 415 名前：１３２人目の素数さん [2009/08/18(火) 13:50:42 ] かまして！ 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/19(水) 01:35:11 ] ('A` )　ﾌﾟｳ ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ 　 くく　へﾍﾉ ←>>415 417 名前：清書屋 mailto:sage [2009/08/20(木) 23:03:27 ] >>400 x+y+z = a, xy+yz+zx = b, のときは xyz=s とおくと 　x^3 + y^3 + z^3 = a^3 -3ab +3s,　　　　　･･･････ (1) だから、sの最大・最小を求めればよい。 　X^3 -aX^2 +bX -s = (X - a/3)^3 +B(X - a/3) - S ここに 　B = b - (1/3)a^2, 　S = s - (1/3)ab + (2/27)a^3, 判別式 D = 4(-B)^3 -27S^2, ∴　D ≧0 となる条件は 　-2(-B/3)^(3/2) ≦ S ≦ 2(-B/3)^(3/2),　B<0, 　-(2/27)a^3 +(1/3)ab -2(-B/3)^(3/2) ≦ s ≦ -(2/27)a^3 +(1/3)ab +2(-B/3)^(3/2), よって (1) から 　(7/9)a^3 -2ab -6(-B/3)^(3/2) ≦ x^3 + y^3 + z^3 ≦ (7/9)a^3 -2ab +6(-B/3)^(3/2), 418 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 02:41:25 ] 正の実数a,b.cについて Σcyc [{√(a+b)(a+c)}(√b+√c)] ≧ 3√{(a^3+b^3+c^3+5abc)/2} 419 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 03:07:09 ] 自分で解けくず 420 名前：宮川ダイスケ mailto:sage [2009/08/21(金) 09:10:35 ] なんもかんがえなくとも、 x,yを中心にかんがえ、 x+y=1-z xy+z(x+y)=xy+z(1-z)=-8よって、 x+y=p.xy=q,ｘｙを２つの解とした二次方程式の判別式＞０よりｚの範囲でる。 最後は、p^3-3pq=(1-z)^3-3(1-z) あと適当に、、、なんか不等式みてると眠くなる 421 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/21(金) 22:24:15 ] >>417 　等号条件は 　左側 {x,y,z} = {(a/3)-2√(-B/3), (a/3)+√(-B/3), (a/3)+√(-B/3)}, 　右側 {x,y,z} = {(a/3)+2√(-B/3), (a/3)-√(-B/3), (a/3)-√(-B/3)}, 422 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/22(土) 23:11:22 ] >>417　の一般解 　(X - a/3)^3 +B(X - a/3) = S, を 2(-B/3)^(3/2) で割ると 　4ξ^3 -3ξ = S/{2(-B/3)^(3/2)}, となる。ここに 　ξ = (X -a/3)/[2√(-B/3)], ところで右辺は、実根条件から 　D = 4(-B)^3 -27S^2 ≧ 0, 　-1 ≦ S/{2(-B/3)^(3/2)} ≦ 1,　(B<0), よって 　S/{2(-B/3)^(3/2)} = cos(σ),　0≦σ≦π を満たす σ がある。 　4ξ^3 - 3ξ = cos(σ), ∴　ξ = cos((σ-2π)/3), cos(σ/3), cos((σ+2π)/3), ∴　{x, y, z} = {(a/3)+2(√(-B/3))cos((σ-2π)/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos(σ/3), (a/3)+2(√(-B/3))cos((σ+2π)/3)}, s を動かしても σ しか動かない。　　>>417 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 07:37:37 ] √ [ x ^ 2 + ( 1 - y ) ^ 2 ] + √ [ ( 1 - x ) ^ 2 + y ^ 2 ] の最小値を求む 424 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 08:32:45 ] べく 425 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/23(日) 22:56:37 ] 普通に(1,0)と(0,1)からの距離を考えて√2 426 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/24(月) 01:42:44 ] 複素係数の1変数代数方程式 z^m＋�納j=1→m] a(j) z^(m-j)＝0 の根は |z}≦2max[j] |a(j)|^(1/j) を満たす． 427 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 18:56:29 ] >>423 軸を45ﾟ回す。 　x^2 + (1-y)^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y+1)^2 = u^2 + {v + (1/√2)}^2 ≧ {v + (1/√2)}^2, 　(1-x)^2 + y^2 = (1/2)(x+y-1)^2 + (1/2)(x-y-1)^2 = u^2 + {v - (1/√2)}^2 ≧ {v - (1/√2)}^2, よって 　√[x^2 + (1-y)^2] ≧ |v + (1/√2)|, 　√[(1-x)^2 + y^2] ≧ |v - (1/√2)|, 辺々たす。 　(与式) ≧ |(1/√2) - (-1/√2)| = √2, 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:24:27 ] >>418 y=√x は上に凸だから 　√b + √c ≦ 2√{(b+c)/2} = √{2(b+c)}, 　√c + √a ≦ 2√{(c+a)/2} = √{2(c+a)}, 　√a + √b ≦ 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)}, よって a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおくと 　(左辺) ≦ 3√{2(b+c)(c+a)(a+b)} 　= 3√{2(st-u)} 　≦ 3√{2(st-u + F_1)} 　= 3√{2(s^3 -3st +8u)} 　= 3√{2(a^3 + b^3 + c^3 + 5abc)}, ここに F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0, ジャマイカ? 429 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 19:36:42 ] >>427 　u軸の彼方から観察した”射影”ぢゃね？ 430 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/25(火) 21:20:44 ] >>426 の証明をお願いします 431 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/26(水) 00:05:45 ] >>426,430 Max{|a(j)|^(1/j); 1≦j≦m} = M とおくと 　|Σ[j=1,m] a(j)･z^(m-j)| ≦ Σ[j=1,m] |a(j)|･|z|^(m-j) 　≦ Σ[j=1,m] M^j |z|^(m-j) 　= {M/(|z|-M)}{|z|^m - M^m}　　　　　　　　(|z|≠M) 　≦ {M/(|z|-M)}|z|^m, いま |z| > 2M と仮定すると、 　M/(|z|-M) < 1 となり、題意を満たさない。 ∴　題意を満たす根zに対して |z| ≦ 2M. 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 00:51:39 ] |z| > 2M の仮定のタイミングがおかしくないかい？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:23:19 ] | x | < π / 2 のとき cosh x ≦ sec x 434 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/27(木) 22:49:41 ] >>433 cosh x * cos x ≦ 1 微分して楽勝 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:29:26 ] 誰と戦ってるんだ 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 01:56:12 ] >>435 見えざる敵 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/08/28(金) 08:15:26 ] >>435 数学との戦い 438 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/01(火) 08:36:45 ] x,y,z＞0のとき x^3+y^3+z^3+3xyz≧xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) の成立をx,y,zについての不等式による場合分けをせず示せ． 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 11:14:31 ] 愚問 440 名前：「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/01(火) 11:50:02 ] そやけどねぇ、こんな感じの大学受験問題やったかな、 大昔にどっかで見た事がありますよ。 コレを愚問っちゅうんだったらですね、 それこそ大学入試問題なんて総崩れじゃないですかね。 大学入試なんて止めないとアキマセンがな！！ そやけんどそんな事は出来ひんやろ！ そやし、どないすんねん？ 441 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:09:34 ] >>438 相乗平均相加平均より xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧6xyz よって x^3+y^3+z^3+3xyz-xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)≧x^3+y^3+z^3-3xyz =(1/2)(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≧0 から題意の不等式を得る そんな愚問か？ 442 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:19:48 ] 途中の不等号逆じゃね？ 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 14:29:28 ] あーホントや 444 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/01(火) 15:31:49 ] 444 445 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/06(日) 16:40:10 ] >>433 　cosh(x) = (1/2){exp(x) + exp(-x)}, 　cos(x) = (1/2){exp(ix) + exp(-ix)}, 　cosh(x) * cos(x) = (1/4){exp((1+i)x) + exp((1-i)x) + exp(-1+i)x) + exp((-1-i)x)}, ところで 　exp(ax) = Σ[k=0,∞) {(a^k)/k!} x^k, であった。 　1±i = (√2)exp(±(π/4)i), 　-1干i = (-1)･{　〃　}, より 　(1+i)^k + (1-i)^k = 2^(k/2)*{exp((kπ/4)i) + exp(-(kπ/4)i)} = 2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　(-1-i)^k + (-1+i)^k = (-1)^k･{　〃　}, 辺々たして 　(1+i)^k + (1-i)^k + (-1-i)^k + (-1+i)^k = {1+(-1)^k}･2^(1 + k/2)･cos(kπ/4), 　　= 4 * 2^(k/2) (-1)^(k/4)　　　{kが4の倍数 or 0 のとき} 　　= 0,　　　　　　　　　　　　　{その他} 　cosh(x) * cos(x) = Σ[j=0,∞) (-1)^j {(4^j)/(4j)!} x^(4j) 　　= 1 - (1/6)x^4 + (1/2520)x^8 - (1/7484400)x^12 + (1/81729648000)x^16･･････, 交代級数となるから 2項づつまとめて 　cosh(x) * cos(x) = 1 - (1/6){1 - (1/420)x^4}x^4 - (1/7484400){1 - (1/10920)x^4}x^12 - ･････ 　< 1,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(|x|<π/2) 微分しなくても楽勝 微分方程式 y "" = -4y　の解 446 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/08(火) 04:23:36 ] 0≦b≦1-a^2,0≦q≦1-p^2のとき (a-p)^2+(b-q)^2の最大値を求める 447 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 16:43:32 ] >>446 問題それであってるの？ （わかりやすいように、bx ,q=>yっておきかえると 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2のときの、 ） 最初に、a,pを定数とみなして,x,yを変数とみなすと、 448 名前：447 mailto:sage [2009/09/10(木) 16:48:44 ] あ、とちゅうで送信してしもうた。 ＝＝＝＝ bをx,qをyって書き換えると、 0<=x<=1-a^2, 0<=y<=1-p^2 のときの (x-y)^2+(a-p)^2の最大値を求めればいい。 a,bを定数とまずみなすと、 xy平面で、x-yの最大値が分かる（そのときのa,pの値もわかる） だから、(x-y)^2+(a-p)^2 の最大値も分かる（そのときのa,pの値もわかる） あとは、a,pの計算。 449 名前：447 mailto:sage [2009/09/10(木) 16:51:17 ] typo ＞a,bを定数とまずみなすと、 じゃなくて、 a,p... 450 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 20:27:20 ] そう簡単にはいかないでしょ 451 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/10(木) 21:39:47 ] >>446 　|a|=A, |p|=P とおく。 ・0 ≦ A ≦ P ≦ 1 のとき 　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-a^2)^2　　　(等号は b=1-a^2, q=0 のとき) 　　　≦ (1+A)^2 + (1-A^2)^2　　　(等号は p=-Sgn(a) のとき) 　　　= 4 -(1-A)(2 +A^2 +A^3) 　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　　(等号は A=1 のとき) ・0 ≦ P ≦ A ≦ 1 のとき 　(与式) ≦ (a-p)^2 + (1-p^2)^2　　　(等号は b=0, q=1-p^2 のとき) 　　　≦ (1+P)^2 + (1-P^2)^2　　　(等号は a=-Sgn(p) のとき) 　　　= 1 - (1-P)(2 +P^2 +P^3) 　　　≦ 4,　　　　　　　　　　　　(等号は P=1 のとき) 452 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/15(火) 06:55:45 ] 正5角形の辺上に3点A,B,Cをとる △ABCの面積が最大となるには 3点A,B,Cをどのようにとればよいか 453 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/15(火) 07:03:19 ] >>452 簡単な例文。 【ステロイド抜けたらガリガリで横チンを公共電波に晒したり 　土俵に力水はいたり尻の穴ほじくった手でツッパリして相手をひるませたり 　自分で隠し持っていた山響株を兄が盗んだと騒いだりする】 より 【子供たちとの草サッカー】 の方が力士としての品格に欠け極悪であるとされてしまう知的土人のまじない師どもが日夜アホダラ教を唱えるサル・パラダイス日本 454 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/17(木) 22:52:24 ] >>452 {A,B,C}のうち1点Xのみを動かそう。Xと両隣の点(Y,Z)が作る3角形XYZの面積は 　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ), Xは多角形の辺上を動くから、高さのが最大になるのはXが頂点にあるとき。 ∴　Xは頂点にあるとしてよい。 他の点についても同様。 本問では 正5角形だから 　{A,B,C} = {2π/5,2π/5,π/5} のとき 455 名前：454 mailto:sage [2009/09/17(木) 23:59:36 ] 訂正 　△XYZ = YZ * (XのYZからの高さ) ／２, 　{A,B,C} = {3π/5,π/5,π/5}　もあるが、>>454 より小さい。 456 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 00:17:15 ] >>453 　唱えるならアホダラ経ぢゃね？ dictionary.goo.ne.jp/leaf/jn/4702/m0u/あほ/ dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=あほだらきょう love.ap.teacup.com/ondodouraku/237.html www.sutemaru-manzai.com/geino/aho/index.html 457 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/18(金) 00:19:18 ] 2n+1角形に拡張出来そうでつね 458 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 06:03:30 ] (1) 0<x<e，α=e-x，β=e+x α^βとβ^αどちらが大きいか (2) 0<x<1，α=ex，β=e/x α^βとβ^αどちらが大きいか 459 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/18(金) 11:24:43 ] 0<df(x)/dx<f(x)<∫_(-1,x) f(t)dt, (x∈(-1,1))となるf∈C^1(-1,1) 460 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/19(土) 09:43:56 ] 0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから 0<df/dx<f さえ満たせば良い 従って 解全体の集合∈{f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} であり 逆に {f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} に属する関数は 0<df/dx<f<∫_(-1,・) f(t)dt を満たすから 解全体の集合={f∈C^1(-1,1)|0<f<e^x} 461 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/19(土) 14:10:00 ] >>460 ＞0<f かつ f∈C^1(-1,1) ならば 0<f<∫_(-1,・) f(t)dt は自明だから これは間違い。f<∫_(-1,・) f(t)dtという不等式は 「グラフの高さ＜グラフの面積」という不等式なので、 原点でのグラフの高さに比べて面積が異常に小さい関数を 選べば、x＝0においてこの不等式は破綻する。 実際、a＞0としてf(x)＝e^(-x^2/a)とおけば、aが十分小さいとき f(0)＜∫_(-1,0) f(t)dt が成り立たないことが証明できる。 462 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:02:19 ] 〔問題〕(Shapiro-type) 正の数 a_k に対して次を示せ。 　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + ･･････ + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.6 ･ご参考 　n/3　[初代スレ.497(2), 501-502] 　n/4　[ASU, 1969.14] 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:24:25 ] >>462 (略証) 問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より 　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)], 　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)], それぞれ 0.3 と 0.7 を掛けて加えると、 　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + 1.4c/(d+e) - {0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1} 　> 0.3(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + 0.7(c^2)/[(c+d)(d+e)] 　> {0.3(b^2 +cd)d + 0.7(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　> {(0.2b^2 + 0.3cd)d + (0.4b + 0.7c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　= {0.4c(b+c)(c+d) + 0.2(b-c)^2･d + 0.3c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　>　0.4c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　=　0.4c/(d+e), ∴　0.3a/(b+c) + 1.3b/(c+d) + c/(d+e) ＞ 0.3(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + 0.7(c+d)/(d+e) -1, 循環的に加えて 　2.6Ｓ > (0.3 + 1 + 0.7)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n 　　　> (0.3 + 1 + 0.7)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均) 　　　= 2n - n = n. ∴ Ｓ > n/2.6 ぬるぽ ･Shapiro 巡回不等式 関連レス 　[第２章.284-285] 　[第３章.172-173, 218-220] 464 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 00:47:13 ] >>463 もっとギリギリの評価はありますか？ 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 04:18:41 ] >>464 ギリギリかどうか知らないけど 　(462の左辺) > λ･n, 　λ = 0.4976175155670･･･ というのがあるらしい。 (求め方) 点(0,1)を通る2つの関数 　y1:　y = e^(-x), 　y2:　y = 2/{e^x + e^(x/2)}, の function convex hull (共通接線?) を曳く。 　y = φ(x) = φ(0) + m･x, 　m = -0.903980192855258 　λ = (1/2)φ(0) = 0.4976175155670･･･ 　y1 との接点は (log(-m), -m) 　y2 との接点は (-0.524821743429450･･･, 1.469663491974050･･･) mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html 466 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 05:45:31 ] >>464 www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4778803086/ 元ギリギリ... 467 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 12:43:13 ] >>465 サンクス． 直観的にはn＝0.5とかいけそうですけど駄目なんでしょうね． 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 14:49:37 ] >>466 予想通り 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/20(日) 22:46:30 ] >>468 = アホ fc23.blog63.fc2.com/blog-entry-855.html 470 名前：463 mailto:sage [2009/09/20(日) 23:20:46 ] >>462 (改良版) 問題の左辺をＳとおく。 [初代スレ.501] より 　a/(b+c) + 2b/(c+d) - {(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) -1} = (b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)], 　b/(c+d) + 2c/(d+e) - {(b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+e) -1} ＞ (c^2)/[(c+d)(d+e)], それぞれ 5/14 と 9/14 を掛けて加えると、 　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (9/7)c/(d+e) - {(5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1} 　> (5/14)(b^2 +cd)/[(b+c)(c+d)] + (9/14)(c^2)/[(c+d)(d+e)] 　> {(5/14)(b^2 +cd)d + (9/14)(b+c)c^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　> {(1/7)db^2 + (5/14)cd^2 + (4/7)bc^2 + (9/14)c^3}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　= {(3/7)c(b+c)(c+d) + (1/7)(bc^2 +cd^2 +db^2 -3bcd) + (3/14)c(c-d)^2}/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　>　(3/7)c(b+c)(c+d)/[(b+c)(c+d)(d+e)] 　=　(3/7)c/(d+e), ∴　(5/14)a/(b+c) + (19/14)b/(c+d) + (6/7)c/(d+e) ＞ (5/14)(a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (9/14)(c+d)/(d+e) -1, 循環的に加えて 　(18/7)Ｓ > (5/14 + 1 + 9/14)Σ[k=1,n] (a_k +a_{k+1})/(a_{k+1} +a_{k+2}) - n 　　　> (5/14 + 1 + 9/14)n - n　　　　　　(← 相加・相乗平均) 　　　= 2n - n = n. ∴ Ｓ > (7/18)n = n/2.57143 ぬるぽ 471 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/21(月) 02:51:05 ] 自民：ぶれている 民主：柔軟/現実路線 自民：独裁だ/まるでヒトラー 民主：豪腕だ/リーダーシップがある 自民：統率力がない 民主：開かれている 自民：強行採決 民主：迅速採決 自民：劇場型選挙/刺客戦略 民主：高等な選挙戦術/上手い候補者選び 自民：派閥政治 民主：グループ（しかも緩やかな集まりでサークル活動みたいなもん・ｂｙ鳥越俊太郎）政治 自民：格差社会を象徴する首相私邸 民主：華麗なる一族 自民：閣内不一致 民主：閣内に温度差 472 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 06:25:16 ] 同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある 点Pが以下の位置にあるとき ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか (1)点Pが点A[k]と同一直線上にあるとき (2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき (3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき 473 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 15:16:45 ] 正の実数 a ，b ，c に対し，不等式 3/2 < { ( 4a + b ) / ( a + 4b ) } + { ( 4b + c ) / ( b + 4c ) } + { ( 4c + a ) / ( c + 4a ) } < 9 が成り立つことを示せ． 凸六角形 ABCDEF の3本の対角線 AD ，BE ，CF はいずれの2本のなす角も60ﾟである． このとき不等式 AB + BC + CD + DE + EF + FA ≧ AD + BE + CF が成り立つことを示せ． 474 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 16:52:32 ] 0 ≦ x , y , z≦ 1 のとき {( x + y + z ) / 3 } + √ { x ( 1 - x ) + y ( 1 - y ) + z ( 1 - z ) } の最大値を求めよ 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 21:28:13 ] >>472 (1) 　Pより右にあるA点の数 ＞ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを右へずらす。 　Pより右にあるA点の数 ＜ Pより左にあるのA点の数　⇒　Pを左へずらす。 したがって 　nが奇数のとき、P = A[(n+1)/2]　(Median) 　nが偶数のとき、線分 A[n/2]-A[n/2 +1] 上の点。 >>473 (上) 　1/4 + 15a/{4(a+4b)} = (4a+b)/(a+4b) = 4 - 15b/(a+4b), 　1/4 + (15/16)a/(a+b+c) < (4a+b)/(a+4b) < 4 - (15/4)b/(a+b+c), 循環的にたす。 　3/4 + 15/16 < (与式) < 12 - 15/4, (便法) 　0<y≦x　⇒　1 ≦ (4x+y)/(x+4y) < 4, 　0<x≦y　⇒　1/4 < (4x+y)/(x+4y) ≦ 1, から 3/2〜9。 >>474 (上) 　��(逆順序積) ≦ ��(乱順序積) より 　x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) ≦ s(1-s/3),　　s=x+y+z,　0≦s≦3 ∴ x=y=z (体対角線) 上で最大となる。 　(与式) = s/3 + √{s(1-s/3)} 　　　= (1/3){(s - 3/2) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3)) + √(s(1-s/3))} + 1/2 　　　≦ (2/3)√{(s - 3/2)^2 + 3･s(1-s/3)} + 1/2　　　(← コーシー) 　　　= (2/3)√(9/4) + 1/2 　　　= 1 + 1/2 　　　= 3/2,　 等号成立は s=9/4 のとき。 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/21(月) 23:00:13 ] >>473 (上) 　1/4 + (15/4)a/(a+4b) = (4a+b)/(a+4b), と 　a/(a+4b) + b/(b+4c) + c/(c+4a) - 3/5 = (4/5){7(a^2･b+b^2･c+c^2･a -3abc) + 8(ab^2 + bc^2 +ca^2 -3abc)}/{(a+4b)(b+4c)(c+4a)} ≧0, から 　3/4 + (15/4)(3/5) ≦ (与式), 　3 ≦ (与式), 等号成立は a=b=c のとき。 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 02:23:15 ] >>473　(下) 　ADとBEの交点をXとする。 　頂点A,Bから ∠AXB = 60ﾟ の二等分線に垂線をおろし、A-Ha, B-Hb とする。 　AHa = AXsin(30ﾟ), BHb = BX･sin(30ﾟ), 　AB > AHa + BHb = (AX + BX)sin(30ﾟ) = (AX + BX)/2　　･････････ (*) 同様に 　DE > (DX + EX)/2, ∴　AB + DE > (AX + DX)/2 + (BX + EX)/2 = (AD + BE)/2, 同様に 　BC + EF > (BE + CF)/2, 　CD + FA > (CF + DA)/2, 辺々たすと求める式を得る。 *別法 　AB^2 = AX^2 + BX^2 -AX･BX = (1/4)(AX + BX)^2 + (3/4)(AX - BX)^2 ≧ (1/4)(AX + BX)^2, 　AB ≧ (1/2)(AX + BX), 478 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 02:57:49 ] 区間 [ 0 , 1 ] 上の任意の連続関数 f ( x ) に対して , さらに f ( x ) > 0 を満たすとき ∫ [ 0 , 1 ] log f(x) dx と log ∫ [ 0 , 1 ] f ( x ) dx の大小を比較せよ 実数上で定義され , 実数に値をとる , 2次までの連続な導関数をもつ関数 f ( x ) が条件 f ' ' ( x ) ≧ f ( x ) ( - ∞ < x < + ∞ ) を満たす . このとき f ( x ) ≧ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≧ 0 ) f ( x ) ≦ f ( 0 ) cosh ( x ) + f ' ( 0 ) sinh ( x ) ( x ≦ 0 ) となることを示せ 全ての実数 x に対して x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + ( 21 / 64 ) > 0 となることを示せ 479 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:16:18 ] >>478 真中 {f’(x)＋f(x)}’≧f’(x)＋f(x)，{f’(x)−f(x)}’≧−{f’(x)−f(x)} g(x)＝f’(x)＋f(x) ，h(x)＝f’(x)−f(x) とおくと {e^(-x) g(x)}’＝e^(-x) {g’(x)−g(x)}≦0，{e^x h(x)}’＝e^x {h’(x)＋h(x)}≧0 x≧0 のとき e^(-x) g(x)−g(0)≧0，e^x h(x)−h(0)≦0 ⇔ g(x)≧e^x g(0)，−h(x)≧−e^(-x) h(0) f(x)＝(g(x)−h(x))/2 ≧[e^x {f’(0)＋f(0)}−e^(-x) {f’(0)-f(0)]]/2 ＝f(0) cosh(x)＋f’(0) sinh(x) x≦0 のときも同様。 簡単でないかい？ 480 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 07:42:03 ] >>478 下 f(x)＝x^4−x^3＋x^2−x＋21/64 とおく f'(x)＝4x^3 - 3x^2 + 2x - 1，f''(x)＝12x^2−6x＋2＞0 より f(x) の極値は 極小値 1個のみ x＝a で極小値をとるとすると f'(0.6)＜0＜f'(0.61) より 0.6＜a＜0.61 f(a)＝(a/4-/16) f'(a)＋5a^2/16-5a/8+17/64＝5a^2/16-5a/8+17/64 g(x)＝5x^2/16-5x/8+17/64 とすると g(x) は0＜x＜1 で単調減少 g(0.61)＞0 より g(a)＞0 481 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 08:57:18 ] >>478 (上) (略証) 　(k-1)/n ≦ x_k ≦ k/n とする。 相乗･相加平均より 　　{Π[k=1,n] f(x_k)}^(1/n) ≦ (1/n)�納k=1,n] f(x_k), �凅 = 1/n として、 ∴　�納k=1,n] log{f(x_k)}�凅 ≦ log{�納k=1,n] f(x_k)�凅}, ここで n→∞ (�凅→0) とする。 >>480 (蛇足) 　f '(x) = 4x^3 -3x^2 +2x -1 = 4X^3 +(5/4)X -(5/8), ここに X = x - 1/4, 　a = (1/4){1 + [(20/9)√6 +5]^(1/3) - [(20/9)√6 -5]^(1/3)} 　　= 0.6058295861882680209909387311570･･･ 482 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 09:53:42 ] >>478 (下) 　X = x - 1/4 とおく。 　(左辺) = x^4 - x^3 + x^2 - x + (21/64) 　　　= X^4 + (5/8)X^2 - (5/8)X + (33/256) 　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)X^2 - (5/8)X + (33/256) 　　　= (X^2 - 1/8)^2 + (7/8)(X - 5/14)^2 + (3/1792) 　　　> 3/1792, 感嘆で内科医？ 483 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/22(火) 22:40:22 ] >>478 (下) y=f(x) は下に凸で、ただ1つの極小点aは 0.6<a<0.61　　　>>480 ･ x≦0.605 のとき 　x=0.6 で接線をひく。 　f(x) ≧ f(0.6) + f '(0.6)･(x-0.6) 　　　　= 0.001725 - 0.016(x-0.6) 　　　　≧ 0.001645 ･ x≧0.605 のとき 　x=0.61 で接線をひく。 　f(x) ≧ f(0.61) + f '(0.61)･(x-0.61) 　　　　= 0.00170241 + 0.011624(x-0.61) 　　　　≧ 0.00164429 >>482 　肝胆で内科医 　邯鄲で無い海 484 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 00:31:51 ] >>480 f(x) の最小値は 　f(a) = g(a) = 0.001678223476410008900477133721940･･･ 485 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 01:59:33 ] x を正の実数 , n を正の整数とするとき [ nx ] > Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k ) となることを示せ ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 03:32:38 ] >>472 (2)は某所に答えあった 487 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:19:01 ] >>485 n=1のとき、 左辺も右辺も両方とも、[x]になって、 [x] > [x] ・・・＞ありえない。 になってしまうんだけど・・・自分の勘違い？ 488 名前：だいすけ ◆jcXETTeIVg mailto:sage [2009/09/23(水) 05:29:19 ] >>472 (3)って、かんたんに(2)に帰結できるきが。。。 489 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 19:31:59 ] 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ x を正の実数 , n を正の整数とするとき [ nx ] ≧ Σ [ k = 1 , n ] ( [ kx ] / k ) となることを示せ ただし , [ x ] は x を超えない最大の整数を表す 490 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/23(水) 22:31:16 ] >>489 前半は入試問題 491 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/24(木) 18:31:27 ] 実数x,yが x≧0, y≧0, x^6+y^5≦x^5+y^4 を満たすとき、x^5+y^5≦2を示せ。 492 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/26(土) 23:10:09 ] I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ただし，M は f に無関係な定数とする． 493 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/27(日) 05:41:58 ] >>490 大数の宿題 宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。 空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!! 494 名前：猫は珍獣 ◆ghclfYsc82 mailto:sage [2009/09/27(日) 09:52:56 ] 空気の読めなさやったらワシの方が上じゃろうなァ 何でかっちゅうとやねェ、ワシは空気を読むんを わざと放擲してるからや。 空気を読むっちゅうんはオリジナリティの最大の 敵やからな。 猫 495 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/27(日) 19:45:09 ] >>491 相加･相乗平均より {あるいは >1 と <1 で場合分けして} 　1 +5x^6 -6x^5 = (1-x)^2 (1+2x +3x^2 +4x^3 +5x^4) ≧ 0, 　1 +4y^5 -5y^4 = (1-y)^2 (1+2y +3y^2 +4y^3) ≧ 0, よって 　x^5 = 1 + (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 +x +1) ≦ 1 + 5(x-1)x^5 = 1 + 5(x^6 -x^5), 　y^5 = 1 + (y-1)(y^4 + y^3 + y^2 +y +1) ≦ 1 + 5(y-1)y^4 = 1 + 5(y^5 -y^4), 辺々たすと 　x^5 + y^5 ≦ 2 + 5(x^6 -x^5 + y^5 -y^4) ≦ 2,　　　　　(← 題意) 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 05:26:30 ] >>495 同じことだが、 　x-1 ≦ (x-1)x ≦ (x-1)x^2 ≦ (x-1)x^3 ≦ (x-1)x^4 ≦ (x-1)x^5, 　y-1 ≦ (y-1)y ≦ (y-1)y^2 ≦ (y-1)y^3 ≦ (y-1)y^4, よって 　x^5 ≦ 1 + 5(x^6 -x^5), 　y^5 ≦ 1 + 5(y^5 -y^4), 辺々たす、だな。フムフム･･･ 497 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 14:27:15 ] >>489 (下) S_k = [kx] - (2/(k+1))･([x] + [2x] + …… + [kx]) 　　= (1/(k+1))･Σ(j=0,k) ([kx] - [jx] - [(k-j)x]) 　　≧ 0, とおくと (左辺) - (右辺) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx] /k 　　= … … 　　= (1/(n+1))Σ(k=0,n) ([nx] - [kx] - [(n-k)x]) + Σ(0<i+j≦n) (2/(i+j)(i+j+1))([(i+j)x] - [ix] - [jx]) 　　= S_n + Σ(k=1,n) S_k /k 　　≧ 0, ぬるぽ 498 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/28(月) 18:02:17 ] >>497 【補題】 　[y+z] ≧ [y] + [z], (略証) 　y = [y] + {y}, 　z = [z] + {z}, ∴　[y+z] = [y] + [z] + [{y}+{z}] = [y] + [z] + (0 or 1), 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/29(火) 23:03:28 ] >>496 　x^5 = (x-1)x^4 + (x-1)x^3 + (x-1)x^2 + (x-1)x + (x-1) + 1 ≦ 1 + 5(x-1)x^5, 　y^5 = (y-1)y^4 + (y-1)y^3 + (y-1)y^2 + (y-1)y + (y-1) + 1 ≦ 1 + 5(y-1)y^4, だな。 500 名前：１３２人目の素数さん [2009/09/30(水) 00:03:19 ] R上の任意の2数x,yについて,x>yならばx≦yとなり得ない事を示せ って宿題が出ました どこをどう示せばいいか分かりません 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 00:51:24 ] >>500 x>yである順序対(x,y)全体の集合をA、x≦yである順序対(x,y)全体の 集合をBとおいて、A∩B=空集合を示せばいいのでは 502 名前：未解決？ [2009/09/30(水) 07:08:32 ] I＝[0，1]，f(x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f(x) | ) ( max [I] | f(x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ただし，M は f に無関係な定数とする． 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 同一直線上にn個の点A[k](1≦k≦n)がある 点Pが以下の位置にあるとき ΣPA[k]が最小となるには点Pをどのようにとればよいか (2)点Pが点A[k]と同一平面上にあるとき (3)点Pが点A[k]と同一空間上にあるとき (1) 0<x<e，α=e-x，β=e+x α^βとβ^αどちらが大きいか (2) 0<x<1，α=ex，β=e/x α^βとβ^αどちらが大きいか f(x),f'(x),f''(x),g(x)は連続でf''(x)≧0とする (∫[a,b]f(g(x))dx)/(b-a)≧f((∫[a,b]g(x)dx)/(b-a)) α＝ｅ＾π、β＝π＾ｅとする ｅ＾α、ｅ＾β、π＾α、π＾βの大小関係を答えよ p>1 なる実数に対して、以下の不等式を示せ： ∫_[0-->∞] p/(t^p +1) dt ≦ π/ sin (π/p). F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ 503 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 13:39:35 ] ＞F,Gを[0,1]→[0,1]を満たす実連続関数であるとし、Fを単調増加関数であるとする。 ＞∫[0,1] F(G(x))dx ≦ ∫[0,1] F(x) dx + ∫[0,1] G(x) dxを示せ 0≦x≦1とする。t∈[x,1]のときF(x)≦F(t)だから、両辺をxから1までtで積分して (1−x)F(x)≦∫[x,1]F(t)dt が成り立つ。変形してF(x)≦xF(x)＋∫[x,1]F(t)dt となる。F≧0だから ∫[x,1]F(t)dt≦∫[0,1]F(t)dtであり、また、x≧0，F(x)≦1よりxF(x)≦x である。これらを用いて F(x)≦x＋∫[0,1]F(t)dt を得る。これは任意のx∈[0,1]で成り立つから、(Gの値域)⊂[0,1]であることから x＝G(y)，y∈[0,1] と置いても上の不等式は成り立つ。つまり F(G(y))≦G(y)＋∫[0,1]F(t)dt が任意のy∈[0,1]で成り立つ。この不等式をyで0から1まで積分すればよい。 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:23:51 ] ＞I＝[0，1]，f (x) ∈ C^2 (I) とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． ＞( max [I] | f’(x) | )^2 ≦ M ( max [I] | f (x) | ) ( max [I] | f (x) | ＋ max [I] | f”(x) | ) ＞ただし，M は f に無関係な定数とする． 簡単のためA＝max [I] | f (x) |，B＝max [I] | f ' ' (x) |とおく。 A＝0のときはf≡0だから、既に成り立っている。以下、A≠0とする。 a∈[0,1]を任意に取り、固定する。各x∈[0,1]に対して、適当なθ＝θ(x)があって f (x)＝f (a)＋f ' (a)(x−a)＋f ' ' (θ)(x−a)^2/2 とできる。x≠aのとき、両辺を(x−a)で割って変形して f ' (a)＝(f (x)−f (a))/(x−a)−f ' ' (θ)(x−a)/2 となるから、特に|f ' (a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a|/2となる。 ここで更にt＝|x−a|/2 とおけば |f ' (a)|≦A/t＋tB　…(*) となる。aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に 動かすとき、tの動く範囲は 0＜t＜1　　　　　　　　　　 (a＝0,1) 0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1) である。a≠0,1の場合については、簡単な議論によって 1/4≦max{|a|,|1−a|}/2であることが言えるので、結局、tは少なくとも 0＜t≦1/4の範囲を動くことになる。また、a＝0,1の場合は、tは0＜t＜1の 範囲を動くから、tは当然0＜t≦1/4の範囲も動く。よって、いずれの場合も、 tは少なくとも0＜t≦1/4の範囲を動く。 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/09/30(水) 14:30:43 ] \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 訂正します(＾o＾) aを固定したままでxを[0,1]−{a}の範囲で任意に 動かすとき、tの動く範囲は 0＜t≦1/2　　　　　　　　　　 (a＝0,1) 　　　(←これが正しい) 0＜t≦max{ |a| , |1−a| }/2　(a≠0,1) である。 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 504の続き： そこで、t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} と置いてみる。このtは0＜t≦1/4 を満たしている(A≠0だからt≠0であることに注意)ので、このtに対して (*)が成り立つ。このとき (*)の右辺＝4√{A(A＋B)}＋(1/4)B√{A/(A＋B)} 　　　　　　≦4√{A(A＋B)}＋(1/4)(A＋B)√{A/(A＋B)} 　　　　　　＝(4＋1/4)√{A(A＋B)} となるので、結局、|f ' (a)|≦(4＋1/4)√{A(A＋B)}…(**)となる。 これが任意のa∈[0,1]で成り立つから、max [I] | f’(x) |≦(4＋1/4)√{A(A＋B)} となり、両辺を2乗して題意の不等式を得る。 506 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 16:52:28 ] >>504-505 流石にこのスレはレベルが高いですね． t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが， どうやって思いついたのですか？ とりあえず 2A/|x−a|＋B|x−a|/2 のうちどちらを const.√{A(A＋B)} の形にするかで，前者を選んだと言うことでしょうか？ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/01(木) 19:00:08 ] >>504-505 さんの解答をほとんど同じですが，より平易に書いて見ました． 文字は>>504-505 さんのものを使用します． x，a∈[0，1]，a を固定し x≠a とする． {f(x)−f(a)}/(x−a)＝f’(c) となる c が x と a の間に存在 |f’(c)|≦( |f(x)|＋|f(a)| )/|x−a|≦2A/|x−a|．．．�@ f’(c)−f’(a)＝∫[a，c]f”(t)dt より |f’(a)|≦|f’(c)|＋|∫[a，c]f”(t)dt|≦|f’(c)|＋|c−a| B≦|f’(c)|＋B|x−a| ．．．�A �@，�A より |f’(a)|≦2A/|x−a|＋B|x−a| ．．．�B ( i ) 0≦a≦1/2 のとき x＝a＋(1/2)√{A/(A＋B)} とおくと 0≦x≦1 で �B より |f’(a)|≦4)√{A(A＋B)}＋(1/2)B√{A/(A＋B)} ≦(4＋1/2)√{A(A＋B)} ( ii ) 1/2≦a≦1 のとき ( i ) とまったく同様 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:14:40 ] >>506 ＞どうやって思いついたのですか？ この問題は、以前読んだ数学書に書いてあった不等式そのもので、 証明も載ってた。それを引っ張ってきただけ(＾o＾) ただし、その本では(偶然にも)>>507と全く同じやり方で やっていて、個人的にはこのやり方は気に食わない。 何で気に食わないかと言うと、(*)の不等式への道筋が 見えにくいから。でも、テーラー展開しておけば一瞬で見える。 それで、504〜505の形で書いた。 ＞t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} 辺りが肝だと思いますが， 何も分かってない！そこは肝でも何でもない。 表面的な技巧に目が行って本質が見えてない。 504〜505では、行数の節約のために、本にならって t＝(1/4)*√{A/(A＋B)}と置いたが、こんな技巧的な操作は 本来は必要なくて、(*)まで行ければ何をしたって証明できる。 つまり、肝は(*)の不等式だ。 509 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:33:14 ] もし(*)の不等式でtが実数全体を動けるなら、t＝√(A/B) と置けば ||f ' ||^2≦ 4||f ||*||f ' ' ||　…(★) という(より強い)不等式が示せる。t＝√(A/B)と置く理由は、 相加相乗平均から。 あるいは、(*)の不等式の両辺にtをかけて整理すれば Bt^2−|f ' (a)|t＋A≧0 と変形できるので、tが実数全体を動けるなら、(判別式)≦0 を計算して 同じく(★)の不等式が得られる。 ここまで来ればもう分かると思うが、この手法はコーシー・シュワルツの 不等式の証明と同じものなのだ。そういう理解をしなければいけない。 ある文字について二次の多項式になっていれば、そこには コーシー・シュワルツの手法が使える可能性があるのだ。 今回は、f(x)をaのまわりで2次までテイラー展開すれば、 「|x−a|」 について二次の多項式になっているのだ。 しかし、>>507の書き方だと、二次の多項式で書けることが 見えないのだ。 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/02(金) 19:50:27 ] で、一応 ＞(*)まで行ければ何をしたって証明できる。(>>508) の詳細も書いておく。 今回問題となるのは、tは実数全体を動けるわけでは無いということ。 ならば、普通に(*)の右辺の最小値を泥臭く計算すればいい。 g(t)＝A/t＋Bt と置くと、(*)の不等式は|f ' (a)|≦g(t) と書ける。 以下、簡単のためB≠0とする。 √(A/B)≦1/4のとき： 0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は2√(AB)　(t＝√(A/B)) なので、このtを(*)に代入して|f ' (a)|≦2√(AB) となり、よって(★)の不等式を得る。 √(A/B)＞1/4のとき： 0＜t≦1/4におけるg(t)の最小値は4A＋B/4 (t＝1/4)なので、 t＝1/4を(*)に代入して|f ' (a)|≦4A＋B/4 を得る。 あとは、4A＋B/4≦C√{A(A＋B)} を満たす定数Cが存在することが言えればよい。 変形して(4A＋B/4)/√{A(A＋B)}≦Cとなるから、要するに左辺が有界ならよい。 で、√(A/B)＞1/4だったからB＜16Aであり、 (4A＋B/4)/√{A(A＋B)}＜(4A＋4A)/√{A(A＋B)}＝8√{A/(A+B)}≦8 となって、C＝8と置けばいい。 (B＝0の場合が残っているが、これも泥臭く計算すれば出る。) 511 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/02(金) 21:59:37 ] 質問です 任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに　ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｐｘｙ−２ｑｙｚ−２ｒｚｘ≧０ となるための、ｐ、ｑ、ｒについての条件を求める ｐ、ｑ、ｒは与えられた正数とする。任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに ｐ√（ｘ＾２＋ｙ＾２）＋ｑ√（ｙ＾２＋ｚ＾２）＋ｒ√（ｚ＾２＋ｘ＾２）≦Ｋ√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２） が成立する定数Ｋの最小値を求める（コ−シー・シュワルツの不等式を使わずに） ｐ、ｑ、ｒは与えられた実数で、ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＞０かつ（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）≠０とする 任意の実数ｘ、ｙ、ｚに対してつねに （ｐｘ＋ｑｙ＋ｒｚ）＾２＋Ｋ（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２−２ｘｙ−２ｙｚ−２ｚｘ）≧０ が成立する最大な正数Ｋをｐ、ｑ、ｒで表す お願いします 512 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:11:41 ] 「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました． 平均値もテーラー展開も本質的には同じで，みえやすさにそれほど大差はないと思います． |f ' (a)|≦A/t＋tB　の評価が肝だとも書かれていますが，これは，平均値やテーラー展開を 使う限り自ずと出てくるものだと思います． |f ' (a)|≦A/t＋tB　がでて来ればおっしゃるとおり泥臭くやれば，2次関数の問題に帰着され 結果的に解けます． 僕が興味を持ったのは，それらの事を踏まえた上で，何故唐突に t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} という値が出てきたか知りたかった訳です． 後，、｢|f ' (a)|≦A/t＋tB まで行ければ何をしたって証明できる。｣とありますが， |f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも 思いますが． 513 名前：507 mailto:sage [2009/10/03(土) 00:22:30 ] 僕個人では，A/t＋tB≦C√{A(A＋B)} を示すのに，t は上限があり， いくらでも小さくなれるので， A/t を まず C√{A(A＋B)} で上から評価するために，t＝p√{A/(A＋B)} といて （p は後から調整） という発想からでたものかと思っていました． 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/03(土) 00:51:01 ] >>512 ＞「より平易に」と書いてあるように，高校の範囲で解けるようにという意図がありました. 個人的には、それは平易とは思わない。使われているツールは 原始的(＝平易)かもしれないが、それが証明の見通しのよさに 繋がるとは限らない。 ＞|f ' (a)|≦A/t＋tB の時点で評価が甘くなっているリスクがまったくないとは言えないとも思いますが． それは俺の書き方が悪かったかもしれない。 少なくともt＝(1/4)*√{A/(A＋B)}を(*)に代入すれば題意の不等式は 出るのだから、(*)の時点で評価が甘いということは無いわけだ。 これを踏まえた上で「何をやっても証明できる」と書いた(天下り的な感じ)。 515 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 09:41:00 ] >>376, >>502(7) 　1/(t^p + 1) = x　とおくと、 　t = (1/x - 1)^(1/p), 　p･dt = (-1/x^2)(1/x - 1)^(1/p - 1) dx, 　(左辺) = ∫[0,1] (1/x)(1/x -1)^(1/p -1) dx 　　= ∫[0,1] x^((1 -1/p)-1) (1-x)^(1/p -1) dx 　　= Ｂ(1 -1/p, 1/p) 　　= Γ(1 -1/p)Γ(1/p) / Γ(1) 　　= π/sin(π/p), 等式の希ガス… 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:08:33 ] >>406 , >>502(5) 　x_0 =a, x_n =b, x_i - x_(i-1) = �凅_i >0, ととる。 f "(x) ≧ 0 だから、Jensenの不等式より 　Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] f(x_i)�凅_i /(b-a) ), ここで Max{|�兩i|; 1≦i≦n} → 0　を満たすように n→∞ とする。 (応用例) 　>>478 (上), >>481 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 10:18:51 ] >>516　訂正… 　Σ[i=1,n] f(g(x_i))�凅_i /(b-a) ≧ f( Σ[i=1,n] g(x_i)�凅_i /(b-a) ), 518 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 11:53:57 ] >>472 , >>502 [3] 点Pが問題の直線の外にあるときは、最小にならない希ガス。 ∵　点Pからこの直線に下ろした垂線をPQとすれば、 PA[k] > QA[k] となるから。 ∴　(2),(3) も結局 (1) に帰着され、>>475 と思われまする。 519 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/04(日) 20:34:50 ] x,y≧0,x+y=1のとき (x^5+y^5)/(x^3+y^3)の最大値最小値を求めよ。 520 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/04(日) 22:32:25 ] >>514 いきなりの t＝(1/4)*√{A/(A＋B)} のびっくりしましたが，熊ノ郷先生の発案でしたか。 521 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 01:05:53 ] >>519 　4(x^5 +y^5) = 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) + 2(x^2 -y^2)(x^3 -y^3) 　　≧ 2(x^2 +y^2)(x^3 +y^3) 　　= (x+y)^2･(x^3 +y^3) + (x-y)^2･(x^3 +y^3) 　　≧ (x+y)^2･(x^3 +y^3), 最小値 1/4,　等号成立は x=y のとき。 　(x+y)^2･(x^3 +y^3) - (x^5 + y^5) = xy(2x^3 +x^2･y +x･y^2 +2y^3) ≧ 0, 最大値 1,　等号成立は xy=0 のとき。 522 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/05(月) 20:10:07 ] >>519 〔類題〕 x,y≧0、0≦m≦n のとき 　{(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n + y^n)/(x^m + y^m) ≦ (x+y)^(n-m), 　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m + y^m)/(x^n + y^n) ≦ {2/(x+y)}^(n-m), 523 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/08(木) 03:20:04 ] 鋭角三角形ABCについて次の不等式を示せ 2(sinA+sinB+sinC)＞3(cosA+cosB+cosC) sinA+sinB+sinC＞2+min{A/4,B/4,C/4} www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50 より 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 09:25:06 ] >>519 >>521 で答えでてるけど、別解。 丁寧というか、馬鹿正直に長ったらしく書いたけど、やりかたは、高校生チックで素直？ （てか、>>521 の回答、いきなり４かけたりよくそんなの思いつくなぁ） x^5 + y^5 = (x^3+y^3)(x^2+y^2) -{(xy)^2}(x+y) = (x^3+y^3)(x^2+y^2) - (xy)^2 = (x^3+y^3){(x + y)^2 -2xy} - (xy)^2 = (x^3+y^3)(1 - 2xy) - (xy)^2 ∴ 与式 = 1 - 2xy - {(xy)^2}/(x^3+y^3)・・・≪１≫ また、 x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x + y) = 1 - 3xy ゆえに、 与式 =≪１≫ = 1 - {2a + (a^2)/(1-3a)}・・・≪２≫ （※a=xyとおいた。 ここで、x,yは、tについての２次方程式「t^2-(x+y)t+xy=0・・・≪３≫」の２実解で、かつ非負整数であるので、 ≪３≫の判別式 = (x+y)^2 - 4xy = 1 - 4a >= 0 ∧ x>=0 ∧ y >=0 ∴ 0<=a<=1/4 ） つづく。。。。。。。。。。。。。 525 名前：524 mailto:sage [2009/10/08(木) 09:26:32 ] このとき、aの増減と、2a, a^2 の増減は一致する。 また、aの増減と、1-3a の増減は反対となる。 ゆえに、 aの増減と≪２≫、つまり与式の増減は反対となる。 よって、≪２≫より、 与式の最小値は、a=1/4のとき（※）、1/4 （※ つまり、a=xy=1/4 ∧ x+y=1ゆえ、x=y=1/2のとき） 与式の最大値は、a=0のとき（※）、1 （※ つまり、a=xy=0 ∧ x+y=1ゆえ、(x,y)=(1,0) ∨ (x,y)=(0,1)のとき） ==== 告白すると文系出身なので、≪２≫を微分するやりかたわすれましたｗ 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/08(木) 23:00:11 ] >>519 〔類題〕 x,y≧0、0≦m≦n のとき 　(n/m){(x+y)/2}^(n-m) ≦ (x^n - y^n)/(x^m - y^m) ≦ (x+y)^(n-m), 　{1/(x+y)}^(n-m) ≦ (x^m - y^m)/(x^n - y^n) ≦ (m/n){2/(x+y)}^(n-m), ・参考 　>>136 , [初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式 527 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/09(金) 04:01:26 ] >>525 宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg…Ｆランク。自称30歳東大文学部中退の理�T志望。 空気の読めなさならお前がナンバーワンだっ!! 528 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 11:46:34 ] >>502 (4) 　β^α - α^β、β^(1/β) - α^(1/α) 、(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は符号が同じ。 便宜上 (2) を先に解く。 　0<x，α=ex，β=e/x のとき 　(1/α)log(α) = (1/ex){1 + log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t)/(t^2) dt, 　(1/β)log(β) = (x/e) {1 - log(x)} = (1/e){1 + ∫[x,1] log(t) dt, 辺々引いて 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) = (1/e)∫[x,1] (1 - 1/t^2)log(t) dt, ここで被積分函数は非負 (1 - 1/t^2)log(t) ≧ 0　だから、 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) の符号は 1-x の符号と一致する。(終) 〔系〕 0 < α < e < β, αβ < e^2 のとき 　(1/β)log(β) - (1/α)log(α) は β-α と同符号。 (1) αβ = (e-x)(e+x) = e^2 - x^2 < e^2　だから、(系) により成立する。 529 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:37:38 ] >>389 , >>502 (6) 　f(x) = (1/x)log(x), は x=e に極大をもち、両側で単調だから 　f(x) ≦ f(e) = 1/e, 　f(π) < 1/e, ∴　π^(1/π) < e^(1/e), ∴　α = e^π > π^e = β, ∴　π^α > π^β,　e^α > e^β, 問題は π^β > e^α であるが、これと同値な 　β･log(π) > α, を示そう。 　e = 2.71828… > 2.7142857… = 19/7, 　π^7 = 3020.293… > 2980.958… = e^8, 　π > e^(8/7), 　log(π) > 8/7 = 1/{1 - (1/8)} > 1/e^(-1/8) = e^(1/8), 　β = π^e = e^(e･log(π)) > e^((19/7)(8/7)) = e^(3 + 5/49) > e^(3.1) , 辺々かけて 　β･log(π) > e^(3.1 + 1/8) > e^π = α, 530 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 15:47:28 ] ふぅ・・・ 531 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/09(金) 18:00:26 ] >>511 (上) ・問題の２次形式が半正値。 ・行列 　[ 1, -p, -r ] 　[-p,　1, -q ] 　[-r, -q,　1 ] の固有値がすべて非負。 ・固有多項式 　t^3 -3t^2 + (3 -p^2 -q^2 -r^2)t -(1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr) = 0, の根がすべて非負。 ・　3 -p^2 -q^2 -r^2 ≧ 0,　1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr ≧ 0, (中) 　a = √(x^2 +y^2),　b = √(y^2 +z^2),　c = √(z^2 +x^2), とおくと (a,b,c) は鋭角△をなす。 ∴　これは 条件付きの不等式である。 　(p,q,r) が鋭角△をなすか否かで場合分け。　　>>221 (下） ・問題の２次形式が半正値。 ・行列 　[ p^2 +K, pq -K, pr -K ] 　[ pq -K, q^2 +K, qr -K ] 　[ pr -K, qr -K, r^2 +K ] の固有値がすべて非負。 ・固有多項式 　t^3 -(p^2 +q^2 +r^2 +3K)t^2 +{(p+q)^2 +(q+r)^2 +(r+p)^2}Kt -4(pq+qr+rp-K)K^2, の根がすべて非負。 ・　0 ≦ K ≦ pq+qr+rp, 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/10(土) 17:35:58 ] >>511 (上), >>531 (上) 　0 ≦ 1 -p^2 -q^2 -r^2 -2pqr　　　　>>531 　　= (1-p^2)(1-q^2) - (pq+r)^2 　　= (1-q^2)(1-r^2) - (qr+p)^2 　　= (1-r^2)(1-p^2) - (rp+q)^2, から 　(1-p^2)(1-q^2) ≧ 0, 　(1-q^2)(1-r^2) ≧ 0, 　(1-r^2)(1-p^2) ≧ 0, よって 1-p^2, 1-q^2, 1-r^2 は同符号。 したがって 　(1-p^2) + (1-q^2) + (1-r^2) ≧ 0,　　　>>531 ⇔　1-p^2 ≧ 0,　1-q^2 ≧ 0,　1-r^2 ≧ 0, ⇔　|p|≦1,　|q|≦1,　|r|≦1, ・参考書[3]の第1部 例題１． 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:54:36 ] >>523 出題元の解答は･････ 〔補題〕　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2), (上) 　min{A,B,C} = C　とすると 0<C≦π/3 より, 　2cos(C/2) -3sin(C/2) ≧ 2cos(π/6) -3sin(π/6) = √3 -(3/2) >0 だから 　(左辺) - (右辺) = 2{sin(A) + sin(B) + sin(C)} -3{cos(A) + cos(B) + cos(C)} 　　　= 2cos((A-B)/2){2sin((A+B)/2) -3cos((A+B)/2)} +2sin(C) -3cos(C) 　　　= 2cos((A-B)/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C), 　　　> 2cos(C/2){2cos(C/2) -3sin(C/2)} +2sin(C) -3cos(C)　　　　(←補題) 　　　= 2{1+cos(C)} -3sin(C) +2sin(C) -3cos(C) 　　　= 2 -sin(C) -cos(C) 　　　= 2 -(√2)sin(C + π/4) 　　　≧ 2 - √2 　　　> 1/2　 　　[93]　by シタカンダ (下) 　min{A,B,C} = C　とする。 0<C≦π/3, 　(左辺) = sin(A) + sin(B) + sin(C) 　　　= 2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2) + sin(C) 　　　= 2cos((A-B)/2)cos(C/2) + sin(C) 　　　> 2{cos(C/2)}^2 + sin(C)　　　　　　(←補題) 　　　= 1 + cos(C) + sin(C) 　　　≧ 1 + {1 - (3/2π)C} + {(3√3)/(2π)}C　　(←cos(x)+sin(x)は上に凸) 　　　= 2 + {3(√3 -1)/(2π)}C 　　　= 2 + 0.349528513857C, 　　　= 2 + (1/3)C,　　　　　　　[96]　by だるまにおん 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/11(日) 10:57:12 ] >>523 〔補題〕 　A,B,C が鋭角△のとき、cos((A-B)/2) > cos(C/2), (略証) 　A-B < (π-A) - B = C, 　B-A < (π-B) - A = C, ∴　|A-B| < C,　　　　　(終) 535 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 01:34:46 ] (1) θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき 　　15(sinθ)^2+12sinθcosθ+16(cosθ)^2 の最大値を求めよ。 (2) θが0≦θ＜2πの範囲を動くとき 　　15sinθ+12sinθcosθ+16(cosθ)^2 の最大値を求めよ。 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/l50 より 536 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/12(月) 02:59:02 ] >>438 www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089292331/830 らしい 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/12(月) 05:41:07 ] >>523 の〔類題〕 ・1≦K≦√3 のとき 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 - (√2)(K-1), ・0≦K≦1のとき 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + (2-K) + (1-K)(1/3)C, (略証) 　0≦K≦√3 と C≦π/3 より 　cos(C/2) - K･sin(C/2) ≧ (√3 -K)/2 ≧ 0, 　sin(A) + sin(B) > K{cos(A)+cos(B)-sin(C)} + 1 + cos(C), 　sin(A) + sin(B) + sin(C) > K{cos(A)+cos(B)+cos(C)} + 1 + (1-K){sin(C)+cos(C)}, ところで、 C≦π/3 より 　1 + (1/3)C ≦ cos(C) + sin(C) ≦ √2, (終) 538 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/13(火) 21:14:11 ] >>535　出題元の解答は… 〔補題〕 　|a･cos(x) + b･sin(x)| ≦ √(a^2 + b^2), (略証) 　{a･cos(x) + b･sin(x)}^2 = a^2 + b^2 - {b･cos(x) - a･sin(x)}^2 ≦ a^2 + b^2, (終) (1) 　(与式) = (31/2) +6sin(2x) +(1/2)cos(2x) ≦ (31/2) + √{6^2 + (1/2)^2}, (2)　 　(与式) = 3sinθ(5+4sinθ) + 16(cosθ)^2 　　　　=　3sinθ(5+4cosθ) + 25 - (5-4cosθ)(5+4cosθ) 　　　　= 25 - (5 -3sinθ -4cosθ)(5+4cosθ) 　　　　≦ 25, www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1102511185/111-112 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:13:04 ] △ ABC の周の長さを L とし , 角 A , B , C の二等分線の長さを x , y , z とすると 不等式 x + y + z ≦ { ( √ 3 ) / 2 } L が成立する . さらに , 外接円と内接円の半径をそれぞれ R , r とすると 9 r ≦ x + y + z ≦ ( 9 / 2 ) R が成立する α , β , γ を複素変数とし , 次の式の分母が 0 とならない範囲での最大値を求めよ また , 実変数の場合はどうか | ( α - β ) ( β - γ ) ( γ - α ) ( α + β + γ ) | / ( | α | ^ 2 + | β | ^ 2 + | γ | ^ 2 ) ^ 2 ( 数学セミナーより ) 540 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 03:15:51 ] フェラチオ＞シックスナイン 541 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:16:19 ] フェラチオという行為は女性から男性、または男性から男性に行うことのできる写像であるとすると、 この写像は男性という集合への単射である。また、シックスナインは同じ考えに基づき全単射の写像である。 いずれも、任意の性的快感を得る写像であることから、このふたつは同じ集合の元であると考えると、 単射э全単射といえることから フェラチオ э シックスナイン であると言える。 542 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/16(金) 16:17:31 ] ｗ 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [2009/10/17(土) 02:14:08 ] age 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 04:22:24 ] >>539 (上)　>>394-395　 (下)　実変数のときは、　(与式) ≦ 0.397747488･･･, 　　等号成立は α:β:γ = -0.3590････ : 0.3204･･･ : 1 かな？ 545 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/17(土) 10:03:31 ] △ABCにおいて内心をI, 内接円の半径をr, 外接円の半径をRとするとき、 √(1+5r/(2R))≦sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)≦√(2+r/(2R)) を示せ。 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/17(土) 15:16:14 ] >>539 　(下) 実変数のとき 　最大値　9/(16√2) = 0.397747564････ 　α:β:γ = -(3/√2 - 1) : 1 : (3/√2 + 1) 　　　　= -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1 　　　　= -0.359245518････ : 0.320377241･･･ : 1 のとき 547 名前：546 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:00:35 ] >>539 (下)　(546の続き) ・複素変数のとき 　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = 3(αα† + ββ† + γγ†) 　　= |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 　　≧ 4 |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　(← 相加･相乗平均) ∴　(与式) ≦ (3/4)^2 = 9/16, 　等号成立は、|α-β| = |β-γ| = |γ-α| = |α+β+γ| のとき(正三角形)。 ・実変数のとき 　βはαとγの中間にあるとする。 　|γ-α|^2 = (|α-β| + |β-γ|)^2 ≧ 4|α-β||β-γ|,　　･･････　(*) よって 　3{|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2} = |α-β|^2 + |β-γ|^2 + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2 　≧ 2|α-β||β-γ| + |γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　　　　(← 相加･相乗平均) 　≧ 2|α-β||β-γ| + 2|α-β||β-γ| + (1/2)|γ-α|^2 + |α+β+γ|^2　　(← *) 　≧ 4･2^(1/4) |(α-β)(β-γ)(γ-α)(α+β+γ)|^(1/2),　　　(← 相加･相乗平均) ∴　(与式) ≦ 9/(16√2), 　等号成立は　|α-β| = |β-γ| = (1/√2)|α+β+γ| のとき, 　　α:β:γ = -(3-√2)/(3+√2) : (√2)/(3+√2) : 1　 548 名前：547 mailto:sage [2009/10/18(日) 06:50:01 ] >>539 (下)　(547の続き) ・非負変数のとき 　min{α,β,γ} = m ≧0,　{α,β,γ} = {m,m+x,m+x+y}, x≧0, y≧0 とする。 　|�處 = xy(x+y), 　α+β+γ = 3m +2x +y, 　|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2 = 3m^2 + 2m(2x+y) + (2x^2 +2xy +y^2), 　(1/4)(|α|^2 + |β|^2 + |γ|^2)^2 ≧ m(2x+y)(2x^2 +2xy +y^2) + (1/4)(2x^2 +2xy +y^2)^2 　　=　|�處･(α+β+γ) + m(4x^3 +3x^2･y +xy^2 +y^3) + {x^2 -(1/2)y^2}^2 　　≧ |�處･(α+β+γ), 　(与式) ≦ 1/4, 　等号成立は m=0, x=y/√2 のとき。 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/18(日) 22:20:46 ] >>538 (2)　訂正 　(与式) = 3sinθ(5 + 4ｃｏｓθ) + (4sinθ)^2 >>548 　�� = (α-β)(β-γ)(γ-α),　　とおきますた(差積)。 　等号条件は α:β:γ = 0 : 1 : (1+√2) = 0 : (√2 -1) : 1　及びその入れ換え。 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/19(月) 03:59:44 ] 蒼井そら 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:10:33 ] www.551horai.co.jp/ 551蓬莱 552 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/20(火) 02:11:34 ] >>550 ja.wikipedia.org/wiki/河合曾良 dic.nicovideo.jp/a/河合曾良 ja.wikipedia.org/wiki/ギャグマンガ日和 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/21(水) 01:00:05 ] |cos(θ+φ)-cosθ+φsinθ|≦(φ^2)/2 554 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/23(金) 21:53:39 ] >>553 　-1 ≦ -cos(θ+φ) ≦ 1, φで積分して 　-|φ| ≦ -sin(θ+φ) + sinθ ≦ |φ|,　 φで積分して 　-(1/2)φ^2 ≦ (左辺) ≦ (1/2)φ^2, あるいは平均値の定理から f(φ) - f(0) - φf '(0) = (1/2)φ^2･f "(kφ),　0<k<1, ただし、f(φ) = cos(θ+φ), 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:24:55 ] >>502 の解答 (1) >>504-510　(2) 未　(3) >>518　(4) >>528　(5) >>516-517　(6) >>529　(7) >>515　(8) >>503 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/24(土) 02:53:56 ] 問1 1.6 < ( √ 2 ) ^ ( √ 2 ) < 1.7 ただし √ 2 = 1.414･･･ とする 問2 | Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x | のとき | Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1 問3 自然対数の底eを e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! ) とする ( 1 )済 e < 2.721 ( 2 )済 log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x ) ( 3 ) 1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318 ただし 2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561 とする 問4 四面体の六辺の積を L , 体積を V とおくとき L / V ^ 2 の最小値を求めよ 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 00:15:47 ] >>556 とりあえす問１だけ････ 　a = 2^(3/2) = 2√2 = 2.828････ とおくと、(与式) = a^(4/3a), 　e^(1/a) < a^(1/a) < e^(1/e),　　　(← a>e) 　e^(4/3a) < (与式) < e^(4/3e), 　8/3 < e < a < 17/6　より 　1/2 - 1/34 = 8/17 < 4/3a < 4/3e < 1/2, 　e^(4/3e) < √e = 1.64872･･･ 　e^(4/3a) > e^(-1/34)√e > (1-1/34)(√e) = (33/34)√e = 1.6002･･･ 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 02:59:25 ] さすがに√eの値を出すのは反則でない？ 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 10:35:04 ] >>556 問1 (√2)^(√2)=a　とおく。 f(x)=x^(√2-1)　とすると、f(x)はx>0で単調増加より f(√2) < f(a) よって、a/√2 < a^√2/a =2/a　から a^2 < 2√2 = 2.828... 2.56 < 2.828... < 2.89 より 1.6 < (√2)^(√2) < 1.7 560 名前：559 mailto:sage [2009/10/26(月) 10:41:03 ] 間違えた…… 下の評価は、g(x)=x^(√2-3/2)　とおいて g(a) < g(√2)　から示す。 561 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/10/26(月) 20:59:26 ] >>438　　(出題元 >>536 から) 　(左辺) - (右辺) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = F_1, ∴　(x+y)(x+z)(z+x)F_1 　　= (xy+xz)(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (yz+yx)(y^2 -z^2)(y^2 -x^2) + (zx+zy)(z^2 -x^2)(z^2 -y^2) = xy{(x^2 -y^2)(x^2 -z^2) + (y^2 -z^2)(y^2 -x^2)} + cyclic. = xy(x^2 -y^2)^2 + yz(y^2 -z^2)^2 + zx(z^2 -x^2)^2 ≧ 0, 562 名前：１３２人目の素数さん [2009/10/26(月) 22:42:47 ] image.blog.livedoor.jp/para080/imgs/9/7/97e892c5.jpg img05.ti-da.net/usr/dera1008/DSCF0851s%E5%8A%A0%E5%B7%A5%E3%80%82.jpg www.asaho.com/jpn/img/2005/0919/nikkangendai20050913.jpg

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