- 1 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/15(月) 19:00:00 ]
- ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
過去スレのミラー置き場：cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
- 2 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/15(月) 19:03:00 ]
- 不等式の本
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
amazon.co.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
amazon.co.jp/o/ASIN/4627010494
[5] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
amazon.co.jp/o/ASIN/4627075812
[6] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
amazon.co.jp/o/ASIN/4894281740
[7] 数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
amazon.co.jp/o/ASIN/4316801988
[9] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
amazon.co.jp/o/ASIN/4254110871
[10] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
amazon.co.jp/o/ASIN/052154677X
[11] 数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
www.amazon.co.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
- 3 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/15(月) 19:04:00 ]
- 不等式の埋蔵地
[1] RGMIA rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KöMaL www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/#proposed_problems (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld mathworld.wolfram.com/
海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html
- 4 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/15(月) 23:31:16 ]
- >>1
スレ立て乙！
>>2に数蝉の記事も加えてあって、完璧な仕事ぶりでござるな…
- 5 名前：にょにょ ◆yxpks8XH5Y mailto:sage [2009/06/16(火) 00:42:34 ]
- Cinco!
- 6 名前：【転載】 mailto:sage [2009/06/16(火) 02:49:26 ]
- 979 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ
- 7 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/16(火) 03:25:57 ]
- フィボナッチ数列に関した不等式ってないですか？
- 8 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/16(火) 04:22:17 ]
- >>6
上：nの偶奇で場合分け。偶数の場合をといて、奇数の場合を解く。
下：グロンウォールの不等式
- 9 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/16(火) 14:15:19 ]
- >>6
x^2+y^2=1 上での x^n+y^n の最大値と解釈してラグランジュ。
- 10 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/16(火) 14:45:15 ]
- まだ前スレは 20 は書けるぜ！
- 11 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/18(木) 01:03:50 ]
- ABを斜辺とする直角三角形ABCがある。
辺AC上に、頂点A、Cと異なる任意の点Pをとるとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
(AB-BP)/AP＞(AB-BC)/AC
(お茶の水女子大)
- 12 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/18(木) 04:07:20 ]
- No1
a，b，cは実数で，a≧0，b≧0とする．
p(x)=ax^2+bx+c
q(x)=cx^2+bx+a
とおく．-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|p(x)|≦1が成り立つとき，
-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|q(x)|≦2が成り立つことを示せ．
No2
nを正の整数，aを実数とする．すべての整数mに対して，
m^2-(a-1)m+(an^2)/(2n+1)＞0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ．
No3
実数a，b，c，x，y，z，pが次の4条件をみたしている．
a^2-b^2-c^2＞0
ax+by+cz=p
ap＜0
x＜0
このとき，x^2-y^2-z^2の符号を調べよ．
No4
a，b，cは実数とする．また，xについての関数f(x)を以下のように定める．
f(x)=x^3-3ax^2+(a^2-a+b)x+c
a≦p，a≦q，a≦rをみたす任意の実数p，q，rに対して，
{f(p)+f(q)+f(r)}/3≧f((p+q+r)/3)
が成り立つことを示せ．
No5
a，bは実数とする．xについての関数f(x)を
f(x)=|x^3+ax+b|
と定める．|x|≦1におけるf(x)の最大値をM(a,b)として，M(a,b)の最小値を求めよ．
- 13 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/18(木) 04:08:16 ]
- No6
nは自然数とする．2，2^2，2^3，…，2^nを並べ替えてできる数列をa[1]，a[2]，a[3]，…，a[n]とする．このとき
Σ[k=1,n]a[k]2^k
の最大値，最小値を求めよ．
No7
任意の正数a，b，cに対して，以下の不等式をみたすような実数kの最小値を求めよ．
a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)≦k(a+b+c)^(1/3)
No8
aは正の定数とする．任意の実数x，yに対して以下の不等式が成り立つことを示せ．
|√(a+x^2)-√(a+y^2)|≦|x-y|
No9
a,b,c,p,qはすべて異なる実数とする．
f(x)=(x-a)(x-b)
g(x)=(x-b)(x-c)
h(x)=(x-c)(x-a)
として，f(x)+g(x)+h(x)=0の解がp,qであるとき，h(b)＜0ならばf(p)g(q)＞0であることを示せ．
No10
a,b,c,dは0以上1以下の実数である．このとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
(a+b+c+d+1)^2≧4(a^2+b^2+c^2+d^2)
- 14 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/18(木) 04:09:13 ]
- No11
a[1]，a[2]，…はすべて絶対値が1より小さい実数である．nを2以上の自然数として，以下の不等式を示せ．
a[1]a[2]…a[n]+n-1＞Σ[k=1,n]a[k]
No12
x，yは正の実数とする．
(1) 任意のx，yに対して，√(x+y)＜√x+√yが成り立つことを示せ．
(2) 任意のx，yに対して，√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ．
No13
a，b，cは正の実数とする．
(1) (a+1/b)(b+4/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
(2) (a+1/b)(b+4/c)(c+9/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
- 15 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/18(木) 05:00:35 ]
- ん．．．なんか「大学への数学」関係雑誌で見たような問題が並ぶ
- 16 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/18(木) 13:22:47 ]
- >>15
何年何月号か詳細を述べ給え！
- 17 名前：15 mailto:sage [2009/06/18(木) 17:22:20 ]
- 月刊号じゃなくて，新数学演習とかと同じ位置づけの本
数学ショートプログラム―大学への数学
www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/short_program/index.html
普通とは違う見方・解き方で発想力を付けようという趣旨だったか
- 18 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/19(金) 00:07:27 ]
- >>11
∠CBP = θ とおくと、
BP = BC/cosθ
CP = BC･tanθ
(BP-BC)/CP = (1-cosθ)/sinθ = sinθ/(1+cosθ),
これはθについて単調増加だから
(BP-BC)/(AC-AP) = (BP-BC)/CP < (AB-BC)/AC
∴ AC(AB-BP) > AP(AB-BC),
両辺を AC･AP で割る。
>>12
No.4
x≧a では
f "(x) = 6(x-a) ≧ 0 ･････ 下に凸
>>13
No.6 チェビシェフ
最大になるのは Σ同順序積 のとき a[k] = 2^k,
(与式) = Σ[k=1,n] 4^k = 4(4^n -1)/(4-1),
最小になるのは Σ逆順序積 のとき a[k] = 2^(n+1-k),
(与式) = Σ[k=1,n] 2^(n+1) = n･2^(n+1),
No.7 チェビシェフ
a^(1/3)=A, b^(1/3)=B, c^(1/3)=C とおくと、
(A+B+C)^3 ≦ 3(A+B+C)(A^2+B^2+C^2) ≦ 9(A^3 + B^3 + C^3),
No.8 分子を有理化して
(左辺) = |x^2 - y^2|/{√(a+x^2) + √(a+y^2)} ≦ |x^2 - y^2|/(|x|+|y|) = Min{|x+y|,|x-y|},
- 19 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/19(金) 09:37:51 ]
- 08信州大（後期）より
nを1より大きい整数とする。次の不等式を示せ。
log(n) * log(nπ^2/4) > Σ[k=1,n-1] (4/(kπ))√[log(kπ/2) * log{(k+1)π/2}]
- 20 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/19(金) 23:55:27 ]
- >>14
No.11
(左辺) - (右辺) = Σ[k=2,n] (1-a[1]a[2]････a[k-1])(1-a[k]) > 0,
No.12
(1) (√x + √y)^2 = x + y + 2√(xy) > x + y,
の平方根をとる。
(2) 2(x+y) - (√x + √y)^2 = x+y -2√(xy) = (√x - √y)^2 ≧ 0,
∴ √x + √y ≦ √{2(x+y)},
等号成立は x=y のとき。
- 21 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/20(土) 00:15:59 ]
- >>14
No.13
(1) 1 + 4 + 2(ab/2 + 2/ab) ≧ 1 + 4 + 2*2 = 9,
等号成立は ab=2 のとき。
(2) 6{(2a/3 + 3/2a) + (3b/2 + 2/3b) + (c/6 + 6/c) + (abc/6 + 6/abc)}
≧ 6{2 + 2 + 2 + 2} = 48,
等号成立は a=3/2, b=2/3, c=6 のとき。
No.11 は [前スレ.990] かな。
- 22 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/20(土) 14:32:02 ]
- >>19
π/2 = p とおくと、相乗･相加平均より
(右辺) < ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(kp) + log((k+1)p)}
= ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1) + 2log(p)},
(左辺) = log(n)log(np^2) = log(n){log(n) + 2log(p)} = log(n)^2 + 2log(p)･log(n),
したがって、
∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1)} < log(n)^2, ･････ (I)
∑[k=1,n-1] (2/3k) < log(n), ･････ (II)
を示せば十分。
(I)
1/(k+1) < -log(k/(k+1)) = log((k+1)/k) = log(k+1) - log(k),
より
∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k+1) + log(k)} < (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] (1/(k+1)){log(k+1) + log(k)}
= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1) - log(k)}{log(k+1) + log(k)}
= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)^2 - log(k)^2}
= (2/3)log(2) + log(n)^2 - log(2)^2
= log(n)^2 -log(2){log(2) -2/3}
< log(n)^2, {log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
(II)
・n=2 のときは 明らか。
・n>2 のとき、(I) と同様に
∑[k=1,n-1] (2/3k) = 2/3 + ∑[k=2,n-1] (2/3k)
< 2/3 + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)-log(k)}
= 2/3 + log(n) - log(2)
< log(n), {log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
または、 y=1/x が下に凸だから
∑[k=1,n-1] (1/k) < ∫[1/2, n -1/2] 1/x dx = log(2n-1) < (3/2)log(n),
- 23 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/20(土) 16:04:24 ]
- >>13
No.10
Max{a,b,c,d} = M とおく。
ab+ac+ad+bc+bd+cd ≧ M(a+b+c+d-M) ≧ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - M^2 > a^2 + b^2 + c^2 + d^2 -1,
(左辺) = (a+b+c+d)^2 + 2(a+b+c+d) + 1
= (a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) +2(a+b+c+d) +1
≧(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + (a^2 +b^2 +c^2 +d^2 -1) +2(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) +1
= (右辺),
- 24 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/21(日) 02:29:17 ]
- >>6 (上), >>8
n=2m (偶数)のとき cos(x)^2 - (1/2) = ξ, とおく。|ξ| ≦ 1/2, 与式は
(与式) = (1/2 - ξ)^m + (1/2 + ξ)^m = 2∑[k=0,[m/2]] Ｃ[m,2k] (1/2)^(m-2k) ξ^(2m),
ξ=±1/2 のとき最大値 1,
ξ=0 のとき最小値 (1/2)^(m-1),
nが奇数のとき、与式を g(x) とおくと,
g '(x) = n･sin(x)cos(x){sin(x)^(n-2) - cos(x)^(n-2)},
最大値 g(0) = g(π/2) = 1,
最小値 g(π) = g(3π/2) = -1,
なお、
極小値 g(π/2) = (1/2)^(n/2 -1),
極大値 g(3π/2) = -(1/2)^(n/2 -1),
- 25 名前：24 mailto:sage [2009/06/21(日) 02:34:01 ]
- >>24 の訂正、ｽﾏｿ.
2行目
(与式) = ････ = 2∑_{k=0,[m/2]} Ｃ(m,2k) (1/2)^(m-2k) ξ^(2ｋ),
- 26 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/22(月) 09:11:50 ]
- 負の実数 x,y,z が x+y+z<-3 および x^2+y^2+z^2+2xyz=1 を満たすとき，
(1) (x+1)(y+1)(z+1)≦0 が成り立つことを示せ。
(2) x,y,z が全て無理数である x,y,z の例を１組挙げよ。
（2006年 旭川医科大学）
- 27 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/22(月) 21:41:53 ]
-
(前略)
今入った速報です。アグネスタキオン・・・原因が不明ですが死んだそうです。詳しい情報が入り次第また
お知らせしたいと思います。
うそ～～～！！！付けたことあるけどとまったことがないうちに高値になってしまい、お金ができたら
つけようと思っていたのに
すごく残念でショックでサンデーサイレンスが死んだ時のことを思い出しました。
サンデーに続く確立された種牡馬で血統も素晴らしい人気の種馬だっただけに・・・・。
タキオンが死んだら何が一番なの？
何だかもっと違う話題を書こうと思っていたのに、忘れるくらい残念な出来事になりました
(後略)
ソース：競走馬生産牧場・市川ファームのブログ
(牧場のブログなので直リン回避のため●を入れました。アクセス時には●を削除して下さい)
bl●og.g●oo.ne.jp/ichikun55/e/518e7ca58e28c390a74f6889e7a9e8c0
市川ファーム
www17.ocn.ne.jp/~ichikawa/
アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
db.netkeiba.com/horse/1998101516/
種牡馬｜アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
db.netkeiba.com/horse/sire/1998101516/
YouTube - アグネスタキオンの種付け
www.youtube.com/watch?v=08XUAGNs_VY
- 28 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/22(月) 22:42:24 ]
- >>26
(2)が難しいな… ('A`)
- 29 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/22(月) 23:51:39 ]
- x=1/y=zとおく。
- 30 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/23(火) 09:00:17 ]
- >>26
(2)はx=-cosh(1),y=-cosh(2),z=-cosh(3)
として、無理数かどうか言及しないでokだろうか
- 31 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/23(火) 09:13:32 ]
- だめでしょ
- 32 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/23(火) 13:41:36 ]
- >>30
だめだろ！
- 33 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/23(火) 16:15:14 ]
- F[n]はフィボナッチ数列
(F[n]F[n+1])^4≦(n^3)Σ[k=1→n](F[k])^8
- 34 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/23(火) 19:33:49 ]
- >>26 (2) は
x = -(1/2)(a + 1/a), y = -(1/2)(b + 1/b), z = -(1/2)(c + 1/c), abc=1,
(略証)
定義より
x^2 + y^2 + z^2 +2xyz = 1 + (1/4)(1-abc)(1 + 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + (1/4){1 - 1/(abc)}(1 + a^2 + b^2 + c^2),
さらに abc=1 とおけば (上式) = 1, 題意を満たす。
- 35 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/23(火) 19:47:49 ]
- >>26
www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=233395
- 36 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/23(火) 23:30:00 ]
- （ｚ＋ｘｙ）＾２＝（ｘ＾２－１）（ｙ＾２－１）。
- 37 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 02:05:55 ]
- >>33
(右辺)=(1+1+…+1)(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^8+F[2]^8+…+F[n]^8)
≧(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)^2={(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)}^2
≧(F[1]^2+F[2]^2+…+F[n]^2)^4
=(F[n]F[n+1])^2=(左辺)
- 38 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 02:35:00 ]
- n≧3のとき(F(n+1)/F(n))^4≦2^4≦3^3≦n^3だから緩すぎ。
- 39 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/24(水) 02:51:23 ]
- 学コンから
（√2）^（√2）を小数第１位まで求めよ
- 40 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/24(水) 03:02:46 ]
- a+b+c=0，1/4≦x≦y≦z≦1のとき
abx+bcy+caz≦0
を示せ
- 41 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 04:36:39 ]
- >>26は高校範囲だとどう解くんだ．．．？
- 42 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/24(水) 05:07:09 ]
- x=-5-4√2
y=-1-√2
z=-1-√2
- 43 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 08:32:03 ]
- >>42みたいに適当に-1より小さい2つの無理数で計算しやすい組とってきて代入してもうひとつの文字求めればいいだけじゃないの
思いついたのは
x=-3+√2,y=-3-√2,z=-7-2√7
なんでそんなにややこしく考えるのかわからん
- 44 名前：41 mailto:sage [2009/06/24(水) 13:08:17 ]
- >>43
ちょっと行き当たりばったりすぎな気もしたから，もうちょっとウマク平易に解きたかったんだ
先験的に解くと>>35みたいなのになり，それを元に>>34みたいな答えが出てくる
- 45 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 13:17:14 ]
- (1)の結果と>>36から-1より小さい実数をx,yに代入してzを求めたらx+y+z<3は自ずと満たされる
別に行き当たりばったりでもないだろ
- 46 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 13:21:45 ]
- このスレでオナニーの邪魔をするのは無粋というもの…
- 47 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 19:32:38 ]
- >>26 (1)
（>>36 の解説）
題意より x-1 <-1, y-1 <-1 だから、>>36 より
(x+1)(y+1) ≧0,
x+1 と y+1 は同符号。
同じ様に
x+1, y+1, z+1 は同符号。
一方、
(x+1) + (y+1) + (z+1) = (x+y+z) +3 < 0,
x+1, y+1, z+1 ≦ 0,
- 48 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/24(水) 19:52:02 ]
- お前らかっけー
- 49 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 01:13:22 ]
- 微分法を使わずに
x≧0におけるx^3-3xの最小値を求めることってできますか？
- 50 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/26(金) 01:47:24 ]
- x^3 - 3x = (x+2) (x-1)^2 - 2
- 51 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 01:59:59 ]
- x^3+1+1≧3x⇔x^3-3x≧-2
じゃあ駄目？
- 52 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/26(金) 04:24:11 ]
- x^3+1+1に ( ﾟ∀ﾟ)つ AM-GM
- 53 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/26(金) 04:24:48 ]
- a>0,b>0のとき
(b^2/a^2)－a＋b^2－1＋(a^2/b^2)－b^2/a
の最小値を求めよ
- 54 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 18:41:40 ]
- Canada 1997
1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44
- 55 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/26(金) 21:41:53 ]
- >>54
(2i-1)(2i+1) = (2i)^2 -1 < (2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)/(2i+1)} < √{(2i-1)/(2i+1)}
(4i-1)(4i+1) = (4i)^2 -1 < 4(2i)^2 より,
(2i-1)/(2i) = 1 - 1/(2i) = √{1 - (4i-1)/(2i)^2} > √{1 - 4/(4i+1)} = √{(4i-3)/(4i+1)},
すなわち
√{(4i-3)/(4i+1)} < (2i-1)/(2i) < √{(2i-1)/(2i+1)}
k=2,･･･,n を掛けて
√{5/(4n+1)} < Π[i=2,n] (2i-1)/(2i) < √{3/(2n+1)},
∴ (1/2)√{5/(4n+1)} < Π[i=1,n] (2i-1)/(2i) < (1/2)√{3/(2n+1)},
n=999 とおいて
1/57 < (1/2)√(5/3997) < Π[i=1,999] (2i-1)/(2i) < (1/2)√(3/1999) < 1/51,
なお、近似値 0.017847935113411････
- 56 名前：55 mailto:sage [2009/06/26(金) 22:25:08 ]
- 訂正ｽﾏｿ
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)＊(2i+1)} ＝ √{(2i-1)/(2i+1)},
ｉ= 2,･･･,n を掛けて
- 57 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 22:33:48 ]
- >>54
(2i-1)2i ＞ (2i-1)/(2i+1) より
Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＞ Π[i=1 to 999] (2i-1)/(2i+1) = 1/1999
(2i-1)2i ＜ 2i/(2i+1) より
(Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)^2
＜ (Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)(Π[i=1 to 999] 2i/(2i+1))
＜ Π[i=1 to 999] ((2i-1)/2i) (2i/(2i+1))
= 1/1999
よって, Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/√1999 ＜ 1/44
(∵ 44^2 = 1936 ＜ 1999 ＜ 2025 = 45^2)
以上より 1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44
- 58 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 22:40:14 ]
- 素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>0として
f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で
f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）
f(x)≧Kg(x)を導き出して
f(x)/g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3+2,g(x)=3x,K=1）
するのって等号成立条件を満たしさえすればokですか？
- 59 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/26(金) 22:47:11 ]
- >>58
問題ないと思いますよ
- 60 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/26(金) 23:03:15 ]
- >>59
ありがとうございます
- 61 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/27(土) 00:04:24 ]
- >>58
前者はおｋ
後者の場合はg(x)が正数値を取るか負数値を取るか，はたまたゼロかで違う．
安易に考えてはいけない場合だよ．
その例だと定義域が書いてないので，負・正0ではそれぞれ負・正無限大に発散するので，最小値無し．
定義域がx>0であれば最小値1(x=1)でおｋだけど
- 62 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/27(土) 00:08:26 ]
- >>61
>>58 には
『簡単のため、x,f(x),g(x)>0として』
と書いてあったので…
- 63 名前：61 mailto:sage [2009/06/27(土) 00:42:11 ]
- ごめん，読み飛ばしてた(爆)
orzorzorz
- 64 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/27(土) 21:27:03 ]
- >>53
b/a + a/b -2 = (b-a)^2 /(ab) = x とおく。xの変域は x≧0,
b/a + a/b +2 = (b+a)^2 /(ab) = x+4,
(b/a)^2 + (a/b)^2 -2 = (b^2 - a^2)^2/(ab)^2 = (b-a)^2･(b+a)^2/(ab)^2 = x(x+4),
よって
(与式) = x(x+4) -bx +(b-1)^2 = x^2 + (4-b)x +(b-1)^2 = (x+2 -b/2)^2 + (3/4)(b^2 -4) = F(x,b),
これはxの2次式で、軸のx座標は b/2 -2 である。
・0<b≦4 のとき
F(x,b) ≧ F(0,b) = (b-1)^2 ≧0,
等号成立は a=b=1 のとき,
・b≧4 のとき
F(x,b) ≧ F(b/2 -2,b) = (3/4)(b^2 -4) ≧ 9,
-------------------------------------------------
>>24 の訂正
最後の2行
極小値 g(π/4) = ････
極大値 g(5π/4) = ････
- 65 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/28(日) 02:32:31 ]
- >>64
F(x,y) = x(x+4) -xy +(y-1)^2
= (x+2)^2 -(x+2)y +y^2 -3
= (3/4)x(x+4) + {(x+2)/2 -y}^2 ≧ 0, (x>0)
- 66 名前：１３２人目の素数さん [2009/06/28(日) 21:26:57 ]
- 情報
今年の群馬大の入試は関数方程式と不等式を絡めたやつが出たらしい
（問題知ってる人は頼みます）
月刊大数で毎月不等式の記事が出てるらしい
- 67 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 02:56:31 ]
- p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。
1・2・2・3・3・3・4・4・4・4・5・…・n・n…・n
＜(e・n!/(n+1))^(n+1)
a,b,c,dは実数で
|a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2
a+b=1,c+d=1を満たすとする。
このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ。
f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。
- 68 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 03:33:26 ]
- >>67
> sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。
ぽかーん…
- 69 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 04:03:16 ]
- 何も考えずに問題を貼ってしまった、すまない
元ネタ
NO.5-1 sin44°とsin46°～難易度☆☆★★★
問題
25:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:07:27.33 ID:zPq0YMmyO
>>22
(sin44°)/(sin46°)は1より大きいか
解答
<+> ...
小さい
解説
sin44°＜sin46°を示す。
加法定理を用いて
sin(45°+1°)-sin(45°-1°)
=sin45°cos1°+cos45°sin1°-sin45°cos1°+cos45°sin1°
=2cos45°sin1°=√2sin1°＞0
∴sin46°＞sin44°から
sin44°/sin46°＜1
大小比較を何をもってするかが、重要。
手によっては、相当大変かもしれない。
- 70 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 07:45:57 ]
- >大小比較を何をもってするかが、重要。
>手によっては、相当大変かもしれない。
そうやってる当人に言われると説得力があるな
- 71 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 09:06:12 ]
- sinが[0,π/2]で単調増加という事実は知らないものとして答えよ
という問題だったんだろうか．．．
- 72 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 10:50:17 ]
- >>69
え。。。
- 73 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 12:36:48 ]
- 元ネタ発見
> 102 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:06 ID:gZbowFD2O
> sin44°sin46°は1より大きいか
> 103 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:49 ID:gZbowFD2O
> >>102の右辺は1/2だった
> 104 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:31:36 ID:gZbowFD2O
> 右辺てか１→1/2な
>
> 簡単な問題を出し合って息抜きするスレ
> unkar.jp/read/changi.2ch.net/jsaloon/1226662148
そしてそのままVIPでネタにされたらしい
> 数学の問題集 in VIP@wiki - 12130005 www24.atwiki.jp/524287/?cmd=word&word=%E5%95%8F%E9%A1%8C&type=normal&page=12130005
- 74 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 14:10:06 ]
- >>73
それでも三角関数バラすだけだな
2 sin(x-a) sin(x+a) = cos(2a) - cos(2x)
∴ 2 sin(45-1) sin(45+1) = cos(2) < 1
- 75 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/29(月) 22:23:14 ]
- >>67
(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係
〔補題〕 |h| <0 のとき
(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h) ≧ 1,
(略証)
f(x) = x･log(x) とおく。(x > 0)
f(x) = -x･log(1/x) = -x･log(1 - (1 -1/x)) ≧ -x･{-(1 -1/x)} = x-1,
f(1-h) + f(1+h) ≧ (-h) + h = 0,
あるいは、y=f(x) は下に凸から、
f(1-h) + f(1+h) ≧ 2f(1) = 0, (終)
----------------------------------------------------
線分(-1,2)～(2,-1) 上に2点 P=(a,b), Q=(c,d) をとる。
このとき ac+bd = OP↑・OQ↑ は････
- 76 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 01:16:31 ]
- >>67
> (0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。
200個の相加相乗平均不等式より，
1 = (1/0.99)×99 + (1/1.01)×101 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
1/0.99 ≠ 1/1.01 より，相加相乗平均の等号成立条件は満たされない。ゆえに
1 > (0.99)^(-99) (1.01)^(-101)
∴ (0.99)^99 > (1.01)^(-101) （終）
- 77 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 01:18:06 ]
- >>76の訂正
1 = {(1/0.99)×99 + (1/1.01)×101} / 200 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)
- 78 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/06/30(火) 22:20:57 ]
- >>75の補足
1-h : 1+h = m : n のとき
2m/(m+n) = 1-h, 2n/(m+n) = 1+h,
相加相乗平均より
1 = {(1/(1-h))*m + (1/(1+h))*n}/(m+n) ≧ {(1/(1-h))^m･(1/(1+h))^n}^(1/(m+n))
= (1/(1-h))^((1-h)/2)･(1/(1+h))^((1+h)/2)
= 1/√{(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h)},
- 79 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/01(水) 02:53:21 ]
- F[n]はフィボナッチ数列とするとき
(F[n])^2≦F[2n]≦(F[n+1])^2
- 80 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 06:34:40 ]
- F[n]を行列表示してF[2n]をF[n]などで表す式を出して、以下略
- 81 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 17:15:08 ]
- 行列表示？
- 82 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 19:30:26 ]
- >>79
簡単な計算により
F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2
よって
F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2
F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2
- 83 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 19:31:11 ]
- >>82
最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い
- 84 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 20:54:48 ]
- >>81
F[n+1] F[n]
F[n] F[n-1]
という行列M[n]を作ると、(F[0]=0)
11
10
のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。
かなり荒い評価であることも分かります。
- 85 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 22:08:45 ]
- >>79
加法公式 F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により
F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n],
よって
F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n],
F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2,
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/011 ,038
フィボナッチ数列の定理スレ
- 86 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/01(水) 23:24:35 ]
- >>67
2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
2^2 ･ 3^3 ･ ･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
m_n・M_n = (n!)^(n+1), ････････(1)
一方、補題↓ より
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2), ･･･････(2)
(1)､(2)より
(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4),
(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4),
〔補題30〕k≧2 のとき
k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1),
k=2～n とおいて辺々掛けると
M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/030-031
science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/039-042
東大入試作問者スレ１７
- 87 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 00:19:45 ]
- >>84
なるほど。thx
- 88 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 03:14:20 ]
-
|x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K
- 89 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 20:04:24 ]
- >>88
w=1 とおく。
w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。
{W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、
(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8,
(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4,
両辺を4乗して
{4/(3√3)}|w^2･x･y^2･z^3| ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 /256,
よって
|w^2･x･y^2･z^3| / (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 ≦ (3√3)/1024 = K,
等号成立は W=X=Y=Z, すなわち x={1/(√2)}w, y=w, z={√(3/2)}w のとき。
- 90 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 20:09:25 ]
- 問題仕入れてきた
- 91 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/02(木) 22:23:43 ]
- 問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ
問3
三角形ABCにおいてBCの中点をMとするとき
2AM>AB+AC-BCを示せ
問4
AB>ACの△ABCにおいてBCの中点をMとする
∠BAM<∠CAMを示せ
問5
0<x≦y≦z，1/10≦y，xyz=1のとき
(1+logx)(1+logy)(1+logz)≦1を示せ
ただしlogの底は10とする
問6
0<xで定義された連続関数f(x)が
0<x,yにおいて，f(xy)=f(x)+f(y)
任意の自然数nにおいて，f(n)<f(n+1)
を満たすとき
f((x+y)/2)≧(f(x)+f(y))/2を示せ
- 92 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 00:45:51 ]
- (；´д｀) ﾊｧﾊｧ…
- 93 名前：１３２人目の素数さん [2009/07/03(金) 06:30:53 ]
- 問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC
- 94 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 18:51:12 ]
- 四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。
お願いします。
- 95 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 20:28:15 ]
- 問題文書き直します。
任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。
- 96 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 22:52:38 ]
- >>91
問1
(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺について たす。
(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
□が正方形ぢゃなくて長方形の場合も同様。
問2
Aを中心として、△ABCと合同な三角形を18個並べる。→ この正18角形は、半径AB の円に内接する。
∴ 2π*AB > 周長 = 18*BC,
∴ AB /BC > 18/(2π) = 2.864789
問3
Mは線分BC上の点だから、三角不等式より
AM > AB - MB,
AM > AC - MC,
辺々たす。
- 97 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 22:54:54 ]
- >>91
問4
題意より
BM = CM,
∠AMB + ∠AMC = 180ﾟ ゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
AB･sin(∠BAM) = BM･sin(∠AMB) = CM･sin(∠AMC) = AC･sin(∠CAM),
問5
題意より 1+log(z) ≧ 1+log(y) ≧0,
・1+log(x) ≦0 のとき、 (左辺) ≦0 < 1,
・1+log(x) >0 のとき、相乗･相加平均より
(左辺) ≦ {[3+log(x)+log(y)+log(z)]/3}^3 = {[3+log(xyz)]/3}^3 = {[3+log(1)]/3}^3 = 1,
問6
f(exp(u)) = g(u) とおくと、
g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
∴ g(u) = au,
∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.
ぬるぽ
- 98 名前：96-97 mailto:sage [2009/07/03(金) 23:19:42 ]
- >>91
問2
この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095
- 99 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 23:20:29 ]
- ＞問6
＞ f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞ g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v), ････ 加成性
＞∴ g(u) = au,
＞∴ f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.
＞∴ g(u) = au,
これはアリなのか？
ガッ
- 100 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2009/07/03(金) 23:26:50 ]
- >>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ
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