定義 f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 k(y) を y の剰余体とし、Spec(k(y)) → Y を標準射とする。 このとき、X_y = X x Spec(k(y)) を 射 f の y 上のファイバー と呼ぶ。ここで、X x Spec(k(y)) は Y 上のファーバー積である。
596 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 15:37]
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)
(a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 sp(X_y) は、f^(-1)(y) と位相同型であることを示せ。 ここで、sp(X_y) は、f の y 上のファイバー X_y の台位相空間を あらわし、f^(-1)(y) は、X の部分空間としての位相を考える。
(b) X = Spec(k[s, t])/(s - t^2), Y = Spec(k[s]) とし, f: X → Y を s → s により定義される射とする。 y ∈ Y を点 a ∈ k, a ≠ 0 とする。このとき、ファイバー X_y は、２点からなり、剰余体は k であることを示せ。 y が点 0 ∈ k に対応する場合は、X_y は被約でない１点からなる スキームであることを示せ。 ηが Y の生成点のとき、X_ηは１点からなるスキームであり、 その剰余体は、ηの剰余体の２次の拡大体であることを示せ (k を代数的閉体と仮定せよ）。
597 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:02]
定義 閉埋入とは、スキームの射 f: Y → X で、sp(Y) から sp(X) の 閉部分集合への位相同型を誘導し、さらに f による誘導射 O_X → f_*(O_Y) が全射となるものをいう。 スキーム X の閉部分スキームとは、閉埋入の同値類をいう。 ここで、f: Y → X と f': Y' → X は、同型 i: Y'→ Y で f' = fi となるものが存在するとき、同値という。
598 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:17]
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)
(a) 閉埋入は基底の拡大で安定である： すなわち、f: Y → X を閉埋入とし、X' → X を任意の射とする。 このとき、Y x X' → X' も閉埋入である。 ここで、Y x X' は X 上のファイバー積である。
補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X が正規なら、A は、その商体において整閉である。
証明 定義から A の各局所環は整閉である。 これから、A も整閉である。
614 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:48]
補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 A~ を A の商体における A の整閉包とする。 X~ = Spec(A~) は>>610の意味の X の正規化である。
証明 f: X~ → X を標準射とする。 U = Spec(B) を X のアフィン開集合とする。 f^(-1)(U) は Spec(A~ (x) B) と見なせる。 ここに、A~ (x) B は、A 上のテンソル積。 f^(-1)(U) の商体は、X~ の商体、即ち X の商体である。 f^(-1)(U) は正規であるから、>>613の補代より A~ (x) B は整閉である。これから、A~ (x) B は B の整閉包 である。
615 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 22:59]
補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X~ を>>610の意味の X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。
証明 U = Spec(B) を Z の任意の空でないアフィン開集合とする。 g の制限 U → X を考える。 g は支配的だから、A → B は単射である。 B は整閉だから、A → B は、A → A~ → B と一意に分解する。 即ち、U → X は、U → X~ → X と一意に分解する。 U は任意の空でないアフィン開集合であったから、 補代がいえる。
616 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:05]
補題 X 整スキームとする。 X~ を>>610の意味の X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 g: Z → X に対して、g は Z → X~ → X と一意に分解する。
証明 U = Spec(A) を x の任意の空でないアフィン開集合とする。 >>615より、g^(-1)(U) → U は、g^(-1)(U) → f^(-1)(U) → U と一意に分解する。これより、補題がいえる。
617 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 23:12]
補題 X = Spec(A) をアフィン整スキームとする。 X~ = Spec(A~) を X の正規化とする。 f: X~ → X を標準射とする。 U を X の任意の空でない開集合とする。 f^(-1)(U) は、U の正規化である。
(a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 f の y 上のファイバーは、X_y = X x Spec(k(y)) である。 ここで、k(y) は y の剰余体で、X x Spec(k(y)) は Y 上のファイバー積である。 射影 X x Spec(k(y)) → X を p とする。 射影 X x Spec(k(y)) → Spec(k(y)) を q とする。 以下の図式は可換である。
X x Spec(k(y)) --> Spec(k(y)) ↓ ↓ X ---------------> Y
z ∈ X_y とする。 ファイバー積の定義から、 f(p(z)) = j(q(z)) = y である。ここで、j: Spec(k(y)) → Y は 標準射。従がって、p(z) ∈ f^(-1)(y) となる。 逆に、x ∈ f^(-1)(y) とする。 g: Spec(k(x)) → X が存在し、g(ζ) = x となる。 ここで、ζはk(x)の生成点である。 f(x) = y であるから、k(y) ⊆ k(x) と考えられる。 これより、h: Spec(k(x)) → Spec(k(y)) が一意に定まる。 fg = jh だから、φ: Spec(k(x)) → X x Spec(k(y)) が一意に 存在し、pφ = g, qφ = j となる。 φ(ζ) = z とすれば、pφ(ζ) = g(ζ) = x だから、p(z) = x である。 この z は、φの一意製より、一意に定まる。 以上より、p の sp(X_y) への制限写像は、集合として sp(X_y) と f^(-1)(y) の全単射を与える。 U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。
660 名前：１３２人目の素数さん [03/11/05 22:51]
>>659 >U を X のアフィン開集合とすると、 U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と位相同型であることは、 >>528よりわかる。故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。
これを、以下のように訂正する。 x ∈ X で f(x) = y U を X のアフィン開集合、V を Y のアフィン開集合とし、 x ∈ X, y ∈ V, f(U) ⊆ V とする。U x Spec(k(y)) を V 上の テンソル積とする。U x Spec(k(y)) は、U ∩ f^(-1)(y) と 位相同型であることは、>>528よりわかる。 故に、sp(X_y) と f^(-1)(y) は位相同型である。
(b) Y の台位相空間は X = Spec(A) の閉集合と位相同型だから、 Y の台位相空間を X の閉集合と見なしてよい。 y ∈ Y を含む Y のアフィン開集合 V をとる。 Y は X の部分位相空間だから、V = U ∩ Y となる X の開集合 U がある。y ∈ D(g) ⊆ U となる X のアフィン開集合 D(g) をとる。 V_g' = D(g) ∩ Y となる。 ここで、g' は、f: Y → X に付随する A → Γ(Y) と 制限写像 Γ(Y) → Γ(V) の合成写像による g の像であり、 V_g' = Spec(Γ(V)[1/g']) である。 さて、各点 x ∈ X に対して x ∈ D(f_i) となる X の アフィン開集合を以下のようにとる。 まず、x ∈ X - Y のときは、x ∈ D(f_i) となる任意の D(f_i) をとる。x ∈ Y のときは x ∈ D(f_i) で D(f_i) ∩ Y が Y のアフィン開集合となるもの。 この D(f_i) の存在は上で証明されている。 Y は準コンパクトだから、D(f_i) ∩ Y が空でないものは 有限個に出来る。さらに X も準コンパクトだから D(f_i) 全体も有限個に出来る。 これから Ex. 2.17b より Y はアフィンである。 Ex. 2.18d より、A のあるイデアル I があって Y = Spec(A/I) となり Y → X は 自然な Spec(A/I)→ Spec(A) と見なせる。 証明終
