X を位相空間、Z を既約な閉集合とする。 Z の生成点(generic point)とは、Z = Cl{ζ} となる点ζのことである。 ここで、Cl{ζ} は、一点からなる集合{ζ}の閉包をあらわす。 X がスキームなら全ての(空でない)既約な閉集合は一意に定まる生成点 を持つことを示せ。
証明 F を X の既約な閉集合といする。 まず、X がアフィンスキーム Spec(A) のときは、F = V(P) となる。 ここで、P は A の素イデアル。この P が F の生成点である。 これが一意に定まることも明らか。 X が一般のスキームとする。F と交わる空でないアフィン開集合 U をとる。 U ∩ F は F の空でない開集合だから既約である。 従がって、U ∩ F は U の既約な閉集合である。最初に述べたことから U ∩ F は生成点 ζ を持つ。U ∩ F は F の稠密な部分集合だから、 ζは F の生成点でもある。U ∩ F の生成点は一意に定まるから F の生成点も一意に定まる。
補題 A → B を環の射。Spec(B) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆 があり、各 B[1/f_i] が A 上有限生成の代数とする。 このとき、B も A 上有限生成の代数である。
証明 D(f_i) は Spec(B) の被覆だから ∑(f_i)(g_i) = 1 となる B の元 g_i が存在する。 B[1/f_i] の A 上の有限個の生成元を b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,... とする。B = A[f_i, g_i, b_ij; i,j = 1,2,...] となることを示す。 B の任意の元 b を取る。 b/1 ∈ A[b_ij/(f_i)^n, j = 1,2,..] だから (f_i)^r b ∈ A[f_i, b_ij, j = 1,2,..] となる 整数 r > 0 がある。r は各 i に共通としておく。 ∑(f_i)(g_i) = 1 だから、∑(f_i)^r c_i = 1 となる A[f_i, g_i, i = 1,2,..] の元 c_i がある。 何故なら、(f_i)^r で生成されるこの環のイデアルは 単位イデアルだから。 故に b = ∑(f_i)^r b c_i は A[f_i, g_i, b_ij, i,j = 1,2,...] に含まれる。
511 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 16:25]
Hartshorne II Ex. 3.3
(c) スキームの射 f: X → Y が有限型であれば、以下が成立する。 Y の任意のアフィン開集合 V = Spec(B) と、f^(-1)(V) の任意の アフィン開部分集合 U = Spec(A) ⊆ f^(-1)(V)に対して、 A は有限生成の B-代数となる。
証明 f: X → Y が有限型であるから U のアフィン開集合 W_i = Spec(C_i) による被覆があって、各 C_i は有限生成の B-代数となる。W_i に含まれる Spec(A[1/h]) の形の開集合を 考える。h の W_i における像をh' とすると、 Spec(A[1/h]) = Spec(C_i[1/h']) と見なせる。 C_i[1/h'] は有限生成の C_i 代数だから、有限生成の B-代数でもある。 従がって、A[1/h] も有限生成の B-代数である。 >>510の補題から A は有限生成の B-代数である。
512 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:28]
補題 A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。 M を A-加群とする。各 M[1/f_i] = 0 なら M = 0 である。
証明 x を M の任意の元とする。 x/1 は M[1/f_i] で 0 となるから、ある n > 0 があって (f_i)^n x = 0 となる。n を十分大きく取れば、この n は 各 i に共通に取れる。一方、D(f_i) は Spec(A) の被覆だから ∑(f_i)^n g_i = 1 となる A の元 g_i がある。 これから x = ∑x (f_i)^n g_i = 0 となる。 即ち、M = 0 である。
513 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:35]
も う い い だ ろ ？
514 名前：１３２人目の素数さん [03/11/01 17:39]
補題 A を環、Spec(A) の有限個の開集合 D(f_i) による被覆があるとする。 M を A-加群とする。各 M[1/f_i] が A[1/f_i] 上有限生成なら M は A 上有限生成である。
証明 M[1/f_i] の A[1/f_i] 上の生成元を x_ij/(f_i)^n, j = 1,2,.. とする。 n を十分大きく取れば、この n は各 i に共通に取れる。 x_ij 全体で生成される M のA-部分加群を N とする。 仮定より、(M/N)[1/f_i] = 0 となるから >>512の補題より M/N = 0 即ち M = N となる。
EGA IV 20.1 に、一般の環付き空間での有理形関数の定義があるんですが、 (20.1.3) に書いてあることにちょっと疑問があります。 「(X上の層) Sを、開集合 U に対してΓ(U, O_X) の非零因子全体 Γ(U, S) を対 応させる層とし・・・」というようなことが書いてあるんですが、一般の環付き 空間では（局所環付き空間でも）制限写像がうまく定まるとは限らないので、こ のような S がいつでも定義できるわけではないですよね? X がスキームや解析空 間なら大丈夫ですが・・・。
>>527 原文は次のようになってます。 (20.1.3) Nous allons nous interesser ici au cas ou S est le sous-faisceau S(O_X) de O_X tel que pour tout ouvert U, Γ(U, S) soit l'ensemble des elements reguliers de l'anneua Γ(U, O_X); "le sous-faisceau S(O_X)"と定冠詞が付いてたりするんで、「仮定」という感じ ではないかなという気がしたんですが・・・
532 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:52]
補題 X を位相空間とし、 開集合 U_i が X の被覆をなすとする。 X の部分集合 F が閉集合であるためには、 各 U_i ∩ F が U_i の閉集合であることを示せ。
補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。 さらに、A, B は整域とする。 f が支配的なら、付随する射 ψ: B → A は単射である。
証明 Ker(ψ) が 0 でないとする。h を 0 でない Ker(ψ) の元とする。 B は整域だから h はベキ零ではない。従がって、D(h) は空でない。 f^(-1)(D(h)) = D(ψ(h)) = D(0) となるが、D(0) は空集合である。 つまり、D(h) ∩ f(X) は空である。これは、f(X) が Y で稠密で あることに反する。
588 名前：∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい [03/11/03 04:22]
∩( ･ω･)∩ ばんじゃｰい
589 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 04:42]
補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。 A, B は整域とする。 f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。 このとき、X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である
証明 >>587の補題より、B ⊆ A と考えてよい。 >>528の補題より、Y の生成点 ζにたいして、 f^(-1)(ζ) = Spec(A (x) K) と見なせる。 ここに、K は Y の関数体、即ち B の商体であり、 A (x) K は A と K の B 上のテンソル積である。 f は有限型射だから>>511より A は B 上の有限生成の代数である。 従がって、A (x) K も K 上有限生成な代数である。 A (x) K は、A の 積閉集合 B - {0} による局所化であるから、 L を X の関数体としたとき、A (x) K ⊆ L と考えてよい。 さらに、A (x) K の商体が L であることも明らか。 さて、f は生成的に有限だから、Spec(A (x) K) は有限集合である。 即ち、dim A (x) K = 0。これは、L が K 上代数的であることを意味する。
590 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 05:13]
補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。 A, B は整域とする。 f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。 このとき Y の稠密な開部分集合 U が存在し、 f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。
証明 >>589の補題より、B ⊆ A と考えてよい。 さらに、A の商体 L は B の商体 K の有限次拡大である。 A は B 上の代数として有限生成だから、その有限個の 生成元を a_i とする。各 a_i は K 上代数的であるから、 b_i0 (a_i)^n + b_i1 (a_i)^(n-1) + ... + b_in = 0 となる B の元 b_ij が存在する。この式の両辺を b_i0 で割ること により、a_i は B[1/b_i0] 上整であることがわかる。 各 i にわたる b_i0 の積を b とする。各 a_i は B[1/b] の上に整となる。従がって、A[1/b] は B[1/b] 上整となる。 A[1/b] は B[1/b] 上の代数として有限生成だから、 加群としても有限生成となる。 U = Spec(B[1/b]) とすれば、f^(-1)(U) = Spec(A[1/b]) だから、>>488より、f^(-1)(U) → U は有限射である。
591 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 09:43]
まいった。降参。 >>491のHartshorne II Ex. 3.7 がわからない。 >>590で証明したように、X と Y がアフィンなら成り立つ。 しかし、一般の場合の証明が出来ない。 誰か証明してくれ。
592 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 10:07]
Hartshorne II Ex. 3.8 (正規化)
スキーム X の各局所環 O_x が整閉整域のとき、 X を正規スキームと呼ぶ。 X を整スキームとする。各アフィン開集合 U = Spec(A) に 対して、A~ を A のその商体における整閉包とし、 U~ = Spec(A~) とおく。各 U~ を張り合わせて X の正規化と 呼ばれるスキーム X~ が得られることを示せ。 さらに、射 : X~ → X が存在し、次の普遍性を持つことを 示せ。任意の正規な整スキーム Z と任意の支配的射 f: Z → X に対して、f は Z → X~ → X と一意に分解する。 もし、X が体 k 上有限型であれば、X~ → X は有限射である。
定義 f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 k(y) を y の剰余体とし、Spec(k(y)) → Y を標準射とする。 このとき、X_y = X x Spec(k(y)) を 射 f の y 上のファイバー と呼ぶ。ここで、X x Spec(k(y)) は Y 上のファーバー積である。
596 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 15:37]
Hartshorne II Ex. 3.10 (射のファイバー)
(a) f: X → Y をスキームの射とする。y ∈ Y を点とする。 sp(X_y) は、f^(-1)(y) と位相同型であることを示せ。 ここで、sp(X_y) は、f の y 上のファイバー X_y の台位相空間を あらわし、f^(-1)(y) は、X の部分空間としての位相を考える。
(b) X = Spec(k[s, t])/(s - t^2), Y = Spec(k[s]) とし, f: X → Y を s → s により定義される射とする。 y ∈ Y を点 a ∈ k, a ≠ 0 とする。このとき、ファイバー X_y は、２点からなり、剰余体は k であることを示せ。 y が点 0 ∈ k に対応する場合は、X_y は被約でない１点からなる スキームであることを示せ。 ηが Y の生成点のとき、X_ηは１点からなるスキームであり、 その剰余体は、ηの剰余体の２次の拡大体であることを示せ (k を代数的閉体と仮定せよ）。
597 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:02]
定義 閉埋入とは、スキームの射 f: Y → X で、sp(Y) から sp(X) の 閉部分集合への位相同型を誘導し、さらに f による誘導射 O_X → f_*(O_Y) が全射となるものをいう。 スキーム X の閉部分スキームとは、閉埋入の同値類をいう。 ここで、f: Y → X と f': Y' → X は、同型 i: Y'→ Y で f' = fi となるものが存在するとき、同値という。
598 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 16:17]
Hartshorne II Ex. 3.11 (閉部分スキーム)
(a) 閉埋入は基底の拡大で安定である： すなわち、f: Y → X を閉埋入とし、X' → X を任意の射とする。 このとき、Y x X' → X' も閉埋入である。 ここで、Y x X' は X 上のファイバー積である。
