- 529 名前：１３２人目の素数さん [03/11/02 15:30]
- >>489 の解答
Hartshorne II Ex. 3.5
f: X → Y をスキームの射とする。
任意の点 y ∈ Y に対して f^(-)(y) が有限集合となるとき
f を準有限射という。
(a) 有限射は準有限射であることを示せ。
証明
f はアフィン射だから X、Y を共にアフィンと仮定してよい。
X = Spec(A)、Y = Spec(B) とする。
Y の点 P に対して κ(P) を P の剰余体とする。
>>528 の補題より f^(-)(P) は Spec(A (x) κ(P)) と見なせる。
f はアフィン射だから A は B-加群として有限生成である。
したがって、A (x) κ(P) も、κ(P) 上有限生成。
故に、A (x) κ(P) はアルティン環である。
アルティン環の素イデアルは有限個だから、f は準有限射である。
