- 590 名前：１３２人目の素数さん [03/11/03 05:13]
- 補題
f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。
A, B は整域とする。
f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。
このとき Y の稠密な開部分集合 U が存在し、
f により誘導される射 f^(-1)(U) → U が有限射となることを示せ。
証明
>>589の補題より、B ⊆ A と考えてよい。
さらに、A の商体 L は B の商体 K の有限次拡大である。
A は B 上の代数として有限生成だから、その有限個の
生成元を a_i とする。各 a_i は K 上代数的であるから、
b_i0 (a_i)^n + b_i1 (a_i)^(n-1) + ... + b_in = 0 となる
B の元 b_ij が存在する。この式の両辺を b_i0 で割ること
により、a_i は B[1/b_i0] 上整であることがわかる。
各 i にわたる b_i0 の積を b とする。各 a_i は B[1/b]
の上に整となる。従がって、A[1/b] は B[1/b] 上整となる。
A[1/b] は B[1/b] 上の代数として有限生成だから、
加群としても有限生成となる。
U = Spec(B[1/b]) とすれば、f^(-1)(U) = Spec(A[1/b])
だから、>>488より、f^(-1)(U) → U は有限射である。
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