- 299 名前：197 [03/10/24 18:49]
- 続いてHartshorn II Ex. 2.17 (b)（>>269）の解答：
(b)X_f_i = Spec B_i とおく。Ex. 2.4（＝このスレの>>72, >>78）より、
φ: X → Spec A という標準射がある（位相空間上の連続写像は、x に
{g∈A | g_x∈m_x⊆O_x}を対応させるもの。層の準同型も自然に定まる）。
各iについてφ-1(D(f_i)) = X_f_i であることがφの定義から容易に出る。
また、仮定 (f_1, ..., f_r) = (1) より、X = ∪ X_f_i（∵∀i f_i_x∈m_x
とするとO_x で (f_1_x, ...., f_r_x) ≠ (1) となるから）。また、X_f_i が
アフィンであることおよびX_fの定義より、X_f_i∩X_f_jはSpec B_iの開集合
D(f_j|X_f_i)となるから特に準コンパクト。よって {X_f_i} はEx. 2.16 (c) の
条件を満たすので、Ex. 2.16 (d)からΓ(X_f_i) =~ A_f_i、つまり
X_f_i =~ Spec A_f_i。誘導射φ_i: X_f_i → D(f_i)は、左側をこの同型で
Spec A_f_iとみなし、右側を標準的な同型で Spec A_fiとみなせば、実は恒等射
に等しいことがφの定義からわかる。以上と(a) から、結局φはiso、
よってXはアフィン。以上。
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