補題 f: X = Spec(A) → Y = Spec(B) をアフィンスキームの射とする。 A, B は整域とする。 f が支配的かつ生成的に有限な有限型射とする。 このとき、X の関数体は Y の関数体の有限次拡大である
証明 >>587の補題より、B ⊆ A と考えてよい。 >>528の補題より、Y の生成点 ζにたいして、 f^(-1)(ζ) = Spec(A (x) K) と見なせる。 ここに、K は Y の関数体、即ち B の商体であり、 A (x) K は A と K の B 上のテンソル積である。 f は有限型射だから>>511より A は B 上の有限生成の代数である。 従がって、A (x) K も K 上有限生成な代数である。 A (x) K は、A の 積閉集合 B - {0} による局所化であるから、 L を X の関数体としたとき、A (x) K ⊆ L と考えてよい。 さらに、A (x) K の商体が L であることも明らか。 さて、f は生成的に有限だから、Spec(A (x) K) は有限集合である。 即ち、dim A (x) K = 0。これは、L が K 上代数的であることを意味する。
