現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

1 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む mailto:sage [2012/03/16(金) 22:04:35.83 ] uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？ detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513 数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18 「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。 アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。 両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。 ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって u=α+βω+γω＾2 v=α+βω＾2+γω という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。 彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。 皆さまの見解を伺いたいと思います。 ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21 ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。 高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。 が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。 自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。 ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。 ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。 321 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:43:08.52 ] >>317 うんうん、宮岡洋一氏の話がありましたね。当時新聞記事にもなった 下記は、ちょっと正確ではないようですが 谷山・志村予想の方が難しいと思われていた・・、フェルマーの直接証明よりということのようですが members2.jcom.home.ne.jp/tasuzuki2/kiroku/memorial/sonota/ferumer/ferumer.html （1988年）東京で数学者の宮岡が「フェルマーの最終定理」が解けたとワシントンポスト等に発表した。宮岡は微分積分学で 　　アプローチをしており、ワイルズの「楕円方程式」と「モジュラー形式」により証明を行っていた。但し宮岡の論文に矛盾点が見つかり 　　証明は失敗だったという結論になって終わった。 >>318 >まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。 まあ、私はただの観客ですから、私からは猫さん以上のものは出てきませんので悪しからず 322 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 14:45:17.23 ] >>320 >ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。 なるほど 教祖さまは、いまお篭もりですか しかし、数学の進歩は止まらないと思いますね 323 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:46:13.47 ] >>314 だから実際に「もしフライ・リベットが無かったらどうにもならなかった」 とは言えるでしょうね。でも（何故か）： ★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 猫 324 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 15:51:09.95 ] >>322 いや、IHESを辞されてからズッとお篭りされてたのは周知の事実なんで すがね、どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 われてますね。 大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 猫 325 名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY mailto:age [2012/04/01(日) 16:07:27.57 ] >>321 宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を 考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 からのアイデア」という解釈ですかね。 あの時は『新聞が騒いだ』という意味で、宮岡先生は犠牲者ですよね。 学者の仕事や研究に対して新聞如きが騒ぐなんて愚の骨頂ですよ。日本 人はどうかしてるね。ゴシップばっかし追いかけてさ。低脳はそういう 事にしか興味を持たないから。 猫 326 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 17:53:30.89 ] >>323 猫さん、乙です。ちょっと外出していまして、失礼しました。 >★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★ >という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実 >質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。 なるほど そういう見方もできますね >加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし >FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。 FaltingsによるMordel予想解決は、確かに大きいですよね つーか、新聞記事になったような記憶が、フェルマー関係で（フェルマー予想の部分解決（フェルマーの解があっても有限だと）） 本当は、フェルマーよりMordel予想の方が数論的には重要なのですが 世間的には、フェルマーの方が受ける（TVに例えれば視聴率が取れる） ファルティングスはこれ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9 1983年にモーデル予想を証明。1986年にモーデル予想を証明した業績によりフィールズ賞を受賞。その後プリンストン大学教授を経て、2004年現在はマックス・プランク数学研究所で研究している。 ファルティングスはまずテイト予想とシャファレヴィッチ予想を証明してから、モーデル予想を証明した。 モーデル予想を証明した論文をIHESのアラン・コンヌに送り、その論文に多少のギャップはあったものの、大方あっていたため、その事実をファルティングスに報告。そのギャップを埋めて完全に証明した。 327 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:04:32.55 ] >>324 猫さん、どうも 貴重な情報ありがとうございます。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 なるほどなるほど >宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を >考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学 >からのアイデア」という解釈ですかね。 ヤウ先生ね 『見えざる宇宙のかたち』　シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau を買ってきました。なかなか面白そうです https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0060430/top.html もとはといえば，ただひたすら幾何学に魅せられて数学者への道を進んだフィールズ賞受賞者，シン＝トゥン・ヤウ． しかし，「カラビ予想」の証明をきっかけとして，かたちの研究は＜宇宙のかたち＞へとつながり，ヤウは幾何学と宇宙論の境界領域に足を踏み入れることに……． ヤウの名は，まさにその＜かたち＞である「カラビ＝ヤウ多様体」で記憶している方もおられるのではないでしょうか． 　川で体を洗う日々，貧しさのあまり家禽業者になりかける……など驚くような生い立ちをはじめ，人生における節目節目のエピソードも随所に差し挟まれますが，基本的にはヤウ自身の足跡に沿って，幾何学，そしてひも理論の魅力がみっちりと語られる本です． 抽象的かつ難解な概念が続々と出てきますが，気鋭のサイエンスライターである共著者の助力も大きいのでしょう，あらゆるトピックが非常に丁寧に，平易な言葉を使って解きほぐされていきます． ドーナツ，バスケットボールや石鹸膜など，豊富な喩え話によりつつ，あれこれと図を描きながら想像をたくましくして読み進めていけば，大づかみながらも，ヤウの壮大な知的冒険をともに楽しむことができるでしょう． 328 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:10:09.32 ] >>327 >シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau 写真がありますね。”ポアンカレ予想を巡って”というのは、米国ではかなり騒がれたようですね ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%A6 丘 成桐（きゅう せいとう、シン・トゥン・ヤウまたはシン＝トゥン・ヤオ、邱成桐, 1949年4月4日 - ）は中国系アメリカ人の数学者。ハーバード大学教授。 数学者ではあるが幼い頃から数学が得意だったわけではなく5歳の頃に受けた公立学校の入学試験にはそれが原因で落ちている。 高校の頃に幾何学を学び、それがきっかけで代数学などの数学のさまざまな分野に興味を持ち始めるようになった。 この頃、父親が亡くなり経済的に非常に厳しくなったためこれらは書店で本を立ち読みして勉強したという。 1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン高等研究所でポスドクとなる。 ポアンカレ予想を巡って 当時、未解決問題だった幾何化予想を研究していたリチャード・ハミルトンと交流があり、後に問題解決にとても大きな役割を担うことになるリッチフローを応用するよう彼に薦めたのも丘である。 この予想はウィリアム・サーストンにより予想されたものでクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題にもなっていた3次元ポアンカレ予想を含む壮大なものであり、 実際、3次元ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンが2002年にこの予想を証明することによってその長い歴史に終止符を打つことになる （査読・検証を経て証明が確定されたのは2006年末）。 よって丘がポアンカレ予想解決を大きく推し進めたのは事実なのだが、ペレルマンの証明の検証の際に、 あたかも自分たちが最終的解決をしたかのような論文を提出した曹懐東と朱熹平（2人ともハーバード大で丘の指導を受けた数学者）を弁護したため、数学界のみならずニューヨーカー誌などの報道機関からも批判を受けた。 マーシャ・ガッセンはその著書『完全なる証明』（文芸春秋刊）で、丘のこの行為こそがペレルマンを人間不信に陥らせ、フィールズ賞含む数々の賞の入賞を辞退させることにつながったと書いている。 329 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:24:42.12 ] >>302 つづき slashdot.jp/journal/548439/ taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 20120325 抜粋 一流の人から直接学ぶことが大事なのは当り前ですが、直接学ぶ機会が無くても一流の人が書いた著作を読むことが次善の策だと思います。 それに関連して思い出したことがあります。皆さんは、グロタンディーク氏とジャン=ピエール・セール博士の文通書簡集"Correspondance Grothendieck-Serre"という本を御存知でしょうか。 2001年にSMF(フランス数学協会)から出版され、2003年にはAMS(米国数学協会)から仏英2か国語版が出版されました。 この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。 今後再刊されることはありませんので、持っている人にとって貴重な現代数学史の資料となるでしょう。 この本は和訳されませんでしたので、日本のいわゆる数学愛好家には殆ど知られていません。 本にはグロタンディーク氏が位相ベクトル空間から代数幾何学へと分野替えの真っ最中の1955年に始まり、主として1969年までのセール博士との文通が収められています。 セール博士は当時(今でもそうですが)世界一の数学者であり、代数トポロジーの若き権威でした。 対してグロタンディーク氏は位相ベクトル空間に素晴らしい業績を残したけれども、代数トポロジーは勿論のこと、代数幾何学はおろか、函数論の初歩も知らなかったのではないかと思わせる有様でした。 昨今の阿呆学生でもしないような質問、例えば、リーマンのゼータ函数の零点は無限個あるのかとセール博士に聞いているのですね。 天才が天才であるのは知識が無くても、一流の数学者から手紙を通じて学び、あっという間に数学最前線に立てるのです。そこが凡才とは違うところです。 もし相手がセール博士のような一流でなければ、グロタンディーク氏の分野替えはもっと遅れただろうと思います。 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 2004年3月 John Tate この本は、1955年から1969年までのグロタンディークとセールとの間で行われたコラボレーションの詳しい状況を私達に見せる。その当時、彼等は代数幾何学における革命的発展に重要な役割を果たした。 （略） 330 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:35:28.56 ] >>299 >ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。 後編（part2）下記。200410ですね www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf 331 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 18:44:33.26 ] >>330　つづき　ついでにヒットしたもの これは、80才の記念記事 www.ams.org/notices/200808/tx080800962p.pdf Grothendieck at 80, IHES at 50 GrothendieckのBiographical Materialみたいでリンクがいろいろ・・ www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/biographic.php Biographical Material Modified page Texts by A. Grothendieck no longer available as per his demand, with the exception of issues of the newsletter Survivre et Vivre (see below) 332 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:14:39.54 ] >>324 >どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言 >われてますね。 >大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。 うん、>>329「この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。」の関連ですね IHESを辞して、本もだめだと・・ 333 名前：あのこうちやんは始皇帝だった mailto:shikoutei@chine [2012/04/01(日) 19:19:44.22 ] 　ニートのゴミ・クズ・カスのクソガキ！　消えろ！！！！！！！！！！！！！！！！ 334 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 19:29:10.14 ] >>302 >セールがいて、グロタンディークがいた >セールが居なければ・・・ 友達が大事ってことかな 小川益川を思い出した。下記は小川さんの立場からの見方。益川先生は本を書いていたね。二人で力を合わせた・・ www.soken.ac.jp/journal/special/doc/05-09.pdf 335 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 20:49:19.27 ] >>279 >加えて私はもうジジイだしね。 話の感じでは、40代みたいなんだけど？ 数学者では、カール・ワイエルシュトラスが、けっこう晩成だったと思ったが・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9 1815年10月31日 - 1897年2月19日 ここからドイツのページに飛ぶと これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね In volliger Isolation von der mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funktionen (den unmittelbaren Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen) und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule. Aufmerksamkeit erregte aber erst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 Zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem 1856 eine ausfuhrlichere Arbeit folgte. 336 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/01(日) 20:50:20.85 ] ガロア理論を勉強中です。質問ですが、ガロア分解方程式f(x)=0に 補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつよいうことですが、 この同一になる部分の証明が読んでも分かりません。なんか誤魔化 されているみたいで。 みなさんから理解に役立つヒントはもらえないでしょうか。 置換が同一になれば、そのガロア群が元のガロア群の正規部分群 になるのは理解しているのですが。 ご教示をお願いします。 337 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/01(日) 22:47:07.62 ] グロタンといえば良しも悪しきも山純 １は相当のど素人だな、語るな今後 338 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:44:53.56 ] >>336 誤魔化されているんだよ それから、だれに誤魔化されたか書けよ、教えて欲しければ 339 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:54:27.74 ] 山純山純か、日本語ならね 山純の回し者か？それとも英語は苦手か？ 340 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/01(日) 23:58:53.31 ] >>338 まあ、証明など本が１０冊あれば全部違うんだよ 全部同じと錯覚しているようなカキコだな 一冊の本で理解しようと思うな 別の本を読んでみな 341 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 00:22:47.49 ] >>340　補足 なお、”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”の話は、下記 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345 ですでに議論している よかったら参考にしてくれ 342 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/02(月) 10:27:55.96 ] >>341 ありがとうございます。過去ログや他のスレで勉強します。 春休みなんで普段なかなか時間が 取れない勉強をしようとガロア理論を選んだんすが、まあ ラグランジュがすべての準備はしておいてくれたとしても わずか２０歳そこそこでガロア理論のような発想にいたった ガロアの頭の中はどうなっているのか。 天才と言えばそれまでですが、若くして詰まら決闘なんか で死んだのは本当に残念ですね。長生きしていたら、さらに どんな業績を残したらやら。 ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという 感覚を味わいたいのです。 343 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:18:52.89 ] >>342 乙 そのカキコからすると、大学１年生の春休みかな あるいは２年生 ガロア理論と言っても、複数ある（下記） ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 （引用おわり） 個人的見解 １．もっとも原始的：ガロア第一論文＝このスレのメインテーマ（しばしばスレ主により脱線するけれども）　１９世紀 ２．古典的：van der Waerden 群環体 第二次大戦前 d.hatena.ne.jp/TuvianNavy/20100529/1275157065 ３．アルティン：線形代数化　２０世紀中ごろ na-inet.jp/weblog/archives/001482.html ４．グロタンディークのガロア理論　２０世紀後半 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96 >ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに >そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために >ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという >感覚を味わいたいのです。 １（もっとも原始的）でよければ、このスレで遊んでゆきな 344 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:33:55.79 ] >>343　補足 >ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに >そんな感覚が得られますか。 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/414-415 を書いているころ、このスレでいろいろ教えてもらって ようやくガロアの原論文が分かったという感覚になったね 345 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:43:30.71 ] 学生さんみたいだから言っておくと １．自分の勉強のレベルが分かるように聞く：答える方が困る。どの程度噛み砕いて言えば良いか検討がつかない ２．自分の勉強している本は上げる：こっちが同じ本を持っていれば確認できる（大概の本はある） ３．証明のどこにどんな疑問があるのかを書く：書くことが次の理解に繋がる 346 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:49:13.89 ] 東京に限らないが、大都市の地下街を歩くと、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある 人って、そういうことがあるよね。地上だと、周りの風景を見ながら歩くから、自分のいる位置を理解しながら行ける 数学の証明で同じように感じることがある （証明おわり）まで来て、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある 地下街なら、あとで地図を見るんだ 証明なら、自分で地図を作って見るんだ 347 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 21:58:42.01 ] >>342 >>143　より再録 www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html 眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15 彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。 （１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。 （２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。 　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。 （引用おわり） ４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１ だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０ その複雑さは桁違い >>336 >補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 実は、補助方程式にも同じように隠れた対称性（＝ガロア群）があるよと 348 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/02(月) 23:54:41.00 ] >>347 > ４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１ >だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０ >その複雑さは桁違い staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>36 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 に、例が豊富にある 付録に f(x)=x^5+a2x^3+a3x^2+a4x+a5 の係数 a2,a3,a4,a5で可解な例が上がっている (B5 -1 -10 8 9) はx^5-x^3-10x^22 + 8x + 9 がB5 (半メタ巡回群?位数10) であることを示す。 他に可解なガロア群はB'5 (位数20、B5+で示す)、C5 (位数5、C5 で示す) がある。 ・・・・・・ (C5 -11 -11 11 11) (B5 -4 1 10 4) (B5+ 0 0 0 10) (B5+ 5 0 5 5) ・・・・・・ 係数を式に直すと、順に C5 ：f(x)=x^5-11x^3+11x^2+11x+11 B5 ：f(x)=x^5- 4x^3+ x^2+10x+ 4 B5+：f(x)=x^5+10 B5+：f(x)=x^5+ 5x^2+ 5x+ 5 ???? なんかおかしいな？ 元吉文男先生、付録の表間違ってない？ 349 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 00:35:08.67 ] >>348 仕方ないので方針転換 前スレ>>399より repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 P84 f(x)=x^5+330x-4170 のガロア群はF20（元吉文男>>348では、B5+ 位数20）で、べき根で解ける 具体的な根の表示もある この場合の隠れた対称性は位数20で、一般の場合の120にくらべると複雑さが小さい だから、べき根で解けるんだが ともかく、”隠れた対称性”というキーワードを頭にいれておくべし 350 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 06:32:07.02 ] >>346 補足 証明 vs 地下街のアナロジーで言えば どこから入って（入口）どこに連れて行かれようとしているのか（出口）と大まかな方向は、最初に頭に入れておく 証明を読むとき、それを意識して読むこと 351 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 06:35:39.68 ] >>341 補足 ”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”で 前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345 でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと ここも重要ポイントだ 352 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/03(火) 15:41:13.67 ] ガロアの現論文を訳して解説されている守屋先生の 共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで 今自分がどこにいるのか分からなくなることが ありますが、それでも完全に分かっていないながら 読んでいて、面白いなあと思うのですが、こんな 読み方でもいいでしょうか。 みなさんのような頭脳明晰でないので完全な理解は 難しいとは思うのですが、面白いんですよね。 エーミル・アルティン先生の「ガロア理論入門」は 文庫本になっていて寺田先生の訳で時々参考にして いますが、読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳 および解説です。アーベルの方はまだ読んでいませ んが。 353 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 20:50:11.03 ] >>352 乙です >読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳および解説です。 そういう趣旨なら、倉田令二朗>>6「ガロアを読む: 第1論文研究」と中村亨>>2ブルーバックス　「ガロアの理論」　を併読した方が良い 256倍面白くなるよ 中村亨>>2ブルーバックスは、おそらく高校生から大学１年をターゲットにしているから分かりやすい 図書館にもあると思うが 倉田令二朗も図書館にあると思う だが、手元において読むほうがたのしい 354 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 20:54:00.96 ] >>352 >守屋先生の >共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで >今自分がどこにいるのか分からなくなることが 同感です 守屋先生の解説は分かりやすいものではないと思う そうでなければ（分かりやすければ）、倉田が>>6を書く動機も薄かったろうと思う （>>210より もしそうでないなら、倉田令二朗があとがき>>6で、「他の多くの人達と同様、私はなんとか古典を理解したい思いにかられ、過去何度も挑戦して挫折した経験がある。最近共同作業のおかげでようやくガロア第I論文し得て原稿化したが・・」と書くこともなかったろう） 355 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 21:19:07.18 ] >>351 >でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと >ここも重要ポイントだ ガロアは隠れた対称性を明らかにするために、ガロア分解式（リゾルベント） 　V=Aa+Bb+Cc+・・・を考えた>>19 補助方程式についても、ガロア分解式（リゾルベント）が考えられる（簡単のために３次として根をa'、b'、c'とすると） 　V=A'a'+B'b'+C'c' A'、B'、C'は根a'、b'、c'の置換ですべて異なるように選ぶことで、Vは６つの異なる値を取ることができる 根a'、b'、c'を全て添加するとは、Vを添加することと同じで V1,V2・・・V6は、互いに有理式で表されることに注意すると 拡大体 k(V1)=k(V2)=・・・=k(V6)であり ガロア群を自己同型群と考えれば、”p個の群はすべて同一の置換をもつ”>>336は自明だという説明を、倉田>>6は P141 命題３の証明の冒頭で注意している。あとはP141の証明を読んでもらえれば・・ 356 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/03(火) 21:50:56.70 ] >>353　>>354 ありがとうございます。おすすめの２冊をアマゾンでとりよせて 読んでみます。愉しみです。 ちなみにレベルの低い話で申し訳ありませんが。ガロア理論の 基本的な概念（可解群の組成列）で正規部分群がなぜ要求され るのかがどうしてもピンと来ないので、それを原論文の解説で 理解できたらと思って読んでみたんです。 補助方程式のすべての根を基礎体に添加した拡大体と与え られた方程式の最小分解体との共通部分の体のガロア群が 基礎体のガロア群の正規部分群になるんだとはじめて分かった 次第です。 累乗根からできる方程式を補助方程式とすると確かに正規 部分群になるわいという感じです。 まあ要するに可解群の組成列と累乗根で解けることとの 関係が実感でわかりたかったのです。原論文なら実感で わかるかと期待して守屋先生の訳・解説本を読んだ訳で す。 おすすめの本を読んでこのあたりを再度味わいたいと 思います。 357 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 23:11:56.50 ] >>356 はい、どうもです 正規部分群 １．ガロア記法との関係 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む212より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/212 群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg-1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを作用させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも） ２．正規部分群は商群を作る 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む250より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/250 正規部分群については、下記が面白く、かつ印象が強烈だったので紹介しておく kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-378.html 正規部分群はどういう意味があるか （抜粋） 正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。 まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。 なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。 それで定義も忘れると。 そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。 だいたいこんな感じ。 これでだいたい、 せ…正規部分群…おまえ… ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。 （以下略） 358 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/03(火) 23:21:02.33 ] >>357 補足 正規部分群 ３．組成列と単純群 hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/ これは，どのような有限群でも究極的には単純群にバラせるという，非常にショッキングな主張です． （引用おわり） ショッキングではなく、まっとうな主張でしょう 359 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 00:24:23.87 ] と、発達障害者（チビ、ブサ、知的障害）が申しております 360 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:13:00.25 ] >>357　ついでに、kazuschool.blogの記事 kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-10.html 数理物理：これは数学と物理の中間的な記事で大学の専門的な内容なので、あまり受験とは関係ありません。興味があれば見てください。 物理と数学、両方に敬意を払っていて、数学的な思考で物理の発見がされたり、物理的な思考で数学の発見されたりすると言う信念に基づいて両方勉強してきました。全然内容はしょぼいですが。 rotのイメージ(ベクトル解析) 極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい 10進法とn進法の変換方法 二重級数の和の命題の証明 正規部分群はどういう意味があるか 分離公理は図を書くのがコツ =には等しいと言う意味と、≧かつ≦が成り立つ意味がある 有理数は稠密と有限個とは 全射と単射についての説明 漸化式で解けないけど極限値は求まる問題 数学的帰納法は何故証明したことになるか？は証明になってない 整列集合と超限帰納法 因数定理と三角関数から円周率が求まる直感的なおはなし 距離を保つ一次変換である直交変換の行列は回転か鏡映 体についてとZ/pZ(p:素数)が体の証明 2×2行列Aのn乗の求め方 不確定性原理の関係式は量子を確率分布と考えることだけで数学的に出る 相対性理論、何故加速すると時間は遅れるのか？ 相対性理論の続き、ロケットの中の人と地球にいる人との違い 相対性理論の何がわかってるのかの説明が何もわかってない ポアンカレ予想 物理と表現論 量子力学とヒルベルト空間 原子の半径と不確定性原理の美しい関係 ∫(0,∞)sin/xの値の求め方、複素積分の方法 複素数の物理的考察 量子力学の対称性 361 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:29:29.76 ] 物理関連で >>43から www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm >『ADHM 構成』歴史おぼえがき　2002 年8月 > ３．現代数学という衝撃 >それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか． >しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった． >Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される． 『ADHM 構成』については下記ご参照 en.wikipedia.org/wiki/ADHM_construction 362 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:33:54.85 ] 物理関連で 前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む432より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/432 （粟田英資 准教授） ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials 講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW) 歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。 20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。 本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。 363 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 06:37:47.61 ] >>357 補足 ガロア記法については>>39でJean-Pierre Tignolも紹介している 中村>>2を見てからで良いと思うが、Jean-Pierre Tignolも楽しい本です 364 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 14:11:17.33 ] 自分で調べればいいのですが、お詳しい方にきいた 方が早いのでおききします。 Ｓ4の部分群で位数８の正規部分群はありますか。 ないんだろうとは思うんですが。 365 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 14:13:14.86 ] >>364 無い 366 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:14:06.14 ] >>354-365 どちらさまも、乙です 下記"2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類"が参考になるだろう 前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む282より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/282 対称群などについては、下記が参考になるだろう www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf 2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類 www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm 明治大学 蔵野ゼミ 研究室の学生の卒業論文・修士論文 367 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:21:39.65 ] 補足 >>365の無いが正解 S4の位数８の部分群については、P7の3.6項だ P2の一覧表の書き方で、< (12); (1324) > 368 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:32:35.62 ] 補足 S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E#.E6.AD.A3.E8.A6.8F.E5.88.97 与えられた群 G に対して異なる種類の正規列が存在しうる。 与えられた正規列にさらに正規部分群を追加して正規列の細分を得ることができないとき、その正規列は群 G の組成列（英語版）であるという。 ジョルダン-ヘルダーの定理（英語版）により、与えられた群の二つの組成列は必ず互いに同値となる[5]。 5 ^ これを示すのにシュライヤーの細分定理（英語版）を用いる。 （（英語版）の部分にはリンクがあるので、英語の得意な人は見てください） 上記を認めると S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列になって（＞は集合の’含む’記号のアスキー代用） ここにeは単位元、(e)は単位元のみからなる群、Vはクライン群（下記）、A4は４次交代群、S4は４次対称群 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4 クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。 クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。 また、交代群 A4 の正規部分群　V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) > と同型。 （引用おわり） 369 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:36:35.64 ] S4：位数２４ A4：位数１２ V：位数４ 位数８の群は、組成列でA4：位数１２の後に入らないといけないが、位数８ではA4：位数１２を割り切ることができないのでA4の部分群にはなれない 370 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:40:39.31 ] >>368 訂正スマソ S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明 　↓ S4の位数８の部分群< (12); (1324) >が正規部分群でないことの説明 >>369つづき もう一つの説明は、 S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列 で、A4は偶置換から成る群なので、その部分群も偶置換から成る しかし、S4の位数８の部分群< (12); (1324) >は奇置換を含むので、組成列には入れない＝正規部分群ではない 371 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 21:42:52.23 ] >>370 補足 直接置換の計算をして確かめても良いんだが >>370や>>369みたいな説明も、なんとなく群論らしいだろ 372 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:01:46.53 ] >>335 補足 >これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね 昔は寿命が短かったからという意味ね 長寿になって、栄養も良くなったいまなら、６０代近くでも現役ばりばりって感じっていう意味と感想です 373 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:03:28.85 ] >>314 訂正 （このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで） 　↓ （このサイトがよく纏まっているので典拠はこれで） 374 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:14:46.49 ] >>329 補足 >この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF 反戦運動と環境問題に熱心だったことから、1970年頃にIHESに軍からの資金援助があることを知ると、彼は即座にIHESを辞職。 その後は、数学から距離を置いた隠遁生活を送るようになった。 （引用おわり） 彼の論理的帰結としては 反戦運動に熱心だった自分→IHESに軍からの資金援助がある→反戦運動からの帰結として自身の数学が軍に利用されるのは矛盾→自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めない という論理を貫徹した結果かも・・ 375 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 22:20:19.65 ] >>303 そういえば、昨晩とつぜん、亡くなったお袋のことをフラッシュバックしたよ、５０代中ごろだったから当時でもまだ亡くなるにはまだ若い方だった 猫さんの前スレでのDVの話から 悲しい話なんで、細かくは書かないけど、猫さんの１／１０くらいかね程度は 376 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 23:23:45.55 ] >>304 >グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして >その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。 グロタンディークがいなければ、代数幾何の発展はもっと遅れていたとは思うけれど いずれだれかが、その高みに登っただろうと思う ルートは紆余曲折があり、一人ではなく、現代のエベレスト登頂のように何人ものチームと重装備を用意してとなったかも知れないが・・ 内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。 （「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか） ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84 内山 龍雄（うちやま りょうゆう、1916年（大正5年）8月28日 - 1990年（平成2年）8月30日）は、日本の男性理論物理学者。大阪大学名誉教授。重力場を含む一般ゲージ場の創設者である。 1954年ごろまでに、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に重力と電磁力を結び付ける一般ゲージ理論（非可換ゲージ理論）の研究を完成させていたが、日本で内山以外に一般ゲージ理論を理解できる人間がいなかった[要出典]。 国外では、ヴォルフガング・パウリが1953年には、非可換ゲージ理論を完成させていたが、こちらもゲージボソンに質量を与える方法が分からないという理由で論文発表を控えていた[1][2]。 このため、1954年10月の楊とミルズの論文に対して発表が遅れ、プライオリティは得られなかった[3]。 しかし、論文の発表と同時にプリンストン高等研究所へ赴任し、場の理論の発展に努めた。 377 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/04(水) 23:26:27.00 ] >>376 >内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。 >（「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか） 陸上の世界記録など 必ず破られるもの そして、破られた世界記録は次の標準記録になる グロタンディークは、『天国から地上へと梯子を下ろした』が、いまやそれが標準記録だろう 378 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/04(水) 23:48:04.82 ] 1 名無しさんにズームイン！ [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ？ID:NWYs/2ZP Be: 　やらなけゃいけない 　電○の各局への圧力が半端ないんです 　昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。 　各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その124 hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1333533082/ テレビの捏造ブームに騙されるな 379 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 06:00:24.33 ] >>376 補足 1954年5〜6月頃の口頭発表のときに、簡単なレジュメ（概要と結論）を配布しておけば、プライオリティの主張（独立に同じことをの）はできたかも それと、口頭発表が伝わったのかも・・。ワイルズさんがFLTをやっているときに、ちょっとしたヒントで同じ理論を瞬時に思いつく人は沢山いると、秘密を厳格に守ったそうだ そういう例を沢山しっていたのだろう。古くはガウスが楕円関数を一言書いたら、それをヒントにヤコビとアーベルとが理論を作り上げた 今思えば、レジュメ（概要と結論）も配布しないなら、そしてすぐ論文投稿しないなら、なんのための発表かということになる。他国で独立で進めている人には、「早く投稿しなければ」という動機付けになるし・・ ともかく、ヒントでも言ってしまえば、グロタンディークと同じことを構成する人は出てきたんじゃないかな もっと人数と時間は掛かっても・・ ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84 経歴 1954年5〜6月頃、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に一般ゲージ理論の研究を完成させ、京大基礎物理学研究所で開催された小さな研究会で口頭発表していた 1954年8月からプリンストン高等研究所に研究員として渡米 1954年10月の楊とミルズの論文（ノーベル物理学賞受賞）に対して発表が遅れたためにプライオリティは得られなかった 1955年10月 大阪大学教授 380 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/05(木) 13:40:14.37 ] 保 381 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 21:29:28.23 ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む500より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/500 位数119 までの群の分類が下記にある www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf 位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日 382 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 21:31:06.02 ] >>381 補足 位数119 までの群の分類　Red catさんには大変お世話になりました いろいろ自分で部分群を考えるときに参考にさせてもらいました 383 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/05(木) 21:40:10.22 ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 299より再録 uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/299 佐藤 幹夫先生なんかも、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃない もっとも、女性にはモテたのか、下記”佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）”というのが、ソリトン方程式を共同研究していた若い女性と結婚したって話は有名でね そもそも、Ann.of Mathなど論文投稿を基準にしているってのが、ちょっと21世紀の基準としてはどうなのかと疑問に思った次第だ ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85) 佐藤 幹夫（さとう みきお、男性、1928年4月18日 - ）は、日本の数学者で佐藤超函数、概均質ベクトル空間、D加群の創始者。大阪大学教授を経て京都大学数理解析研究所名誉教授。1992年退官。東京都出身。 東京大学理学部数学科で彌永昌吉に師事した後、一時期高校教師を務めるなど異色の経歴を持つ。ノーベル物理学賞受賞の物理学者朝永振一郎に学んだこともある。 ソリトンなど可積分系の研究、特に、ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論とみなすことができる。 人物 ・ 不快でなじめぬ中学時代、それを忘れるため数学に没頭していたという。 ・ 彼の講演を理解できる人がおらず、「ほとんどの聴衆は道に迷ってしまう」と述懐している。 ・ 自身では論文をほとんど書かず、アイデアや方針をうけた弟子が書き留める。 ・ 数学を解説するのではなく、独創的に作り上げるタイプの数学者。 外部リンク Mikio Sato (京都大学数理解析研究所) www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/past-director/sato.html An invitation to the Theory of Hyperfunctions www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm 384 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/06(金) 00:17:22.61 ] 「オウムは統一教会をラジカルにしたもの」 「オウムが行く前に統一教会が、ロシアに進出していました。ところが、そういう連中が、どうも何時の間にかオウム信者とすりかわってしまった。」 　【殺された石井こうきの発言から】 そうか、統一教会、オウム、朝鮮総連、民団→朝鮮人だらけの民主党 そして低視聴率反日大河ドラマ すべて繋がっている 385 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/06(金) 00:34:59.84 ] >>383 これを引いたのは、次が言いたかったから An invitation to the Theory of Hyperfunctions www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm で、 今後小改訂はこのページで行います。或る程度纏まったらここに上げます。 www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/analysis/hyperfunction.html （現在作成途中, Last major Update 2011/08/31 ) で ”柏原は Fields 賞受賞に値するほどの多量の独創的な，且つ深くて面白い業績を残したが，何故か受賞には至らなかった。 Bernstein や，その他の多くの人と仕事が重なる事がいくつかあったせいかも知れない。ここ等参照 people.math.jussieu.fr/~schapira/mispapers/Masaki.pdf ” で、Schapiraさんが書いていること ”Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis Pierre Schapira Advanced Studies in Pure Mathematics 2007 It is a great honor1 to present here some aspects of the work of Masaki Kashiwara. Recall that Masaki’s work covers many fields of mathematics, algebraic and microlocal analysis of course, but also representation theory, Hodge theory, integrable systems, quantum groups and so on. Also recall that Masaki had many collaborators, among whom Daniel Barlet, Jean-Luc Brylinski, Etsurio Date, Ryoji Hotta, Michio Jimbo, Seok-Jin Kang, Takahiro Kawai, Tetsuji Miwa, Kiyosato Okamoto, Toshio Oshima, Mikio Sato, myself, Toshiyuki Tanisaki and Mich`ele Vergne. In each of the domain he approached, Masaki has given essential contributions and made important discoveries, such as, for example, the existence of crystal bases in quantum groups. But in this talk, I will restrict myself to describe some part of his work related to microlocal and algebraic analysis.” 386 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/06(金) 06:18:42.43 ] >>385 つづき 柏原氏も自分で天にはしごをかける能力があったのだろう people.math.jussieu.fr/~schapira/mispapers/Masaki.pdf Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis Pierre Schapira Advanced Studies in Pure Mathematics 2007 ”After 90, Kashiwara concentrated mainly on other subjects such as crystal bases, but nevertheless we wrote several papers together. In order to overcome some difficulties related to the microlocalization functor, we were led to generalize the notion of sheaves and to define ind-sheaves [19]. This theory required a lot of technology from category theory, and, as a byproduct, we wrote a whole book on this subject [20]. Algebraic Analysis and Microlocal Analysis are still actively developing in various directions. Let us mention three of them. [18] M. Kashiwara and P. Schapira, Sheaves on manifolds, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 292 Springer-Verlag, (1990). [19] Ind-sheaves, Ast´erisque Soc. Math. France 271 (2001). [20] Categories and sheaves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 332 Springer-Verlag, (2006).” 387 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/06(金) 06:35:19.72 ] >>346 つづき 地下街もなんども通っているとつながりが分かってくるという場合もある（そういう場合でも、壁に貼ってある地図をちょっと見ると理解が早いが） 使っているうちに理解できるという場合が多い。理解できないから使わないのではなく、理解するために使って見ると 昔対数（下記）を知ったとき（中学で本でだったように思うが）に、「掛け算が足し算になる、不思議だ」と思った その後、大人になってグラフを作るときに対数プロットなどでお世話になり（対数プロットで直線関係が現れる）、不思議さは自然となくなった 使って理解が深まる そういう勉強法が良いと思う ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 対数の概念は、16世紀末にヨスト・ビュルギ（1588年）やジョン・ネイピア（1594年）によって考案され、便利な計算法として広まった。 実際、多くの対数の近似値を表にした対数表を用いることにより、積の計算を、より簡単な和の計算に置き換えることができる。 この方法では近似値の計算になるが、実用上はそれで十分である場合が多い。 対数の値を長さに換算した目盛りを持つ物差しを使用して、以上の計算手順を簡単に行えるようにしたものが対数計算尺である。 対数は煩雑な計算にかける労力を大幅に減らし、ヨハネス・ケプラーによる天体の軌道計算をはじめとして、その後の科学の急激な発展を支えた。 関数電卓やパソコンなどが広く使われる現代においても、厳密な値を必要としない（有効数字の桁数の少ない）計算をする際には便利な方法である。 指数関数的に変化する量を対数に変換してみると線型性などの綺麗な性質が浮かび上がったり、 双曲線の面積を求める時などに用いる積分 ∫?x?1?dx に現れたりするなど対数は簡便な計算法以上の意味を持つことも多く、いろいろな場面で現れ、詳しく研究されてきた関数の一つでもある。 388 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/06(金) 07:08:34.59 ] >>265 >>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです. >これと反対のことを言おう >ナスカの地上絵、遠目の富士 つづき ガロアは、ガロア理論という巨大な地上絵を描いた グロタンディックも巨大な地上絵を描いた ブルバキも同様 ”完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです”は数学の証明としては正しい だが地上絵を見るためには、細かい部分は見えない遠くから見る（あるいは高いところへ登る）ということが必要なのだ それを忘れて、ひたすら細かい証明を追っても、いくらたっても地上絵は見えない 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/06(金) 20:25:30.33 ] -----朝日新聞やNHKが煽る「国の借金」について 日頃メディアや、反日工作員が必死になって「国の借金」という単語を使い 財政破綻論を展開させていますが、現実、現在の日本には「政府の借金」1000兆円近く存在いたしますが、 「国の借金」は存在いたしません。 朝日新聞やNHKは、雇い主である中国共産党より日本人に対して不安や政府に対する不信を持たせ、煽るために 局内の共産党員を使用して既に数十年間、「国の借金」を連呼し続けております。 ＜違和感なく「国の借金が1000兆円もある」という幻想に浸ってしまっている一般の方々は、朝日新聞やNHKに見事に騙されて続けている訳です＞ 数十年もテレビや新聞から情報を得てきた方々の中には、「メディアが嘘を付く訳ない」と思う、そう思いたい方もいるでしょう。 　　しかし、長い目で見れば、もともと戦前から日本を転覆させるために存在してきた報道機関ですから、 これくらいの嘘は朝飯前で御座います。 それでも、「国の借金は1000兆円ある」と考えをお持ちの方は、複式簿記の勉強をしてから、日本のバランスシートをご覧ください。 　 　　実質中国共産党の持ち物でありますNHK、朝日新聞は、これからも嘘を付き続けます。デマを流し続けます。捏造し続けます。 　　　　　 　　-------そのニュース、核心はデマだ。　　　　　　　　　　　　　長文失礼いたしました。----------　 390 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 09:15:29.40 ] >>364 補足 ”Ｓ4の部分群で位数８”というと、下記足立でも読んでいるのだろうか？　４次方程式の定理6.9にD8（位数8の正2面体群）が出てくる blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html 学校では教えてくれない数学:ガロア理論 2010年09月04日 私が理解していないと思ったとき、何回も読み返しながら理解していった本が次の本です。 足立恒雄　ガロア理論講義[増補版]　日本評論社 391 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 09:18:52.66 ] >>390 補足 確かに名著（本の帯びに書いてあるから自画自賛だろうが）というだけのことはある 足立の付録Aが気に入った ガロア理論に必要な群論がコンパクトに纏まっている 392 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 10:46:19.92 ] >>391 いま、足立をぱらぱらめくって読んだけど、良いね 足立の見ているランドスケープが書いてある>>388 足立の「6.5 歴史覚書」が良いね ”1920年代の末にアルチンは体を下から見るのではなくて、上から見る考え方を導入した（96ページ参照）。”と でP96に 「要するに、最小分解体というのは一つの方程式の根という立場から（いわば下から）見た概念であり、正規拡大というのは共役写像という立場から（いわば上から）見た概念で、実はこれらは同じものなのである。」と これは、その前のP95の定理4.13に関連した記述だが 正規拡大はアルチン先生が考えたのか・・、いまではどの本でも書いてあるね 最小分解体というのは、>>355あたりもに書いたけれど、>>366の質問の 「補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が 別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつ」に相当する部分 補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加→最小分解体→正規拡大（アルチン）→正規部分群→p個に群が別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつ というつながりだね 393 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 11:13:39.60 ] >>386 柏原に関してこんなのが 英語の情報量は圧倒的だね en.wikipedia.org/wiki/D-modules In mathematics, a D-module is a module over a ring D of differential operators. The major interest of such D-modules is as an approach to the theory of linear partial differential equations. Since around 1970, D-module theory has been built up, mainly as a response to the ideas of Mikio Sato on algebraic analysis, and expanding on the work of Sato and Joseph Bernstein on the Bernstein?Sato polynomial. The methods of D-module theory have always been drawn from sheaf theory and other techniques with inspiration from the work of Alexander Grothendieck in algebraic geometry. en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%E2%80%93Sato_polynomial Bernstein?Sato polynomial The Bernstein-Sato functional equation is used in computations of some of the more complex kinds of singular integrals occurring in quantum field theory (Tkachov 1997). Such computations are needed for precision measurements in elementary particle physics as practiced e.g. at CERN (see the papers citing (Tkachov 1997)). However, the most interesting cases require a simple generalization of the Bernstein-Sato functional equation to the product of two polynomials ・・Devising ways to bypass the combinatorial explosion of the brute force algorithm would be of great value in such applications. 394 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 11:39:16.00 ] >>393 リンクを辿ると 例えば、下記で論文のpdfなどが落とせる。arxivってすごいね で、”The Bernstein-Sato polynomial (or global b-function) is an important invariant in singularity theory, which can be computed using symbolic methods in the theory of D-modules. After surveying algorithms for computing the global b-function, we develop a new method to compute the local b-function for a single polynomial. ”と こういう数式処理はますます重要になるだろう arxiv.org/abs/1002.1475 Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals Christine Berkesch, Anton Leykin (Submitted on 7 Feb 2010 (v1), last revised 25 Jun 2010 (this version, v2)) 395 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 12:13:40.94 ] 代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol>>39は、足立>>390の後に出たんだね Jean-Pierre Tigno第15章「エピローグ」に、ガロア論文を審査した評が載っている ガロア論文はベキ根による方程式の可解性の条件を含んでいないという ガロア論文が真として、 「与えられた素数次の方程式がベキ根によって可解であるかどうか、を決定する何らかの良い方法をそれから引き出せないであろう。 なぜならば、この方程式が既約であるかどうか、次にまたその任意の２根がほかの２つの有理分数式として表されるかどうかを確かめなければならないからである。 可解であるための条件は、もしそれが存在するならば、与えられた方程式の係数を調べたり、せいぜい与えられた方程式の次数より低い次数のほかの方程式を解くことによって確かめられる外的な特性を持つべきである。」 と だが、与えられた方程式の係数で可解性を表すことは理論的には可能であるけれども 例えば>>348 staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>36 5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01 >>349 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612 repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf 可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003 （引用おわり） 実は、数式処理に頼っても、それは簡単ではないので ガロア理論による群論的理解が、ほとんど唯一の理解の仕方だったと思う。まあ、それは当時の審査員には見えていなかった （だが、ガロアが長命なら何年か後には、もっと早くガロア理論は世に出たと思う。足立はP168でコーシーなどはガロア理論に理解を示したように書いている） 396 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 12:45:04.31 ] >>395 Jean-Pierre Tigno第15章「エピローグ」 ”さまざまな分野へのその応用を通して、また新しい研究に対する霊感の源泉として、ガロア理論はこれで終わりになった問題である、というにはほど遠い状態にある”P319と 397 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 13:02:59.81 ] >>396 Jean-Pierre Tigno「序文」これがなかなか良い ”この講義の主題は代数学ではなく、より狭い意味での歴史でさえなく、「方法論」なのである。 その目的は、読者（もともとの講義は数学科の学部学生を対象としていた）に、いかに数学が作られていったかというアイデアを理解してもらうことにある。” と これは、>>388の地上絵的視点を補完するもの アナロジーとして、数学で物理の話をするのもなんだが、物理で質点の運動を記述するのに（下記参照）、質点の座標と運動量（座標の微分）の両方を必要とする 地上絵＝現在の座標、歴史的発展と「方法論」＝運動量（座標の微分）なのだ 運動量（座標の微分）を知ることで、それがどこから来てどこへ行こうとしているかが見える場合が多い ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6 ハミルトン力学（ハミルトンりきがく、英語：Hamiltonian mechanics）は、一般化座標と一般化運動量を基本変数として記述された古典力学である。 イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創始した。ラグランジュ力学と同様にニュートン力学を再公式化した解析力学の一形式。 398 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 13:30:26.18 ] >>397 「方法論」について、個人的感想 １．変数を増やして、自由度を上げる： 　　だれかが（斎藤先生？）書いていた。カルダノの解法は、変数を増やすという一見筋の悪い方向へ行くと。一見筋の悪い方向だけれども、自由度を上げるという利点はがある 　　なんらかの方法で自由を上げるという手段は結構数学ではいろいろな場面で使われる ２．操作の骨組みを群などに写して考える： 　　体の骨組みをガロア群で考えれば、これガロア理論そのもの ３．別の空間に行ってまたもどる： 　　対数による計算もこれか。実数を対数に変換する。積は和（線形性）に変換される。結果を逆変換する 　　微分方程式の演算子法による解法も同じ ４．扱う対象を拡大する： 　　インドで０（ゼロ）が発見されたという。負の数はいつだろうか。有理数（分数）から無理数、虚数、無限小数、複素数・・と数の範囲が拡大されてきた 　　フェルマー予想を解くために、理想数が考えられイデアルに 　　一方で、多元数、ベクトル、行列、テンソルと必要に応じて数の範囲は拡大された こんなところを意識しながら（ここはこういう「方法論」を使っている）勉強すると楽しいよ 399 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 15:16:35.43 ] >>394 >arxivってすごいね en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck%27s_Galois_theory Grothendieck's Galois theory を辿ると下記arxivのPDFなどが落とせる arxiv.org/abs/math/0009145v1 On the Galois Theory of Grothendieck E.J. Dubuc, C. Sanchez de la Vega (Submitted on 14 Sep 2000) In this paper we deal with Grothendieck's interpretation of Artin's interpretation of Galois's Galois Theory (and its natural relation with the fundamental group and the theory of coverings) as he developed it in Expose V, section 4, ``Conditions axiomatiques d'une theorie de Galois'' in the SGA1 1960/61. This is a beautiful piece of mathematics very rich in categorical concepts, and goes much beyond the original Galois's scope (just as Galois went much further than the non resubility of the quintic equation). We show explicitly how Grothendieck's abstraction corresponds to Galois work. We introduce some axioms and prove a theorem of characterization of the category (topos) of actions of a discrete group. This theorem corresponds exactly to Galois fundamental result. The theorem of Grothendieck characterizes the category (topos) of continuous actions of a profinite topological group. We develop a proof of this result as a "passage into the limit'' (in an inverse limit of topoi) of our theorem of characterization of the topos of actions of a discrete group. We deal with the inverse limit of topoi just working with an ordinary filtered colimit (or union) of the small categories which are their (respective) sites of definition. We do not consider generalizations of Grothendieck's work, except by commenting briefly in the last section how to deal with the prodiscrete (not profinite) case. We also mention the work of Joyal-Tierney, which falls naturally in our discussion. There is no need of advanced knowledge of category theory to read this paper, exept for the comments in the last section. 400 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2012/04/07(土) 15:21:04.78 ] 「国の借金」について 日頃メディアや、反日工作員が必死になって「国の借金」という単語を使い 財政破綻論を展開させていますが、現実、現在の日本には「政府の借金」1000兆円近く存在いたしますが、 「国の借金」は存在いたしません。 朝日新聞やNHKは、雇い主である中国共産党より日本人に対して不安や政府に対する不信を持たせ、煽るために 局内の共産党員を使用して既に数十年間、「国の借金」を連呼し続けております。 ＜違和感なく「国の借金が1000兆円もある」という幻想に浸ってしまっている一般の方々は、朝日新聞やNHKに見事に騙されて続けている訳です＞ 数十年もテレビや新聞から情報を得てきた方々の中には、「メディアが嘘を付く訳ない」と思う、そう思いたい方もいるでしょう。 　　しかし、長い目で見れば、もともと戦前から日本を転覆させるために存在してきた報道機関ですから、 これくらいの嘘は朝飯前で御座います。 それでも、「国の借金は1000兆円ある」と考えをお持ちの方は、複式簿記の勉強をしてから、日本のバランスシートをご覧ください。 　 　　実質中国共産党の持ち物でありますNHK、朝日新聞は、これからも嘘を付き続けます。デマを流し続けます。捏造し続けます。 　　　 　---そのニュース　核心は”デマ”だ。　　　　　　　長文失礼いたしました。--- 401 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 15:34:26.50 ] >>399 Topologyへの拡張を考えているようですね the fundamental group and the theory of coverings＝基本群と被覆の理論 ですね 402 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 15:53:10.29 ] >>399 補足 >This is a beautiful piece of mathematics very rich in categorical concepts, and goes much beyond the original Galois's scope (just as Galois went much further than the non resubility of the quintic equation). 余談ですが、下記エキサイト 翻訳というのが気に入っていて、よく使わせもらいます www.excite.co.jp/world/english/ この>>399の文をエキサイト 翻訳にかけてみたのですが（意味がよくとれなかったので）、 (just as Galois went much further than the non resubility of the quintic equation) で、resubility＝resolubilityのミスタイプのようです。（ the quintic equation＝5次方程式ですから） 「ガロアが、5次方程式の非可解性をはるかに超えて行ったと同様に」というような意味になるでしょう 403 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 15:58:29.94 ] >>402 補足の補足 categorical conceptsは、「方法論」に関連して言えば、”良い記号化”ということでしょうか 矢印が沢山出てきます 文章の代わりに これきっと思考の節約になっていると思います・・ 404 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 17:02:34.97 ] >>57 『打倒ウィッテン』のsuperstring theoryに関連して、 String theoryを考えた南部陽一郎についてご紹介。ご存知の方が多いと思うが www.globe-walkers.com/ohno/interview/nambu.html 南部陽一郎・シカゴ大学名誉教授　祝・ノーベル物理学賞受賞　「私の理論を理解できなかったアインシュタイン」　（月刊現代　2009年1月号） jimnishimura.jp/tech_soc/chem_todaynambu/chem_today0903/09_03.html Jim Nishimura Web site 最初の論文がすでにノーベル賞クラスだった南部陽一郎 現代化学　2009　3月号　南部陽一郎の独創性の秘密をさぐる（2） 3. サイエンスでの情勢判断 つぎに南部の論文そのもの、見てゆきましょう。南部の独創性を学ぶ上で大事なのは、テーマのつかみ方とやり方です。 南部の研究の最大の特質は、研究戦線の状勢を判断し,とるべき道を決める能力だと思いますが、処女論文にすでに、彼の特質がよくあらわれています。 Part IV 独創力の原点は　計算力と物理イメージ 暗算はたしかに計算のスピードを飛躍的に上げますが、この場合に求められているのは莫大な量の計算を、一つのミスもなく、見落としもなく実行することです。 Weisskopfの符号の間違え、 Dancoffのケースの見落としがよい教訓です。南部にはその轍を踏まない何かがありました。 それは仕事におけるツールの重要性をよく認識していて、自分でツールを発明する才能です。これは南部の独創性をいうとき、見過ごされがちの点ですので、特に説明しましょう。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%97%E9%83%A8%E9%99%BD%E4%B8%80%E9%83%8E 1970年にハドロンの性質を記述する模型として弦理論（ひも理論）の提案をおこなった（同時期にレオナルド・サスキンド、ホルガー・ニールセンが独立に提唱）。 しかし弦理論は、ハドロンの理論としては問題点があることが明らかになった。一方でゲージ理論としての量子色力学が確立していった時期でもあり、多くの研究者は弦理論から離れていった。 弦理論はその後、ジョン・シュワルツらにより、ハドロンではなく重力を含む統一理論として研究が続けられた（超弦理論）。[10] 405 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 17:16:00.14 ] >>59 >Wittenのモース理論て簡単にいうとどんなもの？ かめで恐縮ですが en.wikipedia.org/wiki/Morse_homology Related constructions Edward Witten came up with a related construction in the early 1980s sometimes known as Morse-Witten theory. Morse homology can be extended to finite dimensional non-compact or infinite-dimensional manifolds where the index remains finite, the metric is complete and the function satisfies the Palais-Smale condition, such as the energy functional for geodesics on a Riemannian manifold. The generalization to situations in which both index and coindex are infinite, but the relative index of any pair of critical points is finite, is known as Floer homology. Sergei Novikov generalized this construction to a homology theory associated to a closed one-form on a manifold. Morse homology is a special case for the one-form df. A special case of Novikov's theory is circle-valued Morse theory, which Michael Hutchings and Yi-Jen Lee have connected to Reidemeister torsion and Seiberg-Witten theory. www.tahoiya.org/TopoString/?1.Introduction TFT(位相的場の理論)の歴史的経緯 TFTは次の二つの論文に端を発します。 ?Shwarz[Lett.Math.Phys.2:247-252,1978.] Ray-Singer torsionという位相不変量があるQFT(場の量子論)の分配関数でかけること。 ?Witten[J.Diff.Geom.17:661-692,1982.] モース理論のSQM(超対称量子力学)による理解。 Wittenの仕事 Wittenはさらに次の論文でIndex定理への応用Nucl.Phys.B202:253,1982.を行い、84年にはholomorphic Morse inequalitiesへの一般化を行います。 Floerの３次元位相幾何学への応用 Wittenの仕事はFloerによって３次元位相幾何学の研究に応用されました。Floer(88,89) Floerの３次元位相幾何学の研究はDonaldsonの４次元位相幾何学の研究Donaldson(83,90)と密接に関係があります。 406 名前：１３２人目の素数さん [2012/04/07(土) 17:24:25.80 ] >>405 ウィッテンは何でもお見通しだな。 407 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 17:49:12.07 ] >>403 >categorical conceptsは、「方法論」に関連して言えば、”良い記号化”ということでしょうか >矢印が沢山出てきます >文章の代わりに >これきっと思考の節約になっていると思います・・ 余談ですが、圏論を数学科１年前期で教えるようにしないと、いまどきの論文は読めませんね d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185 はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 2006-08-21 (月) 全体目次： 第1歩：しりとりの圏 （このエントリー） 第2歩：行列の圏 第3歩：極端な圏達 第4歩：部分圏 第5歩：変換キューの圏 第6歩：有限変換キューと半圏 第7歩：アミダの圏 第8歩：順序集合の埋め込み表現 第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか 付録／番外など： 中間付録A： 絵を描いてみた 番外：同期／非同期の結合 中間付録B：アミダとブレイド 番外：米田の補題に向けてのオシャベリ 一部のプログラミング言語の背景として、圏論（カテゴリー論）が使われたりするせいか、以前に比べれば多少は圏論に興味を持つ人が増えたような気がしなくもないような。 でも、安直な入門的文書はあまり見かけないですね。もちろん、シッカリした教科書や論説はあるんですが、どうもシッカリし過ぎているような。 例えば、圏の例として「コンパクト・ハウスドルフ空間と連続写像の圏」とか言われてもねぇ（この例はいい例なんですけど*1）。かといって、空な圏0とか、単一元からなる圏1とか出されても「へっ？ それがなにか」つう感じだし。 そんなわけで、予備知識なしで理解できる圏の具体例を1つ紹介しましょう。 408 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 17:51:30.47 ] >>406 ウィッテン氏はグロタン師とは違った（厳密な証明を求めるか否か）天才だけど 共通点は構想力かな 先まで見通している・・ 409 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 18:05:35.68 ] >>407 >番外：米田の補題に向けてのオシャベリ Yonedaって、>>399”On the Galois Theory of Grothendieck E.J. Dubuc, C. Sanchez de la Vega”に出てきてたね えーと、下記にも”1.4 The Yoneda Lemma”と people.math.jussieu.fr/~schapira/lectnotes/AlTo.pdf Algebra and Topology　Course at Paris VI University, 2007/2008 1　Pierre Schapira 1/9/2011, v2 www.math.jussieu.fr/?schapira/lectnotes schapira@math.jussieu.fr 410 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 18:17:24.04 ] >>409 >番外：米田の補題に向けてのオシャベリ これは面白いね d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070109/1168308205 ●「米田の補題」の米田さん いまや、物理学やコンピューティング・サイエンスの人も、米田の補題を（ときに、そうとは意識さえせずに）普通に使うご時世ですが、この補題（名前は補題だが、圏論の大定理）の発見者である米田さんはいかなる人物でしょう。 Wikipediaの項目もないし、Googleイメージで肖像を探しても出てこない。ウーン、困ったな。*1 Web上では見つからなかったけど、とある書籍のなかに、米田信夫先生の肖像がありました。スキャンしたものを載せるくらい許されるでしょう（と思う）。 とある書籍とは、加藤五郎・著『コホモロジーのこころ』（ISBN:4000053841）です。この本のAppendixにいろいろな人の写真が載っていて、そのひとつが上の画像です。 ちなみに、『コホモロジーのこころ』の第1章（1章、2章とAppendixしかない構成）は、「カテゴリーと関手」で圏論の解説。米田の補題は、1.2節（15ページ）「カテゴリー論の大黒柱、米田の補題」で登場します。 『コホモロジーのこころ』は、読者に語るような文体でself-containedに書かれています（著者・加藤五郎さんはそう述べておられます）。しかし、その“語り”はのっけからジェットコースターで、僕にはとてもついて行けません。 が、Appendixは歴史と展望のハナシなので、眺める程度のことはできます。 このAppndixによれば、米田の補題は次の論文に現れたそうです。 Yoneda, N. "On the Homology Theory of Modules" J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect.I.7 (1954), 193-227 なんと1954年。そんなに前だったのかぁー。圏論の基礎概念は1945年にアイレンベルクとマックレーンにより整備されてはいますが、それにしても早い。 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E4%BF%A1%E5%A4%AB 米田信夫（よねだ のぶお、1930年3月28日 - 1996年4月22日）は日本の数学者、情報工学者。 圏論における米田の補題に名を残している。情報工学ではALGOLに関する業績で知られている。 411 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 18:49:09.22 ] >>410 これも面白い。圏論をこれから学ぶ人は是非一読を d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070111/1168508641 2007-01-11 (木)　はじめての圏論 第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか 内容： 1.圏の直感的イメージを作る：孤立から連絡へ 2.論理とやせた圏 3.重い圏から軽い圏へ 4.圏もどきと構造付き圏 5.まとめ ・全体目次 ●重い圏から軽い圏へ ここで話題を変えます。正月の挨拶っぽいハナシ。 従来、圏の事例というと、集合と写像の圏、位相空間と連続写像の圏、アーベル群と加法的（線形）写像の圏などが引き合いに出されていました。これらの例を僕は個人的に“重い圏”と呼んでいます。“重い”理由は： １．予備知識がないと事例を理解できない。つまり、ヘビーな学習を必要とする。 ２．圏の対象、射の全体が、普通の意味の集合ではない。ヘビーに巨大な集まりである。 歴史的には、圏論は代数トポロジー（代数的位相幾何学）やホモロジー代数から生まれたので、これらの事例は典型的ともいえます。 しかし、物理学やコンピューティング・サイエンスでも圏が常用されつつあるご時世に、初っぱなにこんな重い例を出すのはイカガナモンでしょうか。 それともうひとつ。こういう例から出発すると、「対象≒集合、射≒写像」という先入観が刷り込まれる危険があります。昨今は、「対象≒集合、射≒写像」では理解できない例が頻出します。 例えば、プログラムやプロセス（の数理モデル）の圏では、射は写像とは解釈できません。 むしろ、射を写像で近似したり表現したりする方法を模索することになります。 そんな事情で、重い圏は（いずれは導入しますが）当面避けて、“軽い圏”を中心に扱おうと思ったわけです。“軽い”とは： １．比較的少ない予備知識で導入できる。 ２．圏の対象、射の全体が、集合となっている。（小さい圏（small category）と呼ぶ。） 特に有限圏（finite category）なら、紙に点と矢印の絵を描いていじれます。軽い圏は、グラフ理論と抽象代数の延長として理解できるので、代数トポロジーやホモロジー代数は不要です（知っていれば有利だが）。 （つづく） 412 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 18:51:45.17 ] >>411 つづき d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070111/1168508641 2007-01-11 (木)　はじめての圏論 第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか ●圏もどきと構造付き圏 正統な（あるいは純粋な）圏の定義だけを採用しても、圏の例はものすごくたくさんあります。しかし、実際的応用を考えると、圏と似てるがわずかに違う“圏もどき”や、圏にさらに別な構造が乗った“構造付き圏”に慣れておくべきだと思います。 例えば、恒等射の存在が保証されない半圏（semicategory）は第6歩で出しています。結合演算が完全には定義できないプレ圏（precategory）とかもあります。 構造付きの圏で一番重要だと思うのは、結合以外の演算（+、×、これらを丸で囲んだ演算記号を使う）を1つ備えたモノイド圏（monoidal category）です。モノイド圏については、「指を使った足し算と interchange law」でわずかに触れています。 他に、アミダの圏は、モノイド圏にできます（アミダクジを“横に並べる”操作がもうひとつの演算です）。 圏を絵に描くとき、対象は点、射は線（矢印）にします。射の線は、対象である点と点のあいだを繋ぎます。では、線と線のあいだを繋ぐ面（あるいは膜）のようなものは考えないのでしょうか？ 考えます！ 点（0次元）、線（1次元）、面（2次元）、もっと高次元の構成素を考え、演算も導入します。そうすると、2-圏（2-category）、双圏（bicategory）、二重圏（double category）、一般のn-圏（n-category）などの高次圏（higher (dimensional) category）が出現します。 ●まとめ まとめておきましょう。以下は、僕の個人的な意見と方針ですが： ・重い圏の重要性は否定しないが、軽い圏から出発すべきである。 ・具体的な軽い事例を、たくさんいじるべきである。 ・具体的な事例とその操作で、圏論感覚を養うべきである。それは、掛け算九九の暗記や筆算の練習みたいなものである。 ・論理と圏論の関係に注目するのも良いことだ（やや趣味的意見）。 ・応用の都合により、半圏やプレ圏を使うことに躊躇する必要はない。 ・モノイド圏は重要だ。早めに触れるべし。 ・必要があれば（なんなら必要が無くても衒学＜げんがく＞的に:-)）、高次圏も学べ、使え。 413 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 19:02:28.55 ] >>410 >圏論における米田の補題に名を残している。情報工学ではALGOLに関する業績で知られている。 ALGOLは下記 太古の時代、メインフレームという恐竜みたいなのが、生息していた メインフレームを使うための言語として、ALGOLが考えられたんだ 数学とは相性が良かったのかも 数式処理ではLISPが使われるけれども、ALGOLはLISPより古い・・・、同じころ？ ja.wikipedia.org/wiki/ALGOL （抜粋） ALGOL（アルゴル）は、プログラミング言語の一つ。 1950年代後半、FORTRAN等の言語が米国で作られていたのに対抗して、ヨーロッパの研究者が、世界共通のプログラミング言語として開発した。 アルゴリズムの研究開発に用いる目的で作成され、アルゴリズム記述のデファクトスタンダードとして普及した。 PL/I、PascalやC言語等、後の言語開発に大きな影響を与えたとされるが、現在ではほとんど利用されていない。 正確にはALGOLとは下記ALGOL系列の総称で、単に「ALGOL」という名の言語は存在しない。名前「ALGOL」は「アルゴリズム言語」を意味する英語「algorithmic language」に由来する。 ja.wikipedia.org/wiki/LISP LISPの歴史 ジョン・マッカーシーによるLISPの着想は1956年夏の「Dartmouth summer research project on artificial intelligence」（人工知能についてのダートマス大学夏季研究プロジェクト）にさかのぼる。 H. Gelernter、J. R. Hansen、C. L. GerberichがIBM 704上のFORTRANでリスト操作をおこなうサブルーチンのパッケージとして1958年にFLPL（FORTRAN list processing language）を実装した。プログラミング言語としてのLISPは1958年の秋に実装がはじまった。 1960年に論文 「Recursive functions of symbolic expressions and their computation by machine, Part I」（記号表現の再帰的関数とそれらを用いた機械計算、第一部）をACMの学会誌「Communications of the ACM」（コミュニケーションズ・オブ・ジ・ACM）に発表する。 evalについて、マッカーシーはその概略を論文では示している。しかし実装可能であるとは考えていなかった。 マッカーシーのもとで大学院生であったスティーブ・ラッセルは論文を読んで、evalを機械語に変換したコードを実装してみせ、マッカーシーを驚かせた。そうしてLISPインタプリタが生まれた。 414 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 19:43:46.64 ] >>413 LISPの歴史が、おかしい（意味不明）なので、英語版を en.wikipedia.org/wiki/Lisp_(programming_language)#cite_ref-3 History Lisp was invented by John McCarthy in 1958 while he was at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). McCarthy published its design in a paper in Communications of the ACM in 1960, entitled "Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine, Part I"[2] ("Part II" was never published). He showed that with a few simple operators and a notation for functions, one can build a Turing-complete language for algorithms. Information Processing Language was the first AI language, from 1955 or 1956, and already included many of the concepts, such as list-processing and recursion, which came to be used in Lisp. McCarthy's original notation used bracketed "M-expressions" that would be translated into S-expressions. As an example, the M-expression car[cons[A,B]] is equivalent to the S-expression (car (cons A B)). Once Lisp was implemented, programmers rapidly chose to use S-expressions, and M-expressions were abandoned. M-expressions surfaced again with short-lived attempts of MLISP[3] by Horace Enea and CGOL by Vaughan Pratt. Lisp was first implemented by Steve Russell on an IBM 704 computer. Russell had read McCarthy's paper, and realized (to McCarthy's surprise) that the Lisp eval function could be implemented in machine code.[4] The result was a working Lisp interpreter which could be used to run Lisp programs, or more properly, 'evaluate Lisp expressions.' 4.^ According to what reported by Paul Graham in Hackers & Painters, p. 185, McCarthy said: "Steve Russell said, look, why don't I program this eval..., and I said to him, ho, ho, you're confusing theory with practice, this eval is intended for reading, not for computing. But he went ahead and did it. That is, he compiled the eval in my paper into IBM 704 machine code, 415 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 20:29:24.68 ] >>412 圏論はいろんな分野で必須になってきて、みなさん苦労しているようですね math.artet.net/?cid=59749 圏論 | TETRA'S MATH ■圏論 (48) ■圏論と初等数学 (27) ■圏論による論理学 (3) 416 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 20:49:35.60 ] モナドね。Haskell ね。いまや、圏論は常識？ ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8A%E3%83%89_(%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0) モナド (プログラミング) 計算機科学におけるモナドとは、計算機科学者のEugenio Moggiによって提案されたモジュール性を持たせた表示的意味論の枠組みを言う。 プログラムとはクライスリ圏の射である、という要請からクライスリトリプル(Kleisli triple)というモナドと等価なものが使われる。プログラミング言語のHaskellで用いられるものがよく知られている。 モナドの名称は、圏論のモナド（モノイド＋トライアド）に基づいており、ライプニッツのモナド（単子論）とは無関係である。 ja.wikipedia.org/wiki/Haskell Haskell は高階関数や静的多相型付け、定義可能な演算子、例外処理といった多くの言語で採用されている現代的な機能に加え、パターンマッチングやカリー化、リスト内包表記、ガードといった多くの特徴的な機能を持っている。 また、遅延評価や再帰的な関数や代数的データ型もサポートしているほか、独自の概念として圏論のアイデアを利用し参照透過性を壊すことなく副作用のある操作（例えば 代入、入出力、配列など）を実現するモナドを含む。 417 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 21:26:59.99 ] >>407 >檜山正幸のキマイラ飼育記 檜山正幸さん、表彰されているんだ。自分で事務所を作った。学歴が不明だが、数学科系？ www.ipsj.or.jp/01kyotsu/award/gyoseki_sho/h17_detail.html 平成17年度業績賞の表彰 情報処理学会 最終更新日：2006年5月31日 ◆XML の制定・普及への貢献 [推薦理由] 　XMLは今やIT産業における根幹のデータフォーマットの一つであることは言うまでもない．しかし、その制定や普及に極めて大きな貢献のあった日本人がいたことはあまり知られていない．４氏は、企業の枠を超えてXMLの制定・普及に貢献した． 村田氏、小町氏、檜山氏は多くのコメントを出し、それらがXML 1.0の仕様の中に採用されていった。また、XML勧告のJIS化（およびそれ以前のTR化」）、XML日本語プロファイルの制定にも貢献した。 現在、日本でも国際標準であるXMLがスムーズに使えるのは、これらの諸氏の貢献のお陰である。 檜山　正幸　君 　1955年生.20代後半までは計算機/情報産業とは全く関係なくすごすが, テクニカル・ライティングとプログラミングの生活に.90年代初頭に,YHP社/ノベル社（当時名称）などのSGMLベース出版システムのローカライズ/運用/利用支援などに従事. XMLに期待を持ち,JIS-INSTAC XMLサブWGに参加. その後,W3C SYMM WGにも参加.いくつかのソフトウェアベンダー/公的機関にてXMLシステム/アプリケーションの設計を担当.檜山正幸事務所 代表 418 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/08(日) 09:33:54.07 ] >>390 補足 まあ、こんな見方もあるんだね blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html 学校では教えてくれない数学:ガロア理論 2010年09月04日 有限次代数拡大Ｌ／Ｋ　と　Ｇ＝Ａｕｔ（Ｌ／Ｋ）に関して、以下の条件は同値であることを示せ。 （１）Ｌ／Ｋ は 正規拡大 かつ 分離拡大 （２）Ｌ^Ｇ＝Ｋ （３）[Ｌ：Ｋ]＝｜Ｇ｜ （４）拡大体Ｌ／Ｋ は多項式環Ｋ[Ｘ]内のある分離的多項式の最小分解体 これって基本的ながら重要なポイントを含んでいると思い、ガロア理論を分析しながら見直して、ついてはガロア理論ミニマムの体論部分の抽出へとつながったのでした。 これが見えてくると、いろんなガロア理論の本を読んで、 ・この本は分離拡大の記述（分析）がうすいなー ・あの本は、正規拡大の特徴づけの記述が偏っているなー という比較検討ができて面白く読めるようになってきました。 419 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/08(日) 15:32:53.02 ] >>398 > ４．扱う対象を拡大する： 補足 関数概念を拡張したのが、超関数かな 古くは、グリーン関数とかヘビサイドのY関数、ディラックのデルタ関数と始まって、これは便利だとシュワルツさんが超関数を考えた 似たようなことが演算子法にもあって、ヘビサイドが微分方程式を解くために考えたのだが、「要は微分積分をむつかしく考えずに演算子と考えてその演算として扱いなさい」と こういうことを扱えるように、数学がどんどん抽象化されていった それはガロア理論から群体環イデアルを扱うために抽象化されていったことと並行に進んだのだった 420 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/08(日) 15:56:42.18 ] >>412 数学系の人に合うかどうか不明だが（おそらくプログラム言語からの視点で書かれている） 「圏論」 になれるための一つの見方として www.chimaira.org/docs/indexCategoryTheory.htm 「圏論」 インデックス 檜山正幸 (HIYAMA Masayuki) Since: Wed Dec 29 2004 1.ETBダイアグラム 2.スーパーポージング公理からスーパーポージング定理へ 3.スーパーポージング公理からスーパーポージング定理へ 図だけ 4.コンパクト閉圏 5.お絵描き圏論 6.トレース付きモノイド圏における結合 7..コンパクト閉圏を定義する 8.セオリーの圏 9.図式順テキスト記法（DOTN） 10.ストリング図による複合モナドの計算 (1) 11.トレースとモノイド積／結合 12.コンパクト閉圏における結合 13.コンパクト閉圏を定義する その2 14.I.nt（GoI）構成 なお、筆者が下記を書いている。（内容はあまり数学的ではないので悩まず読める・・、というか悩まないように・・） www.chimaira.org/docs/Shiikuki.htm このChimairaサイトは、僕（檜山）が書いた記事（HTML文書）の置き場所です。それ以上の機能を持たせる気は今（2005年初頭）のところありません。理由は「面倒だ」というだけ、単にモノグサなんですね。 記事の追加／変更／削除などの通知は、「はてな」ダイアリーの 「檜山正幸のキマイラ飼育記」で行います。 421 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/08(日) 17:28:07.82 ] >>419 >ディラックのデルタ関数 前にも書いたけれど ”英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる”>>81 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0 日本語版 en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function 英語版 情報量は、圧倒的に英語が豊富 但し、佐藤の超関数は日本の方が多いけど・・・、下記は英語版からのリンク（External links）なんだよね www.osaka-kyoiku.ac.jp/~ashino/pdf/chinaproceedings.pdf The Dirac delta measure is a hyperfunction これは、”Multiwavelets, Pseudodifferential Operators and Microlocal Analysis Ryuichi ASHINO, Christopher HEIL, Michihiro NAGASE and R´emi VAILLANCOURT” で画像のWavelet Analysisに佐藤のMicrolocal Analysisを応用しようという（2001年ころの論文みたいだね） 追伸 Conclusionを書くべきだな、どんな小論文でも いや、言いたかったのは、昔岩波の数学辞典をよく読んだけど、いまならja.wikipediaとかen.wikipediaとかへ行って、落とせる論文を落として読むなんてのが楽しいね・・

---

---

[ 続きを読む ] / [ 携帯版 ]

read.cgi ver5.27 [feat.BBS2 +1.6] / e.0.2 (02/09/03) / eucaly.net products.
担当:undef