- 412 名前：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [2012/04/07(土) 18:51:45.17 ]
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d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20070111/1168508641
2007-01-11 (木) はじめての圏論 第9歩：基本に戻って、圏論感覚を養うハナシとか
●圏もどきと構造付き圏
正統な（あるいは純粋な）圏の定義だけを採用しても、圏の例はものすごくたくさんあります。しかし、実際的応用を考えると、圏と似てるがわずかに違う“圏もどき”や、圏にさらに別な構造が乗った“構造付き圏”に慣れておくべきだと思います。
例えば、恒等射の存在が保証されない半圏（semicategory）は第6歩で出しています。結合演算が完全には定義できないプレ圏（precategory）とかもあります。
構造付きの圏で一番重要だと思うのは、結合以外の演算（+、×、これらを丸で囲んだ演算記号を使う）を1つ備えたモノイド圏（monoidal category）です。モノイド圏については、「指を使った足し算と interchange law」でわずかに触れています。
他に、アミダの圏は、モノイド圏にできます（アミダクジを“横に並べる”操作がもうひとつの演算です）。
圏を絵に描くとき、対象は点、射は線（矢印）にします。射の線は、対象である点と点のあいだを繋ぎます。では、線と線のあいだを繋ぐ面（あるいは膜）のようなものは考えないのでしょうか？ 考えます！
点（0次元）、線（1次元）、面（2次元）、もっと高次元の構成素を考え、演算も導入します。そうすると、2-圏（2-category）、双圏（bicategory）、二重圏（double category）、一般のn-圏（n-category）などの高次圏（higher (dimensional) category）が出現します。
●まとめ
まとめておきましょう。以下は、僕の個人的な意見と方針ですが：
・重い圏の重要性は否定しないが、軽い圏から出発すべきである。
・具体的な軽い事例を、たくさんいじるべきである。
・具体的な事例とその操作で、圏論感覚を養うべきである。それは、掛け算九九の暗記や筆算の練習みたいなものである。
・論理と圏論の関係に注目するのも良いことだ（やや趣味的意見）。
・応用の都合により、半圏やプレ圏を使うことに躊躇する必要はない。
・モノイド圏は重要だ。早めに触れるべし。
・必要があれば（なんなら必要が無くても衒学＜げんがく＞的に:-)）、高次圏も学べ、使え。
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