代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 262 名前：208 [2005/12/08(木) 16:54:47 ] 命題 環 A 上の階数１の射影加群 P, Q のテンソル積 P(x)Q は階数１の射影加群加群である。 証明 >>261 とその証明より明らか。 263 名前：208 [2005/12/08(木) 17:05:58 ] 命題 環 A 上の階数１の射影加群 P に対して Hom(P, A) も階数１の射影加群である。 証明 p を A の素イデアルとする。 >>212 より、f ∈ A - p が存在し P_f は A_f-加群として A_f と 同型である。P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。 よって、>>223 より Hom(P, A)_f = Hom(P_f, A_f) となる。 Hom(P_f, A_f) は Hom(A_f, A_f) = A_f に同型だから、 >>236 より Hom(P, A) は階数１の射影加群である。 証明終 264 名前：208 [2005/12/08(木) 17:41:06 ] 補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が単射なら、φも単射である。 証明 Ker(φ) = K とおく。 完全列 0 → K → M → N より、完全列 0 → K_m → M_m → N_m が得られる。 M_m → N_m は単射だから K_m = 0 となる。 よって、>>224 より K = 0 である。 証明終 265 名前：208 [2005/12/08(木) 17:42:19 ] 補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が全射なら、φも全射である。 証明 >>264 と同様。 266 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:46:05 ] ヴェイユ全集もってないくせに 267 名前：208 [2005/12/08(木) 17:47:56 ] 補題 A を環とする。 φ: M → N を A-加群の射とする。 A の各極大イデアル m に対して φ_m: M_m → N_m が同型なら、φも同型である。 証明 >>264 と >>265 より。 268 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 17:51:56 ] ねえねえねえどうしてヴェイユ全集もってないの？ 269 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:00:27 ] お金はあったでしょ 270 名前：208 [2005/12/08(木) 18:04:25 ] 命題 環 A 上の階数１の射影加群 P に対して Hom(P, A)(x)P は A-加群として A に標準的に同型である。 証明 u ∈ Hom(P, A), x ∈ P に対して u(x) ∈ A を対応させる ことにより、標準射 φ: Hom(P, A)(x)P → A が得られる。 よって、A_m をテンソル積することにより φ_m: Hom(P, A)_m(x)P_m → A_m が得られる。 P は射影加群だから >>190 より有限表示を持つ。 よって、>>223 より Hom(P, A)_m = Hom(P_m, A_m) となる。 P_m = A_m だから、φ_m は同型である。 よって、>>267 より Hom(P, A)(x)P → A は同型である。 証明終 271 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:13:34 ] 志村先生すき？ 272 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 18:34:05 ] 五郎ちゃんって呼んで 273 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/08(木) 21:39:14 ] 208の性格が悪いから、ここまで粘着されるんだろうな。 70 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/11/25(金) 11:05:15 勉強も大切だが、心も磨けよ 72 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/11/25(金) 11:07:12 >>70 やだ 274 名前：208 [2005/12/09(金) 11:35:17 ] 環付空間の射 f:X → Y があるとする。 Y 上の可逆層 L~ に f による引き戻し f^*(L~) を対応させる ことにより、アーベル群の射 Pic(Y) → Pic(X) が得られる。 これにより、X → Pic(X) は環付空間の圏からアーベル群の圏への 反変関手になる。 このことを、可換環の圏において翻訳しよう。 275 名前：208 [2005/12/09(金) 11:52:17 ] 命題 A を環、 B を A-代数とする。 P を A 上の階数１の射影加群とすると、P(x)B は B 上の階数１の射影加群である。 証明 φ: A → B を構造射とする。 >>207 より P(x)B は B-加群として射影的である。 q を B の素イデアルとし、p ∈ Spec(A) を q の逆像 φ^(-1)(q) とする。 (P(x)B)_q = (P(x)B)(x)B_q = P(x)B_q = (P(x)A_p)(x)B_q = (P_p)(x)B_q = A_p(x)B_q = B_q よって、P(x)B は射影加群として階数１である。 証明終 276 名前：208 [2005/12/09(金) 11:56:22 ] >>275 よりアーベル群の射 Pic(A) → Pic(B) が得られ、 A → Pic(A) が可換環の圏からアーベル群の圏への共変関手になる ことは明らかだろう。 277 名前：208 [2005/12/09(金) 15:25:51 ] 可換環のPicard群は、ある程度その環の複雑性を反映している。 例えば、局所環のPicard群は、>>191 より自明である。 同様に以下に示すように半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)の Picard群も自明である。 まず、環が体の有限個の直和となる場合に、これを示す。 278 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 15:44:33 ] 示さなくともよろしい 279 名前：208 [2005/12/09(金) 16:10:54 ] 定義 A を環とする。A が極小イデアルの有限個の直和となるとき A を (可換な)半単純環と呼ぶ。明らかにこれは、A が環として体の有限個の 直和になることと同値である。 280 名前：208 [2005/12/09(金) 16:30:02 ] 命題 A を半単純環とし、M を単純 A-加群とする(前スレの253)。 M は A の極小イデアルのひとつに同型である。 証明 A = I_1 + ... I_n を A の極小イデアルの直和とする。 x を M の 0 でない元とする。M の単純性より、M = Ax である。 よって、 M = (I_1)x + ... + (I_n)x となる。 よって、(I_k)x ≠ 0 となる k がある。 M の単純性より、M = (I_k)x である。 A-加群としての射 φ: I_k → M を φ(a) = ax により定義する。 Ker(φ) = I_k では有り得ないから、I_k の極小性より Ker(φ) = 0 である。よって、M は I_k と同型である。 証明終 281 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 16:32:37 ] 最近めっぽう寒くなってきたね。 そんな代数幾何。 282 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:40:06 ] だからウォームアップをしてるんだろう 283 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:43:35 ] ああヴェイユ先生がみたら嘆くなあ 284 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 16:44:31 ] >>281 ニューカレドニアからは何時帰ってきたんだ 285 名前：208 [2005/12/09(金) 17:01:50 ] 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の和となるとする。 このとき、M はこれらの単純部分加群の一部または全ての直和となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (単なる和)で、各 M_i は単純とする。 各 M_i は相異なると仮定してよい。 M = M_1 ならこの場合は証明が終わるから、M ≠ M_1 と仮定してよい。 M_1 ∩ M_2 ≠ 0 なら M_1 = M_2 だから M_1 ∩ M_2 = 0 である。よって M_1 + M_2 は直和である。 M = M_1 + M_2 ならこの場合は証明が終わる。 よって、M ≠ M_1 + M_2 と仮定する。 (M_1 + M_2) ∩ M_k ≠ 0 が全ての k > 2 で成立つなら、 M_k ⊂ M_1 + M_2 となり、M = M_1 + M_2 となって仮定に反する。 よって、(M_1 + M_2) ∩ M_k = 0 となる k がある。 k = 3 と仮定してよい。よって M_1 + M_2 + M_3 は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 286 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:28:26 ] 優拳固にする必要はなかろう 287 名前：208 [2005/12/09(金) 17:32:28 ] おまえらクズどもが荒らすのをやめるまで、しばらく書き込むのをやめるぞ。 蛆虫どもめ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! 288 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:33:40 ] 政界も財界も官界も数学界も建築界も どこもかしこも腐りきっている 先祖を大事にしろ？！ やす国の英霊をたてまつれ？！ 馬鹿いうんじゃねえ こんな腐った日本をつくって それを俺たちに押しつけている連中に なんの感謝の必要がある？ 289 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:35:50 ] >しばらく書き込むのをやめるぞ。 ネタがなくなったのなら正直にいえばいいのに しばらくどころか金輪際書かなくても どうせ誰も惜しまない内容だよね 290 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:37:14 ] 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 291 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 17:53:35 ] 695 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/12/09(金) 09:58:35 崩れだとかボスだとか公募だとか関係ないスレまで進出してきてウザイ ここで引き取って貰えませんか？ 292 名前：208 [2005/12/09(金) 18:00:47 ] 補題 A を環とし、M を A-加群とする。 M が有限個の単純部分加群の直和となるとする。 N を M の任意の部分加群とすると、N は M の直和因子となる。 証明 M = M_1 + ... + M_n (直和)で、各 M_i は単純とする。 M ≠ N と仮定してよい。 各 k で N ∩ M_k ≠ 0 なら N ∩ M_k = M_k 即ち M_k ⊂ N となって M = N となるから、N ∩ M_k = 0 となる k がある。k_1 はこのような k の最小値とする。N + M_(k_1) は直和である。M ≠ N + M_(k_1) なら 同様にして、(N + M_(k_1) ∩ M_(k_2) = 0 となる k_2 がある。 よって、N + M_(k_1) + M_(k_2) は直和である。 以下、これを繰り返せばよい。 証明終 293 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:30 ] 208復活おめ。 少なくとも俺は、このスレを楽しみにしているよ！ 294 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:06:45 ] 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 優拳固にする必要はなかろう 295 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:07:24 ] >>1 > 前スレ > science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 前スレが見られないのですが、誰か保存していないでしょうか？ 296 名前：208 [2005/12/09(金) 18:10:04 ] >>292 において N は M/(M_(k_1) + M_(k_2) + ...) に同型だから N も、M_iの１つと同型な単純加群の直和となることが分かる。 297 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:12:18 ] ブルバキの劣化コピーか 298 名前：208 [2005/12/09(金) 18:12:57 ] >>293 復活もなにも、そもそも >>287 は俺じゃない。 299 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:13:55 ] ブルバキの劣化コピー！ 300 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:14:53 ] 前スレのログきぼん 301 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 18:15:13 ] そうだおれはおれじゃない じゃあおれはだれだ 302 名前：208 [2005/12/09(金) 18:17:28 ] 性格が悪いだけじゃないぞ。 303 名前：208 [2005/12/09(金) 18:19:00 ] 復活して脳内大学で講義する雄姿を見よ。 304 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/09(金) 18:24:47 ] サボり龍の入れ墨した森毅が啖呵を決める「どっちでもええんちゃう」 305 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:31:36 ] >>304 それ、どんな龍や、ちゅうねん。ほな、さいなら〜〜。 306 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 18:44:09 ] >>298 見苦しいぞ。 そうまでして勝ちたいか！ 307 名前：208 [2005/12/09(金) 18:47:44 ] パプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。 308 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:00:18 ] 劣化コピー烈火の如く怒るブルバキ 309 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:03:58 ] 月曜までにこのスレがなくなったら驚くな。 310 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/09(金) 19:05:30 ] なぜベストを尽くさないのか！ 311 名前：208 mailto:sage [2005/12/09(金) 20:09:19 ] 俺は king だ。 king 氏ね。 312 名前：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w [2005/12/09(金) 20:15:23 ] talk:>>311 お前に何が分かるというのか？ 313 名前：208 mailto:sage [2005/12/10(土) 02:54:49 ] そんな事より、ちょいと聞いてくれよ。問題とあんま関係ないけどさ。 このあいだ、近所の吉野家行ったんです。吉野家。 そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで座れないんです。 で、よく見たらなんか垂れ幕下がってて、１５０円引き、とか書いてあるんです。 もうね、アホかと。馬鹿かと。 お前らな、１５０円引き如きで普段来てない吉野家に来てんじゃねーよ、ボケが。 １５０円だよ、１５０円。 なんか親子連れとかもいるし。一家４人で吉野家か。おめでてーな。 よーしパパ特盛頼んじゃうぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。 お前らな、１５０円やるからその席空けろと。 吉野家ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。 Ｕの字テーブルの向かいに座った奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、 刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。 で、やっと座れたかと思ったら、隣の奴が、大盛つゆだくで、とか言ってるんです。 そこでまたぶち切れですよ。 あのな、つゆだくなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。 得意げな顔して何が、つゆだくで、だ。 お前は本当につゆだくを食いたいのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。 お前、つゆだくって言いたいだけちゃうんかと。king 氏ね。 吉野家通の俺から言わせてもらえば今、吉野家通の間での最新流行はやっぱり、 ねぎだく、これだね。 大盛りねぎだくギョク。これが通の頼み方。 ねぎだくってのはねぎが多めに入ってる。そん代わり肉が少なめ。これ。 で、それに大盛りギョク（玉子）。これ最強。 しかしこれを頼むと次から店員にマークされるという危険も伴う、諸刃の剣。 素人にはお薦め出来ない。 まあお前らド素人は、牛鮭定食でも食ってなさいってこった。 314 名前：208 [2005/12/10(土) 03:30:28 ] >>313 208は下げないぞ！ 偽者め！ いい加減に荒らすのをやめろ！ 315 名前：208 [2005/12/10(土) 03:59:13 ] >>313 そうだ！荒らすんじゃない！この偽物め！ 316 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 10:06:53 ] >>295 保存してるけど、どうやって見せたらいい？ メールは悪いけど勘弁して。 317 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 15:20:55 ] 今日はまだ現われませんか 本物も偽物も 318 名前：208 [2005/12/12(月) 16:09:57 ] >>313 なつかしいな。特盛り食いたくなったｗ 319 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:11:47 ] >>316 連投規制にひっかからないように、 この刷れに貼付ければ？ 320 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 16:14:15 ] >>316 期待しています。 321 名前：208 [2005/12/12(月) 16:20:17 ] このスレに貼付けるのやめてよ。別スレ立てるとかにして 322 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:26:28 ] 今日の授業はどう？ 323 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 16:28:01 ] バカ田大学をなめるなよ。 324 名前：208 [2005/12/12(月) 17:02:38 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 m_i は極大イデアルであり、A の極大イデアルは これら m_1, ..., m_n のみである。 証明 A/m_i は I_i に同型だから、m_i は極大である。 J を A の極大イデアルとする。 I_i が J に含まれないとする。I_i ∩ J ≠ 0 なら I_i の極小性から I_i ∩ J = I_i となって矛盾。 よって I_i ∩ J = 0 であり、I_i + J は直和である。 J は極大イデアルだから、 A = I_i + J となる。 j ≠ i で I_j が J に含まれないとすると、 同様に A = I_j + J となる。 A = I_j + J の両辺に I_i を掛けると I_i = (I_i)(I_j) + (I_i)J = 0 + 0 = 0 となって矛盾。 よって、J = m_i となる。 証明終 325 名前：208 [2005/12/12(月) 17:10:34 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 >>324 より m_i は極大イデアルであるが、 A_(m_i) は I_i と環として、従って体として同型である。 証明 読者に任す。 326 名前：208 [2005/12/12(月) 17:16:37 ] A_(m_i) ってなんだっけ？ 327 名前：208 [2005/12/12(月) 17:18:55 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 任意の有限生成 A-加群 M は射影的である。 証明 M は有限生成だから、A 上の有限生成自由加群 L と全射 φ: L → M が存在する。Ker(φ) = N とおけば、 0 → N → L → M → 0 は完全である。 >>292 よりこの完全列は分解する。 よって M は自由加群の直和因子となって射影的である(>>186)。 証明終 328 名前：208 [2005/12/12(月) 17:20:42 ] A_(m_i) の意味を教えてくれ 329 名前：208 [2005/12/12(月) 17:21:37 ] >>326 A の極大イデアル m_i による局所化。 俺の ID を使うなよ。 330 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 17:24:07 ] だんだん劣化してきてるなあ 331 名前：208 [2005/12/12(月) 17:26:45 ] talk:>>329 お前誰だよ？ 332 名前：208 [2005/12/12(月) 17:30:44 ] >>327 >>>292 よりこの完全列は分解する。 M が有限個の単純部分加群の直和となることは >>285 より 明らかだろう。 333 名前：208 [2005/12/12(月) 17:36:29 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 M = e_1M + ... + e_nM (直和)となる。 各 e_iM は e_iM ≠ 0 なら I_i と同型な単純部分加群の直和となる。 証明 読者に任す。 334 名前：208 [2005/12/12(月) 17:41:10 ] いいかここに書き込むのは208だけだ。 335 名前：208 [2005/12/12(月) 17:42:01 ] どんどん劣化してきてるなあ 336 名前：208 [2005/12/12(月) 17:43:08 ] talk:>>335 お前に何が分かるというのか？ 337 名前：208 [2005/12/12(月) 17:49:23 ] ずんずん劣化してきてるなあ 338 名前：208 [2005/12/12(月) 17:50:27 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 A = I_1 + .. + I_n を極小イデアルによる直和とする。 1 = e_1 + ... e_n で各 e_i ∈ I_i とする。 M を有限生成 A-加群とする。 m_i を I_j, j ≠ i の直和とする。 >>324 より m_i は極大イデアルであり、>>325 より A_(m_i) は I_i と同型な体である。 M_(m_i) の 体 A_(m_i) 上のベクトル空間としての次元を n_i とする。 このとき、e_iM は I_i と同型な単純部分加群の n_i 個の直和と になる。 証明 >>333 を使う。詳細は読者に任す。 339 名前：208 [2005/12/12(月) 17:53:12 ] 無意味な繰り返しだなあ 340 名前：208 [2005/12/12(月) 17:57:25 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 M は階数 n の自由加群である。 証明 >>338 より明らか。 341 名前：208 [2005/12/12(月) 18:00:24 ] えー可換なのか 342 名前：208 [2005/12/12(月) 18:01:16 ] 命題 A を半単純環(>>279)とする。 Pic(A) = 0 である。 証明 >>340 より。 343 名前：208 [2005/12/12(月) 18:04:57 ] 可換かい。 だるいことやっとるのお。 344 名前：208 [2005/12/12(月) 18:10:30 ] もっとちゃんとしたこと可換かい。 345 名前：208 mailto:sage2008 [2005/12/12(月) 18:15:56 ] ほんまやね。 346 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:21:09 ] お前ら、俺にかまってほしいんだろ。 ひょっとして俺に惚れてるとかｗ 気持ち悪いな。 シッシッ、あっちいけよ、寄ってくるな。 347 名前：208 [2005/12/12(月) 18:23:35 ] こら偽者。 348 名前：208 [2005/12/12(月) 18:25:37 ] 大文字犬文字太文字 349 名前：208 [2005/12/12(月) 18:26:11 ] どれだ？ 350 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 18:29:53 ] 文字犬 351 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 19:16:03 ] >>341 >>343 予備知識として可換代数をやるって前スレでもこのスレでも 何度も言ってるだろ。それに、特に断らなければ環は可換と 仮定するとも。お前らこそ、だるいんだよ。 352 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/12(月) 20:58:31 ] 　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　! 　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ 　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ 　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ! 　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ 　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/ 　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､ 　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿ ハッハッハ！　見ろ！ Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ 353 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/12(月) 22:47:37 ] >>316 横レスだがうｐローダ使うとか 354 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 00:49:52 ] >>352 あらすな、ボケェ！！！！！ 355 名前：208 [2005/12/13(火) 09:58:48 ] 命題 A を環とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とする。 B を A-代数としたとき、M(x)B も階数 n の射影加群である。 証明 >>207 より M(x)B は B-加群として射影的である。 φ: A → B を構造射とする。 q を B の素イデアルとし、p = φ^(-1)(q) を q の逆像とする。 (M(x)B)(x)B_q = M(x)B_q = (M(x)A_p)(x)B_q = (A_p)^n(x)B_q = (B_q)^n よって、rank(M(x)B)_q = n 証明終 356 名前：208 [2005/12/13(火) 10:01:09 ] M(x)って何？ 357 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/13(火) 10:05:25 ] 答えてほしけりゃ俺のＩＤを使うな 358 名前：208 [2005/12/13(火) 10:14:15 ] 命題 A を半局所環(極大イデアルが有限個しかない環)とする。 M を A 上の階数 n(>>253) の射影加群とすると、 M は自由である。 証明 A の Jacobson 根基(前スレの238)、つまり A のすべての極大イデアルの 共通集合を I とする。 B = A/I は半単純環(>>279)である。 M(x)B は >>355 より B 上の階数 n の射影加群である。 よって >>340 より M(x)B = M/IM は B 上の階数 n の自由加群である。 M は射影加群だから A-加群として平坦である。 よって、>>182 の証明と同様にすればよい。 証明終 359 名前：208 [2005/12/13(火) 10:15:19 ] 俺は自由だ 360 名前：208 [2005/12/13(火) 11:25:12 ] 環 A のPicard群 の層を使わない定義をまだしていなかった。 定義 A を環とする。A 上の階数１の射影加群の同型類はテンソル積 によりアーベル群となる(>>262, >>263, >>270)。 これを A の Picard群と呼び Pic(A) と書く。 361 名前：208 [2005/12/13(火) 11:26:01 ] 命題 半局所環の Picard群は 0 である。 証明 >>358 より明らか。 362 名前：208 [2005/12/13(火) 11:29:15 ] 定義 A を環とし、A の非零因子全体の集合を S とする。 A の S による局所化 A_S を A の全商環と呼ぶ。

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