代数的整数論 II

1 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/22(火) 16:08:30 ] さぁ、好きなだけ語れ。 シロート厳禁、質問歓迎！ 前スレ science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231 116 名前：208 [2005/11/29(火) 10:40:41 ] >>102 の 5) は不要だった。別にあってもいいが。 117 名前：208 [2005/11/29(火) 10:48:46 ] >>98 の定理を再度述べる。 定理 A を単項イデアル整域とする。 X を A の元を成分とする (m, n)型の 行列とする。 可逆な正方行列 U と V が存在して、UXV が対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。 証明 >>115 と min(m, n) に関する帰納法を使えばよい。 118 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 12:01:28 ] >>114 温故知新 119 名前：208 [2005/11/29(火) 13:10:27 ] 前にも書いたけど>>117 の証明方法はあまり知られていない (A がユークリッド整域ならあれに似た方法は良く知られている)。 普通は、単項イデアル整域上の有限生成自由加群の部分加群の 基底に関する定理(後で述べる)を構成的でない方法で証明して、 その系として得る。 一般の単項イデアル整域では２元の最大公約元を求めるアルゴリズム があるとは限らないから、あの証明も構成的とはいえない。 しかし、ユークリッド整域なら最大公約元公約元を求める アルゴリズムがあるし(即ちユークリッドの互除法)、 例えば、２次の代数体の整数環でその体の類数が１ならそれが ユークリッド整域でなくても最大公約元を求めるアルゴリズムはある。 何故なら２次体ではイデアルの素イデアル分解を求めるアルゴリズムが あるから(高木の初等整数論)、類数が１なら素元分解のアルゴリズムが あることになる。素元分解出来れば、当然、最大公約元公約元も 求められる。この場合、あの証明は行列の(あの定理のような)対角化の アルゴリズムを与えていることになる。 120 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 14:13:06 ] >>118 >>107 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！ 121 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 14:17:24 ] 予備校の仕事大変そうだな 122 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 18:11:31 ] 80 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/25(金) 14:47:42 お前等が叩いたつもりになってるだけだろ。 お前等のスカスカの脳ミソで俺を叩こうとは、呆れる。 割り算がどうだとかこうだとかｗ ﾐｼﾞﾒﾃﾞｽﾈ 123 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 18:46:14 ] ﾀﾀｶﾚﾃ ﾀﾀｶﾚﾃ ﾎﾞﾛﾎﾞﾛﾆﾅｯﾃﾓ ｷｶﾞﾂｶﾅｲ ｽｶｽｶﾉ脳 124 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/29(火) 18:47:44 ] 割り算は208のﾄﾗｳﾏにﾅﾘﾏｼﾀﾈ 125 名前：１３２人目の素数さん [2005/11/29(火) 22:20:19 ] >>122->>124 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！ 126 名前：208 [2005/11/30(水) 09:30:03 ] >>115 >よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる >ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、 >１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。 >よって初めから X はこの形であると仮定してよい。 念のために補足すると、ここで、暗黙に以下の自明な事実を使っている。 X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、c を A の任意の元 としたとき、x_(i,j) + c x_(1,1) も x_(1,1) で割れない。 127 名前：208 [2005/11/30(水) 10:31:26 ] >>117 の系として 命題 A を単項イデアル整域とする。 L を階数 m の A-自由加群、M をその 0 でない部分加群とする。 L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r および、A の非零元 a_1, ..., a_r で (a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) となるものがあり、 y_1 = a_1f_1 . . . y_r = a_rf_1 となる。 128 名前：208 [2005/11/30(水) 10:42:26 ] >>127 >y_r = a_rf_1 これは y_r = a_rf_r の間違い。 129 名前：208 [2005/11/30(水) 10:43:27 ] >>127 の証明 L の基底を e_1, ..., e_m とする。 x1, ..., x_n を M の生成元とする。 各 j (1 ≦ j ≦ n) に対して x_j = Σx_(i,j)e_i とする。 X = (x_(i,j)) とおく。これは、(m,n)-型の行列である。 上の式を行列記法でまとめて書くと (e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) となる。 >>117 より、可逆行列 U, V があり、UXV は対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] となる(0 は無い可能性もある)。 ここで、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) である。 (e_1, ..., e_m)X = (x_1, ..., x_n) より (e_1, ..., e_m)XV = (x_1, ..., x_n)V となる。 UXV = Y より、XV = U^(-1)Y だから (e_1, ..., e_m)U^(-1)Y = (x_1, ..., x_n)V (f_1, ..., f_m) = (e_1, ..., e_m)U^(-1) (y_1, ..., y_n) = (x_1, ..., x_n)V とおけば (f_1, ..., f_m)Y = (y_1, ..., y_n) となる。 U は可逆だから f_1, ..., f_m は L の基底であり、 V も可逆だから y_1, ..., y_n は M の生成元である。 よって、この命題の主張が出る。 証明終 130 名前：208 [2005/11/30(水) 11:20:39 ] 命題 >>127 の命題のイデアルの列 (a_1), ..., (a_r) は L と M だけで 決まり、L の基底 f_1, ..., f_m と M の生成元 y_1, ..., y_r の取りかたによらない。 (a_1), ..., (a_r) を M の不変因子と呼ぶ。 単元の違いを無視して、a_1, ..., a_r を M の不変因子と呼ぶ こともある。 証明 L/M は L_1/M = (Af_1 + ... + Af_r)/(Aa_1f_1 + ... + Aa_rf_r) と L_2 = Af_(r+1) + ... + Af_m の直和である。 よって、L_1/M は L/M の捩れ部分(前スレの653) t(L_1/M) である。 よって、この命題は、前スレの712から出る。 証明終 131 名前：208 [2005/11/30(水) 11:56:49 ] >>130 の別証明を述べる。 以後、環や代数は特に断らなければ可換とする。 次の補題は前スレにもあるかもしれないが述べておこう。 補題 A を環、B を A-代数、 I を A のイデアルとする。 (A/I)(x)B は標準的に B/IB に A-代数として同型である。 ここで、(A/I)(x)B は A-代数としてのテンソル積。 証明 完全系列 0 → I → A → A/I → 0 より完全系列 I(x)B → A(x)B → (A/I)(x)B → 0 が得られる。 これより明らか。 証明終 132 名前：208 [2005/11/30(水) 12:03:38 ] 補題 A を環、I, J をそのイデアルとする。 (A/I)(x)(A/J) は A/(I + J) と A-代数として同型である。 証明 A/J = B とおけば、>>131 より (A/I)(x)(A/J) = B/IB = (A/J)/((I + J)/J) = A/(I + J) ここで、等号は同型を表す。 証明終 133 名前：208 [2005/11/30(水) 12:26:17 ] 補題 A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとする。 M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。 1 ≦ p ≦ n のとき、 (Λ^p)M = ΣA/I_J (直和) となる。ここで、J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合を走り、I_J は I_k, k ∈ J のイデアル としての和を表す。 証明 前スレの 751 と 844 から ΛM は Λ(A/I_i), i = 1,..,n の 歪テンソル積である。これと >>132 より明らか。 134 名前：208 [2005/11/30(水) 14:53:36 ] 補題 A を環、I_1, ..., I_n をそのイデアルとし、 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n とする。 M を A-加群として A/I_1, ..., A/I_n の直和とする。 1 ≦ p ≦ n のとき、Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) である。 証明 I_1 ⊃ ... ⊃ I_n だから、>>133 の記法で、I_J は I_min(J) である。 一方、一般に A のイデアル I, K に対して 直和 A/I + A/K の 零化イデアル(Annihilator) は I ∩ K である。 よって、ΣA/I_J (直和) の零化イデアルは I_(n-p+1) となる。 よって >>133 より Ann((Λ^p)M) = I_(n-p+1) となる。 証明終 135 名前：208 [2005/11/30(水) 15:18:59 ] >>134 から >>130 の別証が出ることは明らかだろう。 136 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/30(水) 17:52:22 ] 予備校で教えるのに飽きたのかな 137 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/30(水) 18:01:41 ] 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 荒らし荒らし荒らし 138 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/30(水) 18:03:56 ] 外積の使い方がいまいちだね 139 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/11/30(水) 21:46:58 ] > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！ 140 名前：208 [2005/12/01(木) 12:55:25 ] 補題 A を環、n > 0 を整数とし L = A^n を A-自由加群とみる。 L の元 x は縦ベクトルとみなす。 e_1, ..., e_n を L の標準基底とする。 x_1, .., x_p を L の元とする。ここで、1 ≦ p ≦ n である。 x_1 = x_(1,1)e_1 + ... + x_(n,1)e_n . . x_p = x_(1,p)e_1 + ... + x_(n,p)e_n とすると、A の元を要素とする 行列 X = (x_(i,j)) は (n, p)-型になる。 この行列の各列が x_1, .., x_p である。 J を {1, ..., n} の濃度 p の部分集合とし、J の要素を昇順に並べて j_1 < ... < j_p としたとき、 X の小行列 (x_(j_i, k)), j_i ∈ J, 1 ≦ k ≦ p を X_J とおく。 このとき (Λ^p)L において、 x_1Λ...Λx_p = Σdet(X_J) e_(j_1)Λ...Λe_(j_p) となる。ここで J は {1, ..., n} の濃度 p の部分集合全体を動く 証明 外積の交代性(前スレの 744, 746)より明らかだろう。 141 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/01(木) 13:55:55 ] 荒らしども！ ありがたく読ませてもらえ！ まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！ 142 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/01(木) 14:07:26 ] >>141 煽りとしてはおもしろくない バカはこの程度のことしかおもいつかないらしい 143 名前：208 [2005/12/01(木) 16:21:43 ] 補題 A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_n を L の基底とする。 x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。 つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する 座標である。 他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、 x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。 このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。 証明 明らかと思うが、念のために証明しよう。 行列記法を使う。 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)' である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は (a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。 (e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。 よって、 x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)' = (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)' 一方、 x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。 よって、 (b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。 証明終 144 名前：208 [2005/12/01(木) 16:26:21 ] 補題 A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_m を L の基底とする。 M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。 x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。 x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。 他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、 y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。 y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、 Y = (y_(i,j)) とする。 p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。 ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素 の個数を表す。 X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。 det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。 ここで、a_(K,L) は A の元で、 和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で |K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。 145 名前：208 [2005/12/01(木) 16:34:55 ] >>144 の証明 J = {1, ... , p} と仮定する。こうしても一般性を失わない。 x_1, .., x_n は M の生成元だから、 y_1Λ...Λy_p = Σb_(j_1, ..., j_p) x_(j_1)Λ...Λx_(j_p) となる。ここで、b_(j_1, ..., j_p) ∈ A で、和は j_1 < ... < j_p の 組を動く。 >>140 より det(Y_(I,J)) は y_1Λ...Λy_p を L の基底 f_1, ..., f_m で 展開したときの、f_(i_1)Λ...Λf_(i_p) の係数である。 ここで、i_1 <...< i_p は I を構成する元である。 det(X_(K,L)) についても同様のことが言える。 {f_(i_1)Λ...Λf_(i_p)} と {e_(i_1)Λ...Λe_(i_p)} は それぞれ、(Λ^p)L の基底である。 よって、>>143 から >>144 の主張が得られる。 証明終 146 名前：208 [2005/12/01(木) 16:57:54 ] 命題 A を環、X を A の元を要素とする (m,n)-型の行列 U, V をそれぞれ A の元を要素とする m, n 次の可逆行列とする。 Y = UXV とおく。p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 Y の p 次の任意の小行列式は、X の p 次の小行列式の一次結合として 表される。 証明 これは >>144 を行列の言葉で書き直したもの。 147 名前：208 [2005/12/01(木) 17:04:12 ] >>146 の系 >>146 と同じ条件で、Y の p 次の小行列式全体で生成される A のイデアルは X の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルと 一致する。 証明 Y の p 次の小行列式全体で生成されるイデアルを I_p(Y) とおく。 同様に、I_p(X) も定義する。 >>146 より、I_p(Y) ⊂ I_p(X) である。 Y = UXV より、 X = U^(-1)YV^(-1) となるから、 再び >>146 より I_p(X) ⊂ I_p(Y) である。 証明終 148 名前：208 [2005/12/01(木) 18:52:11 ] >>98 の定理において 1 ≦ p ≦ r のとき 対角行列 Y = [a_1, ..., a_r, 0,..., 0] の p次小行列式全体の 最大公約元は、(a_1) ⊃ ... ⊃ (a_r) に注意すれば a_1...a_p であることがわかる。 よって、>>147 より δ_p = a_1...a_p は X の p次小行列式全体の最大公約元であることが分かる。 δ_p を X の p-次の行列式因子と呼ぶ。 a_p = δ_p/δ_(p-1) となる(δ_0 = 1 とする)。 よって、a_1, ..., a_r は 行列 X により単元の違いを除いて 一意に決まる。 a_1, ..., a_r を 行列 X の単因子と呼ぶ。 149 名前：208 [2005/12/01(木) 19:06:59 ] >>148 によっても >>130 の別証が得られるが、これは本質的には >>134 を使った証明と同じだろう。 150 名前：208 [2005/12/01(木) 19:19:44 ] >>148 が単因子の由来だろう。つまり、行列式因子 δ_p の因子 ということで。 151 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/01(木) 19:28:11 ] >>150 「単」が付いているのは？ 152 名前：208 [2005/12/02(金) 12:24:51 ] 補題 A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。 C = A×B とおく。 C は A と B の環としての直積である。 このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。 証明 α: A → C を標準射とする。 α(x) = (x, 0) である。 β: B → C を標準射とする。 β(x) = (0, x) である。 I = α(A), J = β(B) とおく。 I, J は C のイデアルで C = I + J I ∩ J = 0 となる。 よって、 Spec(C) = V(I) ∪ V(J) V(I) ∩ V(J) = φ となる。 I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。 よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。 V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。 証明終 153 名前：208 [2005/12/02(金) 12:25:38 ] >>151 各 a_i は Y の１次の行列式だし、δ_pはｐ次の行列式だから。 つまり、 a_i は１次⇔単 δ_pはｐ次⇔複 (p > 1 のとき) 154 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/02(金) 13:39:48 ] >>153 あほ 155 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/02(金) 13:47:21 ] 質問者に言えよ。 つまらん質問にはつまらん答えしか返らない 156 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/02(金) 13:49:10 ] >つまらん質問にはつまらん答えしか返らない あほの二乗 157 名前：208 [2005/12/02(金) 15:41:03 ] 補題 A を環、そのベキ零元根基 Nil(A) が素イデアルなら A は 非自明な環の直積に分解されない。 つまり、 A = B×C, B ≠ 0, C ≠ 0 となる環 B, C は存在しない。 証明 前スレの 208 より Spec(A) は既約であるから、連結でもある。 よって >>152 よりわかる。 158 名前：208 [2005/12/02(金) 15:53:50 ] 定義 A を環、M ≠ 0 を A-加群とする。 M が非自明な部分加群の直和にならないとき、M を直既約加群という。 つまり、M = N + L (直和) となる部分加群 N ≠ 0, L ≠ 0 が存在 しないことをいう。 159 名前：208 [2005/12/02(金) 16:54:52 ] A を単項イデアル整域、M を A 上有限生成の捩れ加群とすると、 前スレの 709, 710 より、 M は A/(p^k) の形の加群の有限個の直和となる。 ここで、p は A の素元である。 各 A/(p^k) は >>157 より A-加群として直既約である。 前スレの 709 より M のこの分解は同型を除いて一意である。 このことは、Krull-Remak-Schmidt の定理からも分かる。 Krull-Remak-Schmidt の定理 A を環、M を 長さ有限(前スレの288)の A-加群とする。 M は直既約な部分加群の有限個の直和になる。 さらに、この分解は同型を除いて一意的である。 証明 ちょっと程度の高い代数額の教科書には載っているはず。 例えば、古いが、秋月-鈴木の高等代数学Ｉ。 Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。 160 名前：208 [2005/12/02(金) 17:04:32 ] 単因子論はこのへんで終わりにする。 欲をいうと >>127 の命題の非構成的証明をしたいところだけど ちょっと飽きてきたｗ 161 名前：208 [2005/12/02(金) 17:11:33 ] 次は、可換環のPicard群や因子類群について述べる。 スキーム論の初歩を仮定する箇所もあるけど、スキーム論を知らない人 は読み飛ばしてかまわない。知らなくてもこのシリーズで扱う 代数的整数論の大筋には影響ない。 162 名前：208 [2005/12/02(金) 17:29:33 ] >>152 の逆が言えることを忘れていた。 証明には、スキーム論の初歩を仮定する。 スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。 補題 X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。 X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。 証明 X は連結でないから、 X = U ∪ V U ∩ V = φ となる空でない開集合 U, V が存在する。 e_1 ∈ Γ(X, O_X) を e_1|U = 1 e_1|V = 0 となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で あることから分かる。 同様に e_2 ∈ Γ(X, O_X) を e_2|U = 0 e_2|V = 1 で定義する。 この e_1 と e_2 が求めるもの。 証明終 163 名前：208 [2005/12/02(金) 17:38:04 ] 命題 A を環で、Spec(A) は連結でないとする。 このとき、A = B×C となる非自明な環 B, C がある。 証明 >>162 より A の非零元 e_1, e_2 で (e_1)^2 = e_1 (e_2)^2 = e_2 (e_1)(e_2) = 0 1 = e_1 + e_2 となるものが存在する。 Ae_1, Ae_2 は部分環で A = Ae_1 × Ae_2 となる。 証明終 164 名前：208 [2005/12/02(金) 17:41:12 ] >>163のスキーム論を使わない証明って出来るのかな？ 165 名前：208 [2005/12/02(金) 17:49:37 ] >>163 >Ae_1, Ae_2 は部分環で Ae_1, Ae_2 は環となり 166 名前：208 [2005/12/02(金) 17:53:54 ] >>165 を補足すると、このスレでは部分環というのは常に 親の環と単位元を共有するものと仮定している。 だから Ae_1, Ae_2 は A の部分環ではない。 167 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/02(金) 19:08:55 ] ﾅﾆをｶｷﾂﾊﾞﾀ 168 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/02(金) 19:36:25 ] 有限体上の楕円曲線からリーマン麺を作る棚 169 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/02(金) 19:45:18 ] >>167 > 荒らしは黙ってろ！ > ここは208様の神聖なるチラシの裏だ！ > お前ら下賎の者が寝言を書き込めるほど敷居は低くないぞ！ > 落ちこぼれダンボーラー予備軍がぁ！！ > 荒らしども！ > ありがたく読ませてもらえ！ > まっ、お前らクズどもには理解できないだろうがな！ 170 名前：208 [2005/12/05(月) 09:28:25 ] Hilbertは代数体の３基本定理として以下のものを挙げている。 1) 主整環がDedekind整域となる。 2) Dirichletの単数定理 3) Dedekindのゼータ関数を使った類数公式 これに 4)Dedekindの判別定理 を追加したいところ。 これ等を述べるのがまず当面の目標だ。 今、ちょっと迷っているのは、これ等の証明に絞って 最短距離で行こうかどうかということ。 今までのように悠長にやってると途中で飽きてくる恐れがあるｗ 171 名前：208 [2005/12/05(月) 09:42:48 ] 話は前後するけど、前スレとこのスレの単因子論はBourbakiのコピー ではない。 主定理(>>117)の証明は、Bourbakiにはない。 前スレの690, 709も単因子論の基本定理だけど、その証明もBoubakiにはない。 172 名前：208 [2005/12/05(月) 09:49:49 ] >>171 >その証明もBoubakiにはない。 念のために補足すると、Bourbakiには同様の方法を使った証明が ないという意味。当然、別方法による証明はある。 173 名前：208 [2005/12/05(月) 10:10:40 ] >>161 の Picard群に関係してCartier因子の話をしようと思ったけど これを一般のスキーム上に展開するのは結構大変。 EGAの IV-4 の最後の方でやっているように、強有理写像(EGAでは pseudo-morphism)の概念が必要となる。これを扱ってる本は少ない。 174 名前：208 [2005/12/05(月) 10:58:47 ] >>159 >Van der Wearden にもたぶん載ってるだろう。 なかった。LangのAlgebraにはあると聞いた(確かめてない)。 いずれにしろ、あの定理の証明はネットに転がってるはず。 175 名前：208 [2005/12/05(月) 11:07:30 ] >>170 代数体の絶対判別式の絶対値が１とはならないというMinkowskiの 定理も著しい。これの代数的証明ってあるのかな？ 176 名前：206 [2005/12/05(月) 13:39:48 ] 定義 A を環、M を A-加群とする。 完全列 L_1 → L_2 → M → 0 が存在するとき、M を有限表示を持つ加群、または強有限生成という。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。 177 名前：206 [2005/12/05(月) 13:53:01 ] 補題 A を環、 A-加群の完全列 0 → K → M → N → 0 において、K, N が有限生成なら M も有限生成である。 証明 読者に任す。 178 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 14:21:27 ] >>169 いちいち反応するのがかわゆいね 179 名前：206 [2005/12/05(月) 14:21:43 ] 命題 A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。 完全列 0 → K → L → M → 0 において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、 K は有限生成となる。 証明 仮定より、完全列 L_1 → L_2 → M → 0 がある。 ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。 次の可換図式が存在する。 　L_1 → L_2 → M → 0 　　|　　｜　　｜ 　　v　　v　　　v 0 → K → L → M → 0 snake lemma より 0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0 は完全である。 Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。 完全列 L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0 において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。 証明終 180 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 14:27:10 ] >>179 snake lemma については既知と仮定した。それがどういう補題か というのはネットに転がってるだろう。証明はいわゆる diagram chase でほとんど機械的に出来る。 181 名前：208 [2005/12/05(月) 14:46:08 ] 定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = M(x)N が完全のとき M を平坦加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → M(x)E → M(x)F → M(x)G → 0 も完全になること。 182 名前：208 [2005/12/05(月) 15:20:51 ] 命題 A を局所環、M を有限表示を持つ平坦な A-加群とする。 このとき、M は自由である。 証明 A の極大イデアルを m とし、k = A/m とおく。 M/mM = k(x)M の k 上の基底 を x_1 (mod mM), ..., x_n (mod mM) とし、N = Ax_1 + ... + Ax_n とする。 M の任意の元 x は N の元と mod mM で等しいから M = mM + N である。 よって、m(M/N) = (mM + N)/N = M/N となる。 中山の補題(前スレの242)より、M/N = 0 つまり M = N となる。 L = A^n を階数 n の自由加群とし、その基底を e_1, ..., e_n とする。 各 e_i に x_i を対応させる ことにより、A-加群としての全射 f: L → M が得られる。 Ker(f) = K とおく。 次の可換図式において、 　　m(x)K → m(x)L → m(x)M → 0 　　　｜　　　｜　　　　｜ 　　　ｖ　　　ｖ　　　　ｖ 0　→　K　→　L　→　　　M → 0 M は平坦だから、m(x)M → M は単射である(M = A(x)M と見なす)。 よって snake lemma より、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 L → M の定義から、L/mL → M/mM は同型である。 よって K/mK = 0 となる。>>179 より K は有限生成だから、 中山の補題より K = 0 となる。 証明終 183 名前：208 [2005/12/05(月) 15:31:11 ] ホモロジー代数の初歩を既知とすれば、>>182 の別証が 以下のように得られる。 >>182 の完全列 0 → K → L → M → 0 より、Torのホモロジー完全列 → Tor^1(k, M) → k(x)K → k(x)L → k(x)M → 0 が得られるが、M は平坦だから、Tor^1(k, M) = 0 である。 よって、 0 → k(x)K → k(x)L → k(x)Mは完全となる。 つまり、 0 → K/mK → L/mL → M/mM → 0 は完全となる。 これから後は >>182 と同じ。 184 名前：208 [2005/12/05(月) 15:55:55 ] >>181 と同様に、 定義 A を環、M を A-加群とする。 関手 T(N) = Hom(M, N) が完全のとき M を射影加群という。 つまり、A-加群の完全列 0 → E → F → G → 0 に対して 0 → Hom(M, E) → Hom(M, F) → Hom(M, G) → 0 も完全になること。 185 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 15:58:49 ] >勉強も大切だが、心も磨けよ 以下は負け犬の常套句 ・勉強も大切だが、 ・仕事も大切だが、 ・金も大切だが、 ・顔がいくら良くっても... 186 名前：208 [2005/12/05(月) 16:00:34 ] 命題 A を環、M を A-加群とする。 M が射影加群であることは自由加群の直和因子であることと同値である。 証明 よく知られているし簡単なので、読者に任す。 187 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 16:09:18 ] ねえねえバナナとリンゴどっちが好き？ 188 名前：208 [2005/12/05(月) 16:23:32 ] 命題 射影加群は平坦である。 証明 >>186より。 189 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 16:24:41 ] ねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？ 190 名前：208 [2005/12/05(月) 16:25:52 ] 命題 有限生成射影加群は有限表示を持つ。 証明 >>186より明らか。 191 名前：208 [2005/12/05(月) 16:28:18 ] 命題 A を局所環、M をA-加群で有限生成かつ射影的とする。 このとき、M は自由である。 証明 >>188, >>190 と >>182 より出る。 192 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 16:30:42 ] さむいね 193 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:00:17 ] >>192 そうかい。 ぼくはパプアニューギニアにいるから暑くてかなわん。 でも昨夜は南十字星がきれいに見えたよ。 194 名前：208 [2005/12/05(月) 17:02:30 ] ここでは、環 A 上の有限生成射影加群が Spec(A) 上の ベクトルバンドルに対応することを言いたいわけ。 射影加群というのは Cartan-Eilenbergが最初に定義した。 このとき、彼等はこの事実を知っていたかどうか。 勿論、A が体上の有限生成代数という古典的な代数幾何の場合の話。 たぶん、知らなかったのではないか。 SerreのFAC(1955年)では、言及されている。 195 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:05:19 ] そんなバナナ 196 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:11:07 ] ねえねえねえねえバナナとリンゴどっちが好き？ 197 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:12:27 ] (ねえ)^4とかした方がいい。 198 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:32:18 ] ねぇーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー バナナとリンゴどっちがイチゴ？ 199 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 17:47:12 ] 東京タワーと富士山 どっちが東京タワー？ 200 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 17:49:13 ] >>194 ところでアファイン空間上のベクトル束が 自明だというのは、191でAを多項式環に 置き換えた命題になるわけですが、たしか QuillenとSuslinが独立に示した結果でしたね。 これは大分前の話ですが、現在では簡単な証明が知られているのでしょうか？ 201 名前：208 [2005/12/05(月) 17:56:40 ] >>200 Rotmanのホモロジー代数の入門書にその証明が載っている。 202 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/05(月) 18:11:29 ] そうですか。やはりこの辺も進歩しているのですね。 どうもありがとうございます。 203 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 18:31:34 ] パプアニューギニアにはどうやって行ったのですか？ 船ですか？ 204 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/05(月) 19:12:37 ] 426 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/07(日) 10:24:29 >>425 お前最近各所で荒らしまわってる208だな。不快な文調とピントはずれ な論点で有名そうだな。虚数乗法説明してくれるんじゃなかったの かｗｗｗ 英訳が手に入らないor入りにくい書籍や論文なんて山ほどあるだろ。 論文をフランス語で書いてるやつもいっぱいるだろ。いい年した おっさんなんだからさっさと働け！ 205 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 06:05:17 ] Furtwangler.. 206 名前：208 [2005/12/06(火) 09:48:45 ] >>114 >ところで何故今ブルバキなの？　今時はやらないんでしょ？ Bourbakiが扱ってるのは基礎的な部分なんだよ。基礎に流行りも 廃りもない(例外もあるが)。パラダイムが変化しない限り。 Bourbakiは基礎的事項のreferenceとして便利。 すべての命題に丁寧な証明をつけていて自己完結してるからね。 因みに俺が持ってるのは、集合、位相、積分は日本語版(位相の後半は フランス語版も持ってる)、その他は英語版とフランス語版。 それからBourbakiはまだ刊行が続いている(例えば、可換代数)。 207 名前：208 [2005/12/06(火) 11:45:04 ] 補題 A を環、M を 射影的 A-加群とする。 B を A-代数とすると、M(x)B は B-加群として射影的である。 証明 任意の B-加群 E に対して Hom_B(M(x)B, E) = Hom_A(M, E) となる(A-加群としての同型)。ここで、右辺の E は 構造射 A → B により A-加群とみなす。 仮定より、関手 Hom_A(M, *) は完全だから関手 Hom_B(M(x)B, *) も完全となる。よって、M(x)B は射影的である。 証明終 208 名前：208 [2005/12/06(火) 11:53:51 ] 命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して M_p は A_p-加群として自由である。 証明 >>207 と >>191 より。 209 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 15:04:35 ] 大文字焼きひとつください 210 名前：209 [2005/12/06(火) 16:52:56 ] 補題 A を環、M を A 上の有限生成加群とする。 p を A の素イデアルとする。 M_p = 0 なら、f ∈ A - p が存在し、M_f = 0 となる。 証明 M の生成元を x_1, ..., x_n とする。 各 i に対して M_p において x_i/1 = 0 となる。 よって、s_ix_i = 0 となる、s_i ∈ A - p がある。 f = Πs_i とおけばよい。 証明終 211 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 17:10:17 ] >>209 はい。いらっしゃいませ。 Ｓ、Ｌ、Ｍとございますが。 お飲み物はよろしかったでしょうか？ 212 名前：209 [2005/12/06(火) 17:20:06 ] 命題 A を環、M を A 上の有限生成射影加群とする。 A の各素イデアル p に対して f ∈ A - p が存在し M_f は A_f-加群として自由である。 証明 >>208 より M_p は A_p-加群として自由である。 M_p のA_p-自由加群としての基底を x_1/s, ..., x_n/s とする。 ここで、x_i ∈ M, s ∈ A - p である。 >>207より M_f は A_f-加群として自由であるから、 A を A_s, M を M_f で置き換えて、s = 1 と仮定してよい。 L = A^n とし、L の標準基底を e_1, ..., e_n とする。 A-加群としての射 φ: L → M を φ(e_i) = x_i で定義する。 R = Coker(φ) とおく。 完全列 L → M → R → 0 より L_p → M_p → R_p → 0 も完全。 一方、L_p → M_p は同型だから、R_p = 0 となる。 >>210 より、R_g = 0 となる g ∈ A - p が存在する。 よって、L_g → M_g → 0 は完全となる。 再び A を A_g, M を M_g で置き換えて、g = 1 と仮定してよい。 つまり、L → M → 0 は完全となる。 K = Ker(L → M) とおくと、 0 → K → L → M → 0 は完全となる。 >190 より M は有限表示を持つから、>>179 より K は有限生成となる。 0 → K_p → L_p → M_p → 0 は完全だから、K_p = 0 となる。 再び >>210 より K_f = 0 となる f ∈ A - p が存在する。 よって、 0 → L_f → M_f → 0 は完全となる。 証明終 213 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 17:22:28 ] 俺は位相仏語版は全部持ってるぞ 海賊版っぽいけどな 勝ったな。圧倒的に勝った（＠藁ぷ まあそれはおいといてBourbakiってまだ刊行してるにせよ ほとんど停止状態だろ 絶版になってるやつもあるし 214 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 17:32:28 ] >>211 じゃあLで 飲み物は餃子ジュース 215 名前：１３２人目の素数さん [2005/12/06(火) 18:18:41 ] >>214 はい。かしこまりました。（奥へ）大文字焼きＬひとつ入りまーす。 相済みません。餃子ジュースは午前中のみの販売となっております。 焼売ジュースのＬということでよろしいでしょうか？ 穴子はみ出し丼もご一緒にいかがですか。 216 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2005/12/06(火) 18:29:56 ] ええっ餃子ジュースたのしみにしてたのに！ しょうがないな じゃあ焼売ジュースでいいです。 それと穴子よりサソリのほうがいいんだけど サソリも午前中だけ？

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