- 115 名前：208 [2005/11/29(火) 10:37:22 ]
- >>102 の操作 1), 2), 3), 4) と
2次の可逆行列 U と 単位行列 E の直和行列 U (+) E を
X の 左または右に掛ける操作を基本操作と呼ぼう。
基本操作を繰り返すことを X の変形と呼ぶことにする。
補題
A を単項イデアル整域とする。
X = (x_(i,j)) を A の元を成分とする (m, n)型の行列で零行列で
ないとする。 >>106 で定義した s(x_(i,j)) の最小値を s(X) と書く。
s(X) = s(x_(i,j)) となる要素 x_(i,j) をとる。
X の要素で x_(i,j) で割れないものがあると、X を基本操作で変形して
s(Y) < s(X) に出来る。
証明
X の行または列の交換を繰り返して s(x_(1,1)) = s(X)
と仮定してよい。
X の１行目に x_(1,1) で割れないものがあると、
>>106 と >>108 より X を Y に変形して、
s(Y) < s(X) と出来る。同様に、X の１列目にx_(1,1) で割れない
ものがあると、X を Y' に変形して、s(Y') < s(X) と出来る。
よって、X の１行目と１列目の要素がすべて x_(1,1) で割れる
ように変形出来る。>>102 の操作 2) と 4) を使えば、
１行目と１列目の要素が x_(1,1)を除いてすべて 0 に変形出来る。
よって初めから X はこの形であると仮定してよい。
X に x_(1,1) で割れない要素 x_(i,j) があれば、i 行目を 1 行目
に加えて x_(i,j) を 1 行目 の要素に出来る。i 行目の先頭は 0
だから、x_(1,1) は変化しない。よって、X を変形して Y とし、
s(Y) < s(X) に出来る。
証明終
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