- 179 名前：206 [2005/12/05(月) 14:21:43 ]
- 命題
A を環、M を有限表示を持つ A-加群とする。
完全列
0 → K → L → M → 0
において、L は有限生成の A-自由加群とすれば、
K は有限生成となる。
証明
仮定より、完全列
L_1 → L_2 → M → 0
がある。
ここで、L_1, L_2 は有限生成の A-自由加群。
次の可換図式が存在する。
L_1 → L_2 → M → 0
| ｜ ｜
v v v
0 → K → L → M → 0
snake lemma より
0 → Coker(L_1 → K) → Coker(L_2 → L) → 0
は完全である。
Coker(L_2 → L) は有限生成だから、Coker(L_1 → K) も有限生成。
完全列
L_1 → K → Coker(L_1 → K) → 0
において、Im(L_1 → K) は有限生成だから、>>177 より K も有限生成である。
証明終
