- 162 名前：208 [2005/12/02(金) 17:29:33 ]
- >>152 の逆が言えることを忘れていた。
証明には、スキーム論の初歩を仮定する。
スキーム論を知らない人は読み飛ばしてかまわない。
補題
X を(可環)環付き空間, O_X をその構造層とする。
X が連結でないなら、Γ(X, O_X) の非零元 e_1, e_2 で
(e_1)^2 = e_1
(e_2)^2 = e_2
(e_1)(e_2) = 0
1 = e_1 + e_2
となるものが存在する。
証明
X は連結でないから、
X = U ∪ V
U ∩ V = φ
となる空でない開集合 U, V が存在する。
e_1 ∈ Γ(X, O_X) を
e_1|U = 1
e_1|V = 0
となる元とする。このような元の存在と一意性は O_X が層で
あることから分かる。
同様に
e_2 ∈ Γ(X, O_X) を
e_2|U = 0
e_2|V = 1
で定義する。
この e_1 と e_2 が求めるもの。
証明終
