- 143 名前：208 [2005/12/01(木) 16:21:43 ]
- 補題
A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 n のA-自由加群とする。
e_1, ..., e_n を L の基底とする。
x を L の元とし、x = Σ a_i e_i, a_i ∈ A とする。
つまり、(a_1, ..., a_n) は x の 基底 e_1, ..., e_n に関する
座標である。
他方、f_1, ..., f_n を L の別の基底とし、
x = Σ b_i f_i, a_i ∈ A とする。
このとき、各 b_i は a_1, ..., a_n の一次結合で表される。
証明
明らかと思うが、念のために証明しよう。
行列記法を使う。
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
である。ここで、(a_1, ..., a_n)' は転置行列、この場合は
(a_1, ..., a_n) を縦ベクトルにしたものを表す。
(e_1, ..., e_n) = (f_1, ..., f_n)U となる n 次の可逆行列 U がある。
よって、
x = (e_1, ..., e_n)(a_1, ..., a_n)'
= (f_1, ..., f_n)U(a_1, ..., a_n)'
一方、
x = (f_1, ..., f_n)(b_1, ..., b_n)' である。
よって、
(b_1, ..., b_n)' = U(a_1, ..., a_n)' である。
証明終
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