- 152 名前：208 [2005/12/02(金) 12:24:51 ]
- 補題
A, B を環で、A ≠ 0, B ≠ 0 とする。
C = A×B とおく。
C は A と B の環としての直積である。
このとき、Spec(C) (前スレの81)は連結ではない。
証明
α: A → C を標準射とする。
α(x) = (x, 0) である。
β: B → C を標準射とする。
β(x) = (0, x) である。
I = α(A), J = β(B) とおく。
I, J は C のイデアルで
C = I + J
I ∩ J = 0
となる。
よって、
Spec(C) = V(I) ∪ V(J)
V(I) ∩ V(J) = φ
となる。
I ≠ 0, J ≠ 0 だから、C ≠ I, C ≠ J である。
よって、V(I) ≠ φ, V(J) ≠ φ である。
V(I), V(J) は、Spec(C) の閉集合だから Spec(C) は連結でない。
証明終
