補題 A を環、m > 0 を整数とし L を 階数 m のA-自由加群とする。 e_1, ..., e_m を L の基底とする。 M を L の部分加群とし、x_1, .., x_n をその生成元とする。 x_j = Σx_(i,j)e_i, 1 ≦ j ≦ n とする。 x_(i,j) を要素とする行列を X = (x_(i,j)) とする。
他方、f_1, ..., f_m を L の別の基底とし、 y_1, .., y_n を M の別の生成元とする。 y_j = Σy_(i,j)f_i, 1 ≦ j ≦ n とし、 Y = (y_(i,j)) とする。
p を 1 ≦ p ≦ min(m, n) である整数とする。 I ⊂ {1, ... , m}, J ⊂ {1, ... , n} で |I| = |J| = p とする。 ここで、|I|, |J| は、それぞれ I, J の濃度、即ち各集合の要素 の個数を表す。 X から I に対応する行と J に対応する列をとりだして作った p 次の正方行列を X_(I,J) と書く。 Y_(I,J) も同様。
det(Y_(I,J)) = Σa_(K,L)det(X_(K,L)) となる。
ここで、a_(K,L) は A の元で、 和は K ⊂ {1, ... , m}, L ⊂ {1, ... , n} で |K| = |L| = p となる K, L の組 (K, L) 全体を動く。
