★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

1 名前：１３２人目の素数さん [03/11/19 01:07] 理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で 解ける問題を考えてうぷするスレ。 これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。 関連スレへどうぞ 　過去ログ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50 ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問) science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50 　関連スレ 面白い問題おしえて〜な 七問目 science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50 恐ろしく難解な問題をだせ！ science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50 339 名前：１３２人目の素数さん [04/04/07 15:20] age 340 名前：１３２人目の素数さん [04/04/07 17:16] それは確か、ヨハン・ベルヌーイの… 341 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/25 22:59] 609 342 名前：１３２人目の素数さん [04/04/27 00:18] 　　　　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　　／　　　　　　　　　　 　＼　　　　 ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　 　　ヽ　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　 l:::::::::　　　　　＼,, ,,／ 　 　　|　 　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　　　　　　　　　　　　|:::::::::: 　　（●）　 　 （●）　　|　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 　　　　　　　　へ　　 |::::::::::::へ 　 ＼＿＿_／　　　|　＜　面白い問題ﾏﾀﾞｰ？ 　　　　　　　　 ＼＼ ヽ:::::::::::＼＼..　＼／　　　　ノ 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ チン　　　　　　　 ＼＼＼.　　　＼＼　　　　　　　　　　ヽ 　　　チン　　　　　　＼＼/　　　　＼＼　　＿　　　　　　 | 　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　　　　　　＼￣￣￣￣￣￣￣／　 /￣　　 ヽ　　　　/　　＿ 　　　　　　　 ＼回回回回回／￣￣ヽ　　　　　　　　/￣￣／| 　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜 　　　　　　　　　＼＿＿＿／　　　　　 ヽ＿＿＿＿／　　／　 .| 343 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/04/29 15:19] △ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rをとる。△AQR,△BRP,△CPQのうち 少なくとも1つの面積は、△PQRの面積を超えないことを示せ。 >>335どっか間違ってるよ。 344 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/06 00:18] 613 345 名前：１３２人目の素数さん [04/05/20 21:57] 346 名前：１３２人目の素数さん [04/05/20 22:49] 　Lim　(1+1/x)のx乗=eとする。これを用いて次の極限値をもとめてください x→+∞ �@　Lim　(1+ｋ/x)のx乗　　　　x＝ｋy　と変数変換 　　x→+∞ 347 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/21 00:51] e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{K!}で定義する　ただし0!=1である このとき\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}が上で定義したeに収束することを示せ (1+\frac{1}{x})^{x}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdots+\frac{1}{x!}は簡単に示せると思うけど f(x)<(1+\frac{1}{x})^{x}でeに収束するf(x)がなかなか見つからないかと とりあえず現役工房からの出題です 348 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/21 03:32] 二項展開して最初の高々N項目まで取った部分和S_Nを 取ってから順番に∞に飛ばせば良いんじゃなかったっけ？ 漏れが現役工房のとき『微分と積分1』（入門）で勉強して 全然分からなかった覚えがあるけど（ｗ 349 名前：１３２人目の素数さん [04/05/22 00:37] ツマラン、オマイの話は・・・ 350 名前：名無しさん＠お腹いっぱい mailto:age [04/05/22 09:34] 5-2=? 351 名前：１３２人目の素数さん [04/05/24 04:03] 　　　　　‐'7::::::::::::::::::::::::ハ:ﾊ::|ヽ:::;､::::::::::::丶 　　　　 ／::::::::::::::/!i::/|/　 ! ヾ　ﾘハ:|;!､:::::::l 　　　　/´7::::::::::〃|!/_,,、　　 ''"゛_＾`''`‐ly:::ﾄ　　　　　 氏ねばいいと思うよ 　　　 　 /|;ｨ:::::N,､‐'゛_,,.＼　　 ´''""'ヽ　 !;Ｋ 　 　 　 　 ! |ﾊﾄ〈 　,r''"゛　 ,　　　　　　　ﾘｲ)|　　　　 　　 　 　 　 　`y't　　　　 ヽ' 　 　 　 　 /／ 　　　　　　　　 ! ぃ､ 　 　 ､;:=＝ｦ　　 〃　　　　　 　　　　　　　　　｀'' へ、 　 ` ‐ '゜ 　 .ｲ 　　　　　　　　　　　 　 `i;､　　 　 ／ l　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　 　 　 〉　` ‐ ´ 　 l`ヽ 352 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/05/30 17:20] 508 353 名前：１３２人目の素数さん [04/06/07 22:56] 質問です。 友人がFランク大に通ってるんですが、そいつが、数学の宿題を聞くのです。 だけど、そいつは、数学を理解しようとせず、問題を解くための途中式を書くことだけを要求します。 彼は、途中式をみることによって、問題の解きかたを何となくしることによって、テストを乗り切ろうという魂胆らしくて、 きちっとした勉強をする気は全くないようです。本人曰く単位が出ればよいとのことです。 しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの。ついに微分の宿題が出た時、そいつは手も足も出なくなってしまい、 落ち込んで、勉強することも諦めて、どうせ自分は何やっても駄目だからとつぶやくのです。 参考図書を進めても、どうせ読んでもわからないと言って、いじけるばかりで何にもなりません。 一体こういう奴にはどういう対処をしたら良いのでしょうか？ Fランク大には彼のようなタイプは多いと聞きますが、みなさんはこういったタイプの人とあったことがありますか？ 354 名前：１３２人目の素数さん [04/06/07 23:43] 死ぬべきだと思います。 このストイックな現代社会の中、>>353の友人の様な厨房は生き残れるとでも思っているのでしょうか？ 355 名前：１３２人目の素数さん [04/06/07 23:49] 釣りなのかなあ？ この‘はてい’の部分 >>353 >しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの 356 名前：１３２人目の素数さん [04/06/07 23:50] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ..＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | （・∀・） ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿　　　 |￣￣￣￣ 　　＿＿＿＿ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| （・∀・） ｜　 ∧ 　　 　　　　　| （・∀・） ｜ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|￣　　　　　　<⌒>　　 　 　　　|￣￣￣￣ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧　　　　..　／⌒＼　　　 　　 ∧ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<⌒>　　　　　］皿皿［　　　..　　<⌒> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／⌒＼　　　／ 田 田 ＼ 　.... ／⌒＼　　　　　　　　　　 ジサクジエン王国 　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　］皿皿［、　 _］∩皿皿∩［＿＿］皿皿［、、　　　　　＿＿＿＿ 　　　　　| （・∀・） |　　／三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三 三三 ヽ　| （・∀・） ｜ 　　　　　￣￣￣￣|　　 |＿_|￣田￣田 /￣￣Π . ∩ . 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[04/07/04 00:37] >>353 F ランク大学で勉強しようとするヤツは先ず居ない。 367 名前：１３２人目の素数さん [04/07/26 04:11] 126 368 名前：１３２人目の素数さん [04/07/27 10:28] 126 369 名前：１３２人目の素数さん [04/07/28 18:19] 126 370 名前：１３２人目の素数さん [04/07/29 20:28] >>322 定数が $a, b$ の二つぐらいあって、$(a , b)$ を図示せよ、とかいうくら いの問題なら、20 分くらいかかるかも知れんな。 371 名前：１３２人目の素数さん [04/07/29 20:51] 第６問 体積１の球を適当な平面で切る。 球と平面は必ず交わると仮定したとき（つまり球と平面の交わる確率は１）、 切り口の面積の期待値を求めよ。 372 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/29 21:32] レインボー解答が可能な極悪問題ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!! 373 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/29 22:43] ｆｊでさんざん議論済み 374 名前：１３２人目の素数さん [04/07/29 23:22] >>372 >レインボー解答が可能 って何？ 375 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/29 23:27] 夏厨はすっこんでな。 376 名前：371 [04/07/29 23:39] 誰もわかんねぇの？ くぁｗせｄｒｆｔｇひゅじこｌｐ； くぁｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ； 377 名前：１３２人目の素数さん [04/07/30 00:08] xを0.99999999・・・・とする。 10xは、9.99999999になる。 10x-x＝9 9x＝9 x＝1 あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？ お願いします。 378 名前：１３２人目の素数さん [04/07/30 00:22] 東大05【問４】 xを0.99999999・・・・とする。 10xは、9.99999999になる。 10x-x＝9 9x＝9 x＝1 あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？ これを証明せよ。 379 名前：１３２人目の素数さん [04/07/30 00:23] またですか 380 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/30 01:06] >>371 期待値は不定。なぜならば球と平面の交わり方がどのように 同様に確からしいのか明確でないから。 381 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/30 01:08] >>377 実数の10進展開が一意的でないことが原因であり、 Σ[n=1,∞]9×10^(-n)=1であるから、「合わない」という 発言が間違っている。 382 名前：１３２人目の素数さん mailto:age [04/07/30 16:47] 　∋oノハヽo∈　ﾋｰﾝ!　　　　　　　　　　○月●日 　　 (　;´�D｀;)　　　ﾋｰﾝ! 　　　（　つと）　　　　　　　　　　　　　みんなが　ののに　いったのれす、 　　　 ゝ__@"@∴：:・;:@つ;∴：:・;:　　　　「　あしなんて　かざりです 　　;∴：:・;:　~;；;';@つ:';';；;;：　　　　　　　　　えらいひとには　それが　わからんのです　」 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そういって　のののあんよを　とったのれす・・・・。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あとれ　みんなは、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「　かざりじゃないのよ　あんよは　はっは〜　」 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　って　うたってたのれす。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ののに　あやまってるつもりらったのかな。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　れも　ののは　おへんじれきなかったのれす････。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　いたいれす！いたいれす！　さけんれたから 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ひーん！　ひーん！　ないてたから 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おへんじ　れきなかったのれす････。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おねがいれす　のののあんよさん 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おねがい　ののに　くっついてくらさい・・・・。 383 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/30 23:26] 問題：sin(3°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~ 384 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/30 23:40] {√2(1+√3)(-1+√5)-2(-1+√3)√(5+√5)}/16 385 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/07/31 00:37] 問題2：sin(2°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~ 386 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/02 17:33] リンク切れなので修正しとく。もう一個が見つからない。 natto.2ch.net/math/kako/1000/10005/1000592003.html 387 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/05 22:26] 3x≧y≧2x≧1で、xy-x-yの最小と、そのときのx,yを求めよ。 388 名前：１３２人目の素数さん [04/08/05 22:27] age 389 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/05 23:10] 理解しようと努力しないのは現代風だね もうそういう大学生しかいないということだ 日本も少子高齢化で少ない若者のレベルが下がって ますますボロカスな国になってしまうんだろうなあ 390 名前：１３２人目の素数さん [04/08/06 21:53] kazumi.jdyn.cc/cgi-bin3/stored/up0662.pdf とりあえず、図はかけたのですが、それからサパーリです。 よろしくおねがいします。 391 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/06 21:56] >>390 自作なのに解けないと？ 392 名前：１３２人目の素数さん [04/08/08 08:31] ガイシュツかもしれないけど，こんなのどう？ n,kを0≦k≦nなる整数とする．このとき {n!}/{k!(n-k)!} が整数であることを示せ． もちろんn個のものからk個取り出す組合せだからという「証明」は期待していない． 393 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 13:09] {n!}/{k!(n-k)!}=B(n,k)としたらB(n,k)=B(n-1,k-1)+B(n-1,k)は簡単に 示せるから、B(p,0)=B(p,p)=1(p:整数)を考えれば自明。 394 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/08 21:41] 1) {n!}/{k!(n-k)!} は (1+x)^n のk次の項の係数として得られる。 2) (1+x)^n の係数は整数 おしまい。 395 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 18:57] 【問】 ジョーカーを抜いたトランプ52枚をシャッフルして裏返します． あなたは１枚づつ次めくるカードが赤であるか黒であるかを予想します． 予想が当たった場合そのカードを右側に置き，外れた場合は左側に置きます． あなたは最終的にできるだけ多くのカードが右側に来るように予想します． そのとき，最終的に右側にあるカードの数の期待値を求めよ． 396 名前：395 [04/08/10 19:04] ×カードの数の期待値を求めよ． ○カードの枚数の期待値を求めよ． 397 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 19:33] >>371 図形の対称性から切る平面の向きは一方向のみであると考えても期待値は変わらない。 ここでこの球をx-y-z空間においてx^2+y^2+z^2≦1で表すことにし、 x=0に平行な平面で切ることにする。 するとx=tで切ったときの面積は(1-t^2)π。 ∴求める期待値Ｚは、 Ｚ=∫[0->1](1-t^2)π dx = (2/3)π　// っていうのを回答にする為にはどういう風に問題を書き換えればいいんですかねぇ？ 398 名前：１３２人目の素数さん [04/08/10 19:33] 訂正 dx → dt 399 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/10 21:07] >>397 ＞適当な平面で切る。 ってのを、 「直径AB上にある一点Pを通りABに垂直な平面で切る。 ただしPはAB上に一様に分布するものとする。」 とか変える必要があるね。 400 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 16:17] ４００ 401 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 17:05] 漸化式 a_n={(（n-1)/n）a_(n-1)}^（n-1)/n）, a_1=1がある。 このときlim[n→∞]a_nを求めよ。 402 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:27] >>401 むずいなこれ。０くさいけど。ちがう？ 403 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:28] >>401 まちがった。１くさい。ちがう？ 404 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 17:30] >>401 またまちがった。eくさいだった。逝ってきます。 405 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 18:16] 1/eじゃない？ 406 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 18:45] >>405 正解 407 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 18:57] 同地域を表した１０００分の１の地図ξと５０００分の１の地図ξ’がある。 ξ’をξの地図上にはみ出さないように重ねる時、同じ地点を示す両地図上の点が 一致するような地点が、一つあることを示せ。 地図ξ及びξ’は長方形であるとする。 408 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 19:02] >>407 ･･････あのね･･････ 409 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/08/15 20:16] 縮小写像には唯一つの不動点がある。 410 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 20:32] >>407 ξ’\subspace ξ f：ξ→ξ’：縮小写像 d:ξ×ξ\to R：適当な距離関数　として F(x)=(f(x),x)　と定義すると、Fは連続で、 長方形はコンパクトだから、最大値最小値の定理よりOK 411 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 20:35] d:ξ’×ξ’\to R：適当な距離関数　として F(x)=(d(f(x),x))　と定義すると、Fは連続で ごめんまちがいた。 412 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 20:49] >>411 Fが連続だからどうだっての？最小値が０じゃないとなぜいけない？ 413 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:26] 大学の知識は使わないようにしましょう 414 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:35] 誤爆った。 {x}_{n}＝f({x}_{n-1})とおいて |{x}_{n}-{x}_{m}|≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}+…+{x}_{m}｜ ≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}|+…|{x}_{m+１}-{x}_{m}｜ ≦|f({x}_{n})-f({x}_{n-1})|+…|f({x}_{m+１})-f({x}_{m})｜ だな。すまん。 415 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 21:36] 地球上のある点Aをとりその地点と中心をはさんで反対側の点B がある。 AとB地点における気温が同じであるある点Aは必ずひとつ存在する事を示せ。 416 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 21:38] >>413 ここでそんな制限いらんだろ 417 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/15 22:13] >>415 T(A)=A地点の温度−Aと反対側の地点の温度を考えるのかな？ 418 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 22:18] そうだね。一回答案書いたらノートン先生がまあいいんだが。 f(x)=T(x)-T(-x)と置くと、 f(x)=-f(-x)なので、この間のパスｃを取り f(c(t))に中間地の定理を適用し　これが０になる点が存在する。 419 名前：１３２人目の素数さん [04/08/15 22:32] あっ俺の答案だと温度がTね。 420 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/16 00:56] >>395 これできない。だれか教えて。たぶん予想は｢それまで出たカードが赤、黒同数のときは 任意に予想し、黒が多ければ赤、赤が多ければ黒と予想する。｣という前提だとおもうけど。 とりあえずオレができたのはN=26とおいて つまり(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)のとき次があたる確率は x=yのとき1/2、x>yのときx/(x+y)、x<yのときy/(x+y) で(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)となる確率はC[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N] なので結局期待値は �納x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y) だと思うんだけどこれの計算ができん。鬱･･･方針からしてちがうのかな？ 421 名前：420 mailto:sage [04/08/16 00:57] あ、和の範囲から(x,y)=(0,0)はぬいといてちょ。 422 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 01:01] おしえてアゲ 423 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/16 02:25] おしえてアゲよ永遠に 424 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 02:25] おしえてアゲAgain 425 名前：１３２人目の素数さん [04/08/16 03:01] >>395の出題者さん。せめて答えだけでもかいてくれアゲ 426 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 00:40] >>377 >>378 なぜかというと掛け算は一番低い位から行うものだからです。掛け算の定義です。掛け算の定義にのっとらないとそのようなへんてこりんな答えが出てしまいます。 (０．９９９９９９９.......　の一番低い位などないのですから掛け算が出来ませんよね？） 同じ類の問題で1=2となってしまう有名な問題がありますね？あれは数をXという変数で割ってしまってるからです。X=0のとき定義されてませんでしょ？ ちなみに0.999999999=1を正確に証明するなら等比数列を使わなければなりません。以上、初投稿でした。 427 名前：１３２人目の素数さん [04/08/17 00:46] ０以上９以下の整数をすべて使って、a×bという形で表したとき、その値が最大になるa,bをもとめなさい。ただし、各数字はすべて一度だけつかうものとする。 428 名前：１３２人目の素数さん mailto:96420×87531 [04/08/17 08:57] >>427 オマエはあれか？そんなんを東大生に溶かせるのか？ そんなもん出してる暇があったら>>395の回答教えれ 429 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 01:55] 帰ってきた>>395の答えおしえろアゲ 430 名前：１３２人目の素数さん [04/08/20 02:11] >>395の問題期待値は>>420に書いた通りN=26として 　 �納x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y) 　 であってると思うんだけどこれを一般のNの簡単な式に直すのってどうにも無理くさい と思うんだけど。だとするとしこしこたしてくしかなさそう。もしかして出題ミスなのかな？ 431 名前：１３２人目の素数さん [04/08/27 00:51] 804 432 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/27 06:45] >>395 できたぜ！！ �納x=0,N][y=0,N][(x,y)≠(0,0)]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y) =((n-1/2)C[2n,n]+4^n/2)/C[2n,n] かな？ 433 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 05:16] >>427 素朴に 93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮） と予想してみる 434 名前：433 mailto:sage [04/08/28 05:25] ゴメン嘘． 96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）． それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて 大きい位から順に求めていく事になりそうだが… と云う訳で >>428 出題意図は悪くないと思うよん． 435 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 09:48] 実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。 ∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1 このとき、 |f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2) |f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2) であることを示せ。 436 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 13:32] >>435 これホントに正しい？ 問題は1-x=2tと変数変換して ―― 実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。 4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1 このとき、 |f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2) |f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2) を示せ。 ―― と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n} とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。 コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？ 437 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 13:46] まちごうた。 ∫[0,1]tG(2,2,t)^2dt=1/(2(n+1)^3) になるそうだ。数学辞典まちがってるとかじゃないよね？ 438 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 15:01] うーん。　Problems and Theorems in analysis vol.2　からとってきた問題なんだけど。 書き間違えたかも。コンビネーション使って原文通りに書いてみる。 f(1)≦((n+2)C2)/√2 f(-1)≦ √(((n+2)C2)/2) だそうだが。　この本のP89.104番からの出題。今から解答引っ張ってくるから、 ちょいまて 439 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/08/28 15:14] と思ったら、やたらと長い解答だし 大学入試レベルではないので止め。 気になるんなら、上の問題集を見てくんなまし。 440 名前：１３２人目の素数さん [04/09/01 04:41] >>438>>439 PS か。 その問題だけの回答ではない。 前に証明した事実も使って居る。 441 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 06:41] 341 442 名前：１３２人目の素数さん [04/09/07 18:02] PS は Mics に整数論の問題まで載っていて面白いな。 443 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/07 19:59] >442 唐突に何を？ 解説キボンヌ！ 444 名前：１３２人目の素数さん [04/09/08 22:07] >>443 >>438へのレスだよ。 著者名の頭文字が P & S 445 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 20:20] 【問題】 　　　　　　　　　　　　　　（−１）×（−１）＝１ を証明せよ。 446 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 20:43] aが零元であるとすると、a=a+0=0 a,cがbの負元であるとすると、a=a+0=a+b+c=0+c=c また、負元の定義から、1は-1の負元である。 (-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+((-1)*1-((-1)*1))=((-1)*(-1)+(-1)*1)-((-1)*1) =(-1)*(-1+1)-((-1)*1)=(-1)*0-((-1)*1)=((-1)*0+0)-((-1)*1)=((-1)*0+((-1)*0-((-1)*0)))-((-1)*1) =(((-1)*0+(-1)*0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*(0+0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*0-((-1)*0))-((-1)*1) =0-((-1)*1)=-((-1)*1)=-((-1)*1+0)=-((-1)*1+(1*1-(1*1)))=-(((-1)*1+1*1)-(1*1)) =-((-1+1)*1-(1*1))=-(0*1-(1*1))=-((0*1+0)-(1*1))=-((0*1+(0*1-(0*1)))-(1*1)) =-(((0*1+0*1)-(0*1))-(1*1))=-(((0+0)*1-(0*1))-(1*1))=-((0*1-(0*1))-(1*1))=-(0-(1*1)) =-(-(1*1))=-(-1)=1 447 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 20:46] >>446 一番最後、 　　　　　　　　　−（−１）＝１ って使えないでしょ。 448 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:01] Re:>447 上の方に書いてある説明が読めないか？ 449 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:03] 本当はこんなまどろっこしいことを二度繰り返す必要は無く、 -((-1)*1)から、 -((-1)*1)=-(-1)=1とすればよかったか。 450 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/09 21:04] Re:>447 補足：-aはaの逆元であり、b-aとは、b+(-a)のことである。 451 名前：１３２人目の素数さん [04/09/09 23:51] なんじゃそら　もっと簡単な解き方がアルやろ 452 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 00:26] FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM って馬鹿だなー。 453 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/10 07:54] Re:>452 消えろ。 454 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:30:00] 半径rの球の中心との距離がr/√3である2平面P,Qがあり 平面Pと平面Qは垂直である。 この球がP,Qにより分けられる4つの立体のうち 体積が最小である立体の体積を求めよ。 455 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:42:41] [2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。 　 (2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。 456 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:46:29] [3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。 この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。 457 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:53:38] [4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2 である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。 C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。 458 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 19:56:06] [5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。 コインを投げる回数の期待値を求めよ。 459 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 20:02:49] [6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。 いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。 460 名前：455 mailto:sage [04/09/10 20:09:55] 訂正 ×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y) ○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x) 461 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 21:15:58] 【２】 （１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は 　　　　　　　　　　　　　Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ と表されるので、ｒは定数であることに注意すると 　　　　　「Ｓ(θ)が最大」　⇔　sinθ＝１　⇔　θ＝π/2 なので、題意は示された。 （２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜ 462 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:33:18] >>461 (1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？ (2)(1)がもし三角形の話だと・・・ 463 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 21:40:05] >>462 よく分からんが、(1)の別解。　つーても、>>461をほとんど見てないｗ 別解 円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。 残りの二点B,Dを動かすことを考える。 明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。 さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため 高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。 同様に点Dの位置も決定される。 明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。 次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。 この場合、ACも・・・以下略 464 名前：455 mailto:sage [04/09/10 21:51:17] >>463 ＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。 この行は蛇足かと。 初めから対角線ACとして固定すればよいし、 そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。 465 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:06:55] >>455 この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？ (2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。 466 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:09:51] >>465 正解(配点20) 467 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:15:57] ごめんウソ。減点-2 468 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:01] >>456 4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。 でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。 前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3) としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。 よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが 符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。 よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。 さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。 いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。 469 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:18:46] >>467 減点された･･･どこ？ 470 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:28:16] >>469 {sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積 471 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:29:33] そうだった 472 名前：456 mailto:sage [04/09/10 22:31:10] >>468 1,3,7,9はどの3数の和も素数です 473 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/10 22:35:21] >>455 [2](1) 半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、 ∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗ とおく （ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π） 四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2 等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。 474 名前：455 mailto:sage [04/09/10 22:37:14] >>473 模範解答thx 475 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:38:27] >>458 [5]がめんどいけどこれエレ解あるの？ 求めるものは1/8+�納n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16) で (n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an (n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn (n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn (n回目までは３回連続表があった確率)=dn とおくとき a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn) b(n+1)=(1/2)an c(n+1)=(1/2)bn d(n+1)=dn+(1/2)cn をとけば�納n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？ 476 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:39:14] >>472 しまった。吊ってくる。 477 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/10 22:47:00] >>472 a,b,c,d ≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2 ≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2 ≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2 ≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3) のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは (a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。 478 名前：461 [04/09/10 22:49:59] >>462 （１）ですが、長方形∋正方形ですよね？ だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の 　　　　　　θ＝π/2　⇔　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ　⇔　ＡＢＣＤは正方形 となると思うんですが。 479 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 22:51:46] >>478 質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が 長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？ 480 名前：461 [04/09/10 23:11:59] >>479 ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！ ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜ 数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ 481 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:10] >480 チラシの裏に書いてろ、な！ 482 名前：１３２人目の素数さん [04/09/10 23:13:33] >>457[4] ｈ/√2 483 名前：482 mailto:sage [04/09/10 23:16:55] 場合訳がいったか．．． 484 名前：458 mailto:sage [04/09/10 23:33:09] >>475 ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。 485 名前：456 mailto:sage [04/09/10 23:33:46] >>477 正解(配点20) 486 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 00:11:49] >>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。 487 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 14:34:33] 一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、 投げる回数の期待値を a_n とすると、 a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。 488 名前：１３２人目の素数さん [04/09/11 15:13:30] >>455 まだ見ていますか？ [2](2)について x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。 -1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ 問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる このときx,y,zは x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数) を満たすが、3式を辺々足すと a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4) よって求める最大値は3 このときx,y,zは x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数) を満たす任意の実数 489 名前：４８８ [04/09/11 15:24:52] >>455 すいません、訂正します。 誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数) 正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数) 注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです 注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります 490 名前：455、458 mailto:sage [04/09/11 15:41:19] >>488 ＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4) a,b,cは整数としているので矛盾です >>487 よろしければ導出過程プリーズ 491 名前：４８８ [04/09/11 16:00:20] >>490 確かにそうですね。失礼しました。 >>455 ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。 492 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 17:26:06] >>459[6] ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？ 493 名前：459 mailto:sage [04/09/11 17:46:59] >>492 惜しい 494 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 20:47:33] (a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？ 495 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:00:51] >>494 あってまふ 496 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 21:11:24] >>494 氏ね 497 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk [04/09/11 21:20:58] >>495 じゃあ、エレファントだけど途中まで。 a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと k≠0 のとき、 ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式 t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。 右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。 よって k＝0。 したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。 よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線 y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？ 498 名前：459 mailto:sage [04/09/11 21:24:37] >>497 あってますよ。結論にわずかな見落としが。 499 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 21:47:09] >>492 あと、正方形ができる。 500 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk mailto:sage [04/09/11 21:55:46] 漏れは包茎じゃないんですっかり見落としていたよ。 501 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:05:55] >>500 でも短小なんだろ 502 名前：リニアﾀﾝ（;´Д`）ﾊｱﾊｱ ◆O5M8Y2WWjk mailto:sage [04/09/11 22:11:22] >>501 下品なﾔｼだな。 503 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/11 22:41:26] Re:>502 おまえもな。 504 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:42:10] FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイ。 恥を知れ。 505 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 22:43:03] FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMじゃあしょうがない。 みんなウザイ馬鹿なのは知ってる。 506 名前：１３２人目の素数さん [04/09/11 23:35:32] (2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。 ↑ は終わったと思っていいですか？ 507 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/11 23:38:41] >>506 いい 508 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:03:00] >>506 もちつけ（ｗ 509 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 00:03:14] もっとおもすろいのないの？ 510 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:07:02] 別スレでだしたやつだけど東大入試にもだせる形にして lim[N→∞]∫[0,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。 とかどう？ 511 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:14:17] オイラーの定数が出るんじゃないの？ 512 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:14:51] そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。 にしないといけないか。 513 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 00:16:45] >>511 しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。 514 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 07:20:52] >>490 直感的な説明。 n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、 平均して a_n 回投げなければならない。 次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。 成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を 2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。 515 名前：458 mailto:sage [04/09/12 20:34:04] >>514 thx　確かに直感的。でも正しい。 入試数学ではOKな考え方なのかな。 516 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 20:42:15] 試験の解答としてはダメだろ。 517 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 21:58:59] ０点だろ。 518 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:03:41] 平面上に異なる四点を取り、 どの２点の距離も奇数になるようにせよ。 不可能であるならば、その事を証明せよ。 519 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/12 22:27:36] Re:>518 5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。 問題はあと一組か。 520 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:27:52] >>518 ヒントおながいしまつ 521 名前：１３２人目の素数さん [04/09/12 22:37:36] こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。 鳩の巣原理に一票。 522 名前：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM [04/09/12 22:56:50] Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。 523 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:00:30] Kingはストーカー原理主義者。 524 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:20:33] >>518 円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。 どーも無理っぽい 525 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/12 23:57:06] >>515 とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。 Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、 Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象 としてE(Vn)=anとおくとき a(n+1) =E(V(n+1)) =(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1)) =(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1) =(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1) =(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1) ∴a(n+1)=2an+2。 E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。 526 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/13 00:23:52] ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/579 　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　　■　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　■■　　　　　　　　　■■■■■■■■■　　■■ 　　　　　■■■　　　　　　　　　■■■■■■■■　　■■ 　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■ 　　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　■■　　　　　 ■ 　　　　　　　　　■■■　　　　■　　　　　　　　　　■■　　　　　■■ 　■■　　　　　　　■■■　　　■■　　　　　　　■■　　　　■■■ 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の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、 A_n の元の数を |A_n| で表す。 n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。 1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、 Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。 2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。 この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。 裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。 表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。 逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、 A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。 したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。 両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。 3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、 Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。 4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、 Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n} Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。 532 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:22:52] www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_sankaku.htm ＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は ・・・ の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。 533 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:35:20] >>532 どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。 534 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:39:44] わかった。これつかうのか↓。なるほど。 　 　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2） 　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2） 　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2） 　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2 　 a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。 535 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 00:51:09] >>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。 536 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 01:23:37] >>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。 （１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。 （２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。 （１） 2n個の数値　x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。 ・x_1+x_2+…+x_2n=0 ・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1 （すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと） 今、y_i（i=1,…,2n）を、 　(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1 　それ以外の場合、y_i=0 と定義する。 このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。 （２） Σ[k=1〜n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。 （CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。） （３） >>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。 537 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/15 14:17:42] >>532 座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。 ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が 16n-1 の形の整数になるということのようだ。 538 名前：１３２人目の素数さん [04/09/16 20:35:48] >>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？ ---- n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを Aij= 0 (i=j) 1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2)) (PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき) で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき V^2･(nだけで決まる関数)=|A| ---- n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。 539 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/17 23:49:54] >>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。 たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して ↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で 2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。 よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]] は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、 その他の成分がmod8で1。よってとくに det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。 540 名前：１３２人目の素数さん [04/09/23 14:35:51] 952 541 名前：１３２人目の素数さん [04/09/28 08:13:11] 757 542 名前：１３２人目の素数さん [04/09/29 22:39:41] 面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき 四角形ABCDはどんな四角形か。 543 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/29 23:17:20] AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？ これ誰の定理だっけ？ 544 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/09/30 00:40:17] >>542 円に内接しかつ対角線が直交するときかな？ まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。 それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。 Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。 いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。 よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。 このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから 2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角) ∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。 よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。 545 名前：１３２人目の素数さん [04/09/30 23:15:58] >>543 AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。 これを使えば>>544はもっと簡単になる。 546 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:54:49] ｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。 (1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。 (2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。 547 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 00:56:54] 訂正っす (2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。　 548 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 02:47:52] x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。 四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。 次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。 操作　n,mを整数として 単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。 この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。) 点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。 点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。 この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を 別の色で塗り直せ。　不可能であるならば、その事を示せ。 549 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 08:29:50] >>548 操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。 550 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/01 23:51:23] n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで 隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。 ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。 551 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 02:44:10] >>550 まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える． ■■■■■■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■□□□□■ ■■■■■■ 上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり， n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる． そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると， 4m　　全て可能 4m+3　全て可能 4m+2　≧6なら可能 4m+1　≧9なら可能 となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら 全て可能である事が分かる． 後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る． q.e.d. 552 名前：551 mailto:sage [04/10/02 02:48:55] 受験モニター的報告 解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて 推敲含め20〜25分程度か． 因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）． 個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？ 良問提供多謝． 553 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 09:50:49] >>551-552 解答＆感想サンクス。 俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。 入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。 (問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。 答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。 554 名前：１３２人目の素数さん [04/10/02 17:00:00] ３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。 555 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 17:44:23] >>553 できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？ 556 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 19:04:57] aだけ素数ってのが惜しいな。 557 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 19:05:59] UdoWOLrsDMは素数。 558 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 21:43:17] >>555 さすが数学板っすね。解き方も書いてくれると嬉しいです。 559 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/02 23:47:00] >>553>>558 ∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。 余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。 ∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。 ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。 ∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。 b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。 b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので (b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが (2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。 よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4) であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので これが答え。 560 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:13:41] >>559 お見事です。 cが平方数であることを示す誘導問題を考えてたけど>>559のほうが自然すね。 三角形ADCが鈍角三角形に着目すれば評価が楽なのも気づいてなかったし・・・(´･ω･`) 561 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:22:33] 去年の学コンにも似た問題出てたね。 562 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:38:13] >>561 どんな問題？ 俺去年の5月に代ゼミの作問スタッフに応募して採用されたんだけど、それからさっぱり音沙汰なし。 まあいいかと思ってたけど、もし問題横流しされてたら嫌だなあ。どうせ被害妄想だけど。 代ゼミに送った問題サンプル ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/51.jpg ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/52.jpg 563 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:42:32] >>562 ちょっと何月号か忘れたけど、たしか、 同じように三角形の三辺が整数であるとか互いの素であるとかという条件をおいていた問題だった気がする。 似てるというか、辺の長さに整数問題を組み合わせただけかな 564 名前：数学科布施 ◆FUSEz5Eqyo mailto:http://blog.livedoor.jp/fuse3/ [04/10/03 00:43:40] >>562 作問スタッフなんて募集してるのか・・・！ 問題解く能力と作る能力って全然違うよなぁ。 難問かつ良問作れる人は尊敬する 565 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 00:52:06] >>564 今は募集してないみたい。特に数学と化学は募集打ち切りが早かった気がする。 566 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 22:27:48] 作問スタッフってギャラいいのですか？ 一問いくらとか？ 567 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/03 22:42:58] 普通 568 名前：１３２人目の素数さん [04/10/04 21:15:23] 集合S={1,2,…,n}と全単射の写像fを考える。ｆ：S→Sであり、かつ Σ[k=1,n] | f(k)-k | = (n^2-1)/2 を満たすとき、写像fとして考えられるものの総数を答えよ。 あと、関係ないけど前スレのログ持ってる人いない？ 569 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 03:45:24] nが偶数のとき0通り nが奇数のとき3・{(n-1)/2}!通り、かな 570 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/05 14:20:20] いや、 nが偶数のとき0通り nが奇数のとき3・[{(n-1)/2}!]^2通り、か 571 名前：１３２人目の素数さん [04/10/06 14:15:44] 数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し 小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。 572 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:19:13] >>571 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2m^2=1 である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。 それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので 結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1)) 573 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/06 18:40:23] まちごうた。 2n^2+3n+1=m^2 ⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1 だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数) よってもとめるのは (1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ (1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき やはりkが3以上の整数。以下同じ。 ･･･ 正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。 574 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 15:35:00] 反応がないと自演か．．． 575 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 15:40:23] >>574 誤爆？ 576 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 16:57:14] おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。 577 名前：１３２人目の素数さん [04/10/07 17:07:47] ┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ┃ ┃　　　　　　　　- 自作自演厨の鉄の掟 - ┃　　　　　　　 　　1. 質問者には自作自演でも優しくしよう ┃　　　　　　　 　　2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし ┃　　　　　　　 　　3. 自作自演は目標全レス ┃　　　　　　　 ∧＿∧　 　。　　　　　　　　　　　　　Ｅ[]ヨ ┗━━━━　（ 　 ・３・） ／━━━━━━━━━━━━ 　　　　　　　　（つ　　つ 　　　　　　　|￣￣￣￣￣| 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　　　　　　| 　　 　 　 　 | 　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| 578 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:13:49] たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの 難問だったんだろうな･･･ 579 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 17:50:54] 箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。 この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、 白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。 580 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 19:51:22] >>579 計算まちがってるかもしれないけど。 ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を かぞえる。最期が〜〜白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。 これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!) 結局最期に黒ひく事象の数は�納i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。 で公式�納i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1) のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。 同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ―――――― 581 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 21:03:52] >>579 bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b)) になった。 582 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:21:47] >>579 全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。 Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b) Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c) よって、 Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c) =>>581　（でも約分汁） 583 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/07 23:24:12] >>582 途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。 584 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 07:30:25] >>582 2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。 585 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 08:09:03] xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数) が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。 586 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 09:46:29] >>585 ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0 簡単すぎないか？ 587 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 09:59:15] 宿題を質問スレに書いたからね、585は。 588 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 11:45:12] クズばっか 589 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 13:24:09] f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。 590 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:06:30] これできるか？ って そんな頭いい奴いるわけねーかorz 問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。 591 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 15:13:16] 中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような 内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。 又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。 LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。 そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。 592 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 15:58:46] え？ これはガロワが解いた問題なんだけど、 定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、 長さは測っちゃだめだよ、確か。 593 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:24] どこで長さを測る必要がある？ 594 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:11:36] ガウスの間違いだと思われ 595 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 16:27:04] てゆーか自作問題うぷしろよ 596 名前：自作くん [04/10/08 21:32:18] 【問】 xについての方程式 A: x^3+lx^2+mx+n=0 について考える．但し、l,m,nは (a:方程式Aの自然数解の個数) (b:方程式Aの整数解の個数) (c:方程式Aの実数解の個数) のいずれかであるとする． (1) l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． (2) l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した． このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ． 597 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 21:38:19] >>596 問題の日本語に不備ありすぎ 598 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 22:09:55] >>597 そうか？ 599 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:28:35] >>596 対応と確定を使わず表現してくれ 600 名前：１３２人目の素数さん [04/10/08 23:55:31] CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか AE : EO = 3:1 とかって 長さをはからずに コンパスと定規で可能？ 601 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:09] >>600 おまえ馬鹿だろ？ 602 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/08 23:58:26] 長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？ 603 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 20:15:29] 次の命題を証明せよ。 「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」 604 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:20:13] >>603 ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、 1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？ 605 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:28:23] 「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？ 606 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:30:04] >>605 実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか 607 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 20:38:47] ｎで簡単に表されるとは思えないが。 608 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:15:17] >>603 “任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。 609 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:17:52] >>608 その条件だったら出題するまでもなかろう・・・ 610 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:24:53] {f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？ 611 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:27:00] >>610 >>608-609 612 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:02] 任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。 613 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:28:59] >>610 有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない 614 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 21:32:01] 全然駄目ですね思慮不足でした 615 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:49:25] 大体できたかな。 多項式をf(x)とおくと cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 これを2回微分して f(x)の微分方程式をつくる。 あとは簡単。 616 名前：615 [04/10/10 21:53:27] × cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2 ○ cos(2x)＝3-{2/f(x)} 617 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 21:56:23] 今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。 ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、 検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。 618 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 22:02:01] それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して 直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう） という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。 明日あたりにまた来ます。 619 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:36] >>618 氏ね 620 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:03:42] >>618 マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで ゆっくり問題を作ったりといたりしているから 人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。 621 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:11:06] >>615-616 なるほどね。 もっと簡単にできそうだが．．．できない。 622 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 22:12:36] PDFにしてるけどこれは自分のためであって人にやるもんでもない。 問題提供者には感謝する。 623 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 22:53:25] >>603 受験の解答だとこんなもん？ a<bという仮定は当然あるものとして まず多項式P,Q,Rについて Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。 degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は 0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。 よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。 (1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。 よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。 もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら (3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。 よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。 624 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 23:10:53] >>623 >>615-616見てない？ 6{f(x)}^3-4{f(x)}^2-2{f'(x)}^2+f"(x)f(x)=0 625 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:13:23] もっと一般化してみたいね。 恒等的に０ではない、三角関数の合成関数ｆ（sinx,cosx)は任意区間でｘの多項式ｇ(ｘ)にはならない。 626 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:15:15] 多項式以外の初等関数だったら言えるよ。 627 名前：１３２人目の素数さん [04/10/10 23:17:57] >>625 f(x，y)＝x^2+y^2 ならどうする？ 628 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:19:26] >>627 (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰそうだったね。 なんて説明すればいいかわかんね 629 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:19:51] >>624 みてなかった。須磨 630 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:22:16] まあたぶんいいたいのはR[sin(x),cos(x)]がR[U,V]/(u^2+v^2-1)に環として 同型とかそんな感じのはなしを受験問題にできないかということかな？ 631 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:22:25] かわういね ＞ (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ 632 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/10 23:23:18] (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ 633 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 634 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:05:27] ねー、これは簡単には示せへんの？ f(x),g(x)が共に何回でも微分可能なとき、 x∈[a,b]でf(x)=g(x)　ならば　x∈Ｒでf(x)=g(x) 635 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:10:55] >>634 それは反例があるのでダメ。 636 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 01:33:57] >>634 その定理を複素関数にして、解析接続っぽい形にすればOK 637 名前：１３２人目の素数さん [04/10/11 07:40:27] >>620なるほど、独善ぶりも東大教官の如くやるわけですね。 でもホエールバック（？）の定理の正式名称を考えてくれませんか？ 638 名前：１３２人目の素数さん [04/10/11 08:05:42] 僕も出題しておきます。a[n]=(1-S[n])(1-S[n-1])の一般項を求めよ。 639 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 640 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 641 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 12:17:28] Re:>633,639-640 お前人のメアド勝手に載せるなよ。 642 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 12:28:53] >>641 どうせ捨てメアドなんだろ？ ヤフーに迷惑かけているのはお前だ！ それから、いちいちレスつけるなよ。 それが荒らしを喜ばせているってことに気付かないのか？ ホントKingって学習能力ないなぁ呆れるよ。 643 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 12:39:41] Re:>642 お前誰だよ？幾つ同じレス付けてんだよ？ 644 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 12:43:04] >>643 話をすり替えるな。お前の詭弁には騙されないよ 大人しくしてろよ30過ぎのおっさんがっ早く就職しろ。 645 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 646 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:07:20] >>637 スレ違い。 647 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:21:09] >>647 東大の傾向を知り尽くしたこのスレの人々ならわかると思ったんですけどね。 せめて誘導をつけていただければ助かるのですが、まあ取り敢えず自前の問題集３０回とき回します。 648 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 13:29:51] Re:>644-645 お前早く土に還れ。 649 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:36:07] >>648 お前、非常にムカつく。 氏ね灰になれ！ 650 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 13:36:13] >>647 マジレスすると同じ問題と解き直すより、新しい問題に行った方がいい。 651 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/11 15:51:15] Re:>649 お前が先に氏ね。 652 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 16:04:52] >>651　荒らしは氏ね 653 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/11 17:53:00] >>637 マイケル・シューマック 654 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/12 05:48:01] >>638 a[1]=a a[n]=(1+a)[(1/{1-(1+a)(n-1)})-(1/{1-(a+1)(n-2)})] (n≧2) 655 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 07:04:44] イマイチだな 656 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 07:50:58] >>655が、俺ならもっといい回答するぜ、誰かこの俺に訊けよ、と叫んでいます。 657 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 17:42:18] >>650うーん・・では過去問やったあとは力の５０題にでも挑戦します。 最大最小問題で多変（略）における調和関数の性質使うと簡単に終わるものありますね。 >>654 展開するのがめんどくさいので確認しませんが、正答としては (A)a[1]=1,a[n]=0(n>=2)or(B)1/a[n]=(n+c)(n+c-1),c=const.です。 >>653調べておきます。京大頻出はカントールの定理らしいです。 658 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 18:02:25] >>657 聞き齧った用語を理解しないまま書き連ねているのが哀れよのう 659 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 18:06:18] >>658 「最大最小問題で」の所ですか？ U上で連続な関数f(x1,x2,---)について△f=0のとき調和関数といい、 fは∂Ｕにおいて最大および最小をとる、で合ってます？ 間違ってたら、まさしく哀れです。 660 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 20:04:07] >>657 F1知らなくてもミハエル・シューマッハがぐらい聞いたことあるだろ 661 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/13 23:14:25] >>660いや知ってはいたんですけど、実はあると思ってしまいまして。 662 名前：１３２人目の素数さん [04/10/13 23:24:22] 平面上にn個の異なる点を配置する。どの２点間の距離も、必ずある二つの実数値のどちらかを取るように nこの点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。 1)　n=4の時、点の配置を全て求めよ。 2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。 3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。 663 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 04:02:13] 前スレのログ持ってるやついる？ できれば、どこかにうぷして欲しいんだけど。 おねがいしますだ。 664 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 04:35:09] まずはヒザマヅケ！ 665 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 08:40:50] >>1乙 666 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 09:28:33] 俺のとっておきだ。 次の不定積分を解きなさい。 ∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ 667 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 13:01:30] これは難問だぞ 668 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:03:29] アフォか？ 669 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:06:46] >>667 積分区間を良く見てみ ∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ = ∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0 670 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 13:07:24] [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。 671 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 13:10:46] >>670 > [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。 じゃ，何だっていうつもり（ｗ 672 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 13:12:46] 勘弁してくれよ、出題者に聞いてくれ 673 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:09:39] 不定積分なんだから積分区間はないよな． [e^0..sin(π/2)]は「..」が気になる．なんだろ？ 674 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:13:09] >>673 定積分の書き間違いだろ 675 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:21:09] 「..」は？ 676 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:29:33] 667 １３２人目の素数さん 04/10/14 13:01:30 これは難問だぞ 668 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:03:29 アフォか？ 669 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:06:46 >>667 積分区間を良く見てみ ∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ = ∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0 675 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 15:21:09 「..」は？ 面白すぎ :-) 677 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:34:12] 定積分を不定積分と間違え、しかも「解きなさい」などと意味不明な事を書き、 不定積分に必要だと勘違いした積分区間に「..」などと変な記号を入れる、 これはそうとうな池沼だな。 678 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 15:50:15] んなことは、どうでもいいから、>>662の解答ｷﾎﾞﾝ 679 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:50:42] >>677 そんなこと一目で見抜けるだろ わざわざ書き込んだのは釣られたはらいせだな 680 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:51:36] 釣られたのは多分>>679 681 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 15:56:19] >>667-680 666を見て10秒以内に解けなかった人は高校の微積分からやり直してください， ということで終了 粘着もやめてね 682 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 16:25:39] >>662 面倒だなぁ 凸包で場合分けしていくやり方しか思い浮かばない。 683 名前：シメジ方程式 mailto:sage [04/10/14 17:30:26] おまいら分かってねーな。 >>666は0と即断したヤシを馬鹿にするための問題だぜ。 罠はひとつと思い込んだ奴の負け。 684 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 17:38:25] >> 683 ボクもこたえが0になりました． 0が正解ででないならこたえを教えてください． 685 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/14 17:42:41] ６６６は間違いを誤魔化すので必死だった ということで終了 686 名前：シメジ方程式 mailto:sage [04/10/14 17:49:04] >>684 疑惑の[e^0..sin(π/2)]の部分は「..」が不明だが取り合えず 変数が含まれてないので定数と考えればよい。 「..」の詳細は>>666の再降臨を待つべし。 687 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 20:33:51] 関数f(x)とg(x)があり、f(x)=g(x)とおくと、その根が交点のx座標である。 何故か説明せよ。 688 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 20:37:06] Re:>687 交点とは何か、等式の根とは何か、それぞれ説明願う。 689 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 21:20:13] kingうんち 690 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 21:27:26] >>687 実根でなくていいのか？ 691 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 21:33:02] 巨根 692 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 21:41:19] [e^0..sin(π/2)] は何かの演算子だろう。交換子に似ているが。 693 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 21:44:57] Re:>692 a<bとするとき、[a..b]={x∈R|a≤x≤b}. 694 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM [04/10/14 21:45:48] Re:>693 いいから消えろ。 695 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 21:46:36] Re:>694 何故消えねばならぬのだ？ 696 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM [04/10/14 21:49:33] Re:>695 お前が偽者だからだ。迷惑してるんだよ。 おまえがウンコウンコ言うから、俺が同類だと思われるんじゃないか。 697 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 21:51:13] Re:>696 う■こと言ってるのはお前だろが。寝ぼけた上に頭打ったのか？ 698 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 699 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zo44LM [04/10/14 21:54:00] Re:>697 いまさらとぼける気か？この恥知らず。 700 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/14 21:57:19] Re:>698 お前何考えてんだよ？ Re:>699 【ゴキブリ】KingMathematician４【ストーカー】 science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095683000/594 を参照のこと。 701 名前：１３２人目の素数さん [04/10/14 23:19:28] >>666ま〜だ〜？ 702 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 01:36:08] >>666の再臨期待あげ 703 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 08:07:13] >>666は施設からの外出許可がまだ出ないようです。 704 名前：666 [04/10/15 14:23:32] ごめん。積分区間です（汗 705 名前：666 [04/10/15 14:24:47] てか、定積分だし。すみませんね。 706 名前：666 [04/10/15 14:27:18] よって>>669、正解。 707 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 16:04:05] 小学生がいいそうな問題だな。 2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・= なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。 こんなこというと馬鹿にされそうだが。 708 名前：707 mailto:sage [04/10/15 16:05:18] まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・ 709 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/15 16:14:48] 最近、スレ違い厨が大杉。 しっ！しっ！ 710 名前：１３２人目の素数さん [04/10/15 18:46:00] いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？ 711 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 02:53:57] >>662 (1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の 長さが1であるとして一般性を失わない。 1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心 1以外の長さが2本の場合 → 正方形 1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形 712 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 03:04:26] >>711 正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？ 713 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 03:06:11] あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば これも、条件を満たすだろ。 714 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 14:38:04] 一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。 円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。 715 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 14:54:44] これは難問だぞ 716 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 15:36:27] こちらの方が激難問だよ。 「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。 円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」 717 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 15:55:42] >>662　長いので概略のみ ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。 ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。 △ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。 △ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。 ４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。 AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。 BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。 このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。 BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1　BDの値は1,a両方取り得る。 以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。 1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1 2) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=a CD=1 3) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=1 CD=1 ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。 1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。 2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり この場合の点配置も一通り。 以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。 718 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 16:10:07] >>716 君は馬鹿か？ 719 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 18:56:19] >>718 ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。 720 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 19:03:30] え、>>716って寒くない？ 721 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/16 19:04:34] スレ違いは他所でやｔってくれ。 722 名前：１３２人目の素数さん [04/10/16 19:39:40] >>717　( 自己レス ) 間違い発見、ｽﾏｿ　逝ってくるわ 723 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 20:45:07] 関数 f(x) は x＝0 で連続とする。 lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在するとき、f’(0) は存在するか？ 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。 724 名前：723 [04/10/17 20:47:55] × 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。 ○ 存在するならば証明し、存在しない場合があるならその反例を挙げよ。 725 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 20:55:21] >>662の問題作成者が素敵。 解がエレガントならすごく面白い。 726 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 20:58:09] >>723 f(x)=xsin((2π/log2)log|x|) (x≠0)、f(0)=0とすれば反例。 727 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 21:16:06] オレは長い方の辺の数aと短い方の辺の数bで場合わけしてやった。 ―― I)(a,b)=(5,1)のとき 短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。のこる一辺はもとの辺よりながいので矛盾。 II)(a,b)=(4,2)のとき 長い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するかしかない。 正三角形ならのこりの一辺はひとつの内角の２等分線の対辺と交叉している側に 長辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(A)。 菱形は無理。 III)(a,b)=(3,3)のとき 長い辺は正三角形の３辺か３角形をつくらないとき。 正三角形ならのこる一点は重心で条件みたす。(B) 三角形の３辺とならないときはちょっとがんばると正５角形から１点のぞいた形。条件みたす。(C) IV)(a,b)=(2,4)のとき 短い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するしかない。 正三角形ならのこりの一辺は一つの外角の２等分線の大変と交叉していない側に 短辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(D) 菱形になるときは正方形と２対角線になるとき。条件みたす。(E) V)(a,b)=(1,5)のとき 短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。条件満たす。(F) で結局A〜Fの６つ。 ―― になった。答えはこれであってるとおもうんだけどエレ解がみつからない･･･ 728 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:02:23] >>726 反例になってない罠。 lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在しない。 729 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/17 22:09:03] やっぱり、1_{0}(x)だね。 730 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 731 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:22:12] >>729 何、それ？ 732 名前：１３２人目の素数さん [04/10/17 22:28:25] >>723 は直感的には真で反例がありそううな気がしない。 こんな漏れはｾﾝｽなしかもしれないが．．． 733 名前：あぼーん mailto:あぼーん [あぼーん] あぼーん 734 名前： ◆BhMath2chk mailto:sage [04/10/17 23:00:00] >>723 存在する。 735 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/17 23:05:32] >>734 証明してたもれ。 736 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 02:25:04] >>662 (2)になってくると、もはや相当長い場合分けしかないと思っていたが、 ５点のうち、どの４点を取り出しても、必ず(1)で求めたパターンになっていると言うことと 距離が二種類しかないという事を使えば、結構簡単になるか。 737 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 08:04:54] >>723 存在する。以下証明。 　 証明）lim[h→0](f(2h)-f(h))/h)=cとおく。g(x)=f(x)-f(0)-cxとおけば lim[h→0](g(2h)-g(h))/h)=0。g'(0)が存在することがいえれば十分。 g(x)は原点で連続でg(0)=0である。 正の数e>0を固定すると仮定からd>0を十分ちいさくとって任意の-d<h<d、h≠0にたいして -e<(g(2h)-g(h))/h<e⇔-eh<g(2h)-g(h)<ehが成立するようにできる。 よって任意の-d<h<d、h≠0にたいして -eh/2<g(h)-g(h/2)<eh/2 -eh/4<g(h/2)-g(h/4)<eh/4 -eh/8<g(h/8)-g(h/8)<eh/8 ･･･ をたしあわせて左辺の和>-eh、右辺の和<ehより-eh<g(h)-g(h/2^N)<eh。 N→∞とするとlim[h→0]g(h)=0から-eh≦g(h)≦eh。 よって任意の-d<h<d、h≠0に対して-e≦(g(h)-g(0))/h≦e。 eは任意の正の数であったから結局lim[h→0](g(h)-g(0))/h=0。証明終 ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･ 738 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/18 08:16:41] >>737 >ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･ そうだよね｡僕も大体同じﾗｲﾝで考えて､ lim[h→0]{g(h)-g(h/2^N)}/h=0　 までは高校範囲ででるんだけど､そこから後が続かない｡ 739 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/18 19:17:54] Re:>730,733 人のメアドを勝手に載せるな。 Re:>731 連続ではなかった。 740 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 04:00:24] あ・げ・ま・す・よ 741 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 08:03:57] www.h3.dion.ne.jp/~jituzai 742 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 09:45:54] あるサークルで、5人の女優A〜Eについての好き嫌いを調べた結果次のようになった。 ・どの女優についても、好きな人は3人ずついた。 ・AとBを共に好きな人、BとCを共に好きな人、CとDを共に好きな人、 　DとEを共に好きな人、EとAを共に好きな人がそれぞれ1人ずついた。 ・どの女優も好きでないという人はいなかった。 このとき、このサークルの人数は最大何人いるか。 743 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 17:06:35] >>742 ぱっと見、10人のような気がするけど間違ってる？ 744 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/21 17:10:41] Re:>743 第二の条件から、A〜Eを好きな人が5人いて、それでA〜Eを好きな人が2人ずついることが分かる。あとは簡単。 745 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 19:35:08] 11人？ 746 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 19:42:28] 15に一票。 747 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 19:46:01] ２０％くらい 748 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 21:44:32] 正の実数x,y,zが2xyz+xy+yz+zx=1を満たすとき、x+y+z≧3/2を示せ。 749 名前：１３２人目の素数さん [04/10/21 22:32:05] (x+2)(y+2)(z+2)でも計算すっか 750 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 22:54:17] >>749　違った……　2と1が逆だった。 ((2(x+y+z)+3)/3)^3≧(2x+1)(2y+1)(2z+1)=4(2xyz+xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1 = 5+2(x+y+z) x+y+z=sと置けば、 ((2s)/3 + 1)^3 ≧ 5+2s が成立する。これを満たす、sの範囲はs≧3/2である。　等号成立はx=y=z=1/2 751 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/21 23:43:10] 負でない実数a,b,cがa+b+c=2を満たすとき、 3abc≧2(ab+bc+ca-1)が成り立つことｗ示せ。 752 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:08:47] >>751 なにそれ？a=2、b=c=0でいきなり反例あるじゃん。 753 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:15:59] >>752 君は 　0≧-2 が「矛盾」だとでもいうのか。 754 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 00:16:36] >>752 ？ 755 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 00:18:58] あ、しまった。計算まちごた。釣ってくる。 756 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 01:26:36] >>750みたいなエレ解があるとあとがやりにくい。 しかしどろくさくやるなら>>751はできる。 a+b+c=2なのでどれか一個は2/3以下。a≦2/3として一般性をうしなわない。 このとき 与式⇔(3a-2)bc≧2a(b+c)-2 aを固定すると右辺は一定で左辺は3a-2≦0よりb=c=1-a/2のときが最小。 そのときに成立すればよい。よって (3a-2)(1-a/2)^2≧2a(2-a)-2 が0≦a≦2/3で成立すればよい。4(左辺-右辺)を展開して 4(左辺-右辺) =(3a-2)(a-2)^2+8a(a-2)+8 =3a^3-6a^2+4a =a(3(a-2)^2+1) は0≦a≦2/3において0以上。よって与式は成立。 等号はa=0、b=cまたはb=0、c=aまたはc=0、a=bのとき。 757 名前：１３２人目の素数さん mailto:hage [04/10/22 02:38:07] 次のように電卓(テンキーでもよい)の周りを3桁ずつ回るとき どのように回っても(右回りでも左回りでも)和が2220になることを証明せよ。 ７　８　９ ４　５　６ １　２　３ 例214+478+896+632=2220 789+963+321+147=2220 　236+698+874+412=2220..... きちんとした解答を作るのは難しそうなので入試問題でもよさそうではないか? 758 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 02:43:26] >>757 16個しかないんだから全部計算したってそんなたいした手間にならんような。 759 名前：１３２人目の素数さん mailto:正しくない [04/10/22 03:00:09] 次の文章が正しいかどうか判定せよ( 答えはメール欄 ) 半径1とrの同心円がある。r＞1とする。 小円( 半径1 )の内部に点Pをとり、点Pを通る二直線が 小円と交わる点をP,Q、大円( 半径r )と交わる点をR,Sとする。円弧PQをPとQを結ぶ円周のうち短い方の長さ 円弧RSも同様と定義するとき、 PQ≦RSが成立する。 760 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 03:06:03] おおっと、間違えた >>759　訂正 ＞点Pを通る二直線が ではなく ＞点Pを始点とする二つの半直線が 761 名前：757 mailto:hage [04/10/22 03:12:22] それは(1)にしよう。 (2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに どう回っても和が一定であることを証明せよ。 例n=2 12+23+36+69+98+87+74+41=440 47+78+89+96+63+32+21+14=440 n=7 1236987+7412369+9874123+3698741=22222220 6321478+8963214+4789632+2147896=22222220 762 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 03:18:04] >>761 ＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？ 763 名前：761 mailto:hage [04/10/22 04:01:36] 失礼しますた。訂正します。 誤n=9の倍数でない自然数 正nは8でわったあまりが1でない自然数 764 名前：東大教授 [04/10/22 15:18:52] 自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、 ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ　満たす最小のｎを求めなさい。 ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2005年　第1問） 765 名前：東大教授 [04/10/22 15:23:56] 方程式　x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n　(n,mは自然数)　 を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。 （2006年　第1問） 766 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 15:44:49] >>764 nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。 767 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:21:21] (mod8) 0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1, よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4 題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。 つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。 x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。 この時、条件は x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。 この操作を繰り返し、 xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。 この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。 しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。 768 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 16:30:09] >>764 2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい 2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1 p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005 q＜kよりk≧45　k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。 769 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 16:40:45] [2005/53]=37,[2005/37]=54 [2005/52]=38,[2005/38]=52 770 名前：東大教授 [04/10/22 16:44:45] >>767>>768 お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず 771 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:00:10] 正六角形のすべての頂点に1〜3のいずれかの数字を与える。 平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。 772 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 17:43:45] 関数方程式か。　へぇ…… 俺も一つ。 f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。 773 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:49:11] f(x)=x^i 774 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:50:00] f(x)=ixだっただ 775 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 17:53:26] おっと、>>772はｆ：R→Rね。 776 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:10:49] >>772 連続関数でか? 777 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:12] f(x)=0 (x=0) =1/x (｜x｜≧1) =-1/x (0＜｜x｜＜1) 778 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:13:12] 別に連続でなくてもいいぞ。　ってか、連続だとねーだろ 779 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:13:41] f(x)≡0 780 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:18:34] ○>>777 ×>>779 781 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:20:47] 距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、 その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。 このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。 782 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:35:07] なんかあれなのか？ Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？ わくわく 783 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:40:56] Shともうひとつある 784 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 18:45:50] >>781 三角形がねじれてる場合か 785 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:51:44] >>784 それだ。 786 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 18:54:21] 8面体か 787 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:00:53] ということは(4/3)Sh？ 788 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:02:32] >>787 その通り 789 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:05:55] 続けていってみよう！ Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1)) を示せ、　C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん 790 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/22 19:45:59] >>789 できた。 Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k] =(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k] =(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1 =(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1 =(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1 =(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1 =n*(4^(n-1)) 791 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 19:51:02] んじゃ、これは？ Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k] k^2をkに変えた奴 792 名前：１３２人目の素数さん [04/10/22 23:00:19] 次の性質を満たす正の実数 p がある． 任意の正の整数 n に対して， a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)! で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ． このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して， p^q は無理数となる事を示せ． ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい． 793 名前：LettersOfLiberty [04/10/22 23:09:07] おまえらしね 794 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 00:48:25] xについて恒等式 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0 が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。 795 名前：792 [04/10/23 01:51:59] >>792はちと難し過ぎたかな。 では 「p が無理数である事を示せ」 は？ 796 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 02:03:00] >>794 まだそんな事やってんのか、氏ねよ。 797 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 05:24:18] x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。 798 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 07:19:31] >>797 ん？微分したら終わりじゃないのか。 799 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 07:46:43] >>792 ｐは明らかにネイピアの数だね。 マクローリン展開か．．． 800 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 09:20:37] >>795 ｐが有理数とすると ｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける． そのとき， ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)! 両辺を ｎ!倍すると （ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1) ｎ≧ｋ のとき （ｊ/ｋ）ｎ! は自然数． （1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で， ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１ よって， ｎ≧max｛ｋ，2｝ のとき， a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! において，右辺は整数となるので矛盾． 801 名前：800 mailto:sage [04/10/23 09:22:33] >>792も同様にしてできる． 802 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/23 10:26:42] Re:>793 お前誰だよ？ 803 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 11:54:42] ，．厨 804 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 12:40:33] 939 805 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 18:20:18] 半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき 面積が小さい方の弓形の面積をSとする。 lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。 806 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 18:39:15] >>805 細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい． 807 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 20:05:05] >>805 やってみますた。 f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順) f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3 f''(x) = sin x - x ± 12x^2 f'''(x) = cos x - 1 ± 24x f''''(x) = -sin x ± 24 ±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、 x>0のとき±f(x)>0。すなわち、 -x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4 両辺をx^3(>0)で割って、 -x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x ∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1) 題意の弓形の円周角はaだから、 S = (1/2)a - (1/2)sin a lim[a->+0]S/(a^3) =(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3) =1/12 (∵(1)) 808 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 20:36:30] >>791 どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 　 (補題) �納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n (証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略 (命題) �納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] (証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき 確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回 くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。 試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。 (n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。 したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は E=�納k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1) 一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値) よって全期待値は E=�納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2) (1)、(2)より�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n] 809 名前：１３２人目の素数さん [04/10/23 20:54:33] >>807 「弓形の円周角はa」じゃないよ。 810 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 21:03:41] 答えはあってるし、まあ良し 811 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 21:11:36] よかないよ。 その誤差が結果に影響しないことを ちゃんと評価しなければ駄目駄目だ。 812 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 22:40:30] >>808 訂正っす ×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。 ○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。 　 ×�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n] ○�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n] 813 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:24:19] >>808 普通に計算した方がはやいような・・・ 814 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:31:20] >>813 -((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。 815 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:46:09] >>814 留数計算とか知らんけど Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k] =Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k] =nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] =n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2 =n/2C[2n,n] でいいんじゃね？ 816 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/23 23:50:30] >>815 なる。 Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1] これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは 瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。 817 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 02:34:50] 簡単なのを一題 　二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。 1≦a＜b＜c＜dとして (1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2 の最大値を求めよ。 818 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 11:24:34] (a,b,c,d)=(1,2,3,4) 1/4+1/36+1/144=(36+4+1)/144=41/144 (a,b,c,d)=(1,2,4,8) 1/4+1/16+1/64=(16+4+1)/64=21/64 41/144<21/64 819 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:20:20] >>809 指摘サンクス。 弓形の円周角をyとおくと、a->+0のときy->+0で、 a =　√(2 - 2cos y) lim[y->+0]y/a = √2(lim[y->+0]y/(1 - cos y)) = 1 820 名前：LettersOfLiberty [04/10/24 13:26:19] メールくれたら､解答送付してやる 821 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 13:49:53] >>819 lim[y->+0]y/(1 - cos y)＝∞ 822 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 13:56:36] >>821 訂正します。 lim[y->+0]y/a = √(2lim[y->+0]y^2/(1 - cos y)) = 1 823 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 14:18:22] ∠B=75°,∠C=45°の三角形ABCの辺AB上に点D辺AC上に点EをとるとBD=DE=ECとなった。 三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比を求めよ。 824 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/24 16:18:27] Re:>820 お前誰だよ？ 825 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 16:23:25] >>824 スレと関係ないレスは控えてくれよ。 お前も荒らしと変わらないぞ。 826 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 20:32:59] >>824 荒らしは消えろ！ 827 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 20:38:30] 一辺の長さが1の正三角形の内部に点Pを取る。 Pから正三角形の各辺におろした垂線の足によって構成される三角形の面積がある一定の値aになるような 点Pの軌跡のうち、長さが最大になる物を求めよ。また、その時のaの値を求めよ。 828 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:17:03] >>827 a=√3/16のとき点Pの軌跡は正三角形の内接円で長さは最大値π/√3をとる 829 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 21:24:16] 異なる5つの自然数a,b,c,d,eがあり、この中から2つの数字を選ぶ組み合わせは 10通りあるが、このうち9通りが互いに素な組み合わせだった。 このような5数a,b,c,d,eの積abcdeが取りうる平方数のうち最小のものを求めよ。 830 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 21:33:00] ４４１００。 831 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:10:02] お前ら……証明がほとんど無いですよ。 832 名前：１３２人目の素数さん [04/10/24 22:18:06] xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。 ∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。 833 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/24 22:30:42] >>830 違う 834 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 02:34:50] >>829 (1,2,8,9,25)のときで3600、でよいのかな。 835 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 03:53:16] nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の実数係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 836 名前：835 [04/10/25 03:55:48] 訂正；実数係数→整数係数　 nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1 は２つの１次以上の「整数」係数多項式の積としてあらわせないことを示せ 837 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 04:01:04] >>828 aの値が違うだろ。　a=3√3/64 838 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 04:13:38] 各頂点が格子点で、一辺の長さが１０の正方形ＡＢＣＤについて、三角形ＡＢＣの頂点を次の規則にしたがって動かす。 規則�T　毎回頂点の１つ隣り合う格子点（１はなれた点）のどこかに移動する。 規則�U　正方形から外に出てはいけない 規則�V　最終的に三角形ＤＣＢに到達しなければならない（ただし、Ａ→Ｄ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｂ　と重なる）。 移動するたびに三角形ＡＢＣの面積（３点が同一直線上にあるとき面積は０とする）を計算し、 その最小値をｍであらわす。巧い移動方法によるｍの最大値を求めよ。 839 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:43:14] >>838 意味不明 840 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/25 10:46:22] 巧い巧い巧い 841 名前：１３２人目の素数さん [04/10/25 23:40:12] 正7角形には2種類の長さの対角線が存在するが、その長い方の長さをa、短い方の長さをbとする。 (1)a/b=2sin(3π/14)を示せ。 (2)sin(3π/14)を解に持つ整数係数の三次方程式を1つ求めよ。 842 名前：kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな mailto:kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな [04/10/25 23:42:00] kmath1107@yahoo.co.jpは誰のアドレスかな 843 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:00] 未消化問題が溜まってるな・・・ 844 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 00:50:52] ip.tosp.co.jp/i.asp?i=525maru 845 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 04:34:56] >>841 (1) 正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。 △ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。 よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、 a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14) (2) 正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。 以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。 b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2) a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2 よって、 (a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x) (1)より、(a/b)^2=4x^2なので、 (1+2x)^2/(2+2x)=4x^2 8x^3+4x^2-4x-1=0 846 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 08:05:54] 問題だけ吊るす、単なるマスターベーションスレになってしまった悪寒。 847 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 09:50:00] 股間 848 名前：LettersOfLiberty ◆rCz1Zr6hLw [04/10/26 13:11:37] Re:>842 早く消えろ。 849 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 13:25:52] ようし、俺もオナニーだ。 (問)三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、 三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。 OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。 850 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 14:10:42] 俺の自信作 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＡＢＣの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 851 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 18:07:00] >>850 (2)Ｃ？ 852 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 18:42:55] >>850 (1) Ｐは、自然数pを用いて、(3p、3^(n+1)-2p) (p=1,2,…,3^(n-1))とできる。 直線OP：y=((3^(n+1)-2p)/3p))x (0＜ｘ＜3p)で、 pが3の倍数じゃないとき0=3^0-1コ、pが3のベキじゃない3の倍数のとき2=3^1-1コ、 p=3^q (qは自然数)のとき、3^q-1コって出たけどあってる？ 853 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:28:44] >>836 答えおながいします 854 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 19:35:40] >>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問 855 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 19:58:27] >>854 答えおながいします 856 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/26 20:01:09] >>855 タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？ 857 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:05:56] >>855 もう少しは考えろよ 本に書いて無い別海を見つけてこそ 本望だろ 858 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 20:10:02] >>857 結構考えた。もう疲れた。 >>856 すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。 859 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:04:38] >>836>>855 略解 ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1 = g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、 g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 ところが f の定数項は平方数で無い。 860 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:13:04] >>859 ＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0 　 なるほど 　 ＞ところが f の定数項は平方数で無い。 　 gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？ 861 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:18:51] わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。 862 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:21:36] まだわかって無いような文章の書き方だな。 863 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:25:52] f(ki)=i g(ki)=-i になることはないのかな？ 864 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:39:33] >>863 ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？ 否定してください。＞>>859 865 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:45:20] >>863 f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、 f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。 g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。 よって、f = g*h に矛盾。 866 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 21:50:53] >>865 すばらしい。完全に解決。 g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、 さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので (g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。 867 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 21:58:10] だから >>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。 まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。 868 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:01:55] >>867 ああ、そうか。奇関数じゃないっていってるだけで偶関数っていってるわけじゃないのか。 でももういいや。後は自分でできそうだから。 869 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 22:06:03] >>851 申し訳ない。三角形ＡＢＣ→三角形ＯＡＢ　 Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、 ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。 （１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外 の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。 （２）三角形ＯＡＢの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。 （条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。 870 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:33:34] >>869 とりあえずv(n)をv(n)=max{e | 3^e|n}で定義するとき AB上の格子点をP(3p,3^(n+1)-2p)、p=3^e･q (3,q)=1とするとき (3p、3^(n+1)-2p)=(3^(e+1)･q、3^e(3^(n+1-e)-2q))=3^eであるから 線分OP上の両端を除く格子点でOに一番ちかい格子点は (3q、3^(n+1-e)-2q)でありよって両端以外の格子点は (3qr、(3^(n+1-e)-2q)r) (1≦r≦3^e-1) よってその数は3^e-1=3^v(p)-1個になった。 で結局その総和は �納p=1,3^n-1](3^v(p)-1)=�納p=1,3^n-1]3^v(p)-3^n+1 で �納p=1,3^n-1]3^v(p) =3の倍数の数×3 +(9の倍数の数-3の倍数の数)×9 +(27の倍数の数-27の倍数の数)×27 ･･･ +(3^(n-1)の倍数の数-3^(n-2)の倍数の数)×3^(n-1) を計算すればいいと思うんだけど。あってる？ 871 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 22:45:09] 馬鹿ばっか 872 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/26 23:51:49] >>869 難しすぎ。こんなの東大入試でねーよ 873 名前：１３２人目の素数さん [04/10/26 23:53:27] 後期は結構な難問出るぜ 874 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:08:49] とっくに東大入試のレベルなんか無視されてるとおもうが。 875 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:33:02] んじゃ、俺が少し簡単目の問題を出してやる。 各項が1,2,3によって構成される数列がある。この数列に対し次の二つの操作を行う。 操作1 　数列の項のうち、全ての1と2を置き換える。すなわち、数列が１，３，２，１，２であれば 　２，３，１，２，１と置き換えられる。 操作２ 　数列の項のうち、全ての2と3を置き換える。すなわち、数列が１，２，１，３，２，１であれば 　１，３，１，２，３，１と置き換えられる。 この二つの操作を用いて、数列{a(1),a(2),…,a(n)}を次のように変換していくことを考える。 数列aに操作1を施して得られる数列をb、操作2を施して得られる数列をcとし、新たな数列を b(1),b(2),…,b(n),a(1),a(2),…,a(n),c(1),c(2),…,c(n) とする。最初に数列を{1,2,3}からスタートさせ 1,2,3 2,1,3,1,2,3,1,3,2 1,2,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,2,3 と上の規則に従ってのばしていく。 k回規則を適用した結果の数列をd_k(n)とおく。 　　以下、問題文は続く 876 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:35:43] 数列d_k(n)は任意の自然数kに対し、次の条件を満たすことを示せ。 1) どのような自然数m,nに対しても、d_k(m+i)=d_k(m+n+i) 0≦i＜n が成立しない。 　すなわち、途中で数列の繰り返しが生じない。 　1,2,3,2,3 ( 2,3の繰り返し )などのようなものが生じない。 2) 上のように、数列が途中で繰り返しを持たないように、各項が1,2,3のみで構成される 　無限列を作成せよ。 877 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 00:39:49] xの方程式x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して 2個以下であるような実数bの条件を求めよ。ただしeは自然対数の底である。 878 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 00:59:33] f(x)=x^2-b,g(x)={(e^x+1/e^x)-a}^2=(coshx-a)^2 879 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:04:49] ふむ、それで？ 880 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:15:44] >>877 b≦0になるような気がする。あってるかどうかだけでもキボン。 881 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:19:32] f´(x)=2x,g´(x)=2(coshx-a)sinhx 882 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:21:47] 返事ないな〜。オイラの解法があってればb≦0みたいなんだけど。 しかしがんばって書いて穴あったらハズかしいし。 883 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:25:48] >>880 違うよf(x)=x^2-b, g(x)=-(2coshx-a)^2 の間違いじゃない？ 884 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:28:03] >>883 オレ=>>880=>>882だけど>>878や>>881じゃないよ。b≦0じゃないの？ 885 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:36:55] 違うよ。b≦0で成立するのは明らかだけどbが割と小さな正の値でも成り立つよ 886 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:37:46] f(x)=x^2-b,g(x)=-{(e^x+1/e^x)-a}^2=-(coshx-a)^2 とおいて、グラフを調べる。 共に隅関数なので正だけで可。 大切なのは相対的位置だけでbとa^2の大小関係、 b^0.5とcoshx=aなるxとの大小にも注意が必要。 範囲を場合分けすれば共に凸や凹関数なのでイメージはつかみ易い。 くれぐれも交点は念入りに注意深く調べる必要がありそう。 887 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:44:00] 相対的位置だけではありませんでした。 g(x)の形状はaに依存するので絶対的位置も要考慮。 888 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:46:35] ちがうのか･･･どこまちがってんだろ？答えだけでも教えて。ほんとにその範囲で 解一個しかないか計算機でたしかめてみたい。 889 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:50:38] b≦1/4で試して 890 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:52:44] 間違いが見つからん･･･どこおかしいんだろ？オイラこうやったんだけど↓まちがってる？ 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 　 こうやったんだけど･･･おかしいのかな？ 891 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:55:23] 訂正 　 x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下 ⇔t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=2cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 ⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下 だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 892 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 01:57:09] >>889 b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。 893 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 03:41:23] >>889 わかった。最後の ＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。 ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。 894 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 12:56:05] f(t)をtについての連続な関数とし、 0≦t≦1の範囲の最小値を0、最大値を1とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 895 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:01:29] 1/6＜S≦4/3かな 896 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 16:53:58] 思いっきり間違えた。ちと簡単すぎたよ f(t)をtについての連続な関数とする。 二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) + 1 , ( f(t) )^2 ) によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。 897 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 17:00:00] （１／３，４／３］。 898 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 18:50:45] [13/24,∞) 899 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 20:55:31] >>898 んな、単純になるか？ 900 名前：挑発筋肉 ◆POWERPUfXE mailto:sage http://mathblog.exblog.jp/ [04/10/27 21:31:20] 俺からも1問　単発問題だけど、 eは自然対数の底として， 　(ax/(2x+1))*e＜(1+(1/x))^x (0＜x) が成り立つような定数ａの最大値を求めよ． 901 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:35:24] >>899 f(t)≡-1/2で最小じゃない？　最大値はいくらでも大きくできるし 902 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 21:39:37] a*eを1つの文字にしてないのはヒントなのかなあ 903 名前：１３２人目の素数さん [04/10/27 21:46:29] >>901 いや、証明を聞いているのだが 普通に考えれば、 x-y座標に置いて A( 0,0 ) B(-1,1) C( a+1, a^2 ) D(b+1,b^2) と置いて、線分ACとBDが 1) 交点を持たない、または、D(C)のみを共有する場合 2) D以外の交点を持つ場合 の二つに分け、１）の場合、放物線y=(x-1)^2上、C,Dの間に１点をとりそれをEと置けば、 線分AE、BE、放物線AB( これで言いたいことは分かるよね？ )で囲まれる部分の面積 は線分AC,BD、放物線AB,CDで囲まれる部分の面積より小さい。 従って、S≧m またはS＞mを満たす最良のmを検討するためには、1)の場合関数ｆが定数関数のみの 場合を検討すればよい。 この場合、この部分の面積は 線分AE、BE、ABによって囲まれる三角形の面積、と線分AB、放物線ABで囲まれる 面積の二つの和になる。　後者の面積は一定なので、△ABEの面積を最小にする場合を検討すればよい。 このような、場合はABに平行な直線が放物線y=(x-1)^2に接するところを求めればよく、その場合の面積は…… 2)の場合、線分AC,BDの交点をEとおく。 明らかに求める部分の面積は、 (放物線AB、線分AE,BEで囲まれる部分の面積) ＋ (放物線CD、線分CE,DEで囲まれる部分の面積) 以下であるため、このような部分の面積に注目すればよい。 また、線分ACが放物線y=(x-1)^2と交点を持てば、それを新たにCと置き直して、面積を小さくすることができるため ACとこの放物線は交点を持たないと考えて良い。　同様にBDとこの放物線も交点を持たない。 このような場合……で計算がめんどくさくて、やってないのだが、どーなのよ？ そんな単純になるんかね？ 904 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:24:02] >>903 あー、確かに。 はみ出し削りで考えると四角形ABCDが平行四辺形のとき最小になりそうだが、このときは線分ACが 放物線y=(x-1)^2と2点で交わり無駄があるので、ACがy=(x-1)^2の接線かつBE=EDで最小になると思う。 905 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 22:25:24] 接点は頂点寄りで 906 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:04:58] スマソ。はみ出し削りならAE/AC=BD/BE=1/√2か 907 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/27 23:08:06] 訂正AE/AC=BE/BD=1/√2 書き間違いorz 908 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 00:33:11] >>875-876 できた。しかし･･･すげーながい。も少しがんばって短くなるようなら解答うｐしてみる。 結局ポイントは条件をみたすm,nがあるとすればmもnも3の倍数であるものが 存在するってことしめすとこみたいだけど。 909 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:25:18] >>875-876 がんばったけどこれより簡単にならん。 まず記号の整理。 w0,w1,w2,･･･ を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。 定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、 (12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。 以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。 また|w|はwの長さを表すとする。 たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。 でまずは簡単な補題から。 (補題) w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。 (1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3} 　とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。 (2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i] (3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。) (証明) 簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。 (命題) 各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる 部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき それらはひとしくない。 (続く) 910 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:26:18] (続き) (証明) l=|w|とおく。 p=0,1ならあきらか。p=1〜P-1までは成立するとしてp=P≧2と仮定する。 n=1のとき。m=l/3-1かm=2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 ゆえにm=l/3-1かm=2l/3-1であるが w(p-1)の先頭,末尾が(2,2)のときは第l/3-1項、第l/3項は(1,2)、第2l/3-1項、第2l/3項は(2,3)、 w(p-1)の先頭,末尾が(1,3)のときは第l/3-1項、第l/3項は(3,1)、第2l/3-1項、第2l/3項は(3,1)、 なのでありえない。 n=2のとき。l/3-3≦m≦l/3-1か2l/3-3≦m≦2l/3-1でなければu+vは (12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。 またm≡1(mod3)でなければu+vの要素には補題1より{1,2,3}のすべてをふくむので ababの形になりえない。よってm=l/3-2、2l/3-2のいづれかしかありえない。 しかしそれも補題(3)よりn=1の場合同様ありえない。 （続く） 911 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:27:22] (続き) 一般のとき。まずn≡0 (mod3)をしめす。 (I)m+n≡1(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡0(mod3)。 w[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=b、w[m+n+1]=v[1]=c、w[m+2n-2]=v[n-2]=dとおく。 このときw[m+2n-1]=v[n-1]=a。補題(1)より wの第m項から第m+n-2項の和=wの第m+n+2項から第m+2n-3項の和+6 よってa+6=a+b+c+d。一方{a,b,c}={1,2,3}よりa+b+c=6。∴a=d。 ∴w[m+2n-2]=w[m+2n-1]であるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡2(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+n-1]=u[n-1]=b、w[m+n+1]=v[1]=cとおく。 このときw[m+n]=v[0]=a。補題(1)より wの第m+1項から第m+n-2項の和=第m+n+2項から第m+2n-1項の和 よってa+b=a+c。∴b=c。これは{a,b,c}={1,2,3}に反する。 (II)m+n≡2(mod3)のとき。この場合は(I)と同様。 (III)m+n≡0(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+2n-1]=v[n-1]=bとおくと(I)同様にしてa=b。 するとw[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=aとなるがこれはn=1の場合の結論に反する。 次にn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡1(mod3)。 w[m]=u[0]=a、w[m+1]=u[1]=b、w[m+2n-2]=v[n-2]=c、w[m+2n-1]=v[n-2]=d、 とおくと(I)同様にしてa+b=c+d。よって(a,b)=(c,d) or (d,c)。すると w[m+n-2]=u[n-2]=c、w[m+n-1]=u[n-1]=d、w[m+n]=v[0]=a、w[m+n+1]=v[1]=b、 となるが(a,b)=(c,d)でも(d,c)でもn=1の場合かn=2の結論に反する。 (I)〜(III)よりn≡0(mod3)がいえた。 すると m≡0(mod3)のときはw'[m/3+i]=w[m+3i+1]=w[m+3i+n+1]=w'[m/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 m≡1(mod3)のときはw'[(m-1)/3+i]=w[m+3i]=w[m+3i+n]=w'[(m-1)/3+i] (0≦i＜n/3)、 m≡2(mod3)のときはw'[(m+1)/3+i]=w[m+3i+2]=w[m+3i+n+1]=w'[(m+1)/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、 となりいづれにせよ帰納法の仮定に反する。 912 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 19:29:15] いづれ 913 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 19:42:12] >>911 乙。　だが、この問題の一番の売りは（２）にあるつもりなんだが、 （２）はできた？ 914 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 19:55:51] >>913 (2)は(1)でつくった列を真ん中からきったものでいいんじゃないの？ 2 123 213123132 123213231213123132312132123 ･･･ だから真ん中以降は 2 23 23132 23132312132123 となっていく。つまり前の列の拡張になっていく。このなかにはもちろん繰り返しがない。 915 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 20:40:01] 単にくりかしのない数列って事なら、 １０進法で言うと自然数をただ並べただけの数列 1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。 (これで無理数が作れる。) 3進法にすれば同様な数列が構成されるだろう。 この数列において置換してもやっぱりくりかえしはないはずだ。 916 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 20:55:08] >>914 正解 出題者のねらいとしては 2 123 213123132 123213231213123132312132123 ･･･ これを持ち出して、無限列っていうアフォを引っかけるつもりだったんだが、 甘すぎたな。 917 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/28 21:51:41] >>914 それじゃどんな有限列wをとってきてもwwがでてきてしまう。 918 名前：917 mailto:sage [04/10/28 21:55:00] まちがった。>>915だ。その構成だとどんな0,1,2からなる有限列wをとってきてもwがその列の なかにでてくる。くりかえしのある列012012とか11111111だってもちろんでてくる。 919 名前：１３２人目の素数さん [04/10/28 21:58:54] >>915 ＞1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。 　　　　　　　　　　↑　ココらへｎ いや、あるように見えるが…… 920 名前：915 mailto:sage [04/10/28 23:22:05] 有るな。わりこみsory。続けてください。 921 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 00:46:15] >>894 解答マダ−−−−−？ 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/10/29 14:38:16] 回答のないものの方が多い。 気長に待ちなさい。 923 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 20:53:51] 非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。 Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k} 924 名前：１３２人目の素数さん [04/10/29 23:31:32] xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。 円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。 (1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。 (2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。 (3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。 925 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:01:08] サイコロを振ってk回目に出てきた目をa(k)とする。どの目が出てくる確率も1/6である。 このとき Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k　　の期待値と Σ[k=1,∞] (a(k))/7^k　 　　の期待値を求めよ。 926 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:03:06] 　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,- 　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´ 　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ 　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ 　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ. 　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､ 　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　| 　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　| 　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 | 　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 | 　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 | 　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　| 　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　| 　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　| 　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､ 　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ 　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi 　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi 　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi 　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､ 　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､ 　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ┃ 　 ┃ 　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜　　｜ 　　　　　　　　　　　　　　　 ／　　　　 ＼ 　　　　　　 　　　　　　　／　　　　　　 　 ＼ 　　　　　　　　　　 　 ／ 　　　　　　　　 　　＼ 927 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:18:42] >>925 1/2, 7/12 928 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:23:03] >>925 k回目に出てきた目をa(k)としているだけで、それはただの記号じゃん。 「k回目に出る目の期待値をa(k)」とするとかならわかるけど。 929 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 00:24:53] >>928 いや、期待値じゃなくて値っていうなら、お前の突っ込みも分かるけど Σ[k=1,∞] ×× 全体で確率変数なんだろ。んで、その期待値を求めろっていうんだろ？ 普通に積分すればいいじゃん。 930 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:28:56] あれだべさ、 >>926の前半の概略はこうなるべ αを0＜α＜1の6進数、小数点以下第n位までの有理数とする。 α = Σ[k=1,n] ( a(k)-1 )/6^k となる確率は1/6^n　従って、α≦β＜α＋1/6^nなる実数βの集合を考えると Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k がこの集合に含まれる確率は1/6^n　とかってやるんじゃないの？ 931 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:32:36] >>929 あああ、言いたいことわかる！！わかるけどパッっとしないなあ。 何が引っかかってんだろ・・・優しく語ってくれないか？ 確率めっちゃ苦手だ 932 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:33:52] >>931 連続確率の問題だからなぁ、間違いなく高校レベル超えてるだろこれｗ 933 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:35:43] >>931 とりあえず、ルベーグ積分を覚えてみ。 そうすれば、理解できるようになると思われ 934 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:36:59] >>932 >>933 サンクス、最初っから高校レベルじゃないんだな。安心したよ 935 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:13] >>934　つーても、それほど逸脱しすぎてるわけでもないと思うから出題してみたのだが 普通に Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k を有限で止めて、>>930みたいにやっていくわけだが、 高校生でもできるんでないかい？ 936 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:39:26] >>931 たぶんA={1,2,3,4,5,6}をμ({1})=μ({2})=μ({3})=μ({4})=μ({5})=μ({6})=1/6 なる測度で(A,μ)を測度空間とみなしてそのコピーを可算個容易して (An,μn)としたときX=(ΠAn,Πμn)を積測度としてそれが確率測度になるからその 測度空間上で関数a(n)=(第n成分を取り出す関数)をとるとき 関数Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^kが可測関数であることを示して その期待値をもとめろってんじゃないのかな？なんとなくa(k)/6^kが可測で Σ[k=1,K] (a(k)-1)/6^kが一様に可積分だからなんとなく当たり前のような気もするけど。 937 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:41:04] >>935 測度空間が無限集合になるのは受験数学の範囲を逸脱してると思う。 938 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:10] >>930>>936 なるほどね・・・受験数学ヲタだから、あまり大学数学は知らないんだよな。 ルベーグ積分はかじった程度。>>936の説明ならわかった希ガス 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:43:26] E[a(k)]=7/2なんだから、 E[Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞]E[( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞](5/2)/6^k 答えを出すのは簡単。 Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^kが実際に確率変数になる（可測性）とか、limとΣの交換可能性とか細かいことを言わないなら高校生でも解けるだろ。 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:46:31] いや、工房でもlimとΣの入れ替えぐらいはうるさく言うだろ 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 00:52:57] >>939 高校生に解答はかけないだろう。 予想はできても。 ま、マーク式問題なら勘のいいヤツなら正解できるな 942 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 08:15:06] e をネイピアの数とする． S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!) とすると，任煮の自然数 ｎ に対して S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! が成り立つ事を示せ． ただし高校の範囲までで，マクローリン展開等は使えません． 943 名前：942 [04/11/02 08:16:15] × S_ｎ＝Σ(ｋ=1→ｎ)(1/ｋ!) ○ S_ｎ＝Σ(ｋ=0→ｎ)(1/ｋ!) 944 名前：942 [04/11/02 08:18:15] × S_ｎ ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! ○ S_(ｎ+1) ＜ e ＜ S_ｎ + e/(ｎ+1)! 945 名前：１３２人目の素数さん [04/11/02 14:12:58] (1) 女体の特異点を求めよ。 (2) 女体を亀甲縛りにしたときの縄の長さの最小値を求めよ。 946 名前：king233 [04/11/02 15:50:08] 得意な問題だけど結構難しい 947 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 18:45:51] 特異点 948 名前：924 [04/11/02 22:09:31] 誰も解いてくれないのでヒント (1)平面z=b上での光の当たる境界となる点は？ さらにその点と点Aと円錐の頂点を含む平面はどうなる？ (2)交線に着目。 (3)最小候補となる距離は2種類 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:17:14] >>948 誰も解いていない問題はいっぱいある。気長に待て 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 22:21:10] ここは問題を吊るすｵﾅﾇｰｽﾚだから、回答は期待しない方が良い。 951 名前：ChaosicSoul ◆/yaJbvarMY [04/11/02 23:17:24] Re:>945 (1) 胸の先と、後は知らん。 (2) 甲羅の数をいくつ作るかによってだいぶ変わってくる。 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/02 23:20:15] 待て、然して希望せよ！ 953 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 08:30:43] 正八面体を1つの平面で切断するとき、 切断面に7角形が生じることはないことを示せ。 954 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 09:29:12] 関数､超高校級で後期向けのをきぼん｡ 955 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 13:00:21] >>954 分野は？ ＞関数 美積? 956 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 13:22:06] お任せします｡ 957 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 14:43:39] 微積じゃないけど（且つ、易しいけど） 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .........　＜ 2.75 は？ 958 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 15:44:02] >>957 左辺の収束自体が高校の範囲外。 問題を修正する必要有り。 959 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 15:48:15] 放物線を軸のまわりに1回転させてできた放物面と定点Aがある。点Aを通るどんな平面とも放物面が接することはないとき、 平面と放物面により囲まれる部分の体積を最小とする平面はどんな平面か。 960 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 16:00:29] >>955 みつみ？ ちゃん様？ 961 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 16:46:38] >>959 文系用底上げバージョン、もしくは理系(1)にして撹乱件ヒント（ｗ 平面上に放物線と定点Aがある。 点Aを通るどんな直線とも放物線が接することはないとき、直線と放物線により囲まれる 部分の面積を最小とする直線はどんな直線か。 ･ヒントにうまく乗れる奴 ･統一的に解く奴（多分少数） ･力技で２問解く奴（多そう） に分かれると思う。 962 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 17:02:23] >>957 なにか、いい方法があるのでしょうか？ 963 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 18:00:51] >>958 収束だけだったら高校生でもできるぞ。 n≧4で2^n＜n!なる不等式を証明してやればいい。 964 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 18:16:08] 左辺＜1+1+1/2+1/6+1/24+1/(24・5)+1/(24・5^2)+1/(24・5^3)+・・・ =2+(53/96) ＜2.75 965 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 21:00:10] >>957 n!>n(n-1)[*]に注意すれば、十分後から[*]を使って評価すれば終りじゃないの？ 十分後、が1000とか10000だったら考える必要があるけど 966 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 21:00:43] あ、解決済みだ 967 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:03:22] >>963 だから上に有界と単調増加だけでは、高校では収束の証明にならないんだっちゅうの。 968 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:04:49] >>967 確かに厳密に言えばそうだけど、慣習として収束値の存在を示す やり方にこれがあることは事実でしょ。 実際には……実数の連続性なり何なりを使うことになるんだけど…… 969 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:07:03] 高校の範囲外の事を使わなければ証明できない問題を入試に出す事はできない。 970 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:13:29] つかよ、高校レベルで収束に対して厳密な証明のある物って なんか、あったっけ？ 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:14:13] 工房相手なら、 正の整数nに対して a_n = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ......... + 1/n! とおく。 このとき、任意の正の整数nに対して a_n < 2.75 が成り立つことを示せ。 とでもしないとな。 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:17:54] >>970 ピントずれまくり 973 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:19:49] >>969 東大の入試は確かにその辺に気をつかってるよね。 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:20:48] いやさぁ、極端な話 1/n　→　0　(n→∞) でさえ、怪しいんじゃない？ 975 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:22:26] 怪しいも何も、収束の定義そのものが怪しいんだから仕方がない。 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:22:42] >>974 あやしいね。 977 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:28:46] 収束を示すんじゃなく不等式を示すんだから別にいいと思う。 978 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:31:53] >>977 >>957の表記はそうじゃないだろ？ ﾊﾞｶか？ 979 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:34:27] 確かに>>957だと ･左辺確定 ･左辺 < 右辺 を問われていると見るのが普通だと思う。 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:34:41] >>957の表記も怪しいねw 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:36:08] 結局悪問って事になるわけか。 円周率の存在は証明無しに使って良くて 収束は駄目。この境目が正直言って分かりません。 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:40:20] 工房では e := lim[n->∞](1+1/n)^n 右辺の存在は天下りというか不問というかアンタチャブルというか、とにかく存在！ なんじゃなかったっけ？ 983 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:40:51] >>971のように修正すれば高校の範囲になるよ。無問題。 >>981 そんなこと言ったたきりが無い。 長さや面積だって本来積分で定義すべきものを、 既にそれらの概念があるものとして扱ってる。 984 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:51:47] 長軸3、短軸2の楕円に内接する12角形の面積の最大値を求めよ。 985 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 22:57:28] >>984 円で考えてあとは相似変換。 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 22:58:56] そもそも厳密な実数論や積分論は、職業的数学者が 数学の系統的な講義のやり方に頭を悩ませていたことからうまれたもので、 17世紀ごろには、数学は大分実用志向だったから 必ずしも厳密な理論は必要なかった。だからこそ Fourrierの理論なんかが生まれた、と数学史の本によるとそういうことらしい。 だから高校数学では厳密な理論は必ずしも必要ないんじゃないでしょうか （むしろ漏れは算数と一緒に道徳を教えるという文部省の方針の暴挙を どうにかしてほしい。） 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:00:51] >>984 四角形までなら何とかごまかせるけど五角形以上は 最大値の存在証明が結構大変だと思う。 だから東大じゃで無いと思う。 988 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:02:03] 「高校数学では厳密な理論は必要ないんじゃない」と言う事ではなくて、 理解できるだけの素養が備わっていないだけ。 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:09:34] まあそれも一理あるけどあまり\epsilonが\deltaが一様収束がと やっちゃっても物理、工学に進む学生の足かせとなるんじゃなかろうか？ あまりそういう意識で勉強すると誰も電磁気学を勉強できなくなるし （高校でも大学教養でも） 990 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:19:26] >>984 最大値が存在しなければ極大値が存在。 それは内接する三〜十一角形の面積以外にありえない。 正円に内接する正十二角形の面積＞内接する三〜十一角形の面積。 という方針なら高校生でも解けるのでは? 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:21:13] 次スレお願い >>995 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:22:04] 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .........　＜ 1+1+1/2+1/6+1/24+1/(24・5)+1/(24・5^2)+1/(24・5^3)+・・・ は高校だとやっちゃダメなのか・・・ 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:24:33] >>>990 方針も何も全然分からないんだけど…… >>最大値が存在しなければ極大値が存在。 ナゼ？ >>それは内接する三〜十一角形の面積以外にありえない。 ナゼ？ >>正円に内接する正十二角形の面積＞内接する三〜十一角形の面積。 ナゼ？ 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:32:05] >>992 収束値が存在しなければ不等式自体あり得ないだろ。 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:34:57] 次スレ早く立てろ！ 996 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:40:47] 次スレまだぁ〜 ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ☆＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿ ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从☆`ヾ/゛／'　　"＼' /". ☆　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=　＜ うぉぉぉぉー、 まだぁ〜〜！！ ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡　.|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿| ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨ ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ 　　　　　　　　　　　　　　／|＼人 ＿.ノ _||_.　／|＼ 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:44:31] たてますた 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [04/11/03 23:44:46] ぬぉ、新スレたてたけどほとんど同じ時間にもう一人…… 999 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:45:30] １０００ 1000 名前：１３２人目の素数さん [04/11/03 23:46:44] 余裕で１０００げっと 1001 名前：１００１ [Over 1000 Thread] このスレッドは１０００を超えました。 もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

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